拓扑熵是动力系统中一个非常重要的量, 可用来刻画系统的复杂度.从Adler, Konheim和McAndrew ^[1]首先给出拓扑熵的定义以来, 拓扑熵的研究逐渐发展成为动力系统的一个重要方向.随着研究的深入及新问题的出现, 人们从各个角度研究和推广拓扑熵, 如文献[4, 6, 12].其中一个重要方向就是半群作用系统的拓扑熵.首先, Biś ^[2]和Bufetov ^[5]分别给出了紧致度量空间上有限个连续映射构成的半群的拓扑熵的定义.在此基础上, 人们又深入研究了这两种拓扑熵, 比如针对紧致度量空间上有限个连续映射构成的半群系统, Ma和Wu ^[7]定义了任意子集的拓扑熵; Wang和Ma ^[10]及Wang, Ma和^[9]分别推广Biś ^[2]和Bufetov ^[5]的拓扑熵, 给出了一般度量空间上由有限个一致连续映射构成的半群的拓扑熵的定义.

另一方面, Patrão ^[8]给出了度量空间中一个映射的拓扑 $d$ -熵及真映射拓扑熵的概念.

在此基础上, 我们将Bufetov ^[5]紧致度量空间中有限个连续映射构成半群的拓扑熵的定义推广到一般的度量空间中, 定义了一种度量空间中有限个连续映射构成半群的拓扑 $d$ -熵.然后将Biś ^[2]在紧致度量空间中拓扑熵的定义推广到一般的度量空间中, 定义另一种度量空间中有限个连续映射构成半群的拓扑 $d$ -熵, 比较了两种定义的拓扑 $d$ -熵的大小, 并且证明局部紧致可分度量空间上有限个真映射构成的半群的拓扑 $d$ -熵和它的一点紧化空间上对应的拓扑熵相等.

我们分别介绍Biś ^[2]和Bufetov ^[5]定义的拓扑熵.

首先是Biś ^[2]的定义.设 $X$为紧致度量空间, $X$上的度量记为 $d$, 设 $f_{i}:X\rightarrow{X}$为连续映射 $(i=0, 1, \cdots, m-1)$, 记 $G_{1}=\{id_{X}, f_{0}, f_{1}, \cdots, f_{m-1}\}$, 其中 $id_{X}$为恒等映射.对任意的 $n\in{\mathbb{N}}$, 记 $G_{n}=\{g_{1}\circ{g_{2}}\circ\cdots\circ{g_{n}}:g_{1}, \cdots, g_{n}\in{G_{1}}\}$, 则易见 $G_{m}\subset{G_{n}}(m\leq{n})$.记 $G=\bigcup\limits_{n\in{\mathbb{N}}}G_{n}$, 则 $G$为由 $G_{1}$生成的半群.定义 $X$上一个新的度量如下

$ d_{\max}^{n}(x, y)=\max\{d(g(x), g(y)):g\in{G_{n}}\}. $

对任意的 $\varepsilon>0, n\in{\mathbb{N}}$, $X$的子集 $E$称为 $X$的 $(n, \varepsilon)$张成集, 若对每一个 $x\in{X}$, 存在 $y\in{E}$满足 $d(g(x), g(y))\leq{\varepsilon}$, 其中 $g\in{G_{n}}$.记 $X$的所有 $(n, \varepsilon)$张成集的最小基数为 $r(n, \varepsilon, X, G_{1})$. Biś定义了由 $G_{1}$生成的半群 $G$的拓扑熵

$ h(G_{1})=\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow0}\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log{r(n, \varepsilon, X, G_{1})}. $

下面介绍Bufetov ^[5]的定义.设 $X$为紧致度量空间, $X$上的度量记为 $d$, $f_{i}:X\rightarrow{X}$为连续映射 $(i=0, 1, \cdots, m-1)$, 记 $G_{1}^ {\prime}=\{f_{0}, f_{1}, \cdots, f_{m-1}\}$, 用 $G^{\prime}$表示由 $G_{1}^{\prime}$生成的半群.记 $F_{m}^{+}=\{w|w=w_{0}w_{1}\cdots{w_{k}}, w_{i}=0, 1, \cdots, m-1\}$.若存在 $w^{\prime\prime}\in{F_{m}^{+}}$满足 $w=w^{\prime\prime}w^{\prime}$, 记为 $w^{\prime}\leq{w}$.对 $w\in{F_{m}^{+}}$, $w=w_{1}w_{2}\cdots{w_{k}}$, 记 $\left|w\right|=k$, $f_{w}=f_{w_{1}}f_{w_{2}}\cdots{f_{w_{k}}}$, 则显然 $f_{ww^{\prime}}=f_{w}f_{w^{\prime}}$.对每一个 $w\in{F_{m}^{+}}$, $X$上的度量定义为

