设p是奇素数(其中$p\neq 3, ~7$), 文[1]研究了$2^{3}p^{3}$阶群的构造; 当Sylow 2 -子群可换时, 文[2]重新确定了$2^{3}p^{3}$阶群的构造.文[3]确定了2744(即$2^{3}\cdot 7^{3}$)阶群的构造, 这是对文[1]与^[2]的补充.本文将研究216(即$2^{3}\cdot 3^{3}$)阶群的同构分类, 并决定它们的全部构造, 从而圆满完成了$2^{3}p^{3}$阶群的分类.我们的主要结果是

定理1.1  设G为$2^{3}\cdot 3^{3}$阶(即216阶)群, 那么G共有177种互不同构的类型, 其中

1) 当Sylow子群都正规时, G恰有25个彼此不同构的类型;

2) 当Sylow 2 -子群正规但Sylow 3 -子群不正规时, G恰有14个彼此不同构的类型;

3) 当Sylow 2 -子群不正规但Sylow 3 -子群正规时, G恰有120个彼此不同构的类型;

4) 当Sylow子群都不正规时, G恰有18个彼此不同构的类型.

以下恒设G是216阶群, P是G的一个Sylow 3 -子群, Q是G的一个Sylow 2 -子群, 我们用$|G|$, $|g|$分别表示有限群G及其元素g的阶, 用$C_{n}$表示n阶循环群, 用$E_{p^{n}}$表示$p^{n}$阶初等交换群, 用$g^{x}$表示$x^{-1}gx$, 其他未说明的符号见文献[4].由文[5]之定理7.1.1, P必为下列5种类型之一:

$P_{1}=C_{27}=\langle~a~\big|~|a|=3^{3}~\rangle$;

$P_{2}=C_{9}\times C_{3}=\langle a\rangle\times\langle b\rangle$, 其中$|a|=3^{2}, ~|b|=3$;

$P_{3}=E_{27}=\langle a\rangle\times\langle b\rangle\times\langle c\rangle$, 其中$|a|=|b|=|c|=3$;

$P_{4}=\langle~a, ~b~\big|~|a|=3^{2}, ~|b|=3, ~a^{b}=a^{4}~\rangle$;

$P_{5}=\langle~a, ~b, ~c~\big|~|a|=|b|=|c|=3, ~c^{a}=c^{b}=c, ~[a, ~b]=c~\rangle$.

而Q也只有5种不同构的类型:

$Q_{1}=C_{8}=\langle~x~\big|~|x|=8~\rangle$;

$Q_{2}=C_{4}\times C_{2}=\langle x\rangle\times\langle y\rangle$, 其中$|x|=4, ~|y|=2$;

$Q_{3}=E_{8}=\langle x\rangle\times\langle y\rangle\times\langle z\rangle$, 其中$|x|=|y|=|z|=2$;

$Q_{4}=D_{8}=\langle~x, ~y~\big|~|x|=4, ~|y|=2, ~x^{y}=x^{3}~\rangle$;

$Q_{5}=Q_{8}=\langle~x, ~y~\big|~|x|=4, ~x^{2}=y^{2}, ~x^{y}=x^{3}~\rangle$.

由于定理的证明较长, 下面我们分为几个引理来叙述.

引理2.1  如果216阶群G的Sylow子群都是正规子群, 那么G恰有25个互不同构的类型, 其构造是: $G=P_{i}\times Q_{j}, ~i, ~j=1, 2, \cdots, 5.$ %这是定义内容.

引理2.2  如果216阶群G的Sylow 2 -子群正规但Sylow 3 -子群不正规, 那么G恰有14个互不同构的类型且它们的构造分别是式(2.1)-(2.14), 其中在式(2.1)-(2.7) 中$|x|=|y|=|z|=2$, 且$\langle x, y, z\rangle\cong E_{8}$; 而在式(2.8)-(2.14) 中$|x|=4, x^{2}=y^{2}, x^{y}=x^{3}$, 且$\langle x, y\rangle\cong Q_{8}$.

