考虑如下半参数回归模型

$ y_i=X^{'}_i \beta+g(t_i)+e_i, i=1, 2, \cdots, n, $

(1.1)

其中$"'"$表示向量或矩阵的转置，随机设计点列$X_i=(x_{i1}, x_{i2}, \cdots, x_{id})^{'}$，非随机点列$t_i\in [0,1]$，$\beta=(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_d)^{'}\in \mathbb{R}^d$为$d$维未知参数，$g(t)$是定义在$[0,1]$上的未知函数，$\{e_i\}$为零均值的$\psi-$弱相依（定义见下文）序列.

半参数回归模型自从Engle等人提出后（见文献[1]），取得了丰硕的研究成果.独立误差下的半参数回归模型的统计推断理论比较完善和系统（如文献[2-3]）.对于各种相依误差下的半参数回归模型（1.1）及其特殊情形人们也进行了研究，并取得了丰富的成果，如:误差为鞅差的情形参见文献[4], NA误差的情形参见文献[5-6]；文献[7]讨论了一般相依误差（包括混合误差）下非参数回归模型最小二乘估计的相合性；文献[8]考虑了一类$\psi-$弱相依误差的半参数回归模型，得到参数和非参数的广义最小二乘估计量（基于核方法）的渐近正态性.由于$\psi-$弱相依随机序列包含了Gaussian序列、各种混合序列、相伴序列、Bernoulli漂移、Markov链等（见文献[9-10]等）在内的相依序列，因此模型(1.1) 在一定程度上是各种误差情形下的半参数回归模型的较一般形式.我们试图寻找半参数回归模型的小波估计的统一推断理论，本文只研究加权小波估计量的渐近正态性.

为了下文的需要，先引入一些记号和给出两类函数.记向量$v=(v_1, v_2, \cdots, v_n)'\in \mathbb{R}^n$的范数为${\left\| v \right\|_p} = {(\sum\limits_{i = 1}^n | {v_i}{|^p})^{\frac{1}{p}}},1 \leqslant p < \infty $，${\left\| v \right\|_\infty } = \mathop {\max }\limits_{1 \leqslant i \leqslant n} |{v_i}|$，以及矩阵$A=(a_{ij})_{n\times n}$的范数为$\|A\|_p=\max_{\|v\|_p>0}(\frac{\|Av\|_p}{\|v\|_p}), 1\leq p < \infty$，${\left\| A \right\|_\infty } = \mathop {\max }\limits_{1 \leqslant i \leqslant n} \sum\limits_{j = 1}^n | {a_{ij}}|$.记$L^\infty(\mathbb{R}^n)$为空间$\mathbb{R}^n$上实值有界函数的集合，$L^\infty=\cup_{n=1}^\infty L^\infty(\mathbb{R}^n)$，$\mathbb{R}^n$上的$l_1$范数为${\left\| {({u_1},{u_2}, \cdots ,{u_n})} \right\|_1} = \sum\limits_{n = 1}^n | {u_i}|$，函数$h:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{C}$的Lipschitz模为

$ {\text{Lip}} = \mathop {\sup }\limits_{u \ne v} \frac{{|h(u) - h(v)|}}{{{{\left\| {u - v} \right\|}_1}}}. $

又记$\mathbb{F}_n=\{h\in L^\infty(\mathbb{R}):\text{Lip}(h) < \infty, \|h\|_\infty=\sup_u|h(u)|\leq 1\}$，$\mathbb{F}=\cup_{n=1}^\infty\mathbb{F}_n$上的两类函数为

$ \psi_1(h, \kappa, n, m)=\min(n, m)\text{Lip}(h)\text{Lip}(\kappa) $

和

$ \psi_2(h, \kappa, n, m)=4(n+m)\min\{\text{Lip}(h), \text{Lip}(\kappa)\}, $

其中$h, \kappa\in \mathbb{R}$.

