设$X$为无穷维Hilbert空间, $\mathcal{B}(X)$表示$X$上的所有有界线性算子构成的Banach空间, 若$T\in\mathcal{B}(X)$, 用$T^\ast, N(T), R(T)$表示算子$T$的共轭算子, 零空间与值域空间.如果$T=T^*$, $T$称为自伴算子.若$M$是$X$的线性子空间且$T\in\mathcal{B}(X)$, $M^{\bot}$和$\overline{M}$表示$M$的正交补和闭包, $T|_M$和$P_{\overline{M}}$表示$T$在$M$上的限制和$\overline{M}$上的正交投影算子.

对于$T\in\mathcal{B}(X)$, 如果存在算子$S\in\mathcal{B}(X)$满足下面的四个算子方程

$ \left\{ \begin{aligned} &TST=T, \\ &STS=S, \\ &TS=(TS)^*, \\ &ST=(ST)^*, \\ \end{aligned} \right. $

则$T$称为Moore-Penrose可逆, $S$称为$T$的Moore-Penrose逆, 记为$T^+$.$T$是Moore-Penrose可逆当且仅当$R(T)$为闭的且$T$的Moore-Penrose逆是唯一的^[1].显然, $T$为Moore-Penrose可逆当且仅当$T^*$为Moore-Penrose逆.

1920年, Moore首先提出了广义逆矩阵, 但没有引起人们的注意.直到1955年, Penrose以矩阵方程的形式给出了Moore广义逆矩阵的定义后, 广义逆矩阵的研究才得到发展. Hilbert空间中线性算子的Moore-Penrose逆是矩阵Moore-Penrose逆的推广.我们知道, 线性算子的Moore-Penrose可逆性在众多领域, 如矩阵理论, 统计理论等, 有着重要的应用.对于有限维空间中的线性算子(矩阵), 其Moore-Penrose可逆性在许多文章中讨论过(见文[2, 3]及其中的参考文献).对于无穷维Hilbert空间中的线性算子, 特别是算子矩阵而言, 其谱性质的研究吸引了很多学者(见文[4, 5]及其参考文祥), 但有关Moore-Penrose可逆性的讨论还比较少.无穷维Hamilton算子是具有特殊结构的算子矩阵, 因而具备了很多不同于一般算子矩阵的性质.所以, 本文的目的是利用无穷维Hamilton算子的结构特性给出其Moore-Penrose可逆的等价条件.

先给出无穷维Hamilton算子定义.

定义2.1 设$X$是Hilbert空间, $H=\left( \begin{array}{cc} A&C \\ B&-A^* \end{array}\right)\in\mathcal{B}(X\oplus X) $.如果$B$和$C$为自伴算子, 则$H$称为无穷维Hamilton算子.

下面回顾线性算子理论中的一些基本知识.设$T\in\mathcal{B}(X)$, 我们称

$ \gamma(T)=\left\{ \begin{array}{cc} \text{min}\{\|Tx\|:\text{dist}(x, N(T))=1\},&\text{如果}T\neq0, \\ 0,&\text{如果}T=0, \end{array}\right. $

为$T$的约化极小模.众所周知, $\gamma(T)>0$当且仅当$R(T)$为闭^[4].

引理2.1^[6]  设$X$和$Y$为Hilbert空间, 如果$T\in\mathcal{B}(X\oplus Y)$具有矩阵形式$T=\left( \begin{array}{cc} A&\star \\ 0&B \end{array}\right): X\oplus Y\longrightarrow X\oplus Y$并且$A$的值域在$X$中稠密, $B\neq0$, 则$\gamma(T)leq\gamma(B)$.

利用引理2.1, 容易得出下面的推论.

推论2.1 设$X$和$Y$为Hilbert空间, $A\in\mathcal{B}(X)$, $B\in\mathcal{B}(Y)$和$C\in\mathcal{B}(Y, X)$为给定的算子且$\overline{R(A)}=X$.如果$R\left( {\left( \begin{array}{cc} A&C \\ 0&B \end{array}\right)} \right)$闭, 则$R(B)$也闭.

