考虑二阶Hamilton系统

$ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \ddot{u}(t)+\nabla F(t, u(t))=0&\text{a}.\text{e}.~~t\in [\text{0}, T], \\ u(0)-u(T)=\dot{u}(0)-\dot{u}(T)=0,&{} \\ \end{array} \right. $

(1.1)

其中$T>0$, $F:[0, T]\times\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{R}$满足以下条件:

(A) $F(t, x)$对任意$x\in \mathbb{R}^N$关于$t$是可测的, 对a.e. $t\in [0, T]$关于$x$是连续可微的, 且存在$a\in C(\mathbb{R}^+, \mathbb{R}^+)$, $b\in L^1(0, T;\mathbb{R}^+)$使得$|F(t, x)|+|\nabla F(t, x)|\leqslant a(|x|)b(t)$对所有$x\in \mathbb{R}^N$和a.e. $t\in [0, T]$成立.

近年来, 越来越多的的学者利用变分法研究问题(1.1) 周期解的存在性, 并得到了一系列可解性条件, 见文献[1-9]及其参考文献.自1980年Rabinowitz^[8]提出次二次条件以来, 次二次条件不断被推广和丰富.特别的, 唐和吴^[2]在次二次条件下研究了问题(1.1) 周期解的存在性, 并且得到了如下结论:

定理A^[2] 假设$F$满足条件(A)及以下条件

(F1) 存在$0<\mu<2, M_1>0$, 使得

$ x\nabla F(t, x)\le \mu F(t, x), \quad \forall |x|\ge {{M}_{1}}, x\in {{\mathbb{R}}^{N}}和\text{a}.\text{e}.~~t\in [0, T]; $

(F2) 当$|x|\rightarrow+\infty$时, $F(t, x)\rightarrow +\infty$关于$t$一致成立.

则问题(1.1) 在空间$H_T^1$中至少有一个周期解, 其中

$ H_{T}^{1}=\{u:[0, T]\to {{\mathbb{R}}^{N}}\left| u \right.在\left[0, \text{T} \right]绝对连续, u\left( 0 \right)=u\left( T \right), 且\dot{u}\in {{L}^{2}}(0, T;{{\mathbb{R}}^{N}})\}, $

相应的范数为

$ \|u\|=\bigg(\int_0^T|u(t)|^2dt+\int_0^T|\dot{u}(t)|^2dt\bigg)^\frac{1}{2}. $

本文考虑更一般的带阻尼项的二阶Hamilton系统

$ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \ddot{u}(t)+q(t)\dot{u}(t)+\nabla F(t, u(t))=0&\text{a}.\text{e}.~~t\in [\text{0}, T], \\ u(0)-u(T)=\dot{u}(0)-\dot{u}(T)=0,&{} \\ \end{array} \right. $

(1.2)

其中$q(t)\in L^1(0, T;\mathbb{R}^+)$, $Q(t)=\displaystyle\int_0^tq(s)ds$, $Q(T)=0$.记

$ {A_1} = \mathop {\max }\limits_{t \in [0,T]} {e^{Q(t)}},\quad {A_2} = \mathop {\min }\limits_{t \in [0,T]} {e^{Q(t)}}. $

本文将在一个新的次二次条件下, 利用极小极大作用原理研究问题(1.2) 周期解的存在性.方便起见, 以下用$\mathcal{H}$代表连续函数空间, 且对所有$\theta\in \mathcal{H}$, 存在常数$M_2>0$使得

(ⅰ)对所有$t\in \mathbb{R}^+$, $\theta(t)>0$;

(ⅱ)当$t\rightarrow+\infty$时, $\displaystyle\int_{M_2}^t\frac{1}{s\theta(s)}ds\rightarrow+\infty$.

主要结果如下

定理1.1 假设$F$满足条件(A)及以下条件

(H1) 存在$\theta(|x|)\in \mathcal{H}$且$0<\frac{1}{\theta(|x|)}<2$, $M_2>0$使得

$ (\nabla F(t, x), x)\le (2-\frac{1}{\theta (|x|)})F(t, x), \quad \forall |x|\ge {{M}_{2}}和\text{a}.\text{e}.~~t\in [0, T]; $

(H2) 当$|x|\rightarrow+\infty$时, $F(t, x)\geqslant0$关于$t$一致成立;

(H3) 当$|x|\rightarrow+\infty$时, $\displaystyle\int_0^T e^{Q(t)}\frac{F(t, x)}{\theta(|x|)}dt\rightarrow+\infty$.