定义2.1  ^[9]随机序列$\{\varepsilon_i, i\in\mathbb{N}\}$称为$(\theta, \mathbb{F}, \psi)$-弱相依（简称$\psi$-弱相依），如果存在当$r\rightarrow \infty$时递减到零的序列$\theta=\{\theta_r, r\in\mathbb{N}\}$和函数$\psi$，使得对任何$(i_1, i_2, \cdots, i_n)$和$(j_1, j_2, \cdots, j_m)$有

$ \left|\text{Cov}(h(\varepsilon_{i_1}, \varepsilon_{i_2}, \cdots, \varepsilon_{i_n}), \kappa(\varepsilon_{j_1}, \varepsilon_{j_2}, \cdots, \varepsilon_{j_m}))\right|\leq\psi(h, \kappa, n, m)\theta_r, $

其中$i_1\leq i_2\leq \cdots\leq i_n < i_n+r\leq j_1\leq j_2\leq\cdots\leq j_m$.

设有一个给定的刻度函数$\phi(x)\in \mathbb{S}_l$（阶为$l$的Schwartz空间），相伴$L^2(\mathbb{R})$的多尺度分析为$\{V_m\}$，其再生核为

$ {E_m}(t,s) = {2^m}{E_0}({2^m}t,{2^m}s) = {2^m}\sum\limits_{k \in \mathbb{Z}} \phi ({2^m}t - k)\phi ({2^m}s - k). $

记$A_i$是$[0,1]$上的分割且$t_i\in A_i, 1\leq i\leq n$.采用通常的估计方法，可以得到参数$\beta$和非参数$g(t)$的加权小波估计量分别为

$ \hat{\beta}_n=(\tilde{X}'\Psi^{-1}\tilde{X})^{-1}\tilde{X}'\Psi^{-1}\tilde{Y} $

(2.1)

和

$ {\hat g_n}(t) = {\hat g_0}(t,{\hat \beta _n}) = \sum\limits_{i = 1}^n {({y_i} - \tilde X{{\hat \beta }_n})} \int_{{A_i}} {{E_m}} (t,s)ds, $

(2.2)

其中$\Psi=Var(e)=(\psi_{ij})_{n\times n}$为$n$阶正定矩阵,

$ \tilde{X}=(I-W)X, X=(x_{ij})_{n\times d}, W=(w_{ij})_{n\times n}, w_{ij}=\int_{A_j}E_m(t_i, s)ds, $

$ \tilde{Y}=(I-W)Y, Y=(y_1, y_2, \cdots, y_n)', e=(e_1, e_2, \cdots, e_n)', $

$ {\hat g_0}(t,\beta ) = \sum\limits_{i = 1}^n {({y_i} - \tilde X\beta )} \int_{{A_i}} {{E_m}} (t,s)ds. $

本节将给出参数$\beta$和非参数$g(t)$的加权小波估计量的渐近正态性，为此先给出如下的一些基本假设条件：

(Ⅰ)存在光滑函数$f_j(t), t\in [0,1]$，使得

$ x_{ij}=f_j(t_i)+\eta_{ij}, 1\leq i\leq n, 1\leq j\leq d, $

(3.1)

其中$\{\eta_{ij}\}$独立同分布，且$E\eta_{ij}=0$，$\{\eta_{ij}\}$与$\{e_i\}$相互独立.

（Ⅱ）$g(\cdot), f_j(\cdot)\in \mathbb{H}^\alpha, \alpha>\frac{1}{2}$.

（Ⅲ）$g(\cdot), f_j(\cdot)$满足$\gamma$阶Lipschitz条件，$\gamma>0, 1\leq j\leq d$.

（Ⅳ）$\phi(\cdot)\in\mathbb{S}_l(l\geq\alpha)$，$\phi$满足1阶Lipschitz条件且具有紧支撑，当$\xi\rightarrow 0$时，$|\hat{\phi}(\xi)-1|=O(\xi)$，其中$\hat{\phi}$为$\phi$的Fourier变换.

（Ⅴ）$\mathop {\max }\limits_{1 \leqslant i \leqslant n} ({s_i} - {s_{i - 1}}) = O({n^{ - 1}})$，且$2^m=O(n^{\frac{1}{3}})$.

