决定性问题是奇点理论中的基本论题.

在文献[6]中, Mather考虑了光滑映射芽 $f:(\mathbb{R}^n, 0)\rightarrow\mathbb{R}^p$在群 $\mathscr{L}, \mathscr{R}, \mathscr{A}, \mathscr{K}$作用下的有限决定性问题.而无限决定性概念是有限决定性的延伸.无限决定性涉及光滑映射芽在平坦扰动下的稳定性问题.文献[2-5]研究了光滑映射芽在群 $\mathscr{J}=\mathscr{L}, \mathscr{R}, \mathscr{C}, \mathscr{K}$作用下的无限决定性问题, 以及文献[12]研究了带参数的函数芽的无限决定性问题.

如果记 $\varepsilon_n$为所有光滑函数芽 $f:(\mathbb{R}^n, 0)\rightarrow\mathbb{R}$构成的环, $m_n$为所有光滑函数芽 $f:(\mathbb{R}^n, 0)\rightarrow(\mathbb{R}, 0)$构成的理想, 它是 $\varepsilon_n$的极大理想.如果将 $\varepsilon_n$中的所有平坦函数芽构成的理想记为 $m_n^\infty$, 那么 $m_n^\infty=\bigcap\limits_{k=1}^\infty {m_n^k}$.对于芽 $f$, 记 ${j^k}f(x)$为芽 $f$在 $x$处的 $k$阶Taylor多项式.特别地, 当 $k=\infty$时, 将 ${j^\infty}f(x)$看作芽 $f$在 $x$处的Taylor级数.而对于 $f\in\varepsilon_n$, $f$是 $\mathscr{R}_N$-无限决定的意指对于任意的 $u\in m^{\infty}$, 存在原点处的一个光滑微分同胚芽 $\phi$使得 $f+u=f\circ \phi$, 简记为

$ f+m^{\infty}\subset f\circ\mathscr{R}, $

这里 $\mathscr{R}$是 $\mathbb{R}^n$在原点处的光滑微分同胚芽构成的群.在文献[2]或[5]的第二部分中有下述结果.

定理1.1  设 $f\in m_n\varepsilon_n^p$, 则下列条件等价:

(1) $f$是无限 $\mathscr{R}$ -决定的;

(2) $J(f)\supset m_n^{\infty}$;

(3)(若 $f$是解析的) $f$在0处有一个孤立奇点, 其中 $J(f)$表示Jacobian理想 $\langle\frac{\partial f}{\partial x_1}, \cdots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\rangle\varepsilon_n$.

对于非孤立奇点的情况, Sun和Wilson在文[9]中研究了带有某些条件的光滑函数芽的无限相对决定性.在文[9]中, 若集合 $X$是 $x_n$ -轴, $I$是 $\varepsilon_n$中由前 $n-1$个坐标 $x_1, \cdots, x_{n-1}$生成的理想.设 $f\in{I}^2$, 如果 $f+m^{\infty}I^2\subset f\circ\mathscr{R}^X$, 那么 $f$是无限决定的, 其中 $\mathscr{R}^X$表示 $\mathscr{R}$中保持 $X$不变的元素构成的子群, 并且给出了下述结果.

定理1.2  设 $f\in{I}^2$, 则 $f+m^{\infty}I^2\subset f\circ\mathscr{R}^X$当且仅当 $m^{\infty}I\subset J(f)$.

此外, 文献[7-8]研究了关于作用群 $\mathscr{R}$的一些子群 $\mathscr{R}_N$和 $\mathscr{R}_I$的光滑映射芽的有限性问题, 其中 $\mathscr{R}_N$是 $\mathscr{R}$中不同于 $\mathscr{R}^X$的子群.受上述文献的启发, 本文首先考虑了光滑映射芽在 $\mathscr{R}_N$作用下的轨道切空间, 这个切空间是轨道的无穷小逼近; 然后利用乘积积分理论研究光滑映射芽关于作用群 $\mathscr{R}$的一类子群 $\mathscr{R}_N$的无限决定性问题, 并给出映射芽在该子群作用下无限决定的充要条件:设 $f\in m_n \varepsilon_n^p$, 则 $f$是无限 $\mathscr{R}_N$-决定的当且仅当 $m_n^\infty\varepsilon_n^p\subset T{\mathscr{R}_Nf}$, 其中 $T{\mathscr{R}_Nf}$是轨道在 $f$处的切空间.

