考虑非线性四阶离散哈密顿系统

$\Delta^4 u(t-2) +\nabla F(t,u(t))=0,\quad \textrm{$t\in Z,$}$

(1.1)

这里$\Delta u(t)=u(t+1) -u(t)$, $\Delta^2u(t)=\Delta(\Delta u(t))$, $F:Z× R^N\rightarrow R$, $F(t,x)$ $\forall t\in Z$关于$x$是连续可微的, 并且$\forall x\in R^N$关于$t$是$T$周期的, 其中$T$是正整数, $Z$是整数集, $\nabla F(t,x)$表示$F(t,x)$在$x$的梯度.

哈密顿系统的动力学性质的研究是非线性科学领域中的重要课题之一.哈密顿系统周期解的研究被认为是研究动力学系统的动力学性质的第一步, 因此研究哈密顿系统周期解的存在性和多重性问题, 对揭示复杂事物的本质具有重要的理论意义和应用价值.对于二阶离散哈密顿系统, 已经有许多学者利用临界点理论中的方法来研究其周期解的存在性^{[1-7, 13]}.早在1980年, Rabinowitz在文献[10]中借助于临界点理论, 首次给出了一个次二次条件, 即存在常数$M_1>0$, $0＜\mu＜2$使得$\forall |x|\geqslant M_1$, $\forall t\in [0,T]$, 有

$0＜(x,\nabla F(t,x))\leqslant \mu F(t,x).$

(1.2)

从此以后, 次二次条件不断的被推广和丰富, 并且得到了许多有意义的结果^{[1, 3, 11, 13]}.特别的, 在文献[11]中, 王和肖通过引入一个控制函数, 在更一般的次二次增长条件下考虑了二阶哈密顿系统周期解的存在性问题.

定义1.1 连续函数空间$\mathcal{H}_1$是这样的函数集合: $\forall \theta_1\in \mathcal{H}_1$, 存在常数$M_2>0$, 满足

(ⅰ) $\forall t\in R^+$, 有$\theta_1(t)>0$;

(ⅱ)当$t\rightarrow +\infty$时, 有$\displaystyle\int_{M_2}^t\frac{1}{s\theta_1(s)}\rightarrow+\infty$.

定义1.2 连续函数空间$\mathcal{H}_2$是这样的函数集合: $\forall \theta_2\in \mathcal{H}_2$, 存在常数$M_3>0$, 满足

(ⅰ) $\forall t\in R^+$, 有$\theta_2(t)>0$;

(ⅱ) $0＜\displaystyle\int_{M_3}^{+\infty}\frac{1}{s\theta_2(s)}ds＜+\infty$;

(ⅲ)当$t\rightarrow +\infty$时, 有$\frac{\theta_2(t)}{t^2}\rightarrow 0$.

本文受次二次条件(1.2) 和文献[11, 12]的启发, 通过引入两个新的控制函数, 得到了一些新的可解性条件, 并在此条件下利用临界点理论研究四阶离散哈密顿系统(1.1) 周期解的存在性, 有下面的结论:

定理1.3 假设$F$满足下面的条件:

(F1) 存在正整数$T$, 使得$F(t+T,x)=F(t,x)$, $\forall (t,x)\in Z× R^N$;

(F2) 存在函数$\theta_1(|x|)\in\mathcal{H}_1$以及常数$M_2>0$, 使得$\forall |x|\geqslant M_2$, $ t\in Z[1,T]$, 有

$(x,\nabla F(t,x))\geqslant \left(2-\frac{1}{\theta_1(|x|)}\right)F(t,x),$

其中$\theta_1(|x|)$满足$0＜\frac{1}{\theta_1(|x|)}＜2$;

(F3) 当$|x|\rightarrow +\infty$时, $\sum\limits_{t=1}^{T}\frac{F(t,x)}{\theta_1(|x|)}\rightarrow-\infty$;

(F4) 对所有的$t\in Z[1,T]$, 当$|x|\rightarrow +\infty$时, 有$F(t,x)\leqslant 0$, 则问题(1.1) 至少有一个$T$周期解.

