对复平面 $\mathbb{C}$上的亚纯函数 $f$, 其级与下级分别定义为

$ \begin{eqnarray*} \rho(f)=\limsup\limits_{r\rightarrow\infty}\frac{\log^{+} T(r, f)}{\log r} \end{eqnarray*} $

和

$ \begin{eqnarray*} \mu(f)=\liminf\limits_{r\rightarrow\infty}\frac{\log^{+} T(r, f)}{\log r}. \end{eqnarray*} $

如果 $f$是整函数, 则上述定义中的Nevanlinna特征函数 $T(r, f)$可以被 $\log M(r, f)$所替代, 其中 $M(r, f)=\displaystyle\max _{|z|=r}|f(z)|.$从定义容易看到有 $\mu(f)\leq\rho(f)$, 并且严格不等式也是可能的, 参见文献[1-3].在这篇文章里, 我们假设读者熟悉亚纯函数值分布理论的基本记号与主要的结果, 例如 $T(r, f), $ $m(r, f)$, $N(r, f)$等, 更多的细节参看文献[4-6].

下级的概念在很多地方被涉及, 比如Póyla峰与展布关系(见文献[5, pp. 217-232]), 亏量问题(见文献[5, pp. 251-255]).在文献[6, pp. 282-304], 有穷下级的整函数的很多性质可以被发现.函数的级被广泛的应用到复微分方程解的研究中, 例如参看文献[7-8].函数的下级也被涉及到复微分方程解的研究中, 我们引用最近的一些研究工作^[9-11].在复微分方程解的增长性研究中, 有很多以前的研究工作涉及到系数函数的级, 例如文献[7-8, 12-13].本文的目的就是想获得一些类似的结果当系数函数的级换成下级, 探索系数函数的下级对微分方程解的快速增长的影响.

为了陈述下面的结果, 先回忆几个记号.集合 $E\subset [0, \infty)$的Lebesgue线性测度是 $\operatorname{m}(E)=\displaystyle\int_{E}dt$, 其上、下线性密度分别是

$ \begin{eqnarray*} \overline{\operatorname{dens}}(E)=\limsup\limits_{r\rightarrow\infty} \frac{\operatorname{m}(E\cap[0, r])}{ r}, \quad \underline{\operatorname{ dens}}(E)=\liminf\limits_{r\rightarrow \infty}\frac{\operatorname{m}(E\cap[0, r])}{r}. \end{eqnarray*} $

集合 $F\subset [1, \infty)$的对数测度是 $\operatorname{m_{l}}(F)=\displaystyle\int_{F}\frac{dt}{t}$, 其上、下对数密度分别是

$ \begin{eqnarray*} \overline{\operatorname{\log dens}}(F)=\limsup\limits_{r\rightarrow\infty} \frac{\operatorname{m_{l}}(F\cap[1, r])}{\log r}, \quad \underline{\operatorname{\log dens}}(F)=\liminf\limits_{r\rightarrow \infty}\frac{\operatorname{m_{l}}(F\cap[1, r])}{ \log r}. \end{eqnarray*} $

从文献[14, p. 121]容易看到, 对任意集合 $F\subset[1, \infty), $

$ \begin{eqnarray*} 0\leq\underline{\operatorname{ dens}}(F)\leq\underline{\operatorname{\log dens}}(F)\leq\overline{\operatorname{\log dens}}(F)\leq\overline{\operatorname{dens}}(F)\leq 1. \end{eqnarray*} $

在文献[15]中, Laine-Wu利用系数是具有某种渐进增长性质的整函数去研究复线性微分方程解的增长性, 并获得了

定理A  设 $A(z)$和 $B(z)$是两个满足 $\rho(B)<\rho(A)<\infty$的整函数.设 $A(z)$满足

$ T(r, A)\sim \log M(r, A), \quad r\rightarrow\infty, \quad r\not\in E, $

(1.1)

其中 $\operatorname{m_{l}}(E)<\infty$, 则线性微分方程

$ f''+A(z)f'+B(z)f=0 $

(1.2)

的所有非平凡解都是无穷级.

(1.1) 式意味着下面极限

$ \begin{eqnarray*} \lim\limits_{r\rightarrow\infty}\frac{T(r, A)}{\log M(r, A)}=1 \end{eqnarray*} $

在除去一个对数测度有限的 $r$值例外集合上成立.

Kwon和Kim在文献[16]推广了定理A, 通过系数 $A(z)$允许除去一个更大的 $r$值例外集使得条件(1.1) 成立.

