假设 $X, Y_{1}, Y_{2}$和 $Z$是实局部凸Hausdorff拓扑向量空间, $D$和 $K$分别是 $X$和 $Z$的非空子集.设 $C_{1}, C_{2}$分别是 $Y_{1}, Y_{2}$中顶点在原点的非空闭凸锥, $C_{i}~(i=1, 2)$分别定义了 $Y_{i}~(i=1, 2)$上的偏序 $z_i^1 \le \mathit{z}_i^2$当且仅当 $z^{2}_{i}-z^{1}_{i}\in C_{i}~(i=1, 2)$.设 $S:D\times K \rightarrow 2^{D}, P:D\times K \rightarrow 2^{K}, F_{1}:D\times K \times D \rightarrow 2^{Y_{1}}, F_{2}:D\times K\times K \rightarrow 2^{Y_{2}}$是四个非空集值映射.本文考虑如下形式的集值广义强向量拟均衡问题组(简称SSGSVQEP):找到 $(\bar{x}, \bar{y})\in D\times K$使得 $\bar{x}\in S(\bar{x}, \bar{y}), \bar{y}\in P(\bar{x}, \bar{y})$且满足

$ \begin{aligned} \left\{ \begin{aligned} F_{1}(\bar{x}, \bar{y}, x)&\subset C_{1}, \ \ \forall \, x\in S(\bar{x}, \bar{y}), \\ F_{2}(\bar{x}, \bar{y}, y)&\subset C_{2}, \ \ \forall \, y\in P(\bar{x}, \bar{y}). \end{aligned} \right. \end{aligned} $

如果 $F_{2}=0, S:D\rightarrow 2^{D}, P:D\rightarrow 2^{K}$, 则(SSGSVQEP)减化为集值广义强向量拟均衡问题(简称SGSVQEP):找 $(\bar{x}, \bar{y})\in D\times K$使得 $\bar{x}\in S(\bar{x}), \bar{y}\in P(\bar{x})$且

$ F_{1}(\bar{x}, \bar{y}, x)\subset C_{1}, \, \forall \, x\in \, S(\bar{x}). $

如果 $F_{1}$是单值映射, 则(SGSVQEP)减化为广义强向量拟均衡问题(简称GSVQEP):找 $(\bar{x}, \bar{y})\in D\times K$使得 $\bar x \in S(\bar x), \bar y \in \mathit{P}(\bar x)$且 $F_{1}(\bar{x}, \bar{y}, x)\geq 0, \, \forall \, x\in \, S(\bar{x})$.该问题分别在文献[1, 2]中被研究.文献[1]的作者在不要求锥 $C$的对偶锥 $C^{*}$具有弱 $^{*}$紧基, 即等价于不要求 $\textrm{int}\, C\neq \emptyset$的情况下, 利用不同于文献[2]的假设条件和证明方法, 得到了(GSVQEP)解的存在性和Hadamard适定性结果.另外, 文献[3]的作者在 $\textrm{int}\, C\neq \emptyset$的情况下, 利用在锥度量空间中给出的Ekeland变分原理, 得到了向量均衡问题解的存在性定理.本文将文献[1, 2]所考虑的问题(GSVQEP)推广到了集值广义强向量拟均衡问题组(SSGSVQEP).在不要求 $C^{*}$具有弱 $^{*}$紧基的情况下, 利用Kakutani-Fan-Glicksberg不动点定理, 在一定的条件下, 建立了(SSGSVQEP)解的存在性定理, 所得结果推广了该领域的相关结果.

首先回顾一些有关集值映射的基本概念和相关性质.