则问题(1.2) 在空间$H_T^1$中至少有一个周期解.

注1.1 令$\inf\limits_{|x|\geqslant M_2}\frac{1}{\theta(|x|)}:=k$, 其中$k$是常数, 看到

(a)在(H2) 下, 当$k>0$时, (H1) 和(F1) 是等价的, 但当$k=0$时, 条件(H1) 比(F1) 弱.

(b)研究的问题(1.2) 带有阻尼项$q(t)\dot{u}(t)$, 当$q(t)\equiv0$时, 定理1.1和定理A考虑的是相同的系统, 而且此时, 根据(H2), 当$k>0$时, (H3) 即为

(H3)'当$|x|\rightarrow+\infty$时, $\displaystyle\int_0^T F(t, x)dt\rightarrow+\infty$,

注意到(H2) 和(H3)'比(F2) 更弱.因此结果显著推广了定理A.

在$H_T^1$上定义泛函$\varphi$为

$ \varphi(u)=\frac{1}{2}\int_0^T e^{Q(t)}|\dot{u}(t)|^{2}dt-\int_0^T e^{Q(t)} F(t, u(t))dt. $

(2.1)

定义2.1^[3] 设$X$是实的Banach空间, $\varphi\in C^1(X, \mathbb{R})$, 如果对任意的$v \in X$, 都有$(\varphi'(u), v)=0, $就称$u$是泛函$\varphi$的临界点.泛函在临界点处所取的值, 就称为临界值.

由文献[3]中定理1.4易知$\varphi$在$H_T^1$上连续可微, 且$\forall u, v\in H_T^1$, 有

$ (\varphi'(u), v)=\int_0^Te^{Q(t)}(\dot{u}(t), \dot{v}(t))dt-\int_0^Te^{Q(t)}(\nabla F(t, u(t)), v(t))dt. $

(2.2)

众所周知, $u\in H_T^1$是问题(1.2) 的解当且仅当它是$\varphi$的临界点.

定义2.2^[3] 设$X$是实的Banach空间, $\varphi\in C^1(X, \mathbb{R})$, 如果$\{u_n\}\subset X$, $\varphi(u_n)$有界, $\varphi'(u_n)\rightarrow0(n\rightarrow\infty)$蕴含$\{u_n\}$有收敛子列, 则称泛函$\varphi$满足Palais-Smale条件(简称PS条件).

定义2.3^[3] 设$X$是实的Banach空间, $\varphi\in C^1(X, \mathbb{R})$, 如果$\{u_n\}\subset X$, $\varphi(u_n)$有界, $\|\varphi'(u_n)\|(1+\|u_n\|)\rightarrow0(n\rightarrow\infty)$蕴含$\{u_n\}$有收敛子列, 则称泛函$\varphi$满足Cerami条件(简称C条件).

注2.1 易证(PS)条件蕴含(C)条件, 但反之不一定成立, 即(C)条件比(PS)条件更弱.

引理2.1^[3] $\forall u\in H_T^1$, 令$\bar{u}=\frac{1}{T}\displaystyle\int_0^Tu(t)dt, ~\tilde{u}=u(t)-\bar{u}$, 则存在常数$C>0$, 使得下面两个不等式成立:

$ \|\tilde{u}\|_\infty\leqslant C\|\dot{u}\|_{L^2}~~~~ \textrm{(Sobolev 不等式), }\\ \|\tilde{u}\|_{L^2}\leqslant C\|\dot{u}\|_{L^2}~~~ \textrm{(Wirtinger 不等式), } $

其中$\|\tilde{u}\|_\infty:=\max\limits_{t\in[0, T]}|\tilde{u}(t)|$.

引理2.2^[3] (鞍点定理)设$X$是实的Banach空间, $\varphi\in C^1(X, \mathbb{R}), ~X=X^-\oplus X^+$及$\dim X^-<\infty$, 且$\sup\limits_{u\in S_R^-}\varphi(u)<\inf\limits_{u\in X^+}\varphi(u), $其中

$ S_R^-=\big\{u\in X^-\big|\|u\|=R\big\}, ~~~B_R^-=\big\{u\in X^-\big|\|u\|\leqslant R\big\}, \\ M=\Big\{g\in C(B_R^-, X)\Big|g\big|_{S_R^-}=id\Big\}, ~~~c=\mathop {\inf }\limits_{g \in M} \mathop {\sup }\limits_{s \in B_R^ - }\varphi(g(s)), $

则当$\varphi$满足(PS)条件时, $c$为临界值.

注2.2 文献[6]表明, 鞍点定理在(C)条件下依然成立.