定理B  设 $A(z)$和 $B(z)$是两个满足 $\rho(B)<\rho(A)<\infty$的整函数.设 $A(z)$在除去 $r$值例外集 $E$上满足条件(1.1), 其中 $\overline{\operatorname{\log dens}}(E)<\frac{\rho(A)-\rho(B)}{\rho(A)}$.则微分方程(1.2) 的所有非平凡解都是无穷级.

这里考虑系数的下级对微分方程(1.2) 解的快速增长的影响, 将定理A、B中系数 $A(z)$和 $B(z)$的级用其下级代替, 获得了下面的结果.我们的证明不同于定理A、B, 使用了一个来自于Miles-Rossi的结果(见文献[17, 定理1]), 关于对数导数的反面估计, 这个估计在定理A、B的证明中没有使用.

定理1  设 $A(z)$和 $B(z)$是两个满足 $\mu(B)<\mu(A)<\infty$的整函数.设 $A(z)$在除去 $r$值例外集 $E$上满足条件(1.1), 其中 $\overline{\operatorname{\log dens}}(E)=0$.则微分方程(1.2) 的所有非平凡解都是无穷级.

本文的第二个结果, 利用一种新的研究思路去研究线性微分方程解的增长性, 即方程(1.2) 的系数 $A(z)$是另一个二阶线性微分方程

$ w''+P(z)w=0 $

(1.3)

的非平凡解, 其中 $P(z)=a_{n}z^{n}+\cdots+a_{1}z+a_{0}$, $a_{n}\neq 0$.众所周知, 方程(1.3) 的任何非平凡解的增长级为 $\frac{n+2}{2}$.关于方程(1.3) 解的更多的性质, 参看文献[7-8, 18]. Hille ^[19]利用他的方法刻画了方程(1.3) 解的渐进增长.本文的第二结果就是利用方程(1.3) 解的渐进性质去研究方程(1.2) 解的增长性, 获得了

定理2  设 $A(z)$是方程(1.3) 的一个非平凡解, $B(z)$是一个 $\rho(B)\neq\rho(A)$的超越整函数, 且

$ T(r, B)\sim \log M(r, B), \quad r\rightarrow\infty, \quad r\in E, $

(1.4)

其中 $\overline{\operatorname{\log dens}}(E)>0$.则微分方程(1.2) 的所有非平凡解都是无穷级.

本文的第三个结果涉及到另一类二阶线性微分方程

$ f''+e^{-z}f'+Q(z)f=0, $

(1.5)

其中 $Q(z)$是整函数.为此先回顾方程(1.5) 解的一些性质.对于 $Q(z)$是多项式的情形, 在以往的文献中, 可以发现很多关于方程(1.5) 解的结论, 例如文献[20-23].对于 $Q(z)$是超越整函数, 有两个结果值得注意, 一个是Gundersen ^[24]证明了如果 $Q(z)$是超越整函数并且 $\rho(Q)\neq 1$, 则方程(1.5) 的所有非平凡解都是无穷级.另一个是Chen ^[25]证明了如果 $Q(z)=h(z)e^{bz}$, 其中 $h(z)$是一个非零多项式, $b\neq -1$, 则方程(1.5) 的所有非平凡解都是无穷级.从Chen的结果可以看出当系数 $Q(z)$的增长级等于1时, 方程(1.5) 有无穷级解.在文献[26]中, Li-Wang讨论了方程(1.5) 解的增长性.他们证明了如果 $Q(z)=h(z)e^{bz}$, $h(z)$是一个级小于 $\frac{1}{2}$的超越整函数, $b$是一个实常数.则方程(1.5) 的所有非平凡解都是无穷级.针对整函数 $Q(z)$级为1的情形, Wang-Laine ^[27]考虑了线性微分方程

$ f''+h(z)e^{-z}f'+Q(z)f=0, $

(1.6)

其中 $h(z)$是一个满足 $\rho(h)<\rho(Q)=1$的整函数.他们假定系数 $Q(z)$具有某一个渐进增长条件时, 研究了方程(1.6) 解的增长性.

定理C  设 $Q(z)$和 $h(z)$是两个满足 $\rho(h)<\rho(Q)=1$的整函数.设 $Q(z)$满足

$ T(r, Q)\sim \log M(r, Q), \quad r\rightarrow\infty, \quad r\in E, $

其中 $\overline{\operatorname{\log dens}}(E)>0$.则微分方程(1.6) 的所有非平凡解都是无穷级.