记 $\varepsilon_n$为所有光滑函数芽 $f:(\mathbb{R}^n, 0)\rightarrow\mathbb{R}$构成的环, $m_n$为所有光滑函数芽 $f:(\mathbb{R}^n, 0)\rightarrow(\mathbb{R}, 0)$构成的理想, 它是 $\varepsilon_n$的极大理想.如果将 $\varepsilon_n$中的所有平坦函数芽构成的理想记为 $m_n^\infty$, 那么 $m_n^\infty=\bigcap\limits_{k=1}^\infty {m_n^k}$.对于芽 $f$, 记 ${j^k}f(x)$为芽 $f$在 $x$处的 $k$阶Taylor多项式.特别地, 当 $k=\infty$时, 将 ${j^\infty}f(x)$看作芽 $f$在 $x$处的Taylor级数.

文献[6]中, Mather定义了右等价群 $\mathscr{R}=\{h:(\mathbb{R}^n, 0)\rightarrow (\mathbb{R}^n, 0)$是微分同胚芽 $\}$, 两个映射芽 $f, g\in\varepsilon_n$是 $\mathscr{R}$-等价的当且仅当存在一个微分同胚芽 $h\in\mathscr{R}$, 使得 $f\circ h=g$, 其中 $h=(h_1, h_2, \cdots, h_n)^T$.因为 $h(0)=0$, 所以 $h_i(0)=0, \ i=1, 2, \cdots, n$.从而 $h_i(x)={\sum\limits_{j=1}^n}a_{ij}(x)x_j$, 其中 $x=(x_1, x_2, \cdots, x_n)^T\in\mathbb{R}^n$, 且 $a_{ij}(x)\in\varepsilon_n$.因此 $h(x)=A[x]\cdot x$, 其中 $A(x)=(a_{ij}(x))_{n\times n}$.因为 $h$在 $x=0$处的Jacobian矩阵为 $J(h)|_{x=0}=A[0]$, 并且 $h$是可逆的, 所以 $A[0]$是非奇异的.由此, 函数芽 $f, g\in\varepsilon_n$是 $\mathscr{R}$-等价的当且仅当存在一个矩阵芽 $A[x]\in \varepsilon_{n}^{n\times n}$, 其中 $A[0]$非奇异, 使得 $f(A[x]\cdot x)=g(x)$.

现若设 $R=\{A[x] \ | \ A:(\mathbb{R}^n, 0)\rightarrow GL(\mathbb{R}, n)$是光滑映射芽 $\}$, 则 $\mathscr{R}=\{A[x]\cdot x \ | \ A[x]\in R\}$.对于给定矩阵 $N\in\mathbb{R}^{n\times n}$, 定义 $R$的子群

$ R_N=\{A[x]\in R \ | \ A[x]\cdot N\cdot(A[x])^T=N, x\in(\mathbb{R}^n, 0)\}, $

以及 $\mathscr{R}$的子群(参见文[8])

$ \mathscr{R}_N=\{A[x]\cdot x \ | \ A[x]\in R_N, x\in(\mathbb{R}^n, 0)\}. $

如果 $N=I_n, \left(\begin{array}{cc} {I_r} & 0 \\ 0 & {-I_r}\end{array}\right)$和 $\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$, 那么 $R_N$分别为实正交群, Lorentz群和 $R$自身.特别地, 当 $n=2m$且 $N= \left(\begin{array}{cc} 0 & {I_m}\\ {-I_m} & 0 \end{array}\right)$时, $R_N=Sp(2m, \mathbb{R})$为实辛群.