证  这时P非平凡作用在Q上, 所以有$C_{P}(Q)\neq P$, 从而$3\big|~|$Aut$(Q)|$.但$|$Aut$(Q_{1})|=4$, $|$Aut$(Q_{2})|=8$, $|$Aut$(Q_{3})|=168$, $|$Aut$(Q_{4})|=8$, $|$Aut$(Q_{5})|=24$, 于是必有$Q\cong Q_{3}$或$Q\cong Q_{5}$, 即G的Sylow 2 -子群是8阶初等交换群或8阶四元数群.又Aut$(Q_{3})$与Aut$(Q_{5})$的Sylow 3 -子群都是3阶循环群, 所以$C_{P}(Q)$必是P的一个9阶正规子群.

(ⅰ)当Q是8阶初等交换群(即$Q\cong Q_{3}$)时,

1) 若$P\cong P_{1}$, 则必有$C_{P}(Q)=\langle a^{3}\rangle$, 因此a作为$GL(3, 2)$的一个元素, 它的特征多项式应是2元域$\mathbb{F}_{2}$上多项式$\lambda^{3}-1$, 从而G的构造是

$\begin{align} G=\langle x\rangle\times((\langle y\rangle\times\langle z\rangle)\rtimes\langle a\rangle), |a|=27, y^{a}=z, z^{a}=yz. \end{align}$

(2.1)

2) 若$P\cong P_{2}$, 则$C_{P}(Q)$是P的9阶正规子群.如果$C_{P}(Q)$是循环群, 则不妨设$C_{P}(Q)=\langle a\rangle$, 于是$G=\langle a\rangle\times\langle Q, b\rangle$, 而b作为$GL(3, 2)$的一个元素, 它的特征多项式只能是2元域$\mathbb{F}_{2}$上多项式$\lambda^{3}-1$, 从而G的构造是

$\begin{align} G=\langle a\rangle\times\langle x\rangle\times((\langle y\rangle\times\langle z\rangle)\rtimes\langle b\rangle), |a|=9, |b|=3, y^{b}=z, z^{b}=yz. \end{align}$

(2.2)

如果$C_{P}(Q)$是初等交换群, 则因为P有唯一的9阶初等交换子群$\langle a^{3}, ~b\rangle$, 所以必有$C_{P}(Q)=\langle a^{3}, ~b\rangle$, 从而a作用在Q上是Q的一个3阶自同构, 因而$G=\langle b\rangle\times\langle Q, a\rangle$, 其构造是

$\begin{align} G=\langle b\rangle\times\langle x\rangle\times((\langle y\rangle\times\langle z\rangle)\rtimes\langle a\rangle), |a|=9, |b|=3, y^{a}=z, z^{a}=yz. \end{align}$

(2.3)

3) 若$P\cong P_{3}$, 则$C_{P}(Q)$必是P的9阶初等交换子群, 不妨设$C_{P}(Q)=\langle b, ~c\rangle$, 于是$G=\langle b, ~c\rangle\times\langle Q, a\rangle$, a作用在Q上是Q的一个3阶自同构, 因而G的构造是

$\begin{align} G=\langle b\rangle\times\langle c\rangle\times\langle x\rangle\times((\langle y\rangle\times\langle z\rangle)\rtimes\langle a\rangle), |a|=|b|=|c|=3, y^{a}=z, z^{a}=yz. \end{align}$

(2.4)

4) 若$P\cong P_{4}$, 则因为$C_{P}(Q)$是P的9阶正规子群, 所以$C_{P}(Q)$是循环群或初等交换群.如果$C_{P}(Q)$是循环群, 则不妨设$C_{P}(Q)=\langle a\rangle$, 于是$G=\langle a\rangle\rtimes\langle Q, b\rangle$, 而b作用在Q上是Q的一个3阶自同构, 从而G的构造是

$\begin{align} G=\langle x\rangle\times((\langle y\rangle\times\langle z\rangle\times\langle a\rangle)\rtimes\langle b\rangle), |a|=9, |b|=3, a^{b}=a^{4}, y^{b}=z, z^{b}=yz. \end{align}$

(2.5)

