Biven ^[1]研究了双曲空间形式中的超曲面, 得到用高阶平均曲率刻画超曲面全脐性质的曲率条件, 即下列定理1.1.

随后, Sung Eun Koh ^[2]减弱对高阶平均曲率的限制条件, 改进文^[1]的结果, 得到下列定理1.2.

最近, 王琪^[3]进一步减弱对高阶平均曲率的限制, 在外围空间为正曲率空间形式的情形, 得到下列定理1.3, 对这个研究方向作出进一步的改进.

本文讨论双曲空间形式中的超曲面, 在外围空间是双曲空间形式的情形, 得到一个与定理1.3类似的定理, 即下列定理1.4.

定理1.1^[1]  设$ M ^ {n} $是双曲空间形式$ H ^{n+1}$中紧致无边等距浸入超曲面.若对某个整数$ r ~(2\leq r \leq n) $而言, 高阶平均曲率$ H_{r-1} $和$ H_{r} $在$ M ^ {n} $上均为常数, 则$ M ^ {n} $必是全脐的.

定理1.2 ^[2]  设$ M ^ {n} $是双曲空间形式$ H ^{n+1}$中紧致无边等距浸入超曲面.若对某个整数$ r ~(2\leq r \leq n) $, 高阶平均曲率$ H_{r-1} $处处非零且$ \frac{ H_{r}}{ H_{r-1}} $在$ M ^ {n} $上为常数, 则$ M ^ {n} $必是全脐的.

定理1.3 ^[3]  设$ M^{n} $是球面$ S^{n+1}(c)~(c>0)$中紧致无边的等距浸入超曲面且$ M^{n} $落在$ S^{n+1}(c)$的一个开半球内.若存在两个整数$ r, s~(1\leq r, s \leq n~, r\neq s) $使得$ H_{r} $处处非零且$ \frac{ H_{s}}{H_{r}} $为常数, 则$ M ^ {n} $必是全脐的.

定理1.4  设$ M ^ {n} $是双曲空间形式$ H ^{n+1}$中紧致无边等距浸入超曲面.若存在两个整数$ r, s~(1\leq r, s \leq n~, r\neq s) $使得$ H_{r} $处处非零且$ \frac{ H_{s}}{H_{r}} $为常数, 则$ M ^ {n} $必是全脐的.

设$ M ^ {n} $是n维黎曼流形, 它等距浸入$ (n+1) $维黎曼流形$ N^ {n+1} $中, 即$ M ^ {n} $是$ N^ {n+1} $中的超曲面.记$ M ^ {n} $的主曲率函数为$ \lambda _{i} ~(1\leq i \leq n)$, 则$ M ^ {n} $的第r个高阶平均曲率

$ H_{r}~(1\leq r \leq n)$

定义为^{[1-3, 5-6]}

$\begin{aligned} \ C_{n}^{r}~H_{r}=\sum_{\lambda _{1} < \cdots < \lambda _{r}}\lambda _{1}\cdots\lambda _{r}, \end{aligned}$

其中$ C _{n}^{r} $是通常的组合数.规定

$H_{0}\equiv 1, H_{n+1} \equiv 0 .$

设$ H^{n+1} $是$ (n+1) $维单连通完备黎曼流形, 且有常数截面曲率$ K\equiv -1 $, 则$ H^{n+1} $称为双曲空间形式.本文采用$ H^{n+1} $的上半空间模型^[1-2].

本文需要以下几个引理.

引理2.1^[1-2]  设$ M ^ {n} $是双曲空间形式$ H^{n+1} $中等距浸入紧致无边超曲面, 则$ M ^ {n} $必有椭圆点.

引理2.2^[1-2]  若对某个整数$ r~(1\leq r \leq n)$而言, $ H_{r} >0 $在$ M ^ {n} $上成立, 则对一切$ k=0, 1, 2, \cdots, r $必有$ H_{k} >0 $在$ M ^ {n} $上成立.

引理2.3^[1-4]  对一切$ r=1, 2, \cdots, n $必有

$H_{r}^{2} \geq H_{r-1} H_{r+1}$

在$ M ^ {n} $上处处成立.又对$ 1\leq r \leq n-1 $而言, 不等式在且仅在脐点处取等号.