注1.4  (a)令$\inf\limits_{|x|\geqslant M_2}\frac{1}{\theta_1(|x|)}=k$, 其中$k$是常数.由定义1.1可知, $k\geqslant 0$.

(b)定理1.3的结果是新的, 存在函数$F$满足定理1.3中的所有条件.例如, 设$T=6$,

$F(t, x)=g(t)\frac{|x|^2}{\ln(1+|x|^2) }, $

其中$ g(t)=\left\{\begin{array}{l}-\sin\frac{2\pi t}{T},\quad t\in Z[1,3],\\0,\quad\quad\qquad t\in Z[4,6].\\\end{array}\right.$令$\theta_1(|x|)=\frac{1}{\ln(1+|x|^2) }$, 容易验证$F$满足定理1.3中所有条件.

定理1.5 假设$F$满足(F1), (F4) 以及下面的条件:

(F2) *存在函数$\theta_2(|x|)\in\mathcal{H}_2$以及常数$M_3>0$, 使得$\forall |x|\geqslant M_3$, $ t\in Z[1,T]$, 有

$(x,\nabla F(t,x))\geqslant \left(2-\frac{1}{\theta_2(|x|)}\right)F(t,x);$

(F3) *当$|x|\rightarrow +\infty$时, $\sum\limits_{t=1}^{T}\frac{F(t,x)}{\theta_2(|x|)}\rightarrow-\infty$;

(F5) $\lim\limits_{|x|\rightarrow+\infty}\inf\frac{F(t,x)}{|x|^2}>-\frac{1}{2}λ_1$, 其中$λ_1=2-2\cos \omega$, $\omega=\frac{2\pi}{T}$.

则问题(1.1) 至少有一个$T$周期解.

注1.6  (a)由定义1.2中的(ⅱ)可知当$t\rightarrow+\infty$时, $\theta_2(t)\rightarrow+\infty$.这与注1.4(a)中的控制函数$\theta_1(t)$有本质的不同.

(b)定理1.5的结果也是新的, 并且不同于定理1.3, 存在函数$F$满足定理1.5中的所有条件.例如, 设$T=6$,

$F(t,x)=k(t)\left(|x|^2+|x|^{\frac{3}{2}}\right)+1,$

其中$ k(t)=\left\{\begin{array}{l}λ\sin\frac{2\pi t}{T},\quad t\in Z[1,3],\\0,\quad\qquad t\in Z[4,6],\\\end{array}\right.$并且$-\frac{1}{2}λ_1＜λ＜0$, 令$\theta_2(|x|)=|x|^{\frac{1}{2}}$, 容易验证$F(t,x)$满足定理1.5中的所有条件.

方便起见, 定义$C_i(i=1,2,3,\cdot\cdot\cdot)$为一系列正常数.首先陈述一些基本概念.设空间$H_T$为

$H_T=\{u:Z\rightarrow R^N|u(t+T)=u(t),\forall \in Z\}.$

$\mu,v\in H_T$, 可赋予其内积

$\langle u,v\rangle = \sum\limits_{t = 1}^T {(u(} t),v(t)).$

由此其范数可表示为

$\left\| u \right\| = {\left( {\sum\limits_{t = 1}^T | u(t){|^2}} \right)^{\frac{1}{2}}},\quad \forall \mu \in {H_T},$

这里$(\cdot,\cdot)$和$|\cdot|$分别表示$R^N$中内积和范数.易知$(H_T,\langle\cdot,\cdot\rangle)$是有限维的Hilbert空间, 并且与$R^{NT}$是线性同构的.定义$\|u\|_{\infty}:=\max\limits_{t\in Z[1,T]}|u(t)|$, 对于正整数$T$, 由文献[1], 容易得到