相比定理C, 这里利用另一类具有某种渐进性质的整函数去研究微分方程(1.6) 解的增长性.即对于常数 $\alpha\in (0, 1)$, 如果 $Q(z)$在一个足够大的 $r$值集合上满足

$ T(r, Q)\sim \alpha\log M(r, Q), \quad r\rightarrow\infty. $

(1.7)

定理3  设 $Q(z)$和 $h(z)$是两个满足 $\rho(h)<\rho(Q)=1$的整函数.设 $Q(z)$在除去一个上对数密度为0的 $r$值集合上对 $\alpha\in (\frac{1}{2}, 1)$满足条件(1.7).则微分方程(1.6) 的所有非平凡解都是无穷级.

提出条件(1.7) 是很自然的, 有很多的函数在除去一个适当的 $r$值例外集上满足条件(1.7).一个简单的例子就是 $Q(z)=e^{z}$, 条件(1.7) 对 $\alpha=\frac{1}{\pi}$成立, 没有例外集.下面稍微复杂一点的例子可以在文献[28, p. 158]中找到.

例1  设 $Q(z)=(1-3e^{iz})e^{z^{2}}-ze^{-iz^{2}}$, 则条件(1.7) 对 $\alpha=\frac{2+\sqrt{2}}{2\pi}$成立, 没有例外集.

相比例1, 更一般的例子就是形如 $Q(z)=P_{1}(z)e^{Q_{1}(z)}+\cdots+P_{n}(z)e^{Q_{n}(z)}$的指数多项式, 其中 $P_{j}(z)$, $Q_{j}(z)$ $(j=1, \cdots, n)$是多项式, 参见文献[28].根据定义, 容易证明 $Q(z)$是完全正规增长的函数(见文献[29, p. 6]).于是有下面的例子.

例2  如果 $Q(z)$是上面形式的指数多项式, 则根据文献[29, 定理1.2.1], 有

$ T(r, Q)=(1+o(1))\frac{r^{\rho}}{2\pi}\int^{2\pi}_{0}h_{Q}^{+}(\theta)d\theta $

和

$ \begin{eqnarray*} \log M(r, Q)=(1+o(1))r^{\rho}\max\limits_{0\leq\theta\leq2\pi}h_{Q}(\theta) \end{eqnarray*} $

对所有的 $r\not\in[0, 1]\cup E$成立, 其中 $\overline{\operatorname{dens}}(E)=0$ (因此 $\overline{\operatorname{\log dens}}(E)=0$), $h_{Q}^{+}(\theta)=\max\{0, h_{Q}(\theta)\}$.所以条件(1.7) 在除去一个上对数密度为0的 $r$值例外集上对

$ \alpha=\frac{\frac{1}{2\pi}\displaystyle\int^{2\pi}_{0}h_{Q}^{+}(\theta)d\theta}{{\rm{ma}}{{\rm{x}}_{0 \leqslant \mathit{\theta } \leqslant 2\mathit{\pi }}}h_{Q}(\theta)} $

成立.

为了证明上述定理, 需要如下的几个引理.

引理2.1^[30]  假设 $f$是一个有穷级超越亚纯函数, $k, j$是两个满足 $k>j\geq 0$的整数.则对任意给定的常数 $\varepsilon>0$, 下列三个结论成立.

(1) 存在一个集合 $E_{1}\subset[0, 2\pi)$, $\operatorname{m}(E_{1})=0$, 使得如果 $\psi_{0}\in([0, 2\pi)-E_{1})$, 则存在常数 $R_{0}=R_{0}(\psi_{0})>1$, 使得对所有满足 $\arg z=\psi_{0}$, $|z|\geq R_{0}$的 $z$, 有

$ \left|\frac{f^{(k)}(z)}{f^{(j)}(z)}\right|\leq |z|^{(k-j)(\rho(f)-1+\varepsilon)}. $

(2.1)

(2) 存在一个集合 $E_{2}\subset (1, \infty)$, $\operatorname{m_{l}}(E_{2})<\infty$, 使得对所有满足 $|z|\not\in (E_{2}\cup [0, 1])$的 $z$, 不等式(2.1) 成立.

(3) 存在一个集合 $E_{3}\subset [0, \infty)$, $\operatorname{m}(E_{3})<\infty$, 使得对所有满足 $|z|\notin E_{3}$的 $z$, 有

$ \left|\frac{f^{(k)}(z)}{f^{(j)}(z)}\right|\leq |z|^{(k-j)(\rho(f)+\varepsilon)}. $

(2.2)

下面的结果是文献[17, 定理1]的一个简单形式, 但足够本文使用.