设 $X$和 $Y$是实局部凸Hausdorff拓扑向量空间, $A$和 $B$分别是 $X$和 $Y$的非空凸子集.称集值映射 $G:A\rightarrow2^{B}$为闭映射当且仅当 $\textrm{graph}(G)=\{ (x, y): x\in A, y\in G(x)\}$是 $A\times B$中的一个闭集; 称集值映射 $G$为紧映射当且仅当 $G(A)$的闭包, 即 $\overline{G(A)}$是紧集, 其中

$ G(A) = \bigcup\limits_{\mathit{x} \in \mathit{A}} {\mathit{G}(\mathit{x}).} $

定义2.1^[4]  设 $X$和 $Z$是实Hausdorff拓扑向量空间, $A\subset X$是非空凸集, $C\subset Z$是锥, 设 $G: A\rightarrow2^{Z}$是集值映射. $G$称为在 $x\in A$处是上(下) $C$ -连续的, 如果对 $Y$中原点的任意邻域 $V$, 存在 $x$的一个领域 $U$, 使得对任意的 $z\in U\bigcap A$, 有

$ G(z)\subset G(x)+V+C(G(x)\subset G(z)+V-C). $

注  (a) $G$称为在 $A$上是上(下) $C$ -连续的, 如果 $G$在 $A$中任一点处是上(下) $C$ -连续的;

(b) $G$称为在 $A$上是 $C$ -连续的, 如果 $G$在 $A$上既是上 $C$ -连续的, 又是下 $C$ -连续的;

(c) 如果 $G$是单值映射, 则定义2.1简化为文献[1]中的定义1及文献[5]中的相关概念.

定义2.2^[6]  设 $X$和 $Y$是实局部凸Hausdorff拓扑向量空间, $A$和 $B$分别是 $X$和 $Y$的非空子集, $G:A\rightarrow2^{B}$是一个集值映射.

(ⅰ) 设 $x\in A$.若对任意的开集 $U\supset G(x)$, 存在 $x$的一个领域 $V$, 使得 $\bigcup\limits_{x\in A} G(x):=G(V)\subset U$, 则称 $G$在 $x\in A$处是上半连续的.若 $G$在 $A$中的每一点处都是上半连续的, 则称 $G$在 $A$上是上半连续的.

(ⅱ) 设 $x\in A$.若对任意的 $y\in G(x)$, $y$的任意邻域 $U$, 存在 $x$的一个邻域 $V$, 使得 $\forall x' \in V$, 有 $G(x')\cap U\neq\emptyset$, 则称 $G$在 $x\in A$处是下半连续的.若 $G$在 $A$中的每一点处都是下半连续的, 则称 $G$在 $A$上是下半连续的.

(ⅲ) 若 $G$在 $A$上既是上半连续的, 又是下半连续的, 则称 $G$在 $A$上是连续的.

引理2.3^[6]  设 $X$和 $Y$是实局部凸Hausdorff拓扑向量空间, $A$和 $B$分别是 $X$和 $Y$的非空子集, $G:A\rightarrow2^{B}$是一个集值映射.

(ⅰ) 若 $G$是上半连续的, 且对任意的 $x\in A$, $G(x)$是一个闭集, 则 $G$是一个闭映射.

(ⅱ) 若 $G$在 $x\in A$处是下半连续的, 当且仅当对任意的 $y\in G(x)$, 对任意的网 $\{ x_{n}\}, x_{n}\rightarrow x$, 存在一个子网 $\{y_{n_{k}}\}$, 使得 $y_{n_{k}}\in G(x_{n_{k}}), y_{n_{k}}\rightarrow y(k\rightarrow \infty).$

为了得到主要结果, 还需下面的定义和引理.

定义2.4  设 $(Z, C)$是一个实局部凸Hausdorff拓扑向量空间, 其上的偏序结构由 $C$诱导, $A$是实局部凸Hausdorff拓扑向量空间 $X$的非空凸子集, $G:A\rightarrow2^{Z}$是一个集值映射.

(ⅰ) 若 $\forall \, x_{1}, x_{2} \in A, \ \ \lambda \in [0, 1]$, 有 $G(\lambda {x_1} + (1 - \lambda ){x_2}) \subset \lambda \mathit{G}({x_1}) + (1 - \lambda )G({x_2}) - C$, 则称 $G$在 $A$上是 $C$ -凸的.

