混沌现象是指发生在确定的非线性系统中的随机现象, 是一种非常普遍的自然现象.例如, 在流体对流实验中观测到倍周期分叉和混沌运动, 在化学反应、非线性电路、光学双稳态、非线性声学、激光振荡等系统中能观测到混沌现象, 甚至社会、经济领域中也存在混沌现象^[1]. 1963年, Lorenz提出了第一个混沌模型, 即Lorenz系统^[2], 从此开启了混沌研究的热潮.各种混沌系统相继被人们发现, 如Rossler系统、Chua电路系统、Chen系统、Lü系统和统一混沌系统等等^[3].

混沌的同步问题是混沌研究中的一个重要方向.自从Pecoro和Carroll于1990年提出了混沌的反馈控制同步之后^[4], 越来越多的科学家、学者们开始致力于这一方面的研究并提出了各种各样的混沌控制同步的方法, 如自适应同步^[5]、非线性同步^[6]、耦合同步^[7]、投影同步^[8]和$H_{\infty}$同步^[9]等等.

到现在为止, 对于混沌同步, 研究的主流方向是使得系统在无限时间内达到同步^[4-10].但是, 在处理实际情况下的混沌系统问题时, 不仅要使得系统达到同步, 而且要在有限时间之内达到同步, 即如何在有限的时间之内使驱动-响应系统达到同步.赵等^[11]研究了分数阶超混沌Lorenz系统的有限时间同步问题, Wang Liyang等^[12]研究了不确定参数下两个不同的混沌系统的有限时间同步, Wang Hua等^[13]研究了不确定参数下的统一混沌系统的有限时间同步.与同步时间为无穷的情况下相比, 有限时间更加切合人们的实际应用, 这也使得有限时间同步的研究更加受到学者们的青睐.

同时, 实际生活中, 混沌系统不是孤立地存在于社会之中的, 当然也就存在扰动, 比如由于随机波动所带来的信号传输就是一个有扰动的过程.在具体的函数形式下的随机干扰项具有丰富的内容, 随机扰动的产生会使得系统不稳定并难以控制, 减少扰动的影响才能保持系统良好的稳定性. Salarieh等^[14]研究了带有随机扰动的两个混沌系统在不确定参数下的自适应同步, Sun Yonghui等^[15]研究了有时滞的情况下带有随机扰动的混沌系统的指数同步.

基于以上所述, 本文将研究随机扰动下的统一混沌系统的有限时间同步问题, 其中随机扰动是一维标准的维纳随机过程.研究这种扰动下的混沌系统更具有一般性, 更加符合实际生活.基于有限时间随机李雅普诺夫稳定性理论、伊藤公式, 本文将分三个步骤设立三个控制器使得驱动-响应系统在有限时间内达到均方渐近同步.

本节首先介绍随机扰动下的统一混沌系统的驱动系统和响应系统的数学模型, 之后再阐述文章中所需要的预备知识.考虑随机扰动下的统一混沌系统的驱动系统为

$\begin{equation} \label{eq:1} \left\{ \begin{aligned} dx_{1} &=[(25\alpha+10)(x_{2}-x_{1})]dt+H_{1}(t, x_{1})dw(t), \\ dx_{2} &= [(28-35\alpha)x_{1}-x_{1}x_{3}+(29\alpha-1)x_{2}]dt+H_{2}(t, x_{2})dw(t), \\ dx_{3} &=[x_{1}x_{2}-(8+\alpha)x_{3}/3]dt+H_{3}(t, x_{3})dw(t), \end{aligned} \right. \end{equation}$

(2.1)

其中$x_{1}, x_{2}, x_{3}$是状态向量, $\alpha\in[0, 1]$是系统参数, $H(t, x_{i})$ ($i=1, 2, 3$)是非线性函数, 并满足Lipschitz条件, 即足

$\begin{eqnarray} |H_{i}(t, x)-H_{i}(t, y)|\leq L_{i}(x-y), \end{eqnarray}$

(2.2)

其中$L_{i}$($i=1, 2, 3$)是Lipschitz系数, $w(t)$是随机扰动, 是一维标准的维纳随机过程, 且满

$\begin{eqnarray} E(dw(t))=0, E(dw(t)^{2})=dt. \end{eqnarray}$

(2.3)

对于系统(2.1), 如果去掉随机项, 则该系统是一个统一混沌系统, 其中当$\alpha$取不同数值时, 对应的混沌系统将相应发生改变, 如当$0\leq\alpha < 0.8$时, 系统(2.1) 为一般Lorenz混沌系统; 当$\alpha=0.8$时, 为Lü系统; 当$0.8 < \alpha\leq 1$时, 系统为Chen系统.