$ d_w(x_1, x_2)=\max\limits_{w' \leq w} d(f_{w'}(x_1), f_{w'}(x_2)). $

对任意的 $w\in{F_{m}^{+}}$和 $\varepsilon>0$, $X$的子集 $F$称为 $X$的 $(w, \varepsilon, G_{1}^{\prime})$张成集, 若对每一个 $x\in{X}$, 存在 $y\in{F}$满足 $d_{w}(x, y)\leq{\varepsilon}$.记 $X$的所有 $(w, \varepsilon, G_{1}^{\prime})$的最小基数为 $B(w, \varepsilon, G_{1}^{\prime})$.令

$ \mathit{B}(\mathit{n}, \mathit{\varepsilon }, \mathit{G}_1^\prime ) = \frac{1}{{{\mathit{m}^\mathit{n}}}}\sum\limits_{|\mathit{w}| = \mathit{n}} \mathit{B} (\mathit{w}, \mathit{\varepsilon }, \mathit{G}_1^\prime ). $

Bufetov ^[5]定义了半群 $G_{1}^{\prime}$的拓扑熵

$ \mathit{H}(\mathit{G}_1^\prime ) = \mathop {\lim }\limits_{\mathit{\varepsilon } \to 0} \mathop {\lim \sup }\limits_{\mathit{n} \to \infty } \frac{1}{\mathit{n}}\log \mathit{B}(\mathit{n}, \mathit{\varepsilon }, \mathit{G}_1^\prime ). $

我们可用Bufetov方法定义了拓扑 $d$ -熵.设 $X$为一个度量空间, $f_{i}:X\rightarrow{X}$为连续映射 $(i=0, 1, \cdots, m-1)$.令 $Y$为 $X$的子集, 对任意的 $w\in{F_{m}^{+}}, \varepsilon>0$, $F\subset{X}$称为 $Y$的 $(w, \varepsilon, G_{1}^{\prime})$张成集, 若对任意的 $x\in{Y}$, 存在 $y\in{F}$满足 $d_{w}(x, y)\leq{\varepsilon}$.记 $Y$的所有 $(w, \varepsilon, G_{1}^{\prime})$的最小基数为 $B(w, \varepsilon, Y, G_{1}^{\prime})$.

定义2.1  设 $(X, d)$为一个度量空间, $G_{1}^{\prime}=\{f_{0}, f_{1}, \cdots, f_{m-1}\}$, 其中 $f_{i}:X\rightarrow{X}$为连续映射 $(i=0, 1, \cdots, m-1)$. $Y$为 $X$的子集, 定义 $H^{d}(G_{1}^{\prime}, Y)=\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow0}B(\varepsilon, Y, G_{1}^{\prime})$, 其中

$ B(\varepsilon, Y, G_{1}^{\prime})=\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log{\frac{1}{m^n}\sum\limits_{|w|=n}B(w, \varepsilon, Y, G_{1}^{\prime})}, $

则可定义 $X$关于 $G_{1}^{\prime}$生成半群的拓扑 $d$ -熵为 $H^{d}(G_{1}^{\prime})=\sup\limits_{Y}H^{d}(G_{1}^{\prime}, Y)$, 其中上确界取遍 $X$的所有子集 $Y$.

注2.1  (1) 当 $X$为紧致度量空间时, 定义2.1与Bufetov的定义等价, 即 $H^{d}(G_{1}^{\prime})=H(G_{1}^{\prime})=H^{d}(G_{1}^{\prime}, X)$.

(2) 当 $X$为度量空间, $f_{i}$均为一致连续时, 定义2.1与文献[9]中定义等价.

(3) $H^{d}(G_{1}^{\prime})=H^{d}(G_{1}^{\prime}, X)$.

下面给出真映射[8]的概念.设 $X$为一个拓扑空间, $T:X\rightarrow{X}$为连续映射, 称 $T$为真映射, 若 $X$的任意紧致子集在 $T$下的原像为紧致子集.

以Biś ^[2]定义的拓扑熵为基础, 给出度量空间中半群的拓扑 $d$ -熵一种新的定义, 考虑 $(X, d)$为度量空间, $f_{i}:X\rightarrow{X}$为连续映射 $(i=0, 1, \cdots, m-1)$, $G_{1}=\{id_{X}, f_{0}, f_{1}, \cdots, f_{m-1}\}$.

令 $Y$为 $X$的子集, 对任意的 $\varepsilon>0, n\in{\mathbb{N}}$, $E\subset{X}$称为 $Y$的 $(n, \varepsilon)$张成集, 若对任意的 $x\in{Y}$, 存在 $y\in{E}$满足 $d_{\max}^{n}(x, y)\leq{\varepsilon}$.记 $Y$的所有 $(n, \varepsilon)$张成集的最小基数为 $r(n, \varepsilon, Y, G_{1})$.