引理2.3 假设$F(t, x)$满足(A)和(H1), 则对所有$x\in \mathbb{R}^N$和${\rm a.e.}~~t\in[0, T]$, 有

$ F(t, x)\leqslant\frac{h_1(t)}{M_2^2}|x|^2G(|x|)+h_1(x), $

其中

$ {h_1}(t): = \mathop {\max }\limits_{|x| \le {M_2}} a(|x|)b(t),\quad G(|x|): = \exp ( - \int_{{M_2}}^{|x|} {\frac{1}{{t\theta (t)}}} dt). $

证 $\forall s\geqslant\frac{M_2}{|x|}$, 取$f(s):=F(t, sx)$.则由(H1), 对所有$s\geqslant\frac{M_2}{|x|}$, 可证得

$ f'(s)=\frac{1}{s}(\nabla F(t, sx), sx)\leqslant\frac{1}{s}\bigg(2-\frac{1}{\theta(s|x|)}\bigg)F(t, sx)=\frac{1}{s}\bigg(2-\frac{1}{\theta(s|x|)}\bigg)f(s). $

(2.3)

令

$ g(s):=f'(s)-\frac{1}{s}\bigg(2-\frac{1}{\theta(s|x|)}\bigg)f(s). $

(2.4)

将(2.3) 式代入(2.4) 式可得

$ g(s)\leqslant0. $

(2.5)

通过解线性常微分方程(2.4), 得到

$ f(s)=\bigg(\int_{\frac{M_2}{|x|}}^s\frac{g(r)}{r^2G(r|x|)}dr+C^*\bigg)s^2G(s|x|), $

其中$C^*=\frac{f\big(\frac{M_2}{|x|}\big)|x|^2}{M_2^2}$.结合(2.5) 式, 得

$ f(s)\leqslant\frac{f\Big(\frac{M_2}{|x|}\Big)|x|^2}{M_2^2}s^2G(s|x|), \quad \forall s\geqslant\frac{M_2}{|x|}. $

因此

$ F(t, x)=f(1)\leqslant\frac{F\Big(t, \frac{M_2x}{|x|}\Big)}{M_2^2}|x|^2G(|x|), \quad \forall |x|\geqslant M_2. $

(2.6)

此外, 由假设(A), 对所有$x\in \mathbb{R}^N$和${\rm a.e.}~~t\in[0, T]$, 有

$ F\bigg(t, \frac{M_2x}{|x|}\bigg)\leqslant h_1(t). $

(2.7)

所以由(2.6), (2.7) 式和假设(A), 对所有$x\in \mathbb{R}^N$和${\rm a.e.}~~t\in[0, T]$, 可得

$ F(t, x)\leqslant\frac{h_1(t)}{M_2^2}|x|^2G(|x|)+h_1(t). $

也就是说引理2.3得证.

注2.3(1) 利用$\theta$的条件(ⅱ), 可知当$|x|\rightarrow+\infty$时, $G(|x|)\rightarrow0$.

(2) 由$\frac{1}{\theta}$的范围及$(t^2G(t))'=tG(t)\Big(2-\frac{1}{\theta(t)}\Big)>0$可知, 函数$t^2G(t)$关于$t$是递增的.

为了叙述方便, 在下面的证明中, $C_i, i=1, 2, 3, \cdot\cdot\cdot, $表示一系列不同的正常数.

定理1.1的证明(1) 证明$\varphi$满足(C)条件.

首先证明$\{u_n\}$在$H_T^1$上有界.令$\{u_n\}$是泛函$\varphi$的(C)序列, 即$\{\varphi(u_n)\}$有界, 且当$n\rightarrow\infty$时, 有$\|\varphi'(u_n)\|(1+\|u_n\|)\rightarrow 0$, 则$\forall n\in \mathbb{N}$有

$ \varphi(u_n)\leqslant C_1, ~~~~\|\varphi'(u_n)\|(1+\|u_n\|)\leqslant C_1. $

(3.1)

假设$\{u_n\}$在$H_T^1$中无界, 则不妨设当$n\rightarrow\infty$时, 有$\|u_n\|\rightarrow +\infty$.令$v_n=\frac{u_n}{\|u_n\|}$, 则$\{v_n\}$在$H_T^1$上有界.因此存在子序列, 不妨仍记为$\{v_n\}$, 使得在$H_T^1$上, 有$v_n\rightharpoonup v_0$, 在$C([0, T], \mathbb{R}^N)$上, 有$v_n \rightarrow v_0$.因此当$n\rightarrow\infty$时, 有