（Ⅵ）对于矩阵$\Psi=(Q'Q)^{-1}$假定：$\|\Psi\|_2=O(1), \|\Psi^{-1}\|_\infty=O(1)$；$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } ({n^{ - 1}}\eta '{\Psi ^{ - 1}}\eta ) = V$，其中$\eta=(\eta_{ij})_{n\times d}$，$V$为$d$阶正定矩阵；$\|W'\Psi^{-1}\eta_j\|=o_P(n^{-\frac{1}{2}})$.

注1 对于随机设计情形下的半参数回归模型的小波估计，假设条件(Ⅰ)-（Ⅴ）是相当弱的条件，如文献[4][6]等均使用这些条件.假设（Ⅵ）比文献[8]的假设4要弱，且去掉了文献[8]的假设2中的（b）和(c).

基于上面的基本假设，可以得到如下的主要结果.

定理3.1 如基本假设条件(Ⅰ)-（Ⅵ）成立，又设$\{e_i\}$为$(\theta, \mathbb{F}, \psi_1)$或$(\theta, \mathbb{F}, \psi_2)$-弱相依序列且$\theta_r=O(r^{-\rho})$，$\rho\geq2$，$\mathop {\sup }\limits_i E|{e_i}{|^{2 + \delta }} < \infty (0 < \delta < 1)$, 则对于$\alpha>\frac{3}{2}, \gamma\geq\frac{1}{3}$，有

$ n^{\frac{1}{2}}(\hat{\beta}_n-\beta)\longrightarrow_DN(0, V^{-1}), n\rightarrow \infty, $

其中$"D"$表示依分布收敛.

定理3.2 如满足定理3.1的所有条件，则

$ \frac{\hat{g}_n(t)-\bar{g}(t)}{(Var(\hat{g}_n(t)))^{\frac{1}{2}}}\longrightarrow_DN(0, 1), \forall t\in [0,1], n\rightarrow \infty, $

其中$\bar g(t) = \sum\limits_{i = 1}^n {\int_{{A_i}} {{E_m}} } (t,s)dsg({t_i})$，$\text{Var}({\hat g_n}(t)) \to \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {{\psi _{ij}}} } \int_{{A_j}} {{E_m}} (t,s)ds\int_{{A_i}} {{E_m}} (t,s)ds$.

注2 当误差$\{e_i\}$为Gaussian序列、各种混合序列、相伴序列、Bernoulli漂移、Markov链等时，上述结论显然成立.由此可知，本文的结论不仅推广了独立误差情形的半参数回归模型的相应结论，而且在一定程度上统一了相依半参数回归模型的渐近正态性的理论.

为了证明本文的主要结果，我们先给出若干必要的引理，其中引理4.1和4.2是小波估计常用的两个结论（见文献[11]等），引理4.3参见文献[6]，引理4.4是仿照文献[8]的方法而得到.下文中的$C$表示常数，且在不同的地方可以取不同的值.

引理4.1 ^[11] 若条件（Ⅰ）-（Ⅳ）成立，则

$ \mathop {\sup }\limits_t |{f_j}(t) - \sum\limits_{i = 1}^n {(\int_{{A_i}} {{E_m}} (t,s)ds){f_j}({t_i})| = O({n^{ - \gamma }}) + O({\tau _m})} $

和

$ \mathop {\sup }\limits_t |g(t) - \sum\limits_{i = 1}^n {(\int_{{A_i}} {{E_m}} (t,s)ds)g({t_i})| = O({n^{ - \gamma }}) + O({\tau _m})} , $

其中

$ \tau_m=\left\{ \begin{aligned} 2^{-m(\alpha-\frac{1}{2})}, \frac{1}{2} < \alpha < \frac{3}{2}, \\ \frac{\sqrt{m}}{2^m}, \alpha=\frac{3}{2}, \\ 2^{-m}, \alpha>\frac{3}{2}. \end{aligned} \right. $