$\|u\|_{\infty}\leqslant \|u\|.$

(2.1)

定义$H_T$上的能量泛函$\varphi$为

$\varphi(u):=\frac{1}{2}\sum\limits_{t=1}^T|\Delta^2 u(t)|^2+\sum\limits_{t=1}^T F(t,u(t)),$

则$\mu,v\in H_T$, 有

$\langle\varphi'(u),v\rangle=\sum\limits_{t=1}^T(\Delta^2 u(t),\Delta^2 v(t))+\sum\limits_{t=1}^T(\nabla F(t,u(t)),v(t)).$

由文献^[12]知道问题$(1.1) $的$T$周期解对应于泛函$\varphi$的临界点.

对于有限维空间$H_T$, 有如下结果.

引理2.1 ^[12]  $H_T$的子空间$N_k$定义为$N_k:=\{u\in H_T|\Delta^4u(t-2) =λ_ku(t)\},$其中$λ_k=2\cos k\omega-8\cos k\omega+6$, $\omega=\frac{2\pi}{T}$, $k\in Z[0,[T/2]]$, $[\cdot]$表示高斯函数, 有

(1) $N_k\bot N_j,k\neq j,k,j\in Z[0,[T/2]]$;

(2) $H_T=\bigoplus\limits_{k=0}^{[T/2]}N_k$.

引理2.2 ^[12] 设$H_k=\bigoplus\limits_{j=0}^{k}N_j$, $H_k^{\bot}=\bigoplus\limits_{j=k+1}^{[T/2]}N_j$, $k\in Z[0,[T/2]-1]$, 则有

$\begin{eqnarray*}&&\sum\limits_{t=1}^{T}|\Delta^2 u(t)|^2\leqslantλ_k\|u\|^2,\quad \forall u\in H_k,\\&&\sum\limits_{t=1}^{T}|\Delta^2 u(t)|^2\geqslantλ_{k+1}\|u\|^2,\quad \forall u\in H_k^{\bot}.\end{eqnarray*}$

定义2.3 ^[8] 设$X$是一个实Banach空间, $\varphi\in C^1(X,R)$, 如果$\{u_n\}\in X$, $\varphi(u_n)$有界, $\varphi'(u_n)\rightarrow0(n\rightarrow+\infty)$蕴含$\{u_n\}$有收敛子列, 则称泛函$\varphi$满足Palais-Smale条件(简称PS条件).

定义2.4 ^[8] 设$X$是一个实Banach空间, $\varphi\in C^1(X,R)$, 如果$\{u_n\}\in X$, $\varphi(u_n)$有界, $||\varphi'(u_n)||(1+||u_n||)\rightarrow0(n\rightarrow+\infty)$蕴含$\{u_n\}$有收敛子列, 则称泛函$\varphi$满足Cerami条件(简称C条件).

引理2.5 ^[8]  (鞍点定理)设$X$是一个Banach空间, $\varphi\in C^1(X,R),X=X^+\oplus X^-$, 及$\dim X^-＜+\infty$, 且$\inf\limits_{X^+}\varphi>\sup\limits_{S_R^-}\varphi,$这里$S_R^-=\{u\in X^- : |u|=R\}$.令

$\begin{eqnarray*}&&B_R^-=\{u\in X^- : |u|\leqslant R\};\\&&M=\{g\in C(B_R^-,X) : g(s)=s,s\in S_R^-\};\\&&c=\inf_{g\in M}\max_{s\in B_R^-}\varphi(g(s)).\end{eqnarray*}$

则当$\varphi$满足(PS)条件时, $c$是$\varphi$的临界值.

注2.6 文献[9]表明, 鞍点定理在更弱的(C)条件下依然成立.

