考虑如下奇异椭圆方程的共振问题

$ \left\{ \begin{array}{l} - \Delta u = \lambda u + g(x){u^{ - \gamma }},\;\;\;\;\;x \in \Omega ,\\ u > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \in \Omega ,\\ u = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \in \partial \Omega , \end{array} \right. $

(1.1)

其中$ \Omega \subset {{\mathbb{R}}^{N}}(N\ge 3)$是具有光滑边界$ \partial \Omega $的有界区域, $0 < \gamma < 1,\lambda > 0 $是两个正常数, 系数函数 $g\in {{\mathit{L}}^{\frac{{{2}^{*}}}{{{2}^{*}}+\gamma -1}}}(\Omega )$且 $g\geq0, ~g\not\equiv0, $这里 $2^{*}=\frac{2N}{N-2}$为Sobolev空间 $H_{0}^{1}(\Omega)$ 嵌入到 $L^{p}(\Omega)(p\in[1, \frac{2N}{N-2}])$的临界Sobolev指数.记 $\parallel u\parallel : = {\left( {\int_\Omega | \nabla \mu {|^2}dx} \right)^{\frac{1}{2}}}$为空间 $H_{0}^{1}(\Omega)$的范数, $|\cdot|_{s}=\left(\displaystyle\int_{\Omega}|u|^{s}dx\right)^{\frac{1}{s}}$为空间 $L^{s}(\Omega)(s\in(0, \infty))$的范数.

自1977年Crandall, Rabinowitz和Tartar在文献[1]利用上下解方法获得了一类奇异椭圆问题解的存在性, 随后奇异椭圆问题逐渐引起人们的关注, 如文献[2-11].由于奇异项产生的困难, 使得该问题的研究发展相对缓慢.对于奇异次线性椭圆问题, 人们借助上下解方法获得该问题经典解的存在性, 如文献[1-4, 9, 10]及其参考文献.这里称 $u$为经典解, 是指 $u\in {{C}^{2}}(\Omega )\cap (\bar{\Omega }).$而对于奇异超线性椭圆问题, 人们利用变分方法, 截断技术结合临界点理论获得该问题弱解的存在性及多重性, 如文献[5-8]及其参考文献.受前人的启发, 在前期的工作(如文献[4, 9, 10])基础上研究了问题(1.1) 解的存在性.据查阅文献所知, 有关共振的奇异椭圆问题还没有被研究过.

对任意的 $u\in H_{0}^{1}(\Omega), $定义问题(1.1) 对应的能量泛函为

$ {{I}_{\lambda }}(u)=\frac{1}{2}\|u{{\|}^{2}}-\frac{\lambda }{2}\int_{\Omega }{|}u{{|}^{2}}dx-\frac{1}{1-\gamma }\int_{\Omega }{g}(x)|u{{|}^{1-\gamma }}dx. $

由于奇异项产生的困难, 能量泛函 $I_{\lambda}$不是 $F$ -可微的, 从而相关的临界点理论不能直接应用于寻求问题(1.1) 的解.称 $u$是问题(1.1) 的一个弱解, 如果 $u \in {\rm{ }}H_0^1(\Omega )$使得在 $\Omega$中 $u > 0$且满足如下等式

$ \int_{\Omega }{(\nabla u, \nabla \phi )}dx-\lambda \int_{\Omega }{u}\phi dx-\int_{\Omega }{g}(x){{u}^{-\gamma }}\phi dx=0, ~~~~\forall \phi \in H_{0}^{1}(\Omega ). $

(1.2)

这里遇到的主要困难是证明能量泛函 $I_{\lambda}$的极小值点为问题(1.1) 的解.受文献[5]的启发, 结合变分方法和分析技巧克服了这个困难, 获得了问题(1.1) 的一个正解, 而且进一步证明了正解的唯一性以及该解为基态解.这里称 $u$是问题(1.1) 的基态解, 是指使得能量泛函 $I_{\lambda}$达到最小值的解.