记 $\varepsilon_n^p$为所有光滑映射芽 $f:(\mathbb{R}^n, 0)\rightarrow \mathbb{R}^p$构成的环, $m_n\varepsilon_n^p$为所有光滑映射芽 $f:(\mathbb{R}^n, 0)\rightarrow (\mathbb{R}^p, 0)$构成的理想.对于 $f\in m_n \varepsilon_n^p$, 用 $V(f)$表示所有沿 $f$的光滑向量场组成的 $\varepsilon_n$模.这个模通过它的自由基 ${\frac{\partial}{\partial y_1}\circ f, \cdots, \frac{\partial}{\partial y_p}\circ f}$可以等同于 $\varepsilon_n^p$.特别地, 如果 $f$分别是 $(\mathbb{R}^n, 0)$, $(\mathbb{R}^p, 0)$到自身的恒同映射芽, 此时的 $V(f)$分别就是秩为 $n$的自由 $\varepsilon_n$模 $V(\mathbb{R}^n)$, 秩为 $p$的自由 $\varepsilon_p$模 $V(\mathbb{R}^p)$.定义 $tf:V(\mathbb{R}^n)\rightarrow V(f)$为 $tf(X)(x)={\rm D}f(x)(X(x)), \ X\in V(\mathbb{R}^n), \ x\in(\mathbb{R}^n, 0)$, 它是两个自由 $\varepsilon_n$模之间的线性映射, 其中 ${\rm D}f$是 $f$的Jacobian矩阵(参见文[10]).

定义2.1  (参见文[7]) $f$与 $g$是 $\mathscr{R}_N$-等价的意指存在 $A[x]\cdot x\in\mathscr{R}_N$使得 $f(A[x]\cdot x)=g(x)$ $($记为 $f\circ A=g)$.

注1  若记 $\mathscr{R}_N\cdot f$表示芽 $f$在群 $\mathscr{R}_N$作用下的轨道, 则芽 $f$与 $g$是 $\mathscr{R}_N$ -等价的当且仅当 $f$与 $g$是属于同一个 $\mathscr{R}_N$ -轨道.

定义2.2  (参见文[7]) $V_N(\mathbb R^n)=\{A[x] \ | \ A[x]\in \varepsilon_{n}^{n\times n}, A[x]\cdot N+N\cdot (A[x])^T=0, x\in (\mathbb{R}^n, 0)\}$, $\mathscr{V}_N(\mathbb R^n)=\{A[x]\cdot x \ | \ A[x]\in V_N(\mathbb R^n)\}$.

引理2.1  (Nakayama引理)设 $A$是一个具有单位元(记为1) 的交换环, $I$为 $A$中的理想且具有下列性质:对每一 $\alpha\in I, \ 1+\alpha$是 $A$中的可逆元, 假设 $M$是有限生成的 $A$ -模, $N$为 $M$的 $A$ -子模.若 $N+I\cdot M=M$, 则 $N=M$.

设 $f\in m_n \varepsilon_n^p$, 记 ${\mathscr{R}_N}\cdot f:=\{\phi\cdot f \ | \ {\mbox{对任意的}}\phi\in \mathscr{R}_N\}$为 $f$在 $\mathscr{R}_N$作用下的轨道.现取 $\varepsilon_{n+1}^p$中的光滑映射芽 $\gamma$, 设 $\gamma_t(x)=\gamma(x, t)$, 当 $t$足够小时, $\gamma_t\in\varepsilon_n^p$.假设 $\gamma_0=f$和 $\gamma_t\in\mathscr{R}_N\cdot f$, 则对每个 $t$, 存在 $\psi_t\in\mathscr{R}_N$使得 $\gamma_t=\psi_t\circ f$, 但这不能确保我们所选取的 $\psi_t$使得 $\psi:(x, t)\rightarrow\psi(x, t)=\psi_t(x)$是 $(\mathbb{R}^{n+1}, 0)\rightarrow (\mathbb{R}^n, 0)$的一个光滑映射芽.

因此, 为了研究轨道 ${\mathscr{R}_N}\cdot f$的切空间, 应先来考虑导网空间中的轨道 ${\mathscr{R}^k_N}\cdot j^kf$的切空间.