引理2.7 假设$F(t,x)$满足(F1) 和(F2), $\forall x\in R^N$和所有的$t\in Z[1,T]$, 有

$F(t,x)\geqslant -\frac{C_1}{M_2^2}|x|^2G(|x|)-C_2,$

这里

$G(|x|)=\exp\bigg(-\int_{M_2}^{|x|}\frac{1}{t\theta_1(t)}dt\bigg).$

证 令$f(s)=F(t,sx)$, $\forall s\geqslant\frac{M_2}{|x|}$, 根据(F2), 有

$\begin{align*}f'(s)&=\frac{1}{s}(\nabla F(t,sx),sx)\geqslant \frac{1}{s}\bigg(2-\frac{1}{\theta_1(s|x|)}\bigg)F(t,sx)\\&=\frac{1}{s}\bigg(2-\frac{1}{\theta_1(s|x|)}\bigg)f(s).\end{align*}$

设

$g(s)=f'(s)-\frac{1}{s}\bigg(2-\frac{1}{\theta_1(s|x|)}\bigg)f(s),$

(2.2)

则$g(s)\geqslant 0$.解上述一阶线性常微分方程(2.2), 有

$f(s)=\bigg(\int_{\frac{M_2}{|x|}}^{s}\frac{g(r)}{r^2G(r|x|)}dr+C^*\bigg)s^2G(s|x|),$

这里$C^*=\frac{f\big(\frac{M_2}{|x|}\big)|x|^2}{M_2^2}$.注意到$g(s)$是非负的, 可知

$f(s)\geqslant\frac{f\big(\frac{M_2}{|x|}\big)|x|^2}{M_2^2}s^2G(s|x|),\quad\forall s\geqslant\frac{M_2}{|x|}.$

因此

$F(t,x)=f(1) \geqslant\frac{F\left(t,\frac{M_2}{|x|}\right)}{M_2^2}|x|^2G(|x|),\quad\forall |x|\geqslant M_2.$

(2.3)

进一步, 根据(F1), 对所有的$t\in Z[1,T]$, 有

$\left|F\left(t,\frac{M_2x}{|x|}\right)\right|\leqslant C_1.$

(2.4)

因此由(2.3), (2.4) 式以及(F1), 得到$\forall x\in R^N$和所有的$t\in Z[1,T]$, 有

$F(t,x)\geqslant -\frac{C_1}{M_2^2}|x|^2G(|x|)-C_2.$

注2.8 根据$\theta_1$的性质, 当$|x|\rightarrow+\infty$时, 有$G(|x|)\rightarrow 0$, 并且由$\frac{1}{\theta_1}$的范围以及$(t^2G(t))'=tG(t)\big(2-\frac{1}{\theta_1(t)}\big)>0$可知, 函数$t^2G(t)$关于$t$是递增的.

定理1.3的证明 首先证明$\varphi$满足(C)条件.假设$\{u_n\}$是$\varphi$的(C)序列, 即$\varphi(u_n)$有界, 并且当$n\rightarrow+\infty$时, 有$\|\varphi'(u_n)\|(1+\|u_n\|)\rightarrow 0$, 因此$\forall n\in N$, 存在常数$L>0$使得

$|\varphi(u_n)|\leqslant L,\quad\|\varphi'(u_n)\|(1+\|u_n\|)\leqslant L.$

(3.1)

由(F1) 和(F2) 可知$\forall x\in R^N,t\in Z[1,T]$, 有

$C_3+(\nabla F(t,x),x)\geqslant\left(2-\frac{1}{\theta_1(|x|)}\right) F(t,x).$

(3.2)

利用(3.1) 和(3.2) 式, $\forall n\in N$, 有

$\begin{align}\nonumber3L&\geqslant \|\varphi'(u_n)\|(1+\|u_n\|)-2\varphi(u_n)\geqslant\langle\varphi'(u_n),u_n\rangle-2 \varphi(u_n)\\\nonumber&=\sum\limits_{t=1}^T[(\nabla F(t,u_n(t)),u_n(t))-2F(t,u_n(t))]\geqslant-\sum\limits_{t=1}^T\frac{F(t,u_n)}{\theta_1(|u_n|)}-C_3T.\end{align}$