引理2.2  假设 $f$是一个级为 $\rho(<\infty)$的非常数整函数.对 $\beta\in (0, 1)$及 $r>0$, 令

$ \begin{align*} U_{r}=\left\{\theta\in [0, 2\pi): r\left|\frac{f'(re^{^{i\theta}})}{f(re^{i\theta})}\right|\geq \beta n(r, 0, f)\right\}, \end{align*} $

则对 $M(>3)$存在一个集合 $E_{M}\subset[1, \infty)$, $\underline{\operatorname{\log dens}}(E_{M})\geq 1-\frac{3}{M}$, 使得对所有的 $r\in E_{M}$,

$ \begin{equation*} \operatorname{m}(U_{r})>\left(\frac{1-\beta}{7M(\rho+1)}\right)^{2}. \end{equation*} $

为了介绍Hille关于方程(1.3) 解的渐进增长性质, 需要一些记号.假设 $\alpha, \beta$是两个常数满足 $\beta-\alpha<2\pi$及 $\alpha<\beta$, 对任意 $r>0$, 定义

$ \begin{align*} &S(\alpha, \beta)=\{z:\alpha <\arg z< \beta\}, \\& S(\alpha, \beta; r)=\{z:\alpha <\arg z < \beta\}\cap \{z:|z|< r\}. \end{align*} $

假设 $f$是一个级为 $\rho\in (0, \infty)$的整函数, 为了叙述方便, 令 $S=\overline{S}(\alpha, \beta)=\{z:\alpha\leq\arg z\leq\beta\}$.如果对任意 $\theta\in (\alpha, \beta)$, 有

$ \begin{eqnarray*} \lim\limits_{r\rightarrow\infty}\frac{\log\log|f(re^{i\theta})|}{\log r}=\rho, \end{eqnarray*} $

(2.3)

则称 $f$在 $S$内以指数增长趋于无穷; 如果对任意 $\theta\in (\alpha, \beta)$, 有

$ \begin{eqnarray*} \lim\limits_{r\rightarrow\infty}\frac{\log\log|f(re^{i\theta})|^{-1}}{\log r}=\rho, \end{eqnarray*} $

(2.4)

则称 $f$在 $S$内以指数增长趋于零.

下面的结果源自文献[19, 第7.4节], 也可以在文献[31]找到它的陈述.

引理2.3  假设 $w$是方程(1.3) 的一个非平凡解, 其中 $P(z)=a_{n}z^{n}+\cdots+a_{1}z+a_{0}$, $a_{n}\neq 0$.令 $\theta_j=\frac{2j\pi-\arg(a_n)}{n+2}$, $S_j=S(\theta_j, \theta_{j+1})$, $j=0, 1, 2, \cdots, n+1$, 其中 $\theta_{n+2}=\theta_0+2\pi$.则 $w$具有下面的性质.

(1) 在每一个角域 $S_{j}$, $w$或者以指数增长趋于无穷, 或者以指数增长趋于零.

(2) 对某个 $j$, 如果 $w$在 $S_{j}$以指数增长趋于零, 则 $w$在 $S_{j+1}$和 $S_{j-1}$必须以指数增长趋于无穷.但是 $w$在几个相邻角域以指数增长趋于无穷是可能的.

(3) 如果 $w$在 $S_{j}$以指数增长趋于零, 则 $w$在 $S_{j-1}\cup\overline{S_{j}} \cup S_{j+1}$至多有有穷多个零点.

(4) 如果 $w$在 $S_{j}$和 $S_{j-1}$以指数增长趋于无穷, 则对任意给定的 $\varepsilon>0$, $w$在 $\overline{S}(\theta_j-\varepsilon, \theta_j+\varepsilon)= \{z: \theta_j-\varepsilon\leq\arg z \leq\theta_j+\varepsilon\}$内有无穷多个零点.进一步有, 当 $r\rightarrow\infty$,

$ n(\overline{S}(\theta_j-\varepsilon, \theta_j+\varepsilon; r), 0, w)=(1+o(1))\frac{2\sqrt{|a_n|}}{\pi(n+2)}r^{\frac{n+2}{2}}, $

其中 $n(\overline{S}(\theta_{j}-\varepsilon, \theta_{j}+\varepsilon; r), 0, w)$代表 $w$在角域 $\overline{S}(\theta_{j}-\varepsilon, \theta_{j}+\varepsilon; r)$里零点的个数, 零点按重数计算.