定义3.1  设 $(X, d)$为一个度量空间, $G$是由集合 $G_{1}=\{id_{X}, f_{0}, f_{1}, \cdots, f_{m-1}\}$生成的半群, 其中 $f_{i}:X\rightarrow{X}$为连续映射 $(i=0, 1, \cdots, m-1)$. $Y$为 $X$的子集, 定义

$ h^{d}(G_{1}, Y)=\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow0}r(\varepsilon, Y, G_{1}), $

其中

$ r(\varepsilon, Y, G_{1})=\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log{r(n, \varepsilon, Y, G_{1})}. $

可定义由 $G_{1}$生成的半群 $G$的拓扑 $d$ -熵为 $h^{d}(G_{1})=\sup\limits_{Y}h^{d}(G_{1}, Y)$, 其中上确界取遍 $X$的所有子集 $Y$.

注3.1  (1) 当 $X$为紧致度量空间时, 定义3.1与Biś ^[2]的定义等价, 即 $h^{d}(G_{1})=h(G_{1})$.

(2) 当 $X$为度量空间, $f_{i}$均为一致连续时, 定义3.1与文献[10]中定义等价.

(3) $h^{d}(G_{1})=h^{d}(G_{1}, X)$.

下面可以比较定义2.1和定义3.1中两种度量空间中有限个连续映射构成的半群的拓扑 $d$ -熵的大小.

定理3.1  设 $(X, d)$为一个度量空间, $G_{1}=\{id_{X}, f_{0}, f_{1}, \cdots, f_{m-1}\}$, $G_{1}^{\prime}=\{f_{0}, f_{1}, \cdots, f_{m-1}\}$, 其中 $f_{i}:X\rightarrow{X}$为连续映射 $(i=0, 1, \cdots, m-1)$.则 $h^{d}(G_{1})\geq{H^{d}(G_{1}^{\prime})}$.

证  对 $X$的任意子集 $Y$以及 $n\in\mathbb{N}$, 对任意的 $\varepsilon>0$, 若 $M$为 $Y$的 $(n, \varepsilon, G_{1})$张成集, 则对任意的 $x\in{Y}$, 存在 $y\in{M}$满足 $d_{\max}^{n}(x, y)\leq{\varepsilon}$.由上式可推出 $d(f_{w}(x), f_{w}(y))\leq\varepsilon$, 其中 $w\in{F_{m}^{+}}, \left|w\right|=n$.即 $Y$的 $(n, \varepsilon, G_{1})$张成集为 $Y$的 $(w, \varepsilon, G_{1}^{\prime})$张成集, 从而有

$ r(n, \varepsilon, Y, G_{1})\geq{B(w, \varepsilon, Y, G_{1}^{\prime})}, $

进而

$ r(n, \varepsilon, Y, G_{1})\geq{\frac{1}{m^n}\sum\limits_{|w|=n}B(w, \varepsilon, Y, G_{1}^{\prime})}. $

两边同时取 $\log$, 除以 $n$及取极限可得 $h^{d}(G_{1}, Y)\geq{H^{d}(G_{1}^{\prime}, Y)}$, 由 $Y$的任意性, 两边对 $Y$取上确界, 可得 $h^{d}(G_{1})\geq{H^{d}(G_{1}^{\prime})}$, 证毕.

令 $X$为局部紧致可分度量空间, 它的一点紧化空间记作 $\tilde{X}$. $f_{i}:X\rightarrow{X}(i=0, 1, \cdots, m-1)$为真映射.定义 $\tilde{f}_{i}:\tilde{X}\rightarrow\tilde{X}$且

$ \begin{equation}\label{eq:dirichlet} \widetilde{f_{i}}(\widetilde{x})=\begin{cases} f_{i}(\widetilde{x}), &\widetilde{x}\neq\infty, \\ \infty, &\widetilde{x}=\infty, \end{cases} \end{equation} $

(3.1)

$\tilde{f}_{i}$称为 $f_{i}$到 $\tilde{X}$上的扩张.由文献[8]可知 $\tilde{f}_{i}$也为真映射.注意到 $X$的可分性等价于 $\tilde{X}$的可度量性.用 $\tilde{G}$表示由集合 $\tilde{G}_{1}=\{id_{X}, \tilde{f}_{0}, \tilde{f}_{1}, \cdots, \tilde{f}_{m-1}\}$生成的半群.

下面的定理说明了局部紧致可分度量空间上有限个真映射构成的半群的拓扑 $d$ -熵和它的一点紧化空间上对应的拓扑熵相等.