因此结合(3.3) 式, $\forall n\in N$, 可得

$\sum\limits_{t=1}^T\frac{F(t,u_n)}{\theta_1(|u_n|)}\geqslant -C_4.$

(3.3)

因为$H_T$是有限维的, 只需证明$\{u_n\}$有界即可.否则, 不妨设当$n\rightarrow+\infty$时, 有$\|u_n\|\rightarrow+\infty$.令$v_n=\frac{u_n}{\|u_n\|}$, 则$\|v_n\|=1$, 即$\{v_n\}$有界, 则存在收敛子列, 仍记为$\{v_n\}$, 使得在$H_T$上, $v_n\rightarrow v_0$.令$v_n=\bar{v}_n+\tilde{v}_n$, 其中$\tilde{v}_n=\frac{1}{T}\sum\limits_{t=1}^T v_n(t)$, 所以$\forall n\in N$, 有$\bar{v}_n\in H_0$, $\tilde{v}_n\in H_0^{\bot}$.显然, 当$n\rightarrow+\infty$时, 有

$\bar{v}_n\rightarrow \bar{v}_0,$

(3.4)

其中$\bar{v}_0=\frac{1}{T}\sum\limits_{t=1}^T v_0(t)$.由(2.1), 引理2.7和注2.8可知

$\begin{align}\nonumber L&\geqslant\varphi(u_n)=\frac{1}{2}\sum\limits_{t=1}^T|\Delta^2u_n(t)|^2+\sum\limits_{t=1}^T F(t,u_n(t))\\\nonumber &\geqslant\frac{1}{2}\sum\limits_{t=1}^T|\Delta^2u_n(t)|^2-\sum\limits_{t=1}^T\frac{C_1}{M_2^2}|u_n|^2G(|u_n|)-C_2T\\\nonumber&\geqslant \frac{1}{2}\sum\limits_{t=1}^T|\Delta^2 u_n(t)|^2-C_5\|u_n\|_{\infty}^2G(\|u_n\|_{\infty})-C_6\\&\geqslant \frac{1}{2}\sum\limits_{t=1}^T|\Delta^2u_n(t)|^2-C_5\|u_n\|^2G(\|u_n\|)-C_6.\end{align}$

(3.5)

将(3.6) 式两边同除$\|u_n\|^2$, 则注2.8可知当$n\rightarrow+\infty$时, $\|\Delta^2 v_n\|\rightarrow 0$.由引理2.2, 对所有的$n\in N$, 有$λ_1\|\tilde{v}_n\|^2\leqslant \|\Delta^2\tilde{v}_n\|^2=\|\Delta^2 v_n\|^2$, 结合(3.5) 式, 当$n\rightarrow+\infty$时, 有$v_n\rightarrow \bar{v}_0$.从而$v_0=\bar{v}_0,\quad T|\bar{v}_0|^2=\|\bar{v}_0\|^2=1,$所以当$n\rightarrow+\infty$时, $|u_n(t)|\rightarrow+\infty$.利用(F3) 得到

$\lim\limits_{|u_n(t)|\rightarrow+\infty}\sum\limits_{t=1}^T\frac{F(t,u_n(t))}{\theta_1(|u_n(t)|)}\rightarrow-\infty.$

这与(3.4) 式矛盾.因此$\{u_n\}$是有界的, 则$\varphi$满足条件(C).

下面证明$\varphi$满足引理2.5的几何条件.根据引理2.5, 只需证明

$(\varphi 1) $在$H_0^{\bot}$上, 当$\|u\|\rightarrow+\infty$时, 有$\varphi(u)\rightarrow+\infty$;

$(\varphi 2) $在$H_0$上, 当$\|u\|\rightarrow +\infty$时, 有$\varphi(u)\rightarrow-\infty$.