引理2.4^[27]  设 $f$是级为 $\rho(<\infty)$的整函数, 对每一个 $r>0$, 令 $M(r, f)=f(re^{i\theta_{r}})$.对给定的 $\zeta>0$和 $0<C(\rho, \zeta)<1$, 则存在一个常数 $l_{0}\in (0, \frac{1}{2})$和一个集合 $E_{\zeta}$, $\underline{\operatorname{\log dens}}(E_{\zeta})>1-\zeta$, 使得对所有充分大的 $r\in E_{\zeta}$及所有满足 $|\theta-\theta_{r}|\leq l_{0}$的 $\theta$,

$ e^{-5\pi}M(r, f)^{1-C(\rho, \zeta)}\leq |f(re^{i\theta})|. $

在文献[32, 定理3], Gundersen证明了下面的结果.

引理2.5  设 $A(z)$和 $B(z)(\not\equiv 0)$是两个整函数, 对实数 $\alpha, \beta, \theta_{1}, \theta_{2}$, 其中 $\alpha>0$, $\beta>0$及 $\theta_{1}<\theta_{2}$, 当 $z\rightarrow \infty$, $z\in\overline{S}(\theta_{1}, \theta_{2})= \{z: \theta_{1}\leq \arg z\leq\theta_{2}\}$, 有

$ |A(z)|\geq \exp\{(1+o(1))\alpha|z|^{\beta}\} $

和

$ |B(z)|\leq \exp\{o(1)|z|^{\beta}\}. $

对任意给定的 $\varepsilon>0$, 令 $\overline{S}(\theta_{1}+\varepsilon, \theta_{2}-\varepsilon)= \{z: \theta_{1}+\varepsilon\leq \arg z\leq\theta_{2}-\varepsilon\}$.如果 $f$是方程(1.2) 的级为 $\rho(f)(<\infty)$的非平凡解.则下列结论成立.

(1) 存在一个常数 $b(\neq 0)$使得当 $z\rightarrow \infty$, $z\in\overline{S}(\theta_{1}+\varepsilon, \theta_{2}-\varepsilon)$, $f(z)\rightarrow b$.进一步有当 $z\rightarrow \infty$, $z\in\overline{S}(\theta_{1}+\varepsilon, \theta_{2}-\varepsilon)$,

$ |f(z)-b|\leq \exp\{-(1+o(1))\alpha|z|^{\beta}\}. $

(2) 对每一个 $k > 1$, 当 $z\rightarrow \infty$, $z\in\overline{S}(\theta_{1}+\varepsilon, \theta_{2}-\varepsilon)$, 有

$ \begin{align*} |f^{(k)}(z)|\leq \exp\{-(1+o(1))\alpha|z|^{\beta}\}. \end{align*} $

下面的引理描述了函数 $e^{P(z)}$的性质, 其中 $P(z)$是一个线性多项式.关于这类函数更一般的性质参看文献[33, p. 254].

引理2.6  设 $P(z)=(\alpha+i\beta)z$, 其中 $\alpha, \beta$是两个实数满足 $|\alpha|+|\beta|\neq 0$.假设 $A(z)(\not\equiv 0)$是一个级小于1的亚纯函数.令 $g(z)=A(z)e^{P(z)}$, $\delta(P, \theta)=\alpha\cos\theta-\beta\sin\theta$, 其中 $z=re^{i\theta}$, 则对任意给定的 $\varepsilon>0$, 存在一个集合 $E\subset(1, \infty)$, $\operatorname{m}(E)<\infty$, 使得对任意的 $\theta\in[0, 2\pi)-H$, 有一个实数 $R>0$, 使得对所有满足 $|z|=r>R$及 $r\not\in E$的 $z$, 有

(1) 如果 $\delta(P, \theta)>0$, 则

$ \exp\{(1-\varepsilon)\delta(P, \theta)r\}<|g(re^{i\theta})|<\exp\{(1+\varepsilon)\delta(P, \theta)r\}; $

(2) 如果 $\delta(P, \theta)<0$, 则

$ \exp\{(1+\varepsilon)\delta(P, \theta)r\}<|g(re^{i\theta})|<\exp\{(1-\varepsilon)\delta(P, \theta)r\}, $

其中 $H=\{\theta\in [0, 2\pi): \delta(P, \theta)=0\}$.