定理3.2  设 $X$为一个局部紧致可分空间, $\tilde{X}$为 $X$的一点紧化空间.度量 $d$是 $\tilde{X}$上的度量 $\tilde{d}$在 $X$上的限制. $G$是由集合 $G_{1}=\{id_{X}, f_{0}, f_{1}, \cdots, f_{m-1}\}$生成的半群, 其中 $f_{i}:X\rightarrow{X}$为真映射 $(i=0, 1, \cdots, m-1)$, $\tilde{G}_{1}=\{id_{X}, \tilde{f}_{0}, \cdots, \tilde{f}_{m-1}\}$.则有 $h^{d}(G_{1})=h^{\tilde{d}}(\tilde{G}_{1})=h(\tilde{G}_{1})$, 其中 $h(\tilde{G}_{1})$表示Biś定义的由 $\tilde{G}_{1}$生成的半群 $\tilde{G}$的拓扑熵.

证  首先说明对任意的 $n\in\mathbb{N}$及 $\varepsilon>0$, 有 $r(n, \varepsilon, G_{1})$是有限的.令 $\tilde{S}=\{\tilde{x}_{1}, \tilde{x}_{2}, \cdots, \tilde{x}_{k}\}\subset{\tilde{X}}$为 $\tilde{X}$的一个 $(n, \frac{\varepsilon}{2}, \tilde{G}_{1})$张成集.由 $X$在 $\tilde{X}$中的稠密性, 存在 $\{x_{1}, \cdots, x_{k}\}\subset{X}$满足 $\tilde{d}_{\max}^{n}(x_{i}, \tilde{x}_{i})<\frac{\varepsilon}{2}$.对任意的 $x\in{X}\subset\tilde{X}$, 存在 $\tilde{x}_{i}\in\tilde{S}$满足 $\tilde{d}_{\max}^{n}(x, \tilde{x}_{i})<\frac{\varepsilon}{2}$.由上可得

$ d_{\max}^{n}(x, x_{i})\leq{\tilde{d}_{\max}^{n}(x, \tilde{x}_{i})+\tilde{d}_{\max}^{n}(\tilde{x}_{i}, x_{i})}<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon, $

故 $S=\{x_{1}, \cdots, x_{k}\}$为 $X$的 $(n, \varepsilon, G_{1})$张成集.若选取 $\tilde{S}$的元素个数为 $r(n, \frac{\varepsilon}{2}, \tilde{G}_{1})$, 则可得

$ \begin{equation} r(n, \varepsilon, G_{1})\leq{\tilde{r}(n, \frac{\varepsilon}{2}, \tilde{G}_{1})}<\infty. \end{equation} $

(3.2)

反之, 令 $U=\{x_{1}, \cdots, x_{k}\}$为 $X$的 $(n, \frac{\varepsilon}{2}, G_{1})$张成集.对任意的 $\tilde{x}\in\tilde{X}$, 由 $X$在 $\tilde{X}$中稠密, 则存在 $x\in{X}$满足 $\tilde{d}_{\max}^{n}(x, \tilde{x})<\frac{\varepsilon}{2}$, 从而有 $x_{i}\in{U}$满足 $d_{\max}^{n}(x, x_{i})<\frac{\varepsilon}{2}$.于是

$ \tilde{d}_{\max}^{n}(\tilde{x}, x_{i})\leq{\tilde{d}_{\max}^{n}(x, \tilde{x})+d_{\max}^{n}(x, x_{i})}<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon, $

故 $U=\{x_{1}, \cdots, x_{k}\}$为 $\tilde{X}$的 $(n, \varepsilon, \tilde{G}_{1})$张成集.若选取 $U$的元素个数为 $r(n, \varepsilon, G_{1})$, 可得

$ \begin{equation} \tilde{r}(n, \varepsilon, \tilde{G}_{1})\leq{r(n, \frac{\varepsilon}{2}, G_{1})}. \end{equation} $

(3.3)

结合(3.2) 和(3.3) 式可得

$ \begin{align*} h^{d}(G_{1})&=\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow0}\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log{r(n, 4\varepsilon, G_{1})}\\ &\leq{\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow0}\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log{\tilde{r}(n, 2\varepsilon, \tilde{G}_{1})}}\\ &\leq{\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow0}\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log{r(n, \varepsilon, G_{1})}}\\ &=h^{d}(G_{1}), \end{align*} $

上式说明 $h^{d}(G_{1})=h^{\tilde{d}}(\tilde{G}_{1})$, 再由注3.1可知 $h^{\tilde{d}}(\tilde{G}_{1})=h(\tilde{G}_{1})$, 综上得证.