对$u\in H_0^{\bot}$, 根据(2.1) 式, 引理2.2, 引理2.7以及注2.8, 有

$\begin{align}\nonumber\varphi(u)&=\frac{1}{2}\sum\limits_{t=1}^T|\Delta^2u(t)|^2+\sum\limits_{t=1}^T F(t,u(t))\\\nonumber &\geqslant\frac{1}{2}\sum\limits_{t=1}^T|\Delta^2u_n(t)|^2-\sum\limits_{t=1}^T\frac{C_1}{M_2^2}|u_n|^2G(|u_n|)-C_2T\\\nonumber&\geqslant \frac{1}{2}\sum\limits_{t=1}^T|\Delta^2u_n(t)|^2-C_5\|u_n\|_{\infty}^2G(\|u_n\|_{\infty})-C_6\\\nonumber&\geqslant \frac{1}{2}\sum\limits_{t=1}^T|\Delta^2 u_n(t)|^2-C_5\|u_n\|^2G(\|u_n\|)-C_6\\&\geqslant\left[\frac{1}{2}λ_1-C_5G(\|u_n\|)\right]\|u_n\|^2-C_6.\end{align}$

(3.6)

因此$\forall u\in H_0^{\bot}$, 由(3.7) 式和注2.8以及$λ_1>0$, 有, 当$\|u\|\rightarrow+\infty$时, $\varphi(u)\rightarrow+\infty$, 即$(\varphi 1) $成立.

另一方面, 对$u\in H_0$, 因为$0＜\frac{1}{\theta_1(|x|)}＜2$, 由(F3), (F4), 当$|u|\rightarrow+\infty$时, 有

$\begin{align*}\varphi(u)&=\sum\limits_{t=1}^T F(t,u(t))\leqslant\frac{1}{2}\sum\limits_{t=1}^T\frac{F(t,u(t))}{\theta_1(|u(t)|)}\rightarrow -\infty.\end{align*}$

这表明$(\varphi 2) $成立.根据引理2.5, 得到问题(1.1) 至少有一个$T$周期解.

定理1.5的证明 类似定理1.3的证明, 容易得到, $\forall n\in N$, 有

$\sum\limits_{t=1}^T\frac{F(t,u_n)}{\theta(|u_n|)}\geqslant -C_7.$

(3.7)

由定义1.2中的(ⅲ)以及(2.1) 式可知$\forall \varepsilon>0$, 存在常数$M_4>M_3>0$, 使得$\forall |u_n|\geqslant M_4$, 有

$\theta(|u_n|)\leqslant \varepsilon|u_n|^2\leqslant\varepsilon\|u_n\|_{\infty}^2\leqslant\varepsilon\|u_n\|^2.$

(3.8)

由(F4) 可知存在常数$M_5>M_4>0$, 使得$\forall |u_n|\geqslant M_5$, 有$F(t,u_n)\leqslant 0$.令$\Omega_{1n}=\{t\in Z[1,T]:|u_n|\geqslant M_5\}$, $\Omega_{2n}=\{t\in Z[1,T]:|u_n|\leqslant M_5\}$, $m=\min\limits_{|s|\leqslant M_5}\theta_2(|s|)$.根据(3.8) 和(3.9) 式有

$\begin{align*}-C_7&\leqslant \sum\limits_{t=1}^{T}\frac{F(t,u_n)}{\theta_2(|u_n|)}=\sum\limits_{t\in \Omega_{1n}} \frac{F(t,u_n)}{\theta_2(|u_n|)}+\sum\limits_{t\in \Omega_{2n}} \frac{F(t,u_n)}{\theta_2(|u_n|)}\\&\leqslant\sum\limits_{t\in\Omega_{1n}}\frac{F(t,u_n)}{\varepsilon\|u_n\|^2}+\sum\limits_{t\in\Omega_{2n}}\frac{C_8}{m},\end{align*}$