$ \bar{v}_n\rightarrow\bar{v}_0. $

(3.2)

因为$H_T^1$紧嵌入到$C(0, T;\mathbb{R})$, 则对所有$u\in H_T^1$, 存在常数$d>0$使得

$ \|u\|_\infty\leqslant d\|u\|. $

(3.3)

由(3.1), (2.1), (3.3) 式, 引理2.3和注2.3中的(2), 可得

$ C_1\geqslant\varphi(u_n)=\frac{1}{2}\int_0^Te^{Q(t)}|\dot{u}_n|^2dt-\int_0^Te^{Q(t)}F(t, u_n)dt\\\;\;\;\;\nonumber \geqslant \frac{1}{2}A_2\|\dot{u}_n\|_{L_2}^2-A_1\int_0^T\bigg(\frac{h_1(t)}{M_2^2}|u_n(t)|^2G(|u_n(t)|)+h_1(t)\bigg)dt\\\;\;\;\;\nonumber \geqslant \frac{1}{2}A_2\|\dot{u}_n\|_{L_2}^2-C_2\int_0^T\|u_n(t)\|_\infty^2G(\|u_n(t)\|_\infty)dt-C_3\\ \;\;\;\;\geqslant \frac{1}{2}A_2\|\dot{u}_n\|_{L_2}^2-C_4\|u_n\|^2G(d\|u_n\|)-C_3. $

(3.4)

将上述不等式(3.4) 的两边同除$\|u_n\|^2$, 则由注2.3中的(1) 易知, 当$n\rightarrow\infty$时, $\|\dot{v}_n\|_{L^2}\rightarrow 0.$再利用(3.2) 式, 有$v_n\rightarrow \bar{v}_0$.从而得到$v_0=\bar{v}_0, ~~T|\bar{v}_0|^2=\|\bar{v}_0\|^2=1.$因此当$n\rightarrow\infty$时, $|u_n|\rightarrow +\infty, $结合(H3) 得

$ \int_0^T e^{Q(t)}\frac{F(t, u_n)}{\theta(|u_n|)}dt\rightarrow +\infty. $

(3.5)

另一方面, 结合假设(A)和(H1), $\forall x\in\mathbb{R}^N$和${\rm a.e.}~~t\in[0, T]$, 有

$ -h_2(t)+(\nabla F(t, x), x)\leqslant\bigg(2-\frac{1}{\theta(|x|)}\bigg)F(t, x), $

(3.6)

其中$h_2(t):=(2+M_2)h_1(t)\geqslant0$.由(2.1), (2.2), (3.1) 和(3.6) 式有

$ 3C_1 \geqslant \|\varphi'(u_n)\|(1+\|u_n\|)-2\varphi(u_n)\geqslant (\varphi'(u_n), u_n)-2\varphi(u_n)\\ \;\;\;\; =\int_0^Te^{Q(t)}[2F(t, u_n)-(\nabla F(t, u_n), u_n)]dt\\ \;\;\;\; \geqslant \int_0^T e^{Q(t)}\frac{F(t, u_n)}{\theta(|u_n|)}dt-A_1\int_0^Th_2(t)dt. $

因此有

$ \int_0^T e^{Q(t)}\frac{F(t, u_n)}{\theta(|u_n|)}dt \leqslant C_5. $

(3.7)

这与(3.5) 式矛盾!因此$\{u_n\}$在$H_T^1$上有界.

下面证明$\{u_n\}$有收敛子列.

因为$\{u_n\}$在$H_T^1$上有界, 则存在子序列, 不妨仍记为$\{u_n\}$, 使得

$ 在H_T^1上, 有{u_n} \rightharpoonup u, $

(3.8)

$ 在C([0, T], {{\mathbb{R}}^{N}})上, 有{{u}_{n}}\to u. $

(3.9)

于是当$n\rightarrow\infty$时, 有

$ \int_0^T|u_n-u|^2dt\rightarrow 0. $

(3.10)

考虑到(3.9) 式和条件(A), 有当$n\rightarrow\infty$时,

$ \int_0^Te^{Q(t)}(\nabla F(t, u_n)-\nabla F(t, u), u_n-u)dt\rightarrow 0. $

(3.11)

由(3.8) 式及$\varphi'(u_n)\rightarrow0$知, 当$n\rightarrow\infty$时,

$ (\varphi'(u_n)-\varphi'(u), u_n-u)\rightarrow 0. $

(3.12)