定理1的证明  假设方程(1.2) 有一个级为 $\varrho(f)(<\infty)$的非平凡解 $f$, 将看到一个矛盾.对于给定的常数 $c\in (0, \frac{1}{4})$, 定义

$ I_{c}(r)=\{\theta\in [0, 2\pi): \log |A(re^{i\theta})|\leq (1-c)\log M(r, A)\}. $

因为 $A(z)$在 $|z|=r\not\in E$上满足条件(1.1), 其中 $\overline{\operatorname{\log dens}}(E)=0$.所以不难知道存在一个集合 $F_{1}\subset[1, \infty)$, $\underline{\operatorname{\log dens}}(F_{1})=1$, 使得

$ \operatorname{m}(I_{c}(r))\rightarrow 0, \quad r\rightarrow\infty, \quad r\in F_{1}. $

(3.1)

应用引理2.2, 对常数 $M=\frac{3(\mu(A)+\mu(B))}{\mu(A)-\mu(B)}(>3)$, $\beta\in (0, 1)$及 $r>0$, 存在一个常数 $\delta=\delta(M, \beta, \rho(f))>0$及一个集合 $F_{2}\subset[1, \infty)$, $\underline{\operatorname{\log dens}}(F_{2})>1-\frac{3}{M}$, 使得对所有的 $r\in F_{2}$,

$ \operatorname{m}(U_{r})>\delta, $

(3.2)

其中

$ \begin{align*} U_{r}=\left\{\theta\in [0, 2\pi): r\left|\frac{f'(re^{^{i\theta}})}{f(re^{i\theta})}\right|\geq \beta n(r, 0, f)\right\}. \end{align*} $

结合(3.1) 和(3.2) 式, 存在 $\theta_{0}\in U_{r}-I_{c}(r)$, 对充分大的 $r\in F_{1}\cap F_{2}$, 有

$ \begin{align*} r\left|\frac{f'(re^{^{i\theta_{0}}})}{f(re^{i\theta_{0}})}\right|\geq \beta n(r, 0, f). \end{align*} $

使用类似于文献[32, p. 426]的推导, 不难得到方程(1.2) 的任何非平凡解至少存在一个零点.因此对 $\theta_{0}\in U_{r}-I_{c}(r)$, 及充分大的 $r\in F_{1}\cap F_{2}$, 有

$ r\left|\frac{f'(re^{^{i\theta_{0}}})}{f(re^{i\theta_{0}})}\right|\geq \beta. $

(3.3)

根据函数下级的定义, 对任意给定的 $\varepsilon\in \left(0, \min\{\frac{\mu(A)-\mu(B)}{2}, \frac{\mu(B)(\mu(A)-\mu(B))}{(2+\mu(A))(\mu(A)+\mu(B))}\}\right)$, 存在常数 $r_{0}>1$, 使得对所有的 $r>r_{0}$,

$ \log M(r, A)>r^{\mu(A)-\frac{\varepsilon}{2}}. $

于是对 $\theta_{0}\in U_{r}-I_{c}(r)$, $r\in F_{1}\cap \{r: r\geq r_{0}\}$,

$ \log|A(re^{i\theta_{0}})|>(1-c)\log M(r, A)>(1-c)r^{\mu(A)-\frac{\varepsilon}{2}}. $

(3.4)

对于 $B(z)$, 存在一个无穷序列 $(r_{n})$, 当 $n\rightarrow\infty$, $r_{n}\rightarrow\infty$, 使得

$ \log M(r_{n}, B)<r_{n}^{\mu(B)+\varepsilon}. $

令 $F_{3}=\displaystyle\bigcup_{n}[r_{n}^{\frac{\mu(B)+\varepsilon}{\mu(A)-\varepsilon}}, r_{n}]$, 则 $\overline{\operatorname{\log dens}}(F_{3})\geq \frac{\mu(A)-\mu(B)-2\varepsilon}{\mu(A)-\varepsilon}$.对所有 $r\in [r_{n}^{\frac{\mu(B)+\varepsilon}{\mu(A)-\varepsilon}}, r_{n}]$, 有

$ \log M(r, B)\leq \log M(r_{n}, B)<r_{n}^{\mu(B)+\varepsilon}=\left(r_{n}^{\frac{\mu(B)+\varepsilon}{\mu(A)-\varepsilon}}\right)^{\mu(A)-\varepsilon}<r^{\mu(A)-\varepsilon}. $

(3.5)

应用引理2.1, 存在一个集合 $F_{4}\in (1, \infty)$, $\operatorname{m_{l}}(F_{4})<\infty$, 使得对所有满足 $|z|=r\not\in (F_{4}\cup [0, 1])$的 $z$, 有

$ \left|\frac{f''(z)}{f(z)}\right|\leq|z|^{2\rho(f)}. $

(3.6)

令 $F=F_{1}\cap \{r: r\geq r_{0}\}\cap F_{2}\cap F_{3}$.通过计算知

$ \overline{\operatorname{\log dens}}(F)\geq \frac{\mu(A)-\mu(B)-2\varepsilon}{\mu(A)-\varepsilon}-\frac{3}{M}\geq \varepsilon>0. $