引理4.2  ^[11] 若条件（Ⅳ）成立，则

$ \mathop {\sup }\limits_{0 \le s \le 1} {\mkern 1mu} |{E_m}(t,s)| = O({2^m});\mathop {\sup }\limits_t {\mkern 1mu} \int_0^1 | {E_m}(t,s)|ds \le C;\int_0^1 {{E_m}} (t,s)ds \to 1,n \to \infty . $

引理4.3 ^[6]若条件（Ⅲ）（Ⅳ）成立，且$E\eta_{1j}^2 < \infty$，则

$ \mathop {\sup }\limits_t {\mkern 1mu} |\sum\limits_{i = 1}^n {{\eta _{ij}}} \int_{{A_i}} {{E_m}} (t,s)ds| = O({n^{ - \frac{1}{3}}}\log n),a.s.,n \to \infty . $

引理4.4 如基本假设条件(Ⅰ)-（Ⅵ）成立，则依概率有

$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\mkern 1mu} {n^{ - 1}}(\tilde X'{\Psi ^{ - 1}}\tilde X) = V,n \to \infty . $

证 令$\tilde{\eta}_i=\eta_i-\sum_{i=1}^n\eta_j\int_{A_j}E_m(t_i, s)ds$，$F_j=(f_j(t_1), f_j(t_2), \cdots, f_j(t_n))'$，$\tilde{F}_j=(I-W)F_j$，${\tilde f_j}({t_i}) = {f_j}({t_i}) - \sum\limits_{l = 1}^n {\int_{{A_l}} {{E_m}} } ({t_i},s)ds{f_j}({t_l})$, 则$n^{-1}(\tilde{X}'\Psi^{-1}\tilde{X})$的第$(i, j)$元素为

$ \begin{align} {{n}^{-1}}{{({\tilde{X}}'{{\Psi }^{-1}}\tilde{X})}_{ij}}={{n}^{-1}}({{{{\tilde{X}}'}}_{i}}{{\Psi }^{-1}}{{{\tilde{X}}}_{j}}) \\ ={{n}^{-1}}({{{{\tilde{F}}'}}_{i}}{Q}'Q{{{\tilde{F}}}_{j}})+{{n}^{-1}}({{{{\tilde{\eta }}'}}_{i}}{Q}'Q{{{\tilde{\eta }}}_{j}})+2{{n}^{-1}}({{{{\tilde{F}}'}}_{i}}{Q}'Q{{{\tilde{\eta }}}_{j}}) \\ ={{I}_{1}}+{{I}_{2}}+2{{I}_{3}}. \\ \end{align} $

(4.1)

由假设（Ⅵ）及引理4.1，得

$ \begin{align} {{I}_{1}}={{n}^{-1}}({{{{\tilde{F}}'}}_{i}}{Q}'Q{{{\tilde{F}}}_{j}})={{n}^{-1}}\|Q{{{\tilde{F}}}_{j}}\|_{2}^{2}\le {{n}^{-1}}\|Q\|_{2}^{2}\|{{{\tilde{F}}}_{j}}\|_{2}^{2} \\ \le \|{{\Psi }^{-1}}{{\|}_{\infty }}(O({{n}^{-2\gamma }})+O(\tau _{m}^{2}))\to 0. \\ \end{align} $

(4.2)

由引理4.3容易得到$\|W\eta_j\|_2=O_P(n^{\frac{1}{6}}\log n)$，于是由此及假设（Ⅵ），得

$ |n^{-1}\eta'_iW'\Psi^{-1}W\eta_j|=n^{-1}\|QW\eta_j\|^2_2\leq \|\Psi^{-1}\|_\infty n^{-1}\|W\eta_j\|^2_2\longrightarrow_P 0 $

(4.3)

和

$ |n^{-1}\eta'_i\Psi^{-1}W\eta_j|\leq \|\Psi^{-1}\|_\infty \|W\eta_j\|_2\|n^{-1}\eta'_i\|_2\leq Cn^{-\frac{2}{3}}\log^2n\|\eta'_i\|_2\longrightarrow_P 0. $

(4.4)