如果$C_{P}(Q)$是初等交换群, 则因为P有唯一的9阶初等交换子群$\langle a^{3}, ~b\rangle$, 所以必有$C_{P}(Q)=\langle a^{3}, ~b\rangle$, 从而a作用在Q上是Q的一个3阶自同构, 因而G的构造是

$\begin{align} &G=\langle x\rangle\times(((\langle y\rangle\times\langle z\rangle)\rtimes\langle a\rangle)\rtimes\langle b\rangle), |a|=9, |b|=3, \nonumber\\ &a^{b}=a^{4}, y^{a}=z, z^{a}=yz, b^{y}=b^{z}=b. \end{align}$

(2.6)

5) 若$P\cong P_{5}$, 则$C_{P}(Q)$必是P的9阶初等交换子群, 不妨设$C_{P}(Q)=\langle b, ~c\rangle$, 于是a作用在Q上是Q的一个3阶自同构, 因而G的构造是

$\begin{align} &G=\langle x\rangle\times(((\langle y\rangle\times\langle z\rangle)\rtimes(\langle a\rangle\times\langle c\rangle))\rtimes\langle b\rangle), |a|=|b|=|c|=3, \nonumber\\ &a^{b}=ac, c^{b}=c, y^{a}=z, z^{a}=yz, y^{b}=y^{c}=y, z^{b}=z^{c}=z. \end{align}$

(2.7)

(ⅱ)当Q是8阶四元数群(即$Q\cong Q_{5}$)时,

1) 若$P\cong P_{1}$, 则必有$C_{P}(Q)=\langle a^{3}\rangle$, 易得G的如下构造

$\begin{align} G=(\langle x\rangle\rtimes\langle y\rangle)\rtimes\langle a\rangle, |a|=27, x^{a}=y, y^{a}=xy. \end{align}$

(2.8)

2) 若$P\cong P_{2}$, 则$C_{P}(Q)$是P的9阶正规子群.如果$C_{P}(Q)$是循环群, 则G的构造是

$\begin{align} G=\langle a\rangle\times((\langle x\rangle\rtimes\langle y\rangle)\rtimes\langle b\rangle), |a|=9, |b|=3, x^{b}=y, y^{b}=xy. \end{align}$

(2.9)

如果$C_{P}(Q)$是初等交换群, 则因为P有唯一的9阶初等交换子群$\langle a^{3}, ~b\rangle$, 所以必有$C_{P}(Q)=\langle a^{3}, ~b\rangle$, 从而a作用在Q上是Q的一个3阶自同构, 因而$G=\langle b\rangle\times\langle Q, a\rangle$, 其构造是

$\begin{align} G=\langle b\rangle\times((\langle x\rangle\rtimes\langle y\rangle)\rtimes\langle a\rangle), |a|=9, |b|=3, x^{a}=y, y^{a}=xy. \end{align}$

(2.10)

3) 若$P\cong P_{3}$, 则$C_{P}(Q)$必是P的9阶初等交换子群, 不妨设$C_{P}(Q)=\langle b, ~c\rangle$, 于是$G=\langle b, ~c\rangle\times\langle Q, a\rangle$, a作用在Q上是Q的一个3阶自同构, 因而G的构造是

$\begin{align} G=\langle b\rangle\times\langle c\rangle\times((\langle x\rangle\rtimes\langle y\rangle)\rtimes\langle a\rangle), |a|=|b|=|c|=3, x^{a}=y, y^{a}=xy. \end{align}$

(2.11)

4) 若$P\cong P_{4}$, 则因为$C_{P}(Q)$是P的9阶正规子群, 所以$C_{P}(Q)$是循环群或初等交换群.如果$C_{P}(Q)$是循环群, 则不妨设$C_{P}(Q)=\langle a\rangle$, 于是$G=\langle a\rangle\rtimes\langle Q, b\rangle$, 而b作用在Q上是Q的一个3阶自同构, 从而G的构造是

$\begin{align} G=(\langle a\rangle\times(\langle x\rangle\rtimes\langle y\rangle))\rtimes\langle b\rangle, |a|=9, |b|=3, x^{b}=y, y^{b}=xy, a^{b}=a^{4}. \end{align}$

(2.12)