再设响应系统为

$\begin{equation} \label{eq:4} \left\{ \begin{aligned} dy_{1} &=[(25\alpha+10)(y_{2}-y_{1})]dt+H_{1}(t, y_{1})dw(t), \\ dy_{2} &= [(28-35\alpha)y_{1}-y_{1}y_{3}+(29\alpha-1)y_{2}]dt+H_{2}(t, y_{2})dw(t), \\ dy_{3} &=[y_{1}y_{2}-(8+\alpha)y_{3}/3]dt+H_{3}(t, y_{3})dw(t), \end{aligned} \right. \end{equation}$

(2.4)

其中$y_{1}, y_{2}, y_{3}$是状态向量.

设控制器为$u_{1}, u_{2}, u_{3}$, 则加入控制器后的响应系统为

$\begin{equation} \label{eq:5} \left\{ \begin{aligned} dy_{1} &=[(25\alpha+10)(y_{2}-y_{1})+u_{1}]dt+H_{1}(t, y_{1})dw(t), \\ dy_{2} &= [(28-35\alpha)y_{1}-y_{1}y_{3}+(29\alpha-1)y_{2}+u_{2}]dt+H_{2}(t, y_{2})dw(t), \\ dy_{3} &=[y_{1}y_{2}-(8+\alpha)y_{3}/3+u_{3}]dt+H_{3}(t, y_{3})dw(t). \end{aligned} \right. \end{equation}$

(2.5)

定义响应系统(2.4) 和驱动系统(2.1) 之间的状态误差为

$\begin{eqnarray} e_{i}=y_{i}-x_{i}, i=1, 2, 3. \end{eqnarray}$

(2.6)

本文的目标是通过设置合适的控制器$u_{1}, u_{2}, u_{3}$, 使得系统(2.1) 和(2.4) 达到有限时间内的均方渐近同步, 即如果存在正数$T>0$, 使得

$\begin{eqnarray} \lim\limits_{t\rightarrow T}|y_{i}-x_{i}|=\lim\limits_{t\rightarrow T}e_{i}=0, \end{eqnarray}$

(2.7)

且当$t\geq T$时, 有$|y_{i}-x_{i}|\equiv 0$, 则称系统(2.1) 和(2.4) 在$T$时刻内达到有限时间内的均方渐近同步.

为了获得系统(2.1) 和(2.4) 在有限时间内达到同步的条件, 需要用到以下两个引理.

引理1  (有限时间稳定性定理^[16])假设存在连续的, 正定的函数$V(t)$满足下面的微分不等式

$V^{'}(t)\leq -cV^{\eta}(t), \forall t\geq t_{0}, V(t_{0})\geq 0, $

其中$c>0$, $0 < \eta < 1$, 那么对于任意给定的$t_{0}$, $V(t)$满足下面的微分不等式

$V^{1-\eta}(t)\leq V^{1-\eta}(t_{0})-c(1-\eta)(t-t_{0}), t_{0}\leq t\leq t_{1}, $

且当$\forall t\geq t_{1}$, $V(t)\equiv 0$,

$t_{1}=t_{0}+\frac{ V^{1-\eta}(t_{0})}{c(1-\eta)}.$

引理2  (伊藤公式^[17])设$f(t, x(t))$是关于$t$和随机过程$\{x(t), t\in T\}$的二次微分函数, 若$x(t)$的随机微分是

$dx(t)=A(t)dt+B(t)dw(t), $

则$Y(t)=f(t, x(t))$, 有

$dY(t)=[f_{t}^{'}(t, x(t))+f_{x}^{'}(t, x(t))A(t)+\frac{1}{2}f_{xx}^{''}(t, x(t))B^{2}(t)]dt+f_{x}^{'}(t, x(t))B(t)dw(t), $

其中

$\begin{eqnarray*} &&dt\cdot dt=dw(t)\cdot dt=dt\cdot dw(t)=0, \\ &&dw(t)\cdot dw(t)=dt. \end{eqnarray*}$

由系统(2.1) 和系统(2.5) 以及状态误差(2.6), 获得系统的误差方程为

$\begin{equation} \label{eq:6} \left\{ \begin{aligned} de_{1} =&[(25\alpha+10)(e_{2}-e_{1})+u_{1}]dt+[H_{1}(t, y_{1})-H_{1}(t, x_{1})]dw(t), \\ de_{2}=&[(28-35\alpha)e_{1}+e_{1}e_{3}-e_{1}y_{3}-e_{3}y_{1}+(29\alpha-1)e_{2}+u_{2}]dt\\ &+[H_{2}(t, y_{2})-H_{2}(t, x_{2})]dw(t), \\ de_{3} =&[-e_{1}e_{2}+e_{1}y_{2}+e_{2}y_{1}-(8+\alpha)e_{3}/3+u_{3}]dt+[H_{3}(t, y_{3})-H_{3}(t, x_{3})]dw(t). \end{aligned} \right. \end{equation}$

(3.1)

为了获得误差系统在有限时间内达到稳定, 本节下面将分三步分别设置控制器$u_{1}, u_{2}, u_{3}$.