引理3.1  记 $R_N^k=\{j^k\phi \ | \ \phi\in R_N\}$, $V_N^k(\mathbb{R}^n)=\{j^k\varphi \ | \ \varphi\in V_N(\mathbb{R}^n)\} \ (k\geq1)$, $T_eR_N^k$表示单位元 $e$处的切空间, 则有

$ T_eR_N^k=V_N^k(\mathbb{R}^n). $

证  因为 $R^k$是Lie群, $R_N^k$是 $R^k$的闭子群, 所以由Lie群的闭普通子群必是Lie子群得, $R_N^k$是Lie子群.因此 $R_N^k$的李代数为 $R_N^k$在单位元 $e$处的切空间 $T_eR_N^k$, 且可证明

$ T_e{R_N^k}=V_N^k(\mathbb{R}^n)={V_N(\mathbb{R}^n)}/{m_n^{k+1}}=\{A[x]=(a_{ij}(x))_{n\times n} | {a_{ij}(x)}\in J^k(n, p)\}, $

其中 $A[x]$满足 $A[x]\cdot N+N\cdot (A[x])^T=0.$

事实上, 取一可微曲线 $\alpha :(-\varepsilon, \varepsilon)\rightarrow R_N^k$, 满足 $\alpha(0)=I_n$, 则 $\alpha(t)=A[t, x]$, 并且 $\frac{{\rm d}{\alpha(t)}}{{\rm d}t}|_{t=0}\in T_eR_N^k$, 其中 $A[t, x]\in R_N^k$, 即满足

$ A[t, x]\cdot N\cdot(A[t, x])^T=N. $

对上述等式两边关于 $t$求导, 且由 ${\frac{{\rm d}{A[t, x]}}{{\rm d}t}|}_{t=0}=\dot{A}[0, x]$, 得

$ \dot{A}[0, x]\cdot N+N\cdot (\dot{A}[0, x])^T=0, $

即 $\dot{A}[0, x]\in V_N^k(\mathbb{R}^n)$.故 $T_e{R_N^k}\subset{V_N^k(\mathbb{R}^n)}$.

另一方面, 若 $A[x]\in V_N^k(\mathbb{R}^n)$, 则 $A[x]\cdot N+N\cdot (A[x])^T=0$.对任意 $\varepsilon >0$, 我们考虑曲线 $\alpha:(-\varepsilon, \varepsilon)\rightarrow GL(\mathbb{R}, n), \ \alpha(t)=\exp(tA)$,从而

$ \begin{eqnarray*} \alpha(t)\cdot N\cdot \alpha(t)^T & = & \exp(tA)\cdot N\cdot(\exp(tA))^T\\ & = & \exp(tA)\cdot N \cdot (\exp(tA^T))\\ & = & \exp(tA)\cdot (\exp(-tA))\cdot N \\ & = & \exp((t-t)A)\cdot N\\ & = & N, \end{eqnarray*} $

其中第三个等式是根据条件 $A[x]\cdot N+N\cdot (A[x])^T=0$得到的.所以 $\alpha(t)\in R_N^k$, 故 $T_e{R_N^k}\supset V_N^k(\mathbb{R}^n)$.由此 $T_e{R_N^k}=V_N^k(\mathbb{R}^n)$.

注2  进一步有 $T_e{\mathscr{R}_N^k}={\mathscr{V}_N^k(\mathbb{R}^n)}$.

命题3.1  (参见文[11])设 $G$是代数作用在一个光滑代数簇 $M$上的代数群, 则对应的轨道是 $M$中的光滑拟代数子集.

命题3.2  设 $f\in m_n \varepsilon_n^p$, 对任意的整数 $k(k\geq 1)$, 若记 $\mathscr{R}_N^k:=\{j^k\phi \ | \ \phi\in\mathscr{R}_N \}, \ J^k(n, p):=\{j^k f \ | \ f\in\varepsilon_n^p\}$, 则轨道 $\mathscr{R}_N^k\cdot {j^k{f}}$在 $j^k{f}$处的切空间满足

$ T_{j^k{f}}{\mathscr{R}_N^k\cdot {j^k{f}}}={tf(\mathscr{V}_N(\mathbb{R}^n))}/{m_n^{k+1}}. $

证  因为 $\mathscr{R}_N^k$是Lie群, 所以 $\mathscr{R}_N^k$在 $J^k(n, p)$上的作用是代数作用.当 $j^k f\in J^k(n, p)$时, 若 $\mathscr{R}_N^k\cdot {j^k f}$表示 $j^k f$在 $\mathscr{R}_N^k$作用下的轨道, 则由命题3.1知 $\mathscr{R}_N^k\cdot {j^k f}$是 $J^k(n, p)$中的光滑子流形.因此轨道 $\mathscr{R}_N^k\cdot {j^kf}$在 $j^kf$处有切空间.