记 $\lambda_{1} > 0$为如下特征值问题的第一个特征值

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - \Delta u = \lambda u,\;\;\;\;\;\;x \in \Omega ,}\\ {u = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \in \partial \Omega .} \end{array}} \right. $

以下是本文的主要结果.

定理1  假设 $0 < \gamma < 1, 0 < \lambda < \lambda_{1}, $ $g \in {L^{\frac{{{2^*}}}{{{2^*} + \gamma - 1}}}}(\Omega )$且 $g\geq0, ~g\not\equiv0, $则问题(1.1) 有唯一的正解, 且该解为基态解.

在给出本文的主要结果之前, 先给出如下一个重要引理.

引理2.1  假设 $0 < \gamma < 1, 0 < \lambda < \lambda_{1}, $则泛函 $I_{\lambda}$在 $H_{0}^{1}(\Omega)$中能达到全局极小值点, 即存在一个 ${u_*} \in H_0^1(\Omega )$使得 ${I_\lambda }({u_*}) = _{u \in {\rm{ }}H_0^1(\Omega )}^{\;\;\;\;\inf }{I_\lambda }(u).$

证  由Poincaré不等式可知

$ {{\lambda }_{1}}|u|_{2}^{2}\le \|u{{\|}^{2}}, $

再由Hölder不等式以及Sobolev不等式可得

$ \int_{\Omega }{g}(x)|u{{|}^{1-\gamma }}dx\le |g{{|}_{\frac{{{2}^{*}}}{{{2}^{*}}+\gamma -1}}}|u|_{{{2}^{*}}}^{1-\gamma }\le C|g{{|}_{\frac{{{2}^{*}}}{{{2}^{*}}+\gamma -1}}}\|u{{\|}^{1-\gamma }}, $

(2.1)

从而有

$ \begin{matrix} {{I}_{\lambda }}(u) & \ge & \frac{1}{2}\|u{{\|}^{2}}-\frac{\lambda }{2{{\lambda }_{1}}}\|u{{\|}^{2}}-C|g{{|}_{\frac{{{2}^{*}}}{{{2}^{*}}+\gamma -1}}}\|u{{\|}^{1-\gamma }} \\ {} & = & \frac{1}{2}\left( 1-\frac{\lambda }{{{\lambda }_{1}}} \right)\|u{{\|}^{2}}-C|g{{|}_{\frac{{{2}^{*}}}{{{2}^{*}}+\gamma -1}}}\|u{{\|}^{1-\gamma }}. \\ \end{matrix} $

由于 $0<\lambda<\lambda_{1}$以及 $0<\gamma<1, $从而可得 $I_{\lambda}$在 $H_{0}^{1}(\Omega)$空间上是强制且下方有界的.因此 $_{u \in {\rm{ }}H_0^1(\Omega )}^{\;\;\;\;\;\inf }{I_\lambda }(u)$是有定义的.不妨记 $m = _{u \in {\rm{ }}H_0^1(\Omega )}^{\;\;\;\;\;\inf }{I_\lambda }(u),$则由上讨论可知$m < 0.$依据下确界的定义, 存在一个极小化序列 $\{ {u_n}\} \subset {\rm{ }}H_0^1(\Omega )$使得 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}I_{\lambda}(u_n)=m < 0.$因为 $I_{\lambda}(|u_n|)=I_{\lambda}(u_n), $从而不妨假设 $u_n\geq0.$显然 $\{u_n\}$是有界的, 从而存在子列不妨仍记为 $\{u_n\}$以及 $u_{*}\geq0$使得当$n\rightarrow\infty$时, 在 $H_{0}^{1}(\Omega)$中 $u_n\rightharpoonup u_{*}$, 在 $L^{p}(\Omega)(1\leq p < 2^{*})$中$u_n\rightarrow u_{*}, $在 $\Omega$中 $u_n(x)\rightarrow u_{*}(x)$几乎处处成立.从而只需要证明当$n\rightarrow\infty$时, ${{\mathsf{u}}_{\mathsf{n}}}\to {{\mathsf{u}}_{\text{*}}}$在 $H_{0}^{1}(\Omega)$中成立.不妨记 $w_{n}=u_{n}-u_{*}, $则只需证明当 $n\rightarrow\infty$时, $\|w_{n}\|\rightarrow0$.