引理2.2^[7]  设$Y$和$Z$为Banach空间, $T\in\mathcal{B}(Y, Z)$, $F\subset Z$是有限维子空间.如果$R(T)+F$是闭的, 那么$R(T)$也是闭的.反之亦然.

本文的主要结果为:

定理3.1 设$H=\left( \begin{array}{cc} A&C \\ 0&-A^* \\ \end{array} \right)$是$X\oplus X$上的有界上三角无穷维Hamilton算子.如果$C$作为$R(A)^{\perp}\oplus\overline{R(A)}$上的算子具有下面的矩阵形式

$ \left( \begin{array}{cc} C_1&C_2 \\ C^*_2&C_3 \\ \end{array} \right), $

则下面条件等价:

(ⅰ) $H$为Moore-Penrose可逆;

(ⅱ) $H_1=\left( \begin{array}{cc} C_1&C_2 \\ 0&-A^*_1 \\ \end{array} \right)R(A)^{\perp}\oplus\overline{R(A)}\rightarrow R(A)^{\perp}\oplus X$为Moore-Penrose可逆, 其中$A_1^\ast=A^\ast|_{\overline{R(A)}}:\overline{R(A)}\longrightarrow X$;

(ⅲ) $R(C_1)$和$R(C^*_2|_{N(C_1)})+R(A)$均为闭子空间.

证 (ⅰ)$\Rightarrow$(ⅱ)无穷维Hamilton算子$H$在空间分解$X\oplus R(A)^{\bot}\oplus\overline{R(A)}\longrightarrow R(A)^{\perp}\oplus\overline{R(A)}\oplus X$下具有矩阵形式

$ \left( \begin{array}{ccc} 0&C_1&C_2 \\ A_1&C^*_2&C_3 \\ 0&0&-A^*_1 \\ \end{array} \right). $

(3.1)

由于

$ \left( \begin{array}{ccc} 0&I&0 \\ I&0&0 \\ 0&0&I \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 0&C_1&C_2 \\ A_1&C_2^*&C_3 \\ 0&0&A^*_1 \\ \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} A_1&C^*_2&C_3 \\ 0&C_1&C_2 \\ 0&0&-A^*_1 \\ \end{array} \right) $

且

$ \left( \begin{array}{ccc} 0&I&0 \\ I&0&0 \\ 0&0&I \\ \end{array} \right) $

为$R(A)^{\bot}\oplus\overline{R(A)}\oplus X$上的可逆算子, 因此$H$为Moore-Penrose可逆当且仅当

$ \left( \begin{array}{ccc} A_1&C^*_2&C_3 \\ 0&C_1&C_2 \\ 0&0&-A^*_1 \\ \end{array} \right) $

是Moore-Penrose可逆的.由推论2.1, $H_1$为Moore-Penrose可逆.

(ⅱ)$\Rightarrow$(ⅰ)假设

$ \left( \begin{array}{cc} A&C \\ 0&-A^* \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_n \\ y_n \\ \end{array} \right)\to \left( \begin{array}{c} u_0 \\ v_0 \\ \end{array} \right). $

即

$ Ax_n+Cy_n\rightarrow u_0, -A^*y_n\rightarrow v_0. $

记$y_n=y_n^{(1)}+y_n^{(2)}$, $y_n^{(1)}\in R(A)^{\bot}$, $y_n^{(2)}\in\overline{R(A)}$, $u_0=u_0^{(1)}+u_0^{(2)}$, $u_0^{(1)}\in\overline{R(A)}$, $u_0^{(2)}\in R(A)^{\bot}$, 则根据(3.1) 有

$ A_1x_n+C^*_2y_n^{(1)}+C_3y_n^{(2)}\rightarrow u_0^{(1)}, C_1y_n^{(1)}+C_2y_n^{(2)}\rightarrow u_0^{(2)}, -A^*_1y_n^{(2)}\rightarrow v_0. $

由于条件(ⅱ)成立, 结合$C_1y_n^{(1)}+C_2y_n^{(2)}\rightarrow u_0^{(1)}, -A^*_1y_n^{(2)}\rightarrow v_0$可得存在唯一的$y_0^{(2)}\in\overline{R(A)}$使得