所以在集合 $F-(F_{4}\cup [0, 1])$中存在一个无穷数列 $(t_{j})$, 当 $j\rightarrow\infty$, $t_{j}\rightarrow\infty$, 使得(3.3)-(3.6) 式成立.于是结合方程(1.2), 有

$ \begin{align*} |A(t_{j}e^{i\theta_{0}})|\left|\frac{f'(t_{j}e^{i\theta_{0}})}{f(t_{j}e^{i\theta_{0}})}\right|\leq|B(t_{j}e^{i\theta_{0}})|+\left|\frac{f''(t_{j}e^{i\theta_{0}})}{f(t_{j}e^{i\theta_{0}})}\right|, \end{align*} $

从而有

$ \begin{align*} \exp\{(1-c)t_{j}^{\mu(A)-\frac{\varepsilon}{2}}\}\frac{\beta}{t_{j}}\leq\exp(t_{j}^{\mu(A)-\varepsilon})+t_{j}^{2\rho(f)}. \end{align*} $

显然对充分大的 $j$, 这是一个矛盾, 所以定理得证.

定理2的证明  如果 $\rho(A)<\rho(B)$, 则定理的结论已被Gundersen证明文献[32, 定理2].因此假定 $\rho(A)>\rho(B)$.假设方程(1.2) 有一个级为 $\rho(f)(<\infty)$的非平凡解 $f$, 将得到一个矛盾.由定理条件知 $A(z)$是方程(1.3) 的一个非平凡解, 其中 $P(z)=a_{n}z^{n}+\cdots+a_{1}z+a_{0}$, $a_{n}\neq 0$.令 $\theta_j=\frac{2j\pi-\arg(a_n)}{n+2}$及 $S_j=\{z:\theta_j<\arg z <\theta_{j+1}\}$ $(j=0, 1, 2, \cdots, n+1)$, 其中 $\theta_{n+2}=\theta_{0}+2\pi$.依据引理2.3分两种情形证明.

(1) 假设 $A(z)$在所有的 $S_j$ $(j=0, 1, \cdots, n+1)$里都以指数增长趋于无穷, 即对任意的 $\theta\in(\theta_{j}, \theta_{j+1})$, 有

$ \begin{align*} \lim\limits_{r\rightarrow\infty}\frac{\log\log|A(re^{i\theta})|}{\log r}=\rho(A)=\frac{n+2}{2}, \end{align*} $

(3.7)

则对任意给定的 $\varepsilon\in (0, \frac{\pi}{2\rho(A)})$和 $\eta\in (0, \frac{\rho(A)-\rho(B)}{4})$, 当 $z\rightarrow \infty$, $z\in S_{j}(\varepsilon)=\{z:\theta_j+\varepsilon<\arg z <\theta_{j+1}-\varepsilon\}$ $(j=0, 1, \cdots, n+1)$, 有

$ \begin{align*} |A(z)|\geq \exp\{(1+o(1))\alpha|z|^{\frac{n+2}{2}-\eta}\} \end{align*} $

(3.8)

和

$ \begin{align*} |B(z)|\leq \exp(|z|^{\rho(B)+\eta})\leq \exp(|z|^{\rho(A)-2\eta})\leq\exp\{o(1)|z|^{\frac{n+2}{2}-\eta}\}, \end{align*} $

(3.9)

其中 $\alpha$是一个依赖于 $\varepsilon$的正常数.结合(3.8), (3.9) 式和引理2.5, 存在一个相应的常数 $b_{j}\neq 0$, 使得当 $z\rightarrow \infty$, $z\in S_{j}(\varepsilon)$ $(j=0, 1, \cdots, n+1)$,

$ \begin{align*} |f(z)-b_{j}|\leq\exp\{-(1+o(1))\alpha|z|^{\frac{n+2}{2}-\eta}\}. \end{align*} $

(3.10)

所以利用Phragmén-Lindelöf原理, $f$在全平面上有界, 从而由Liouville定理知 $f$是一个非零常数.这与方程(1.2) 没有任何非零常数解矛盾.所以方程(1.2) 的所有非平凡解都是无穷级.