首先利用Vitali定理(见文献[12]P. 133), 可得

$ _{\mathsf{n}\to \infty }^{\ \lim }\int_{\Omega }{g}(x)|{{u}_{n}}{{|}^{1-\gamma }}dx=\int_{\Omega }{g}(x)|{{u}_{*}}{{|}^{1-\gamma }}dx. $

(2.2)

事实上, 只需要证明$\{ \int_\Omega {{\rm{ }}} g(x)|{u_n}{|^{1 - \gamma }}dx,n \in N\} $是等度绝对连续的.由 $\{u_{n}\}$的有界性, 依据Sobolev嵌入定理可得存在一个$C_{1} > 0$使得 $|{{u}_{n}}{{|}_{{{2}^{*}}}}\le {{\mathsf{C}}_{1}} < \infty .$对任意的 $\varepsilon >0, $给定的 $\delta > 0, $当 $E\subset\Omega$且 ${\rm meas}(E) < \delta$, 根据(2.1) 式可得

$ \begin{array}{l} \int_\Omega g (x)|{u_n}{|^{1 - \gamma }}dx\;\;\;\; \le \;\;\;\;\;|{u_n}|_{{2^*}}^{1 - \gamma }{\left( {\int\limits_E | g(x){|^{\frac{{{2^*}}}{{{2^*} + \gamma - 1}}}}dx} \right)^{\frac{{{2^*} + \gamma - 1}}{{{2^*}}}}}\;\;\;\;\;\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \le \;\;\;\;\;C_1^{1 - \gamma }{\left( {\int\limits_E | g(x){|^{\frac{{{2^*}}}{{{2^*} + \gamma - 1}}}}dx} \right)^{\frac{{{2^*} + \gamma - 1}}{{{2^*}}}}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; < \;\;\;\;\;\;\varepsilon ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \end{array} $

其中最后一个不等式依据 $\displaystyle\int_{E}|g(x)|^{\frac{2^{*}}{2^{*}+\gamma-1}}dx$的绝对连续性.再根据范数的弱下半连续性可得

$ \int_{\Omega }{|}\nabla {{u}_{n}}{{|}^{2}}dx=\int_{\Omega }{|}\nabla {{w}_{n}}{{|}^{2}}dx+\int_{\Omega }{|}\nabla {{u}_{*}}{{|}^{2}}dx+o(1). $

(2.3)

因此依据(2.2) 式和(2.3) 式, 可得

$ m = _{n \to \infty }^{\;\;\lim }{I_\lambda }({u_n}) = {I_\lambda }({u_*}) + \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \parallel {w_n}{\parallel ^2} = {I_\lambda }({u_*}) + \frac{1}{2}{l^2}, $

其中记 $l=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\|w_n\|.$

一方面, 若 $l=0, $则 $u_n\rightarrow u_{*}$在 $H_{0}^{1}(\Omega)$中成立.另一方面, 若 $l > 0$, 推得$I_{\lambda}(u_{*}) < m, $这与 $m$的定义矛盾.从而证得当$n\rightarrow\infty$时, $u_n\rightarrow u_{*}$在$H_{0}^{1}(\Omega)$中成立, 且 $I_{\lambda}(u_{*})=m.$引理2.1证毕.

下面给出本文的主要结果定理1的证明.

定理1的证明  依据引理2.1, 我们只需证明 $u_{*}$是问题(1.1) 的正解.由于$I_{\lambda}(u_{*})=m < 0, $显然可得在 $\Omega$中$u_{*}(x)\not\equiv0.$下面分三步来完成定理的证明.