如果$C_{P}(Q)$是初等交换群, 则因为P有唯一的9阶初等交换子群$\langle a^{3}, ~b\rangle$, 所以必有$C_{P}(Q)=\langle a^{3}, ~b\rangle$, 从而a作用在Q上是Q的一个3阶自同构, 因而G的构造是

$\begin{align} G=((\langle x\rangle\rtimes\langle y\rangle)\rtimes\langle a\rangle)\rtimes\langle b\rangle, |a|=9, |b|=3, ~~~ x^{a}=y, ~y^{a}=xy, a^{b}=a^{4}, ~b^{x}=b^{y}=b. \end{align}$

(2.13)

5) 若$P\cong P_{5}$, 则$C_{P}(Q)$必是P的9阶初等交换子群, 不妨设$C_{P}(Q)=\langle b, ~c\rangle$, 于是a作用在Q上是Q的一个3阶自同构, 因而G的构造是

$\begin{align} &G=((\langle x\rangle\rtimes\langle y\rangle)\rtimes(\langle a\rangle\times\langle c\rangle))\rtimes\langle b\rangle, |a|=|b|=|c|=3, \nonumber\\ &x^{a}=y, y^{a}=xy, a^{b}=ac, b^{x}=b^{y}=b^{c}=b, c^{x}=c^{y}=c^{a}=c. \end{align}$

(2.14)

综上所述, 可知引理2.2成立.

引理2.3  如果216阶群G的Sylow 2 -子群Q不正规但Sylow 3 -子群P正规, 那么G恰有120个互不同构的类型.其中当Sylow 3 -子群是循环群时, G恰有7个互不同构的类型; 当Sylow 3 -子群是($3^{2}$, 3) 型交换群时, G恰有29个互不同构的类型; 当Sylow 3 -子群是27阶初等交换群时, G恰有52个互不同构的类型; 当Sylow 3 -子群是($3^{2}$, 3) 型非交换群时, G恰有7个互不同构的类型; 当Sylow 3 -子群是指数为3的非交换群时, G恰有25个互不同构的类型.

证  类似于文献[3]之引理2.4-2.8的讨论, 可得此引理.

注2.4  1) 文献[3]之引理2.6中(2.65) 的证明有误且漏掉了1种构造, 正确叙述如下:如果$C_{Q}(a)$, $C_{Q}(b)$, $C_{Q}(c)$两两不等, 但$C_{Q}(a)\cap C_{Q}(b)=C_{Q}(b)\cap C_{Q}(c)=C_{Q}(c)\cap C_{Q}(a)$, 则不妨设$C_{Q}(a)=\langle x, z\rangle$, $C_{Q}(b)=\langle y, z\rangle$, $C_{Q}(c)=\langle xy, z\rangle$, 于是G有构造

$G=((\langle a\rangle\times\langle b\rangle\times\langle c\rangle)\rtimes(\langle x\rangle\times\langle y\rangle))\times\langle z\rangle, $

其中

$|a|=|b|=|c|=7, |x|=|y|=|z|=2, a^{x}=a, a^{y}=a^{-1}, b^{x}=b^{-1}, b^{y}=b, c^{x}=c^{y}=c^{-1}.$

如果$C_{Q}(a), ~C_{Q}(b), ~C_{Q}(c)$中两两不等, 且$C_{Q}(a)\cap C_{Q}(b)\neq C_{Q}(b)\cap C_{Q}(c)$, 则不妨设$C_{Q}(a)\cap C_{Q}(b)=\langle y\rangle$, $C_{Q}(b)\cap C_{Q}(c)=\langle z\rangle$, 于是$C_{Q}(b)=\langle y, z\rangle$.又不妨设$C_{Q}(a)=\langle x, y\rangle$, 则$C_{Q}(c)\cap C_{Q}(a)=\langle x\rangle$或$\langle xy\rangle$.于是$C_{Q}(c)=\langle x, z\rangle$或$C_{Q}(c)=\langle xy, z\rangle$.注意到x与$xy$在$C_{Q}(a)$中的地位是相同的, 所以不妨设$C_{Q}(c)=\langle x, z\rangle$, 从而得G的构造

$G=(\langle a\rangle\rtimes\langle z\rangle)\times(\langle b\rangle\rtimes\langle x\rangle)\times(\langle c\rangle\rtimes\langle y\rangle).$

其中

$|a|=|b|=|c|=7, |x|=|y|=|z|=2, a^{z}=a^{-1}, ~b^{x}=b^{-1}, ~c^{y}=c^{-1}.$

因此文[3]之引理2.6中应当共有52个互不同构的类型.