$ y_n^{(2)}\rightarrow y_0^{(2)}, -A^*_1y_0^{(2)}=v_0. $

所以

$ A_1x_n+C^*_2y_n^{(1)}\rightarrow u_0^{(1)}-C_3y_0^{(2)}, C_1y_n^{(1)}\rightarrow u_0^{(2)}-C_2y_0^{(2)}. $

由$H_1$的Moore-Penrose可逆性, $H_1^*$也Moore-Penrose可逆, 结合$-A_1(-x_n)+C^*_2y_n^{(1)}\rightarrow u_0^{(1)}-C_3y_0^{(2)}, C_1y_n^{(1)}\rightarrow u_0^{(1)}-C_2y_0^{(2)}$可知存在$x_0\in X$和$y_0^{(1)}\in R(A)^{\bot}$使得

$ A_1x_0+C^*_2y_0^{(1)}=u_0^{(1)}-C_3y_0^{(2)}, C_1y_0^{(1)}=u_0^{(2)}-C_2y_0^{(2)}. $

令$y_0=y_0^{(1)}+y_0^{(2)}$, 于是

$ \left( \begin{array}{cc} A&C \\ 0&-A^* \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \\ \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} u_0 \\ v_0 \\ \end{array} \right). $

即$H$的值域为闭的.因此, $H$为Moore-Penrose可逆.

(ⅱ)$\Rightarrow$(ⅲ)假设$H_1$为Moore-Penrose可逆.因此, $H^*_1$也是Moore-Penrose可逆.利用推论2.1即可得知$R(C_1)$闭, 即$C_1$为Moore-Penrose可逆.此时, 在空间分解$N(C_1)\oplus N(C_1)^{\bot}\oplus X\rightarrow R(C_1)\oplus R(C_1)^{\bot}\oplus\overline{R(A)}$下$H^*_1$有如下矩阵形式表示:

$ \left( \begin{array}{ccc} 0&C_{11}&0 \\ 0&0&0 \\ C^*_{21}&C^*_{22}&-A_1 \\ \end{array} \right). $

显然, $C_{11}$为可逆算子, 故存在$R(C_1)\oplus R(C_1)^{\bot}\oplus\overline{R(A)}$上的可逆算子$\left( \begin{array}{ccc} I&0&0 \\ 0&I&0 \\ -C^*_{22}C^{-1}_{11}&0&I \\ \end{array} \right)$使得

$ \left( \begin{array}{ccc} I&0&0 \\ 0&I&0 \\ -C^*_{22}C^{-1}_{11}&0&I \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 0&C_{11}&0 \\ 0&0&0 \\ C^*_{21}&C^*_{22}&-A_1 \\ \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} 0&C_{11}&0 \\ 0&0&0 \\ C^*_{21}&0&-A_1 \\ \end{array} \right). $

(3.2)

(3.2) 式与$H^*_1$的Moore-Penrose可逆性即可得出$R(A_1)+R(C^*_{21})=R(A)+R(C^*_2|_{N(C_1)})$闭.

(ⅲ)$\Rightarrow$(ⅱ)因为$C_1$为Moore-Penrose可逆, 即$R(C_1)$闭, 因此(3.2) 成立.由条件(ⅲ)可知(3.2) 式右端算子的值域闭, 从而$H^*_1$的值域闭, 即$H_1$是Moore-Penrose可逆.证毕.

由定理3.1可得

推论3.1  设$H=\left( \begin{array}{cc} A&C \\ 0&-A^* \\ \end{array} \right)$是$X\oplus X$上的有界上三角无穷维Hamilton算子且$R(A)^{\bot}$是有限维的, 则$H$为Moore-Penrose可逆当且仅当$A$是Moore-Penrose可逆的.

证 算子$H$具有矩阵形式(3.1) 并且$R(A)^{\bot}$是有限维的, 因此(3.1) 式中的$C_1$是有限秩算子, 进而$R(C_1)$闭.显然$R(C^*_2|_{N(C_1)})$是有限维空间.因此, 利用引理2.2和定理3.1可得$H$为Moore-Penrose可逆当且仅当$R(A)+R(C^*_2|_{N(C_1)})$闭, 即$R(A)$闭.