(ⅱ) 若 $\forall \, x_{1}, x_{2} \in A, \ \ \lambda \in [0, 1]$, 有 $G(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})\subset G(x_{1})-C$或 $G(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})\subset G(x_{2})-C$, 则称 $G$在 $A$上是真拟 $C$ -凸的.

(ⅲ) 若 $\forall \, x_{1}, x_{2} \in A, \ \ \lambda \in [0, 1]$, 存在 $\mu \in [0, 1]$使得 $G(\lambda x_{1}+ (1+\lambda)x_{2})\subset [\mu G(x_{1})+(1-\mu)G(x_{2})]-C$, 则称 $G$在 $A$上是自然拟 $C$ -凸的.

注  (a) 定义2.4的(ⅰ)-(ⅲ)把文献[7]中的相应定义推广到了集值映射的情形;

(b) 事实上, 对于单值映射的情形, 每个 $C$ -凸或真拟 $C$-凸映射都是自然拟 $C$ -凸映射, 具体证明可参见文献[7], 集值映射的情形亦然, 证明略.

引理2.5^[6]  设 $X$和 $Y$是实局部凸Hausdorff拓扑向量空间, $A\subset X, B\subset Y$, 且 $A$是紧集, 则集值映射 $G:A\rightarrow 2^{B}$是上半连续的且具有紧值当且仅当 $G$是一个闭映射.

下面给出Kakutani-Fan-Glicksberg不动点定理, 它是证明过程中用到的重要工具.

引理2.6^[8]   $X$是实局部凸Hausdorff向量空间, $A\subset X$是非空紧凸子集.若 $G:A\rightarrow 2^{A}$是上半连续的, 且 $\forall x\in A, G(x)$是非空闭凸子集, 则 $G$在 $A$中有一个不动点.

定理3.1  设 $X, Y_{1}, Y_{2}$和 $Z$是实局部凸Hausdorff拓扑向量空间, $D$和 $K$分别是 $X$和 $Z$的非空紧凸子集, $C_{1}, C_{2}$分别是 $Y_{1}, Y_{2}$中顶点在原点的非空闭凸锥.设 $S:D\times K \rightarrow 2^{D}, P:D\times K \rightarrow 2^{K}, F_{1}:D\times K \times D\rightarrow 2^{Y_{1}}, F_{2}:D\times K \times K \rightarrow2^{Y_{2}}$是四个非空集值映射.假设下列条件满足:

(ⅰ) $\forall {\mkern 1mu} (x, y) \in D \times K, u, v \in {\mkern 1mu} S(x, y), w, q \in {\mkern 1mu} P(x, y), {F_1}(v, y, u) \subset {C_1}, {F_2}(x, w, q) \subset {\mathit{C}_2}$;

(ⅱ) $\forall \, (x, y, u, q) \in \, D\times K \times D\times K, -F_{1}(\cdot, y, u), -F_{2}(x, \cdot, q)$分别是自然拟 $C_{1}$, $C_{2}-$凸的;

(ⅲ) $F_{1}$是下 $(-C_{1})-$连续的, $F_{2}$是下 $(-C_{2})$-连续的;

(ⅳ) 集值映射 $S:D\times K \rightarrow 2^{D}, P:D\times K\rightarrow 2^{K}$连续且具有非空闭凸值.

则(SSGSVQEP)有解, 即存在 $(\bar{x}, \bar{y})\in D\times K$使得 $\bar{x}\in S(\bar{x}, \bar{y}), \bar{y}\in P(\bar{x}, \bar{y})$, 且

$ \begin{aligned} \left\{ \begin{aligned} F_{1}(\bar{x}, \bar{y}, x)&\subset C_{1}, \ \ \forall \, x\in S(\bar{x}, \bar{y}), \\ F_{2}(\bar{x}, \bar{y}, y)&\subset C_{2}, \ \ \forall \, y\in P(\bar{x}, \bar{y}). \end{aligned} \right. \end{aligned} $