(2) 假设在 $n+2$个角域 $S_{j}$ $(0\leq j_{0}\leq n+1)$里至少存在一个角域使得 $A(z)$以指数增长趋于零, 不妨假设是 $S_{j_{0}}=\{z: \theta_{j_{0}}<\arg z<\theta_{j_{0}+1}\}$ $(0\leq j_{0}\leq n+1)$.这就意味着对任意的 $\theta\in (\theta_{j_{0}}, \theta_{j_{0}+1})$, 有

$ \begin{align*} \lim\limits_{r\rightarrow\infty}\frac{\log\log\frac{1}{|A(re^{i\theta})|}}{\log r}=\frac{n+2}{2}. \end{align*} $

(3.11)

对给定的 $0<d<\frac{1}{4}$, 定义

$ \begin{align*} I_{d}(r)=\left\{\theta\in [0, 2\pi): \log|B(re^{i\theta})|\leq(1-d)\log M(r, B)\right\}. \end{align*} $

因为在集合 $E$上 $B(z)$满足条件(1.4), 令 $\zeta=\overline{\operatorname{\log dens}}(E)>0$.所以不难看到当 $r\rightarrow\infty$且 $r\in E$, 有 $\operatorname{m}(I_{d}(r))\rightarrow 0$.利用引理2.1和引理2.4, 可以挑选一个无穷点列 $z_{n}=r_{n}e^{i\theta_{0}}$, 当 $n\rightarrow\infty$, $z_{n}\rightarrow\infty$, 且 $\theta_{0}\in(\theta_{j_{0}}, \theta_{j_{0}+1})-I_{d}(r)$, 使得 $z_{n}$满足(2.1), (3.11) 式和

$ (1-2d)\log M(r_{n}, B)<\log |B(r_{n}e^{i\theta_{0}})|. $

结合上式与(1.2), (2.1), (3.11) 式, 有

$ M(r_{n}, B)^{1-2d}\leq r_{n}^{2\rho(f)}(1+|A(r_{n}e^{i\theta_{0}})|)\leq r_{n}^{2(\rho(f)+\varepsilon)}, $

因此 $ M(r_{n}, B)\leq r_{n}^{4(\rho(f)+\varepsilon)}. $这与 $B(z)$是超越整函数矛盾, 所以方程(1.2) 的所有非平凡解都是无穷级.

定理3的证明  假设方程(1.6) 有一个级为 $\rho(f)(<\infty)$的非平凡解 $f$, 将看到一个矛盾.对给定的 $0<l<1$, 定义

$ \begin{align*} I_{l}(r)=\left\{\theta\in [0, 2\pi): \log|Q(re^{i\theta})|\leq(1-l)\log M(r, Q)\right\}. \end{align*} $

因为在 $r\not\in E$上 $Q(z)$对所有的 $\alpha\in (\frac{1}{2}, 1)$满足条件(1.7), 其中 $\overline{\operatorname{\log dens}}(E)=0$.所以不难看到对任意给定的 $\varepsilon>0$, 当 $r\rightarrow\infty$且 $r\not\in E$, 有 $\operatorname{m}(I_{l}(r))<\frac{(1-\alpha+\varepsilon)}{l}2\pi$.因此对 $l\in (0, 1)$充分接近1, 则存在一个集合 $F_{1}\subset[1, \infty)$, $\underline{\operatorname{\log dens}}(F_{1})=1$, 使得 $\operatorname{m}(I_{l}(r))<\pi, \quad r\in F_{1}.$结合引理2.1, 存在一个无穷点列 $z_{n}=r_{n}e^{i\theta_{0}}$, 当 $n\rightarrow\infty$, $z_{n}\rightarrow\infty$且 $\theta_{0}\not\in I_{l}(r)$, 使得(2.1) 式和

$ (1-l)\log M(r_{n}, Q)<\log |Q(r_{n}e^{i\theta_{0}})| $

(3.12)

成立, 同时 $\delta(-z, \theta_{0})<0$, 利用引理2.6,

$ \exp\{(1+\varepsilon)\delta(-z, \theta_{0})r_{n}\}<|h(r_{n}e^{i\theta_{0}})e^{-r_{n}e^{i\theta_{0}}}|<\exp\{(1-\varepsilon)\delta(-z, \theta_{0})r_{n}\}. $

(3.13)

结合(1.6), (2.1), (3.12) 和(3.13) 式, 对充分大的 $n$, 有

$ M(r_{n}, Q)^{1-l}\leq r_{n}^{2\rho(f)}(1+|h(r_{n}e^{i\theta_{0}})e^{-r_{n}e^{i\theta_{0}}}|)\leq r_{n}^{2(\rho(f)+\varepsilon)}. $

因此对充分大的 $n$, 有

$ (1-l)\log M(r_{n}, Q)\leq 2(\rho(f)+\varepsilon)\log r_{n}. $

这与 $Q(z)$是超越整函数矛盾, 所以方程(1.6) 的所有非平凡解都是无穷级.