2) 文献[3]之引理2.8中(2.118) 的条件有误, 应为“当$C_{Q}(a)$与$C_{Q}(b)$中有一个是4阶循环子群而另一个是4阶初等交换子群时”.文[3]之引理2.8中还遗漏了G的一种构造, 即

$G=((\langle a\rangle\times\langle c\rangle)\rtimes\langle b\rangle)\rtimes(\langle x\rangle\rtimes\langle y\rangle), $

其中

$\begin{eqnarray*}&&|a|=|b|=|c|=7, a^{b}=ac, c^{b}=c, |x|=4, |y|=2, x^{y}=x^{3}, \\ &&a^{x}=a^{-1}, a^{y}=y, b^{x}=b^{y}=b^{-1}, ~ c^{x}=c, c^{y}=c^{-1}.\end{eqnarray*}$

此外, 文[3]之引理2.8中(ii)之(2) 部分证明有误.构造(2.125) 和(2.126) 是不存在的, 因为在(2) 的条件下, $Q/C_{Q}(P)$只能是4阶循环群, 因而y在Q上的作用是平凡的, 于是只能得到一种构造

$G=(((\langle a\rangle\times\langle c\rangle)\rtimes\langle b\rangle)\rtimes \langle x\rangle)\times\langle y\rangle, $

其中

$|a|=|b|=|c|=7, a^{b}=ac, c^{b}=c, |x|=4, |y|=2, a^{x}=b, ~b^{x}=a^{-1}, ~c^{x}=c.$

故文[3]之引理2.8中只有25个互不同构的类型.

引理2.5  如果216阶群G的Sylow 3 -子群P与Sylow 2 -子群Q都不正规, 那么G恰有18个互不同构的类型.它们的构造分别是式(2.15)-(2.32), 其中在式(2.15)-(2.20) 中有$|x|=|y|=|z|=2$; 在式(2.22)-(2.32) 中有$|x|=|y|=|z|=2, ~x^{z}=x, ~y^{z}=xy$; 在式(2.15), (2.16), (2.19), (2.23)-(2.26), (2.30) 中有$|a|=9, ~|b|=3$; 在式(2.17), (2.18), (2.20), (2.21), (2.27)-(2.29), (2.31), (2.32) 中有$|a|=|b|=|c|=3$.

证  由Sylow定理^[6]可知, G的Sylow 3 -子群的个数是4, 于是$N_{G}(P)$是54阶群, 从而易知P在G中的核$P_{G}$必是9阶群, 即$O_{3}(G)$是9阶群.又$G/P_{G}$的Sylow 3 -子群不正规, 所以$G/P_{G}$同构于一个Sylow 3 -子群不正规的24阶群.但Sylow 3 -子群不正规的24阶群只有3种不同构的类型: $A_{4}\times C_{2}$, $Q_{8}\rtimes C_{3}\cong SL(2, 3)$, $S_{4}$ (见文献[5]之定理10.4.2$_{2}$或文献[7]之定理1后的讨论), 于是, 我们可以作下述讨论.

(ⅰ)设$G/P_{G}\cong A_{4}\times C_{2}$.这时, G有一个108阶正规子群, 记为H, 则$H/P_{G}\cong A_{4}$.易见, H的Sylow 3 -子群不正规, 由文[8]之引理8可知H的Sylow 2 -子群正规, 从而得$O_{2}(G)$是4阶初等交换群.又显然G的Sylow 2 -子群是8阶初等交换群, 设为$E_{8}=\langle x\rangle\times\langle y\rangle\times\langle z\rangle$.不妨设$O_{2}(G)=\langle y\rangle\times\langle z\rangle$, 则$[O_{2}(G), P_{G}]=1$, 且$G/P_{G}=O_{2}(G)P/P_{G}\times \langle x\rangle P_{G}/P_{G}$.于是G有一个18阶正规子群, 即$\langle x\rangle\ltimes P_{G}$, 注意到G的Sylow 2 -子群是不正规的, 所以$1<[P, x]\leq P_{G}$.