第1步  设置控制器

$\begin{eqnarray} u_{1}=-(25\alpha+10)e_{2}-e_{1}^{\beta}-L_{1}^{2}e_{1}, \end{eqnarray}$

(3.2)

这里$\beta=\frac{q}{p}$是一个合适的有理数, $p$和$q$都是正的奇数并且有$p>q$, 将(3.2) 式代入(3.1) 式有

$\begin{eqnarray} de_{1}=[-(25\alpha+10)e_{1}-e_{1}^{\beta}-L_{1}^{2}e_{1}]dt+\tilde{H}_{1}(t, e_{1})dw(t). \end{eqnarray}$

(3.3)

构造李雅普诺夫函数

$\begin{eqnarray} V_{1}=\frac{1}{2}e_{1}^{2}, \end{eqnarray}$

(3.4)

应用引理2得

$\begin{eqnarray} dV_{1}&=&[-(25\alpha+10)e_{1}^{2}-e_{1}^{1+\beta}+\tilde{H}_{1}(t, e_{1})^{2}-L_{1}^{2}e_{1}^{2}]dt\nonumber\\ &&+e_{1}\tilde{H}_{1}(t, e_{1})dw(t). \end{eqnarray}$

(3.5)

由(2.3) 式可知(3.5) 式的均方(即数学期望)只有第一部分不为零, 所以后面只需考虑第一部分, 可设

$\begin{eqnarray} LV_{1}=-(25\alpha+10)e_{1}^{2}-e_{1}^{1+\beta}+\tilde{H}_{1}(t, e_{1})^{2}-L_{1}^{2}e_{1}^{2}, \end{eqnarray}$

(3.6)

其中$LV_{1}$是应用引理2后, 去掉公式中的随机微分项获得的.由(2.2) 式得

$\begin{eqnarray} |\tilde{H}_{i}(t, e_{i})|^{2}\leq L_{i}^{2}e_{i}^{2}, \end{eqnarray}$

(3.7)

则

$LV_{1}\leq -(25\alpha+10)e_{1}^{2}-e_{1}^{1+\beta}\leq -e_{1}^{1+\beta}\leq -2^{\frac{1+\beta}{2}}(\frac{1}{2}e_{1}^{2})^{\frac{1+\beta}{2}}=2^{\frac{1+\beta}{2}}V_{1}^{\frac{1+\beta}{2}}, $

所以根据引理1, 在某个$T_{1}$时刻内, 误差$e_{1}$渐近趋于零, 且当$t\geq T_{1}$时, $e_{1}$恒等于零.

第2步  类似地, 在第一步的基础上, 设置控制器

$\begin{eqnarray} u_{2}=-28e_{2}-e_{2}^{\beta}-L_{2}^{2}e_{2}+e_{3}y_{1}, \end{eqnarray}$

(3.8)

将(3.8) 式代入到状态误差方程(3.1) 式中, 有

$\begin{eqnarray} de_{2}=[(29\alpha-1)e_{2}-28e_{2}-e_{2}^{\beta}-L_{2}^{2}e_{2}]dt+\tilde{H}_{2}(t, e_{2})dw(t). \end{eqnarray}$

(3.9)

同样地, 构造李雅普诺夫函数

$\begin{eqnarray} V_{2}=\frac{1}{2}e_{2}^{2}, \end{eqnarray}$

(3.10)

应用引理2得到

$\begin{eqnarray} LV_{2}=29(\alpha-1)e_{2}^{2}-e_{2}^{1+\beta}+\tilde{H}_{2}(t, e_{2})^{2}-L_{2}^{2}e_{2}^{2}, \end{eqnarray}$

(3.11)

由公式(3.7) 得

$\begin{eqnarray} LV_{2} \leq -e_{2}^{1+\beta} \leq -2^{\frac{1+\beta}{2}}(\frac{1}{2}e_{2}^{2})^{\frac{1+\beta}{2}} =-2^{\frac{1+\beta}{2}}V_{2}^{\frac{1+\beta}{2}}, \end{eqnarray}$

(3.12)

所以根据引理1, 在某个$T_{2}$时刻内, 误差$e_{2}$也渐近趋于零, 且当$t\geq T_{2}$时, $e_{2}$恒等于零.