第一步  证明 $u_{*}$是问题(1.1) 的正解.从引理2.1可知, 在$\Omega$中 $u_{*}(x)\geq0, $则$\forall\phi\in H_{0}^{1}(\Omega), \phi\geq0, $ $t > 0, t\in\mathbb{R}, $使得 $(u_{*}+t\phi)\in H_{0}^{1}(\Omega), $从而有

$ \begin{equation}\label{2.6} \left. \begin{array}{rcl} 0&\leq&\displaystyle\liminf_{t\rightarrow0^{+}}\frac{I_{\lambda}(u_{*}+t\phi)-I_{\lambda}(u_{*})}{t}\\ &=&\displaystyle \int_{\Omega}(\nabla u_{*},\nabla\phi)dx-\frac{\lambda}{2}\lim_{t\rightarrow0^{+}} \int_{\Omega}\frac{(u_{*}+t\phi)^{2}-u_{*}^{2}}{t}dx\\ &&-\displaystyle\frac{1}{1-\gamma}\limsup_{t\rightarrow0^{+}}\int_{\Omega}g(x)\frac{(u_{*}+\phi)^{1-\gamma}-u_{*}^{1-\gamma}}{t} dx.\\ \end{array} \right. \end{equation} $

(2.4)

由中值定理可得

$ \begin{align} &\frac{1}{2}\int_{\Omega }{\frac{{{({{u}_{*}}+t\phi )}^{2}}-u_{*}^{2}}{t}}dx=\int_{\Omega }{({{u}_{*}}+\eta t\phi )}\phi dx, \\ &\frac{1}{1-\gamma }\int_{\Omega }{g}(x)\frac{{{({{u}_{*}}+t\phi )}^{1-\gamma }}-u_{*}^{1-\gamma }}{t}dx=\int_{\Omega }{g}(x){{({{u}_{*}}+\theta t\phi )}^{-\gamma }}\phi dx, \\ \end{align} $

其中当 $t\rightarrow 0^{+}$时, $\theta\rightarrow 0^{+}, \eta\rightarrow 0^{+}, $且 ${{({{u}_{*}}+\mathsf{\theta t}\phi )}^{-\gamma }}\phi \to \mathsf{u}_{*}^{-\gamma }\phi $和$({{u}_{*}}+\eta t\phi )\phi \to {{\mathsf{u}}_{*}}\phi $在 $\Omega$中几乎处处成立.由于$\forall x\in \Omega, $有 $(u_{*}+\theta t\phi)^{-\gamma}\phi\geq0, ~g(x)\geq0, $从而由Fatou引理可得

$ \begin{equation}\label{2.7} \left. \begin{array}{rcl} &&\displaystyle\limsup_{t\rightarrow0^{+}}\int_{\Omega}g(x)\frac{(u_{*}+\phi)^{1-\gamma}-u_{*}^{1-\gamma}}{t}dx\\ &\geq&\displaystyle\liminf_{t\rightarrow0^{+}}\int_{\Omega}g(x)\frac{(u_{*}+\phi)^{1-\gamma}-u_{*}^{1-\gamma}}{t}dx\\ &=&\displaystyle(1-\gamma)\liminf_{t\rightarrow0^{+}}\int_{\Omega}g(x)(u_{*}+\theta t\phi)^{-\gamma}\phi dx\\ &\geq&\displaystyle(1-\gamma)\int_{\Omega}g(x)u_{*}^{-\gamma}\phi dx. \end{array} \right. \end{equation} $

(2.5)

而由Lebesgue控制收敛定理可得

$ \frac{1}{2}_{\;\;t \to {0^ + }}^{\;\;\lim }\int_\Omega {\frac{{{{({u_*} + t\phi )}^2} - u_*^2}}{t}} dx = \int_\Omega {{u_*}} \phi dx. $

(2.6)