因而由（4.3）和（4.4）式可以得到

$ I_2=n^{-1}\tilde{\eta}'_i\Psi^{-1}\tilde{\eta}_j =n^{-1}\eta'_i(I-W)'\Psi^{-1}(I-W)\eta_j\nonumber \\ =n^{-1}\eta'_i\Psi^{-1}\eta_j+n^{-1}\eta'_iW'\Psi^{-1}W\eta_j-2n^{-1}\eta'_i\Psi^{-1}W\eta_j\longrightarrow_P V_{ij}. $

(4.5)

由假设（Ⅵ），引理4.1，得

$ I_3\leq \|\tilde{F}'_i\|_2\|\Psi^{-1}\|_2\cdot n^{-1}\|(I-W)\eta_j\|_2\longrightarrow_P 0. $

(4.6)

由（4.1）, （4.2）, （4.5）和（4.6）式即可证明该引理.

定理4.1的证明 由（2.1）式得

$ n^{\frac{1}{2}}(\hat{\beta}_n-\beta)=n^{\frac{1}{2}}(\tilde{X}'\Psi^{-1}\tilde{X})^{-1} \tilde{X}'\Psi^{-1}(\tilde{X}\beta+\tilde{e})-n^{\frac{1}{2}}\beta\nonumber \\ =n^{\frac{1}{2}}(\tilde{X}'\Psi^{-1}\tilde{X})^{-1} \tilde{X}'\Psi^{-1}(I-W)e. $

(4.7)

令$B=(B_1, B_2, \cdots, B_d)'=(\tilde{X}'\Psi^{-1}\tilde{X})^{-1}$，$C'_n=(c_{1n}, c_{2n}, \cdots, c_{nn})=B_i\tilde{X}'\Psi^{-1}(I-W)$，则$n^{\frac{1}{2}}(\hat{\beta}_n-\beta)$的第$i$个分量为$\sqrt{n}S_n=C'_ne=\sum_{i=1}^nc_{ni}e_i$.注意到

$ \sigma^2_n=Var(C'_ne)=C'_nVar(e)C_n\nonumber \\ =B_i\tilde{X}'\Psi^{-1}(I-W)\sigma^2\Psi (I-W)'\Psi^{-1}\tilde{X}B'_i\nonumber \\ =\sigma^2B_i\tilde{X}'\Psi^{-1}\tilde{X}B'_i+\sigma^2B_i\tilde{X}'\Psi^{-1}W\Psi W'\Psi^{-1}\tilde{X}B'_i-2\sigma^2B_i\tilde{X}'W'\Psi^{-1}\tilde{X}B'_i. $

(4.8)

考虑$\tilde{X}'\Psi^{-1}W\Psi W'\Psi^{-1}\tilde{X}$的第$(i, j)$元素，由引理4.1和假设（Ⅵ），得

$ \begin{gathered} |{{\tilde X'}_i}{\Psi ^{ - 1}}W\Psi W'{\Psi ^{ - 1}}{{\tilde X}_j}| \leqslant {\left\| {{{\tilde X'}_i}{\Psi ^{ - 1}}W} \right\|_2}{\left\| \Psi \right\|_2}{\left\| {W'{\Psi ^{ - 1}}{{\tilde X}_j}} \right\|_2} = {\left\| \Psi \right\|_2}\left\| {W'{\Psi ^{ - 1}}{{\tilde X}_j}} \right\|_2^2 \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \leqslant C{\left\| \Psi \right\|_2}(\left\| {W'{\Psi ^{ - 1}}{{\tilde F}_j}} \right\|_2^2 + \left\| {W'{\Psi ^{ - 1}}{{\tilde \eta }_j}} \right\|_2^2) \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \leqslant C{\left\| \Psi \right\|_2}(\left\| {W'{\Psi ^{ - 1}}{{\tilde F}_j}} \right\|_2^2 + \left\| {W'{\Psi ^{ - 1}}{\eta _j}} \right\|_2^2 + \left\| {W'{\Psi ^{ - 1}}W{\eta _j}} \right\|_2^2) \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {o_P}(n). \hfill \\ \end{gathered} $

(4.9)