此外, 根据(2.2) 式可得

$ (\varphi'(u_n)-\varphi'(u), u_n-u)=\int_0^Te^{Q(t)}|\dot{u}_n-\dot{u}|^2dt+\int_0^Te^{Q(t)}(\nabla F(t, u_n)-\nabla F(t, u), u_n-u)dt. $

因此结合(3.11), (3.12) 式有$0\leqslant M_2\displaystyle\int_0^T|\dot{u}_n-\dot{u}|^2dt\leqslant\displaystyle\int_0^Te^{Q(t)}|\dot{u}_n-\dot{u}|^2dt\rightarrow0.$所以当$n\rightarrow\infty$时, $\displaystyle\int_0^T|\dot{u}_n-\dot{u}|^2dt\rightarrow0.$上式结合(3.10) 式可得

$ \|u_n-u\|=\bigg(\int_0^T|\dot{u}_n-\dot{u}|^2dt+\int_0^T|u_n-u|^2dt\bigg)^\frac{1}{2}\rightarrow0. $

即$\{u_n\}$在$H_T^1$上强收敛于$u$, 这意味着$\varphi$满足(C)条件.

(2) 接下来证明$\varphi$满足几何条件.

令$X=H_T^1$, $\widetilde{H}_T^1=\{u\in H_T^1|\bar{u}=0\}$, 则$X=\widetilde{H}_T^1\oplus\mathbb{R}^N, \dim\mathbb{R}^N<\infty$.根据引理2.2可知, 只需证明

($\varphi1$)在$\widetilde{H}_T^1$中, 当$\|u\|\rightarrow+\infty$时, $\varphi(u)\rightarrow+\infty$, 这意味着$\inf\limits_{u\in\widetilde{H}_T^1}\varphi(u)>-\infty$;

($\varphi2$)在$\mathbb{R}^N$中, 当$\|u\|\rightarrow+\infty$时, $\varphi(u)\rightarrow-\infty$.则显然可得$\inf\limits_{u\in\widetilde{H}_T^1}\varphi(u)>\sup\limits_{u\in\mathbb{R}^N}\varphi(u)$.

首先证明($\varphi1$). $\forall u\in \widetilde{H}_T^1$, 根据(2.1) 式, 引理2.3, 注2.3中的(2) 和Sobolev不等式有

$ \varphi(u) =\frac{1}{2}\int_0^T e^{Q(t)}|\dot{u}(t)|^{2}dt-\int_0^T e^{Q(t)} F(t, u(t))dt\\\;\;\;\;\nonumber \geqslant \frac{1}{2}A_2\|\dot{u}\|_{L^2}^2-A_1\int_0^T\bigg(\frac{h_1(t)}{M_2^2}|u(t)|^2G(|u(t)|)+h_1(t)\bigg)dt\\\;\;\;\;\nonumber \geqslant \frac{1}{2}A_2\|\dot{u}\|_{L^2}^2-C_6\|u\|_\infty^2G(\|u\|_\infty)-C_3\\ \;\;\;\;\geqslant \bigg(\frac{1}{2}A_2-C_7G\big(C\|\dot{u}\|_{L^2}\big)\bigg)\|\dot{u}\|_{L^2}^2-C_3. $

(3.13)

因为在$\widetilde{H}_T^1$中, 根据Wirtinger不等式, $\|u\|\rightarrow +\infty$等价于$\|\dot{u}\|_{L^2}\rightarrow +\infty$, 则由(3.13) 式和注2.3中的(1) 有当$\|u\|\rightarrow +\infty$时, $\varphi(u)\rightarrow +\infty$, 即($\varphi1$)成立.

最后证明($\varphi2$). $\forall u\in \mathbb{R}^N$, 因为$0<\frac{1}{\theta(t)}<2$, 则由(2.1) 式和(H2) 有

$ \varphi(u)=-\int_0^T e^{Q(t)} F(t, u(t))dt\leqslant-\frac{1}{2}\int_0^T e^{Q(t)}\frac{F(t, u(t))}{\theta(|u(t)|)}dt. $

(3.14)

而在$\mathbb{R}^N$中, $\|u\|\rightarrow +\infty$等价于$|u|\rightarrow +\infty$.因此由(H3) 和(3.14) 式可得, 当$\|u\|\rightarrow +\infty$时, $\varphi(u)\rightarrow -\infty$, 即($\varphi2$)成立.

综上, 利用鞍点定理(引理2.2), 根据步骤(1), (2) 知$\varphi$至少有一个临界点.因此问题(1.2) 在空间$H_T^1$中至少有一个周期解.即定理1.1得证.