已知 $\mathscr{R}_N^k$的李代数 $T_e{\mathscr{R}_N^k}={\mathscr{V}_N^k(\mathbb{R}^n)}=\{A[x]\cdot x \ | \ A[x]\in V_N^k(\mathbb{R}^n)\}$.现设 $\exp: T_e{\mathscr{R}_N^k}\rightarrow \mathscr{R}_N^k$表示指数映射, 则

$ T_{j^k{f}}{\mathscr{R}_N^k\cdot {j^k{f}}}=\{{{\frac {\rm d}{{\rm d}t}}j^k(f(\exp(t(A[x]\cdot x))))|}_{t=0} \ | \ A[x]\in T_e{R_N^k}=V_N^k(\mathbb{R}^n)\}, $

其中 $A[x]\cdot x\in \mathscr{V}_N^k(\mathbb{R}^n)$, 由注2及指数映射的性质, 有 $\exp(t(A[x]\cdot x))=g_t\in\mathscr{R}_N^k$, 从而

$ \begin{eqnarray*} {\frac {\rm d}{{\rm d}t}j^k(f(\exp (t(A[x]\cdot x))))|}_{t=0} & = & j^k({\frac {\rm d}{{\rm d}t}(f\circ g_t)(x)|}_{t=0})\\ & = & j^k({\rm D}f (x)(A[x]\cdot x))\in {tf(\mathscr{V}_N(\mathbb{R}^n))}/{m_n^{k+1}}. \end{eqnarray*} $

定义3.1  设 $f\in m_n\varepsilon_n^p$, 轨道 $\mathscr{R}_N\cdot f$在 $f$处的切空间 $T{\mathscr{R}_Nf}$定义如下:

$ T{\mathscr{R}_Nf}=tf(\mathscr{V}_N(\mathbb{R}^n)). $

由命题3.2知, 这个定义是合理的.

此部分研究光滑映射芽关于群 $\mathscr{R}_N$的无限决定性, 将给出光滑映射芽的 $\mathscr{R}_N$ -无限决定的充要条件.

定义4.1  设 $f\in m_n\varepsilon_n^p$, $f$是无限 $\mathscr{R}_N$ -决定的, 意指对任意的芽 $g\in m_n \varepsilon_n^p$满足 $j^\infty f(0)=j^\infty g(0)$, 都有 $f$与 $g$是 $\mathscr{R}_N$ -等价的.

定理4.1  设 $f\in m_n \varepsilon_n^p$, 则 $f$是无限 $\mathscr{R}_N$ -决定的当且仅当

$ m_n^\infty\varepsilon_n^p\subset T{\mathscr{R}_Nf}. $

(*)

证  假设 $f$是无限 $\mathscr{R}_N$ -决定的.任取 $u\in m_n^\infty\varepsilon_n^p$.定义

$ F(t, x)=f(x)+tu(x), \;\;\;\;\;t\in \mathbb{R} $

且 $F_t(x):=F(t, x)$.由假设条件, $F_t(x)\in \mathscr{R}_N\cdot f$.又 $F_0(x)=f(x)$, 因此 ${\frac{{\rm d}F}{{\rm d}t}|}_{t=0}=u(x)\in T\mathscr{R}_Nf$.所以

$ m_n^\infty\varepsilon_n^p\subset T\mathscr{R}_Nf. $

反之, 对任意给定 $t_0\in [0,1]$, 设 $g\in m_n \varepsilon_n^p$满足 $j^{\infty}f(0)=j^{\infty}g(0)$, 定义

$ F:(\mathbb{R}\times {\mathbb{R}^n}, t_0\times0)\rightarrow \mathbb{R}^p $

为 $F(t, x)=f(x)+t(g(x)-f(x)), \;\;F_t(x):=F(t, x)$.