则有

$\sum\limits_{t\in \Omega_{1n}}F(t,u_n)\geqslant-C_9\varepsilon\|u_n\|^2,$

那么结合(F1), 有

$\sum\limits_{t=1}^TF(t,u_n)\geqslant-C_9\varepsilon\|u_n\|^2-C_{10},$

(3.9)

由(3.1) 和(3.10) 式可知

$\begin{align*}L&\geqslant \varphi(u_n)=\frac{1}{2}\sum\limits_{t=1}^T|\Delta^2 u_n(t)|^2+\sum\limits_{t=1}^T F(t,u_n(t))\\&\geqslant \frac{1}{2}\sum\limits_{t=1}^T|\Delta u_n(t)|^2-C_9\varepsilon\|u_n\|^2-C_{10}.\end{align*}$

假设当$n\rightarrow+\infty$时, $\|u_n\|\rightarrow +\infty$.类似定理1.3的证明, 容易得到, 当$n\rightarrow+\infty$时, $|u_n(t)|\rightarrow+\infty$.因此由(F3) *有

$\lim\limits_{|u_n(t)|\rightarrow+\infty}\sum\limits_{t=1}^T\frac{F(t,u_n(t))}{\theta_2(|u_n(t)|)}\rightarrow-\infty.$

这与(3.8) 式矛盾.因此, $\{u_n\}$是有界的, 则$\varphi$满足条件(C).

令$\epsilon=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}λ_1+\lim\limits_{|x|\rightarrow+\infty}\inf\frac{F(t,x)}{|x|^2}\right)$, 由(F5) 可知$\epsilon>0$, 并且存在常数$M_6>0$, 使得$\forall |x|\geqslant M_6$, 有

$F(t,x)\geqslant\left(\epsilon-\frac{1}{2}λ_1\right)|x|^2.$

进一步, 根据(F1), $\forall |x|\leqslant M_6$和所有的$t\in Z[1,T]$, 有

$F(t,x)\geqslant -C_{11}.$

(3.10)

因此结合(3.11), (3.12) 式和(F1), 得到$\forall x\in R^N$和所有的$t\in Z[1,T]$, 有

$F(t,x)\geqslant\left(\epsilon-\frac{1}{2}λ_1\right)|x|^2-C_{11}.$

(3.11)

对$u\in H_0^{\bot}$, 当$\|u\|\rightarrow+\infty$时, 根据(3.13) 式以及引理2.2, 有

$\begin{align}\nonumber\varphi(u)&=\frac{1}{2}\sum\limits_{t=1}^T|\Delta^2u(t)|^2+\sum\limits_{t=1}^T F(t,u(t))\\\nonumber &\geqslant\frac{1}{2}λ_1\|u\|^2+\sum\limits_{t=1}^T\left[\left(\epsilon-\frac{1}{2}λ_1\right)|u|^2-C_{11}\right]\\\nonumber&\geqslant \frac{1}{2}λ_1\|u\|^2+\left(\epsilon-\frac{1}{2}λ_1\right)\|u\|^2-C_{12}\\&\geqslant \epsilon\|u\|^2-C_{12}.\end{align}$

(3.13)

因此$\forall u\in H_0^{\bot}$, 由(3.14) 式和$\epsilon>0$, 有当$\|u\|\rightarrow+\infty$时, $\varphi(u)\rightarrow+\infty$, 即$(\varphi 1) $成立.

另一方面, 对$u\in H_0$, 根据(F3) *, (F4) 以及注1.6中的$(a)$, 当$|u|\rightarrow+\infty$时, 有

$\begin{align*}\varphi(u)&=\sum\limits_{t=1}^T F(t,u(t))=\theta_2(|u(t)|)\sum\limits_{t=1}^T\frac{F(t,u(t))}{\theta_2(|u(t)|)}\rightarrow -\infty.\end{align*}$

这表明$(\varphi 2) $成立.根据引理2.5, 得到问题(1.1) 至少有一个$T$周期解.