1) 当$P\cong P_{1}=\langle a\rangle$时, 必有$1\neq[a, x]\in P_{G}=\langle a^{3}\rangle$, 但Aut$(P)$只有一个2阶自同构, 于是就有$[a, x]=a^{-2}\notin P_{G}$, 故这时G不存在.

2) 当$P\cong P_{2}$时, 则$P_{G}$既可为9阶循环群$\langle a\rangle$, 也可为9阶初等交换群$\langle a^{3}, b\rangle$, 由此得G的如下两种构造

$\begin{eqnarray} &&G=(\langle a\rangle\rtimes\langle x\rangle)\times ((\langle y\rangle\times\langle z\rangle)\rtimes\langle b\rangle), a^{x}=a^{-1}, y^{b}=z, z^{b}=yz, \end{eqnarray}$

(2.15)

$\begin{eqnarray} &&G=(\langle b\rangle\rtimes\langle x\rangle)\times ((\langle y\rangle\times\langle z\rangle)\rtimes\langle a\rangle), b^{x}=b^{-1}, y^{a}=z, z^{a}=yz. \end{eqnarray}$

(2.16)

3) 当$P\cong P_{3}$时, 则$P_{G}$只能为9阶初等交换群.不妨设$P_{G}=\langle a, b\rangle$, 但$C_{P}(x)$的阶可为9与3之一, 因此得G的如下两种构造

$\begin{eqnarray} &&G=((\langle a\rangle\times\langle b\rangle)\rtimes\langle x\rangle)\times ((\langle y\rangle\times\langle z\rangle)\rtimes\langle c\rangle), \nonumber\\ &&a^{x}=a^{-1}, b^{x}=b^{-1}, y^{c}=z, z^{c}=yz, \end{eqnarray}$

(2.17)

$\begin{eqnarray} &&G=\langle a\rangle\times(\langle b\rangle\rtimes\langle x\rangle)\times ((\langle y\rangle\times\langle z\rangle)\rtimes\langle c\rangle), b^{x}=b^{-1}, y^{c}=z, z^{c}=yz. \end{eqnarray}$

(2.18)

4) 当$P\cong P_{4}$时, 则如果$P_{G}$为9阶循环群$\langle a\rangle$, 那么可得G的如下构造:

$\begin{align} &G=((\langle a\rangle\times\langle y\rangle\times\langle z\rangle)\rtimes\langle b\rangle)\rtimes\langle x\rangle, a^{x}=a^{-1}, b^{x}=b, \nonumber\\ &a^{b}=a^{4}, y^{b}=z, z^{b}=yz, y^{x}=y, z^{x}=z. \end{align}$

(2.19)

如果$P_{G}$为9阶初等交换群$\langle a^{3}, b\rangle$, 则应有$G=((\langle y\rangle\times\langle z\rangle)\rtimes(\langle a\rangle\rtimes\langle b\rangle))\rtimes\langle x\rangle$.其中$|a|=9, ~|b|=3, ~|x|=|y|=|z|=2, ~a^{b}=a^{4}, ~ y^{a}=z, ~z^{a}=yz, ~y^{b}=y^{x}=y, ~z^{b}=z^{x}=z$, 于是应有$a^{x}=a, ~b^{x}=b^{-1}.$但由此就应有$a^{3}=[a, b]^{x}=[a, b^{x}]=[a, b^{-1}]=a^{6}$, 这是不可能的.故此时G只有一种构造(2.19).