欲证 $g$是 $\mathscr{R}_N$ -等价于 $f$的.只需证明对于充分接近 $t_0$的 $t, \ F_t(x)$是 $\mathscr{R}_N$ -等价于 $F_{t_0}(x)$的.

因为 $F_{t_0}(x)-f(x)=t_0(g(x)-f(x))$且 $g-f\in m_n^\infty\varepsilon_{n+1}^p$, 得

$ T\mathscr{R}_NF_{t_0}\subset T\mathscr{R}_Nf, $

再利用 $(*)$, 得

$ T\mathscr{R}_Nf\subset T\mathscr{R}_NF_{t_0}+m_n(T\mathscr{R}_Nf), $

根据Nakayama引理, 对于任意的 $t_0$, 都有

$ T\mathscr{R}_NF_{t_0}=T\mathscr{R}_Nf. $

又 $\frac{\partial F_t}{\partial t}=g(x)-f(x)\in m_n^\infty\varepsilon_n^p\subset T\mathscr{R}_Nf=T\mathscr{R}_NF_t=tF_t(\mathscr{V}_N(\mathbb{R}^n))$, 由此可知, 存在 $\xi\in \mathscr{V}_N(\mathbb{R}^n)$使得

$ \begin{align} & \;\;\;\;\;\;\frac{\partial {{F}_{t}}}{\partial t}=t{{F}_{t}}(\xi ), \\ & \Rightarrow \frac{\partial {{F}_{t}}(x)}{\partial t}-\rm{D}{{F}_{t}}(x)(\xi (x))=0, \\ \end{align} $

(* *)

其中 $\xi=\sum\limits_{i=1}^n\xi_i\frac{\partial}{\partial x_i}=(\xi_1, \cdots, \xi_n)=A[x]\cdot x, A[x]\in \varepsilon_{n}^{n\times n}, A[x]\cdot N+N\cdot (A[x])^T=0, x\in (\mathbb{R}^n, 0)$, 并且 $(*\;\;*)$对应于微分方程

$ \left\{ \begin{array}{cc} \frac{{\rm d}x_0}{{\rm d}t}=1, \\ \frac{{\rm d}x_i}{{\rm d}t}=\xi_i. \end{array}\right. $

记 $\widetilde A$是 $-\xi$的具有初始条件 $\widetilde A_{t_0}(x)=x$的积分, 那么 $\frac{\partial\widetilde A_t}{\partial t}\circ \widetilde A_t^{-1}(x)=A[x]\cdot x$.从而有 $\frac{\partial\widetilde A_t(x)}{\partial t}=A[\widetilde A_t(x)]\cdot \widetilde A_t(x)$.

由于 $A[x]\in \varepsilon_{n}^{n\times n}$, 所以该微分方程存在唯一解 $h_t(x)$.因此 $\frac{\partial\widetilde A_t(x)}{\partial t}=A[h_t(x)]\cdot \widetilde A_t(x).$利用乘积积分的知识(参见文[1]), 得到

$ {{\tilde{A}}_{t}}(x)=\prod\limits_{{{t}_{0}}}^{t}{{{e}^{A[{{h}_{s}}(x)]\rm{d}s}}\cdot \rm{ }{{{\mathit{\tilde{A}}}}_{{{t}_{0}}}}(x)}=\prod\limits_{{{t}_{0}}}^{t}{{{e}^{A[{{h}_{s}}(x)]\rm{d}s}}\cdot x}=\underset{\mu \to 0}{\mathop{\rm{lim}}}\,\prod\limits_{k=1}^{n}{{{e}^{A[{{h}_{{{t}_{k}}}}(x)]\Delta {{t}_{k}}}}\cdot x}, $

这里 $\mu$是区间 $[t_0, t]$划分 $t_0\leq t_1\leq \cdots\leq t_n$中子区间长度的最大值, $\Delta t_k=t_k-t_{k-1}$.因此 $\widetilde A_t$可以用矩阵形式表示为 $\widetilde A_t(x)=\widetilde A_t[x]\cdot x, \widetilde A_t[x]=\prod\limits_{t_0}^t {e^{A[h_s(x)]{\rm d}s}}$.由于