第3步  在第一步和第二步的基础上, 设置控制器

$\begin{eqnarray} u_{3}=L_{3}^{2}e_{3}-e_{3}^{\beta}. \end{eqnarray}$

(3.13)

构造李雅普诺夫函数

$\begin{eqnarray} V_{3}=\frac{1}{2}e_{3}^{2}, \end{eqnarray}$

(3.14)

由引理2得

$\begin{eqnarray} LV_{3}=-(8+\alpha)e_{3}^{2}/3-L_{3}^{2}e_{3}^{2}-e_{3}^{1+\beta}+\tilde{H}_{3}(t, e_{3})^{2}, \end{eqnarray}$

(3.15)

由公式(3.7) 得

$\begin{eqnarray} LV_{3}\leq -e_{3}^{1+\beta} \leq -2^{\frac{1+\beta}{2}}(\frac{1}{2}e_{3}^{2})^{\frac{1+\beta}{2}} =-2^{\frac{1+\beta}{2}}V_{3}^{\frac{1+\beta}{2}}. \end{eqnarray}$

(3.16)

同样地, 根据引理1, 可知在某个$T_{3}$时刻内, 误差$e_{3}$是渐近稳定的, 且当$t\geq T_{3}$时, $e_{3}$恒等于0.由此得到状态误差方程(3.1) 在$T_{3}$时刻内渐近趋于零, 即驱动系统和响应系统在$T_{3}$时刻内达到有限时间同步.

注  在施加控制器$u_{2}$的时候, $e_{1}$已经恒为0, 本文的证明是在过了时间$T_{1}$之后再添加的$u_{2}$, 然后过了时间$T_{2}$之后施加控制器$u_{3}$, 这样就有$T_{3}\geq T_{2}\geq T_{1}$.当然, 实际操作的时候, 也不一定非得这样做, 可以一次性地把这三个控制器同时加上去, 只求最后的时间$T_{3}$.

为了说明第3节中所提出的理论结果的正确性和方法的有效性, 本节将运用数值模拟来验证驱动-响应系统的均方渐近同步情况.在本节中$\alpha$分别取0, 0.8和1.为了简单起见, 设

$\begin{eqnarray*} & & H_{i}(t, x_{i})=5x_{i}, \\ & & H_{i}(t, y_{i})=5y_{i}, \end{eqnarray*}$

则可取Lipschitz系数$L_{1}=L_{2}=L_{3}=6$, 再设$\beta=\frac{q}{p}=\frac{1}{3}$.在模拟中, 我们始终设驱动系统和响应系统的初始值分别为

$\begin{eqnarray*}&&(x_{1}, x_{2}, x_{3})=(1, 0, 0), \\ &&(y_{1}, y_{2}, y_{3})=(3.5, 2, 2).\end{eqnarray*} $

当$t_{0}=0$时, $c=2^{\frac{2}{3}}$, $\eta=\frac{2}{3}$, 由有限时间引理1, 获得理论有限时间$T\approx 3.64$秒, 要注意的是这个理论值依赖于初值的选取情况.

利用Matlab, 下面给出驱动系统、响应系统和误差系统相对应的数值模拟图. 图 1、图 4和图 7是随机扰动下的统一混沌系统在参数$\alpha$分别取0、0.8和1时驱动系统的图形, 图 2、图 5和图 8是对应的响应系统的图形, 这些图形说明了系统的运动轨迹是杂乱无章的, 且驱动系统和响应系统的对应轨迹不一致.图 3、图 6和图 9是在控制器$u_{1}, u_{2}, u_{3}$下误差系统的图形, 可以看出在0.1秒左右的时间内, 驱动-响应系统都达到了有限时间同步, 而且比理论上计算出来的有限时间更小, 体现了良好的同步性能.

混沌系统的有限时间同步控制是控制理论界的热门研究方向.本文对带有随机扰动的两个统一混沌系统的有限时间均方渐近同步问题进行了研究.与同步时间在无穷的情况下相比, 本文中有限时间同步问题的研究更加符合现实生活, 而且考虑了随机扰动的影响, 具有一定的现实意义.文中分三个步骤分别设置了三个控制器, 相应地构造了三个李雅普诺夫函数, 其中控制器和李雅普诺夫函数的形式相对简单, 计算过程也不繁琐.文章最后进行的Matlab数值模拟表明当$\alpha$取不同的数值时, 对应的各个系统均体现出了良好的同步性能, 验证了理论结果的正确性和方法的有效性.