因此从(2.4)-(2.6) 式, 对任意的 $\phi \in \mathit{H}_{0}^{1}(\Omega )$以及$\phi > 0$, 有

$ \int_{\Omega }{(\nabla {{u}_{*}}, \nabla \phi )}dx-\lambda \int_{\Omega }{{{u}_{*}}}\phi dx-\int_{\Omega }{g}(x)u_{*}^{-\gamma }\phi dx\ge 0. $

(2.7)

先证${{u}_{*}} $是问题(1.1) 的解.事实上, 依据弱解的定义, 只需证明$u_{*}$满足(1.2) 式成立.从(2.7) 式可知, 仅需证明(2.7) 式对一切的 $\phi \in {\rm{ }}H_0^1(\Omega )$都成立.由$u_{*}$定义可知存在一个 $\delta\in(0, 1)$使得对一切的$|t|\leq\delta$有$({u_*} + t{u_*}) \in {\rm{ }}H_0^1(\Omega ).$定义$\varphi:[-\delta, \delta]\rightarrow\mathbb{R}$, 记为$\varphi(t):=I_{\lambda}(u_{*}+tu_{*}), $则 $\varphi$在$t=0$时达到最小值, 即

$ {\varphi }'(0)=\|{{u}_{*}}{{\|}^{2}}-\lambda \int_{\Omega }{u_{*}^{2}}dx-\int_{\Omega }{g}(x)u_{*}^{1-\gamma }dx=0. $

(2.8)

受文献[5]的启发, 假设 $\phi\in H_{0}^{1}(\Omega)$和 $\varepsilon > 0, $定义$\Psi:=(u_{*}+\varepsilon\phi)^{+}, $其中 $(u_{*}+\varepsilon\phi)^{+}=\mbox{max}\{u_{*}+\varepsilon\phi, 0\}.$显然 $\Psi\geq0.$在(2.7) 式中用 $\Psi$替代 $\phi, $结合(2.9) 式可得

$ \begin{equation*} \left. \begin{array}{rcl} 0&\leq&\displaystyle\int_{\Omega}(\nabla u_{*},\nabla\Psi)dx-\lambda\int_{\Omega}u_{*}\Psi dx -\int_{\Omega}g(x)u_{*}^{-\gamma}\Psi dx\\ &=&\displaystyle\int_{\Omega_{1}}(\nabla u_{*},\nabla(u_{*}+\varepsilon\phi))dx -\lambda\int_{\Omega_{1}}u_{*}(u_1+\varepsilon\phi)dx-\int_{\Omega_{1}}g(x)u_{*}^{-\gamma}(u_{*}+\varepsilon\phi)dx\\ &=&\displaystyle \|u_{*}\|^2-\lambda\int_{\Omega}u_{*}^{2}dx-\int_{\Omega}g(x)u_{*}^{1-\gamma}dx +\varepsilon\int_{\Omega}\left[(\nabla u_{*},\nabla\phi)-\lambda u_{*}\phi-g(x)u_{*}^{-\gamma}\phi\right]dx\\ &&-\displaystyle\int_{\Omega_{2}}(\nabla u_{*},\nabla(u_{*}+\varepsilon\phi))dx +\int_{\Omega_{2}}\left[\lambda u_{*}(u_{*}+\varepsilon\phi)+g(x)u_{*}^{-\gamma}(u_{*}+\varepsilon\phi)\right]dx\\ &<&\varepsilon\displaystyle\int_{\Omega}\left[(\nabla u_{*},\nabla\phi)-\lambda u_{*}\phi-g(x)u_{*}^{-\gamma}\phi\right]dx -\varepsilon\int_{\Omega_{2}}(\nabla u_{*},\nabla\phi)dx, \end{array} \right. \end{equation*} $

其中$\Omega_{1}=\{u_{*}+\varepsilon\phi > 0\}, $ $\Omega_{2}=\{u_{*}+\varepsilon\phi\leq0\}.$因为当 $\varepsilon\rightarrow0^{+}$时, $\text{meas}({{\Omega }_{2}})\to 0, $则上式两边同时除以 $\varepsilon$并让$\varepsilon\rightarrow0^{+}, $有