注1  定理3.1是上三角无穷维Hamilton算子特有的性质, 对一般的上三角算子矩阵未必成立(见例1和例2).

假设$X=\ell_2$, 并且用$e_i$表示$\ell_2$中的第$i$个分量为1, 其他分量为0的元素.

例1  任意的$x=(x_1, x_2, \cdots)\in\ell_2$, 定义算子$A\in\mathcal{B}(\ell_2), B\in\mathcal{B}(\ell_2), C\in\mathcal{B}(\ell_2)$为

$ Ax=(0, 0, x_1, \frac{x_2}{2}, \frac{x_3}{3}, \cdots), \\ Bx=(x_3, x_4, x_5, \cdots), \\ Cx=(x_1, x_2, 0, 0, 0, \cdots). $

易证$C=C^*$, $R(A)$不闭, $R(B)$闭且$N(B)=R(A)^\bot=\text{span}\{e_1, e_2\}$.现在考虑算子矩阵

$ T=\left( \begin{array}{cc} A&C \\ 0&B \\ \end{array} \right). $

在空间分解$\ell_2\oplus N(B)\oplus N(B)^{\bot}\rightarrow R(A)^{\bot}\oplus\overline{R(A)}\oplus\ell_2$下$T$有如下形式

$ \left( \begin{array}{ccc} 0&C_1&0 \\ A_1&0&0 \\ 0&0&B_1 \\ \end{array} \right). $

(3.3)

显然,

$ T_1=\left( \begin{array}{cc} C_1&0 \\ 0&B_1 \\ \end{array} \right)N(B)\oplus N(B)^{\bot}\rightarrow R(A)^{\bot}\oplus\ell_2 $

的值域闭, 即$T_1$为Moore-Penrose可逆, 定理3.1的条件(ⅱ)成立.

另一方面, 因为$R(A_1)=R(A)$不闭, 因此, 由(3.3) 式容易看出$R(T)$不闭, 即$T$不是Moore-Penrose可逆.

例2 定义算子$A\in\mathcal{B}(\ell_2)$, $C\in\mathcal{B}(\ell_2)$为

$ Ax=(0, \frac{x_2}{2}, 0, \frac{x_4}{4}, 0, \cdots), \ Cx=(x_2, 0, x_4, 0, x_6, \cdots), $

其中$x=(x_1, x_2, \cdots)\in\ell_2$.

下面考虑算子矩阵$S=\left( \begin{array}{cc} A&C \\ 0&-A^* \\ \end{array} \right).$在空间分解$\ell_2\oplus N(A^*)\oplus N(A^*)^{\bot}\rightarrow R(A)^{\bot}\oplus\overline{R(A)}\oplus\ell_2$下$S$有如下形式

$ S=\left( \begin{array}{ccc} 0&0&C_2 \\ A_1&0&0 \\ 0&0&-A^*_1 \\ \end{array} \right). $

(3.4)

不难发现

$ S_1=\left( \begin{array}{cc} 0&C_2 \\ 0&-A^*_1 \\ \end{array} \right):N(A^*)\oplus N(A^*)^{\bot}\rightarrow R(A)^{\bot}\oplus\ell_2 $

的值域闭, 满足定理3.1的条件(ⅱ).

另一方面, 容易证明$R(A)=R(A_1)$不闭, 由(3.4) 可看出$S$的值域不闭, $S$不是Moore-Penrose可逆.

注2  显然, 例1和例2中的算子$T$和$S$不是上三角无穷维Hamilton算子, 所以定理3.1不成立.

例3 算子$A\in\mathcal{B}(\ell_2)$, $C\in\mathcal{B}(\ell_2)$取为例1中的算子, 则$C$为自伴算子, 因此$H=\left( \begin{array}{cc} A&C \\ 0&-A^* \\ \end{array} \right)$为上三角无穷维Hamilton算子.显然

$ H_1=\left( \begin{array}{cc} C_1&0 \\ 0&-A^*_1 \\ \end{array} \right)N(A^*)\oplus N(A^*)^{\bot}\rightarrow R(A)^{\bot}\oplus\ell_2 $

的值域不闭, 即$H_1$不是Moore-Penrose可逆的.由定理3.1, $H$不是Moore-Penrose可逆的.