证  对任意的 $(x, y)\in D\times K$, 定义集值映射 $A:D \times \mathit{K} \to {2^D}$和 $B:D\times K\rightarrow 2^{K}$如下:

$ \begin{eqnarray*} &&A(x, y)=\{v\in S(x, y): F_{1}(v, y, u)\subset C_{1}, \forall \, u\in S(x, y)\}, \\ && B(x, y)=\{w\in P(x, y): F_{2}(x, w, q)\subset C_{2}, \forall \, q\in P(x, y)\}. \end{eqnarray*} $

如果能证得集值映射 $A\times B:D\times K\rightarrow 2^{D\times K}, (A\times B)(x, y)=(A(x, y), B(x, y)), \forall \, (x, y)\in D\times K$, 有不动点 $(\bar{x}, \bar{y})\in D\times K$, 则 $(\bar{x}, \bar{y})$就是所求问题的解.为此, 把证明分为以下几个步骤.

(a) 首先证明 $\forall(x, y)\in D\times K$, $A(x, y), B(x, y)$分别是 $D$和 $K$中的非空凸子集.

事实上, 因为 $\forall(x, y)\in D\times K$, $S(x, y), P(x, y)$是非空的, 由条件(i)可知 $A(x, y), B(x, y)$是非空的.又对任意的 $v_{1}, v_{2}\in A(x, y), \lambda \in [0, 1]$, 根据 $A(x, y)$的定义可得 $v_{1}, v_{2}\in S(x, y)$且

$ \begin{aligned} \left\{ \begin{aligned} F_{1}(v_{1}, y, u)&\subset C_{1}, \ \ \forall \, u\in S(x, y), \\ F_{1}(v_{2}, y, u)&\subset C_{1}, \ \ \forall \, u\in S(x, y). \end{aligned} \right. \end{aligned} $

(3.1)

因为 $S(x, y)$是凸集, 由 $v_{1}, v_{2}\in S(x, y)$可知 $\lambda {\mathit{v}_1} + (1 - \lambda ){v_2} \in S(x, y)$.又因为 $-F_{1}(\cdot, y, u)$是自然拟 $C_{1}$ -凸的, 所以存在 $\mu \in [0, 1]$, 使得

$ -F_{1}(\lambda v_{1}+(1-\lambda)v_{2}, y, u)\subset \mu (-F_{1}(v_{1}, y, u)+(1-\mu)(-F_{1}(v_{2}, y, u))-C_{1}. $

由式(3.1) 和 $C_{1}$的锥凸性可得

$ \begin{array}{rcl} F_{1}(\lambda v_{1}+(1-\lambda)v_{2}, y, u)&\subset& \mu (F_{1}(v_{1}, y, u)+(1-\mu)F_{1}(v_{2}, y, u)+C_{1} \\ &\subset& C_{1}+C_{1}+C_{1} \subset C_{1}. \end{array} $

从而 $\lambda v_{1}+(1-\lambda)v_{2} \in A(x, y)$, 故 $A(x, y)$是一个凸集.同理可证 $B(x, y)$也是一个凸集.

(b) 下证 $\forall(x, y)\in D\times K$, $A(x, y), B(x, y)$是闭集.

设 $\{v_{n}\}\subset A(x, y), v_{n}\rightarrow \bar{v}(n\rightarrow\infty).$只需证明 $\bar{v}\in A(x, y)$.由 $\{ v_{n}\}\subset A(x, y)$可知 $v_{n}\in S(x, y)$且

$ F_{1}(v_{n}, y, u)\subset C_{1}, \ \ \forall u\in S(x, y). $

(3.2)