考虑$\tilde{X}'W'\Psi^{-1}\tilde{X}$的第$(k, j)$元素的平方

$ \begin{gathered} |{{\tilde X'}_i}W'{\Psi ^{ - 1}}{{\tilde X}_j}{|^2} \leqslant \left\| {QW{{\tilde X}_i}} \right\|_2^2\left\| {Q{{\tilde X}_j}} \right\|_2^2 \leqslant {{\tilde X'}_j}{\Psi ^{ - 1}}{{\tilde X}_j}{\left\| \Psi \right\|_2}\left\| {W({{\tilde F}_j} + {{\tilde \eta }_j})} \right\|_2^2 \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \leqslant {n^{ - 1}}{{\tilde X'}_j}{\Psi ^{ - 1}}{{\tilde X}_j}{\left\| \Psi \right\|_2}({n^{1 - 2\gamma }} + n\tau _m^2 + n{({n^{ - \frac{1}{3}}}\log n)^2}) \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \leqslant C{({n^{\frac{1}{6}}}\log n)^2}. \hfill \\ \end{gathered} $

(4.10)

于是由（4.8）-（4.10）式可得

$ n^{-1}\sigma^2_n \longrightarrow_P B'_iVB_i=\Delta^2. $

(4.11)

利用文献[8]的方法容易证明

$ S_n=n^{-\frac{1}{2}}\sum^n_{i=1}c_{ni}e_i \longrightarrow_D N(0, \Delta^2). $

(4.12)

由（4.7）, （4.11）和（4.12）式即可得到定理1.

定理4.2的证明 注意到

$ {\hat g_n}(t) - \sum\limits_{i = 1}^n g ({t_i})\int_{{A_i}} {{E_m}} (t,s)ds = (\beta - {\hat \beta _n})'\sum\limits_{i = 1}^n {{{\tilde X}_i}} \int_{{A_i}} {{E_m}} (t,s)ds + \sum\limits_{i = 1}^n {{e_i}} \int_{{A_i}} {{E_m}} (t,s)ds = {I_1} + {I_2}. $

(4.13)

由定理4.1和引理4.3可得

$ \sum\limits_{i = 1}^n {{{\eta '}_i}} (\beta - {\hat \beta _n})\int_{{A_i}} {{E_m}} (t,s)ds{n^{ - 1}} = {O_P}({n^{ - \frac{1}{2}}} \cdot {n^{ - \frac{1}{3}}}\log n) = {O_P}({n^{ - \frac{5}{6}}}\log n). $

(4.14)

从而有

$ \begin{gathered} {\text{Var}}({{\hat g}_n}(t)) = {\text{Var}}\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\tilde X'}_i}} (\beta - {{\hat \beta }_n})\int_{{A_i}} {{E_m}} (t,s)ds + \sum\limits_{i = 1}^n {{e_i}} \int_{{A_i}} {{E_m}} (t,s)ds} \right) \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {\text{Var}}\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\tilde \eta '}_i}} (\beta - {{\hat \beta }_n})\int_{{A_i}} {{E_m}} (t,s)ds + \sum\limits_{i = 1}^n {{e_i}} \int_{{A_i}} {{E_m}} (t,s)ds} \right) \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \to {\text{Var}}\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{e_i}} \int_{{A_i}} {{E_m}} (t,s)ds} \right) \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {{\psi _{ij}}} } \int_{{A_j}} {{E_m}} (t,s)ds\int_{{A_i}} {{E_m}} (t,s)ds. \hfill \\ \end{gathered} $

(4.15)

由定理4.1和引理4.1-4.2容易得到

$ I_1=o_P(1). $

(4.16)

从而由(4.13)-(4.16) 式知，要证明定理4.2成立，只需证明下式成立即可

$ {\left( {Var(\sum\limits_{i = 1}^n {{e_i}} \int_{{A_i}} {{E_m}} (t,s)ds)} \right)^{ - \frac{1}{2}}}\sum\limits_{i = 1}^n {{e_i}} \int_{{A_i}} {{E_m}} (t,s)ds{ \to _D}N(0,1). $

(4.17)

类似于（4.12）式的证明方法，我们很容易得到（4.17）式，在此略.