下面讨论更一般的情形.

定理3.2 设$H=\left( \begin{array}{cc} A&C \\ B&-A^* \\ \end{array} \right)$是$X\oplus X$上的有界无穷维Hamilton算子, 其中$C$为Moore-Penrose可逆.则下面两个条件等价:

(ⅰ) $H$为Moore-Penrose可逆;

(ⅱ) $X\oplus X$上的无穷维Hamilton算子$\left( \begin{array}{cc} A'&0 \\ B-A^*_2C^{-1}_1A_2&-A'^* \\ \end{array} \right) $为Moore-Penrose可逆, 其中$A'$在空间分解$X\longrightarrow N(C)\oplus N(C)^{\bot}$下具有如下形式

$ A'=\left( \begin{array}{c} A_1 \\ 0 \\ \end{array} \right), $

并且$A_1=P_{N(C)}A:X\longrightarrow N(C), A_2=P_{N(C)^{\bot}}A:X\longrightarrow N(C)^\bot, C_1=P_{N(C)^{\bot}}C|_{N(C)^{\bot}}: N(C)^\bot\longrightarrow N(C)^\bot$.

证  由于$C$是Moore-Penrose可逆的自伴算子, 于是$N(C)^{\bot}=R(C)$, 因此无穷维Hamilton算子$H$在空间分解$X\oplus N(C)\oplus N(C)^{\bot}\longrightarrow N(C)\oplus N(C)^{\bot}\oplus X$下具有如下形式

$ \left( \begin{array}{ccc} A_1&0&0 \\ A_2&0&C_1 \\ B&-A^*_1&-A^*_2 \\ \end{array} \right). $

显然, $C_1$是可逆的自伴算子.此时存在$N(C)\oplus N(C)^{\bot}\oplus X$上的可逆算子

$ U= \left( \begin{array}{ccc} I&0&0 \\ 0&I&0 \\ 0&-A^*_2C^{-1}_1&I \\ \end{array} \right) $

与$X\oplus N(C)\oplus N(C)^{\bot}$上的可逆算子

$ V= \left( \begin{array}{ccc} I&0&0 \\ 0&I&0 \\ -C^{-1}_1A_2&0&I \\ \end{array} \right) $

使得

$ U\left( \begin{array}{ccc} A_1&0&0 \\ A_2&0&C_1 \\ B&-A^*_1&-A^*_2 \\ \end{array} \right)V=\left( \begin{array}{ccc} A_1&0&0 \\ 0&0&C_1 \\ B-A^*_2C^{-1}_1A_2&-A^*_1&0 \\ \end{array} \right). $

故$H$为Moore-Penrose可逆当且仅当

$ \left( \begin{array}{ccc} A_1&0&0 \\ 0&0&C_1 \\ B-A^*_2C^{-1}_1A_2&-A^*_1&0 \\ \end{array} \right) $

是Moore-Penrose可逆的, 即$\left( \begin{array}{ccc} A_1&0&0 \\ 0&0&0 \\ B-A^*_2C^{-1}_1A_2&-A^*_1&0 \\ \end{array} \right)$为Moore-Penrose可逆.

其次, 由于$C_1$是自伴算子, 于是$C^{-1}_1$也是自伴算子, 再注意到$B$的自伴性即可得知$B-A^*_2C^{-1}_1A_2$为自伴算子.此外, 记$A'=\left( \begin{array}{c} A_1 \\ 0 \\ \end{array} \right)$, 那么$-A'^*=(-A^*_1, 0)$, 故$\left( \begin{array}{cc} A'&0 \\ B-A^*_2C^{-1}_1A_2&-A'^* \\ \end{array} \right)X\oplus X\longrightarrow X\oplus X $也是无穷维Hamilton算子.证毕.

注3 定理3.2说明了无穷维Hamilton算子$H$中的元素算子$C$为Moore-Penrose可逆, 那么其Moore-Penrose可逆性化为三角无穷维Hamilton算子的Moore-Penrose可逆性.