因为 $S(x, y)$是一个闭集, 由 $v_{n} \in S(x, y)$和 $v_{n}\rightarrow\bar{v}$可知 $\bar{v}\in S(x, y)$.因此, 下面只需证明 ${F_1}(\bar v, y, u) \subset {C_1}, \forall {\mkern 1mu} u \in \mathit{S}(x, y)$.用反证法, 假设存在 $\bar{u}\in S(x, y)$, 使得 $F_{1}(\bar{v}, y, \bar{u})\nsubseteq C_{1}$, 即存在 $w\in F_{1}(\bar{v}, y, \bar{u})$但 $w\notin C_{1}$.因为 $C_{1}$是一个闭凸锥, 所以存在 $Y_{1}$中原点的一个邻域 $U_{1}$, 使得

$ (w+U_{1})\bigcap (C_{1}+U_{1})=\emptyset. $

(3.3)

因为 $F_{1}(\cdot, y, \bar{u})$是下 $(-C_{1})$ -连续的, 所以对 $Y_{1}$中原点的任一邻域.不妨设为 $U_{1}$, 存在 $\bar{v}$的一个邻域 $V_{1}$使得对任意的 $v\in V_{1}$, 有

$ F_{1}(\bar{v}, y, \bar{u})\subset F_{1}(v, y, \bar{u})+U_{1}+C_{1}. $

又因为 $v_{n}\rightarrow \bar{v}$, 所以存在 ${\mathit{N}_{\rm{0}}} \in \mathit{N}$(自然数集)使得

$ F_{1}(\bar{v}, y, \bar{u})\subset F_{1}(v_{n}, y, \bar{u})+U_{1}+C_{1}, \, \forall \, n\geq n_{0}. $

(3.4)

由式(3.2)、式(3.4) 和 $C_{1}$的锥凸性得

$ \begin{array}{rcl} F_{1}(\overline{v}, y, \overline{u}) &\subset& F_{1}(v_{n}, y, \overline{u})+U_{1}+C_{1} \\ &\subset& C_{1}+U_{1}+C_{1} \\ &=&C_{1}+U_{1}~~(\forall n\geq n_{0}). \end{array} $

从而 $w\in C_{1}+U_{1}$与式(3.3) 矛盾.故 $\forall (x, y) \in D \times \mathit{K}, A(x, y)$是一个闭集, 同理可证 $\forall (x, y)\in D\times K, B(x, y)$, 也是一个闭集.

(c) 下证集值映射 $A, B$是上半连续的.

因为 $A\times B$是紧集, 由引理2.5可知, 只需证明集值映射 $A, B$分别是闭映射即可.先证 $A$是一个闭映射.令 $\{ (x_{n}, y_{n}, v_{n}): n\in N\} \subset \textrm{Graph}(A), (x_{n}, y_{n}, v_{n})\rightarrow (x, y, v)(n\rightarrow \infty).$只需证 $(x, y, v)\in \textrm{Graph} (A)$, 即证 $v\in S(x, y), F_{1}(v, y, u)\subset C_{1}, \forall u\in S(x, y)$.由 $\{ (x_{n}, y_{n}, v_{n}): n\in N\} \subset \textrm{Graph}(A)$可知 $v_{n}\in S(x_{n}, y_{n})$且

$ F_{1}(v_{n}, y_{n}, u)\subset C_{1}, \ \ \forall u\in S(x_{n}, y_{n}). $

(3.5)

由 $v_{n}\in S(x_{n}, y_{n})$可知

$ \{ (x_{n}, y_{n}, v_{n}): n\in N\} \subset \textrm{Graph}(S). $

(3.6)

因为 $S$是上半连续的, $\forall (x, y)\in D\times K, S(x, y)$是闭集, 所以由引理2.3的结论(ⅰ)可知 $S$是一个闭映射.由式(3.6) 和 $(x_{n}, y_{n}, v_{n})\rightarrow (x, y, v)(n\rightarrow \infty)$可得 $(x, y, v)\in \textrm{Graph}(S)$, 即 $v\in S(x, y)$.因此下面只需证明 $F_{1}(v, y, u)\subset C_{1}, \forall u\in S(x, y)$.用反证法, 假设存在 $\bar{u}\in S(x, y)$使得 $F_{1}(v, y, \bar{u})\nsubseteq C_{1}$, 即存在 $w\in F_{1}(v, y, \bar{u})$但 $w\notin C_{1}$.因为 $C_{1}$是一个闭锥, 所以存在 $Y_{1}$中原点的某个邻域 $U_{1}$, 使得