引理2.4^[1-2]  设$ M ^ {n} $是双曲空间形式$ H ^{n+1}$中紧致无边等距浸入超曲面.用x表示$ M ^ {n} $典型嵌入在$ R^{n+2} $中的位置向量, $ \eta $表示$ M ^ {n} $的单位法向量场.则对$ k=1, 2, \cdots, n $有下列推广的Minkowski积分公式

$\begin{aligned} \int_{M} \{H_{k-1} \langle x, \rangle +H_{k} \langle \eta, p \rangle \} dM =0, \end{aligned}$

其中$ p\in R^{n+2} $为任意固定向量, 而$ dM $表示黎曼流形$ M ^ {n} $的体积元, $ \langle ., . \rangle $表示$ R ^{n+2} $中的Lorentz内积.

首先, 无妨设s < r.

由引理2.1, $ M ^ {n} $必有椭圆点, 故在该点处$ H_{r} $和$ H_{s} $均为正值, 从而常数$ a=\frac{H_{s}}{H_{r}} $是正数.因为假设$ H_{r} $在$ M ^ {n} $上处处非零, 从而$ H_{r} > 0 $在$ M ^ {n} $上处处成立, 于是从引理2.2, 对$ k=0, 1, 2, \cdots, r $有$ H_{k} > 0$在$ M ^ {n} $上处处成立, 所以从引理2.3有

$\begin{aligned} 0 < \frac{H_{r}}{H_{r-1}} \leq \frac{H_{r-1}}{H_{r-2}} \leq \cdots \leq \frac{H_{s}}{H_{s-1}}. \end{aligned}$

(3.1)

由引理2.4, 可以写以下两个公式

$\begin{eqnarray} &&\int_{M} \{H_{r-1} \langle x, \rangle +H_{r} \langle \eta, p \rangle \} dM =0, \end{eqnarray}$

(3.2)

$ \begin{eqnarray} &&\int_{M} \{H_{s-1} \langle x, \rangle +H_{s} \langle \eta, p \rangle \} dM =0. \end{eqnarray}$

(3.3)

因为$a=\frac{H_{s}}{H_{r}} $在$ M ^ {n} $上是常数, 故由(3.2) 式和(3.3) 式立得

$\begin{eqnarray} && \int_{M} \{aH_{r-1} \langle x, \rangle +aH_{r} \langle \eta, p \rangle \} dM =0, \end{eqnarray}$

(3.4)

$ \begin{eqnarray} &&\int_{M} \{H_{s-1} \langle x, \rangle +aH_{r} \langle \eta, p \rangle \} dM =0. \end{eqnarray}$

(3.5)

现在, 从(3.4) 式和(3.5) 式立即写下

$\begin{aligned} \int_{M} \{ aH_{r-1} -H_{s-1}\} \langle x, p\rangle dM=0. \end{aligned}$

(3.6)

注意到(3.1) 式, 事实上在$ M ^ {n} $上恒有

$\begin{aligned} aH_{r-1} -H_{s-1} \geq 0. \end{aligned}$

(3.7)

引理2.4的积分公式中的向量$ p\in R^{n+2} $是可以任意取定的, 并且$ H^{n+1} $是典型嵌入在$ R^{n+2} $的上半空间中, 故可以适当选定$ p\in R^{n+2} $使得下式成立

$\begin{aligned} \langle x, p \rangle > 0, \forall x \in M^{n}. \end{aligned}$

(3.8)

至此, 由(3.6)、(3.7) 和(3.8) 式, 在$ M ^ {n} $上恒有

$\begin{aligned} aH_{r-1} -H_{s-1} \equiv 0. \end{aligned}$

(3.9)

再由(3.1) 式和(3.9) 式, 在$ M ^ {n} $上恒有

$\begin{aligned} H_{r-1} ^{2} \equiv H _{r}H_{r-2}. \end{aligned}$

(3.10)

最后, 从(3.10) 式及引理2.3立即知道, $ M ^ {n} $是全脐的.