$ \int_{\Omega }{(\nabla {{u}_{*}}, \nabla \phi )}dx-\lambda \int_{\Omega }{{{u}_{*}}}\phi dx-\int_{\Omega }{g}(x)u_{*}^{-\gamma }\phi dx\ge 0, ~~~~~\forall \phi \in H_{0}^{1}(\Omega ). $

因此不等式对 $-\phi$也成立, 从而可得 $u_{*}$满足(1.2) 式, 即 $u_{*}$是问题(1.1) 的解.由于 $u_{*}\geq0, u_{*}\not\equiv0, $根据强极大值原理可知 $u_{*} > 0$在$\Omega$几乎处处成立.从而$u_{*}$问题(1.1) 的正解.

第二步  证明 $u_{*}$是问题(1.1) 的基态解.我们断言$u_{*}$是问题(1.1) 的能量最小的解, 即基态解.事实上, 根据引理2.1可得, 能量泛函$I_{\lambda}$在 $H_{0}^{1}(\Omega)$上强制, 且 ${I_\lambda }({u_*}) = _{u \in H_0^1(\Omega )}^{\;\;\;\;\;\inf }{I_\lambda }(u).$显然, $I_{\lambda}(u_{*})$的能量最小, 即 $u_{*}$是基态解.

第三步  证明 $u_{*}$是问题(1.1) 的唯一正解.假设$v_{*}$是问题(1.1) 的另一个正解, 则由(1.2) 式可得

$ \int_{\Omega }{\left[(\nabla {{u}_{*}}, \nabla ({{u}_{*}}-{{v}_{*}}))-\lambda {{u}_{*}}({{u}_{*}}-{{v}_{*}})-g(x)u_{*}^{-\gamma }({{u}_{*}}-{{v}_{*}}) \right]}dx=0, $

(2.9)

$ \int_{\Omega }{\left[(\nabla {{v}_{*}}, \nabla ({{u}_{*}}-{{v}_{*}}))-\lambda {{v}_{*}}({{u}_{*}}-{{v}_{*}})-g(x)v_{*}^{-\gamma }({{u}_{*}}-{{v}_{*}}) \right]}dx=0. $

(2.10)

由(2.9) 和(2.10) 式, 可得

$ \begin{array}{*{20}{l}} {0\;\;\; = \;\;\int_\Omega {(\nabla {u_*},\nabla ({u_*} - {v_*}))} dx - \int_\Omega {(\nabla {u_*},\nabla ({u_*} - {v_*}))} dx - \lambda \int_\Omega {|{u_*} - {v_*}{|^2}} dx}\\ {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; - \int_\Omega {{\rm{ }}} g(x)(u_*^{ - \gamma } - v_*^{ - \gamma })({u_*} - {v_*})dx}\\ {\;\;\;\;\;\; = \;\;\;\;\parallel {u_*} - {v_*}{\parallel ^2} - \lambda |{u_*} - {v_*}|_2^2 - \int_\Omega {\rm{ }} g(x)(u_*^{ - \gamma } - v_*^{ - \gamma })({u_*} - {v_*})dx.} \end{array} $

(2.11)

从如下一个基本的不等式 $(m^{-\gamma}-n^{-\gamma})(m-n)\leq0~~(\forall~ m, n > 0)$, 可得

$ \int_{\Omega }{g}(x)(u_{*}^{-\gamma }-v_{*}^{-\gamma })({{u}_{*}}-{{v}_{*}})dx\le 0. $

(2.12)

因此由Poincaré不等式及(2.11) 式和(2.12) 式, 可得

$ \left( 1-\frac{{{\lambda }_{1}}}{\lambda } \right)\|{{u}_{*}}-{{v}_{*}}{{\|}^{2}}\le 0. $

因为$0 < \lambda < \lambda_{1}$以及$\|u_{*}-v_{*}\|\geq0$可得$u_{*}=v_{*}.$从而 $u_{*}$是问题(1.1) 的唯一正解.定理1证毕.