$ (w+U_{1})\bigcap (C_{1}+U_{1})= \emptyset. $

(3.7)

因为 $S$在 $(x, y)$点处是下半连续的, $(x_{x}, y_{n})\rightarrow (x, y)$及 $\bar{u}\in S(x, y)$, 由引理2.3的结论(ⅱ)可知存在网 $\{u_{n}\}$满足 $u_{n}\in S(x_{n}, y_{n})$且 $u_{n}\rightarrow \bar{u}$.由式(3.5) 和 $(v_{n}, y_{n})\rightarrow(v, y)$可得 $(v_{n}, y_{n}, u_{n})\rightarrow (v, y, \bar{u})$, 且

$ F_{1}(v_{n}, y_{n}, u_{n})\subset C_{1}. $

(3.8)

因为 $F_{1}(\cdot, \cdot, \cdot)$是下 $(-C_{1})$ -连续的, 所以对 $Y_{1}$中原点的任意邻域 $U_{1}$, 存在 $(v, y, \bar{u})$的一个邻域 $V_{1}$, 使得对任意的 $(v', y', u')\in V_{1}$, 有 $F_{1}(v, y, \bar{u})\subset F_{1}(v', y', u')+U_{1}+C_{1}$.又因为 $(v_{n}, y_{n}, u_{n})\rightarrow (v, y, \bar{u})$, 所以存在 $n_{0}\in N$, 使得

$ F_{1}(v, y, \bar{u})\subset F_{1}(v_{n}, y_{n}, u_{n})+U_{1}+C_{1}, \, \forall n \geq n_{0}. $

(3.9)

由式(3.8), (3.9) 和 $C_{1}$的锥凸性可得

$ \begin{array}{rcl} F_{1}(v, y, \bar{u}) &\subset& F_{1}(v_{n}, y_{n}, u_{n})+U_{1}+C_{1} \\ &\subset& C_{1}+U_{1}+C_{1} \\ &\subset& C_{1}+U_{1}(n\geq n_{0}). \end{array} $

从而 $w\in F_{1}(v, y, \bar{u})\subset C_{1}+U_{1}$与式(3.7) 矛盾.故 $F_{1}(v, y, u)\subset C_{1}, \, \forall\, u\in S(x, y)$, 即 $A$是上半连续的.同理可知 $B$也是上半连续的.

(d)下证(SSGSVQEP)有解.

定义集值映射 $H:D\times K\rightarrow 2^{D\times K}$如下

$ H(x, y)=(A\times B)(x, y)=(A(x, y), B(x, y)), \, \forall \, (x, y)\in D\times K. $

因为集值映射 $A, B$都是上半连续的, 所以 $H$也是上半连续的.又因为 $\forall (x, y) \in D\times K, A(x, y), B(x, y)$都是非空闭凸集.根据引理2.6可知存在 $(\bar x, \bar y) \in \mathit{D} \times K$, 使得 $(\bar{x}, \bar{y})\in H(\bar{x}, \bar{y})$, 即存在 $(\bar{x}, \bar{y})\in D\times K$, 使得 $\bar x \in \mathit{S}(\bar x, \bar y), \bar y \in P(\bar x, \bar y)$且满足

$ \begin{aligned} \left\{ \begin{aligned} F_{1}(\bar{x}, \bar{y}, u)&\subset C_{1}, \ \ \forall \, u\in S(\bar{x}, \bar{y}), \\ F_{2}(\bar{x}, \bar{y}, q)&\subset C_{2}, \ \ \forall \, q\in P(\bar{x}, \bar{y}), \end{aligned} \right. \end{aligned} $

即(SSGSVQEP)有解.证毕.