$ A[h_t(x)]\cdot N+N\cdot (A[h_t(x)])^T=0, $

且 $e^{A[h_{t_k}(x)]{\Delta t_k}}=\sum\limits_{n=0}^\infty{\frac1{n!}}((A[h_{t_k}(x)])\cdot\Delta t_k)^n$, 则有

$ e^{A[h_{t_k}(x)]{\Delta t_k}}\cdot N=N\cdot {\sum\limits_{n=0}^\infty}{\frac1{n!}}((-A[h_{t_k}(x)])^T\cdot \Delta t_k)^n=N\cdot e^{-(A[h_{t_k}(x)])^T {\Delta t_k}}, $

因此

$ \prod\limits_{t_0}^t e^{A[h_s(x)]{\rm d}s}\cdot N=N\cdot \prod\limits_{t_0}^t e^{-(A[h_s(x)])^T {\rm d}s}. $

另一方面, 由 $\widetilde A_t[x]=\prod\limits_{t_0}^t e^{A[h_s(x)]{\rm d}s}$, 今有

$ \begin{align} & \frac{\partial {{{\tilde{A}}}_{t}}[x]}{\partial t}=A[{{h}_{t}}(x)]\cdot \tilde{A}t[x]\;\;\;\;\;\;\;(参见文[1]) \\ & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow \frac{\partial {{{\tilde{A}}}_{t}}[x]}{\partial t}\cdot \tilde{A}_{t}^{-1}[x]=A[{{h}_{t}}(x)]\Rightarrow {{{\tilde{A}}}_{t}}[x]\cdot \frac{\partial \tilde{A}_{t}^{-1}[x]}{\partial t}=-A[{{h}_{t}}(x)] \\ & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow \frac{\partial \tilde{A}_{t}^{-1}{{[x]}^{T}}}{\partial t}\cdot {{({{{\tilde{A}}}_{t}}[x])}^{T}}=-{{(A[{{h}_{t}}(x)])}^{T}}. \\ \end{align} $

因此

$ \begin{eqnarray*} (\widetilde A_t^{-1}[x])^T & = & \prod_{t_0}^t e^{-(A[h_s(x)])^T {\rm d}s}\cdot (\widetilde A_{t_0}^{-1}[x])^T=\prod_{t_0}^t e^{-(A[h_s(x)])^T {\rm d}s}\\ & \Rightarrow & \widetilde A_t[x]\cdot N=N\cdot (\widetilde A_t^{-1}[x])^T. \end{eqnarray*} $

即 $\widetilde A_t[x]\cdot N\cdot {({\widetilde A_t}[x])^T}=N$.所以 $\widetilde A_t[x]\in \mathscr{R}_N$.又

$ \frac{\partial{F_t\circ {\widetilde{A}_t}}}{\partial t}={\frac{\partial{F_t}}{\partial t}}\circ {\widetilde{A}_t}+t{F_t}\circ {\frac{\partial{\widetilde{A}_t}}{\partial t}}=(\frac{\partial{F_t}}{\partial t}+t{F_t}\circ {\frac{\partial{\widetilde{A}_t}}{\partial t}}\circ {\widetilde{A}_t^{-1}})\circ {\widetilde{A}_t}=(\frac{\partial{F_t}}{\partial t}-t{F_t}(\xi))\circ{\widetilde{A}_t}=0, $

则这蕴含 $\frac{{\rm d}(F_t\circ \widetilde A_t)}{\partial t}=0.$从而当 $t$充分接近 $t_0$时, 有 $F_t\circ \widetilde A_t=F_{t_0}$.

又因为 $[0,1]$是紧集, 所以 $[0,1]$的任意开覆盖必有有限子覆盖.而对于有限子覆盖的每一个开集来说, 均有 $F_t\circ \widetilde A_t=F_{t_0}$.因此该等式可由充分小的 $t_0$邻域延拓到 $[0,1]$区间, 从而有 $F_1\circ \widetilde A_1=F_0$, 即 $g\circ \widetilde A_1=f$, 这就证明了 $g$是 $\mathscr{R}_N$ -等价于 $f$的.