5) 当$P\cong P_{5}$时, 则$P_{G}$只能是9阶初等交换群.不妨设$P_{G}=\langle a, c\rangle$, 于是G的构造应为

$\begin{align} &G=(\langle a\rangle\times\langle c\rangle\times\langle y\rangle\times\langle z\rangle)\rtimes(\langle b\rangle\times\langle x\rangle), a^{b}=ac, c^{b}=c, \nonumber\\ &y^{b}=z, z^{b}=yz, a^{x}=a^{-1}, c^{x}=c^{-1}, y^{x}=y, z^{x}=z. \end{align}$

(2.20)

(ⅱ)设$G/P_{G}\cong SL(2, 3)$.这时, G的Sylow 2 -子群同构于8阶四元数群, 设为$Q_{5}=\langle~x, ~y~\big|~|x|=4, ~x^{2}=y^{2}, ~x^{y}=x^{3}~\rangle$.易见, $Q_{5}$必非平凡作用在$P_{G}$上.若$P_{G}$不是G的极小正规子群, 则G有一个3阶正规子群N, 于是$G/N$是Sylow子群皆不正规的72阶群, 但由文[9]之引理1知, $G/N$的Sylow 2 -子群不是四元数群, 因此$P_{G}$是G的极小正规子群, 从而必为9阶初等交换群.因此P不可为循环群$P_{1}$.

1) 当$P\cong P_{2}$时, 则$P_{G}$必为9阶初等交换群$\langle a^{3}, b\rangle$.这时a作用在$Q_{5}$上是$Q_{5}$的3阶自同构, 于是$[a^{3}, Q_{5}]=1$, 从而$\langle a^{3}\rangle\leq Z(G)$, 这样$P_{G}$不是G的极小正规子群, 矛盾.

2) 当$P\cong P_{3}$时, 则$P_{G}$只能为9阶初等交换群, 于是$G\cong SL(2, 3)\ltimes E_{9}$.但P是交换群, 而$SL(2, 3)$没有包含3阶元的真正规子群, 因此这时G是不存在的.

3) 当$P\cong P_{4}$时, $P_{G}$必为9阶初等交换群$\langle a^{3}, b\rangle$, 则a作用在$Q_{5}$上是$Q_{5}$的3阶自同构, 于是$[a^{3}, Q_{5}]=1$, 从而$\langle a^{3}\rangle\leq Z(G)$, 这样$G/\langle a^{3}\rangle$应是一个没有正规Sylow子群的72阶群.由文[9]之引理1知, $G/\langle a^{3}\rangle$的Sylow 2 -子群不是四元数群, 矛盾.

4) 当$P\cong P_{5}$时, 由于$P_{G}$是9阶初等交换群.不妨设$P_{G}=\langle b, c\rangle$.又$P_{G}$是G的极小正规子群, 所以$Q_{5}$在$P_{G}$上的作用是不可分解的.群$Q_{5}P_{G}$中只有一个9阶子群, 由此不难得知$Q_{5}P_{G}$中有9个Sylow 2 -子群, 从而a正规化$Q_{5}$, 故$\langle a, Q_{5}\rangle\cong SL(2, 3)$, 且$G=\langle a, Q_{5}\rangle\ltimes P_{G}$.由$P\cong P_{5}$可知, a作用在$P_{G}$上的矩阵是$a=\begin{pmatrix} 1&-1\\0&1 \end{pmatrix}$, 又取$x=\begin{pmatrix} 0&-1\\1&0 \end{pmatrix}$, 则$y=x^{a}=\begin{pmatrix} 1&1\\1&-1 \end{pmatrix}$, 因而G的构造应为

$\begin{align} &G=((\langle b\rangle\times\langle c\rangle)\rtimes\langle x, y\rangle) \rtimes\langle a\rangle, |x|=4, x^{2}=y^{2}, x^{y}=x^{3}, x^{a}=y, \nonumber\\ &y^{a}=xy, b^{a}=bc^{-1}, c^{a}=c, b^{x}=c^{-1}, c^{x}=b, b^{y}=bc, c^{y}=bc^{-1}. \end{align}$

(2.21)

(ⅲ)设$G/P_{G}\cong S_{4}$.这时由于$S_{4}$有一个12阶正规子群$A_{4}$, 所以G有一个108阶正规子群H使得$H/P_{G}\cong A_{4}$.易见, H的Sylow 3 -子群不正规, 由文[8]之引理8可知H的Sylow 2 -子群正规, 从而得$O_{2}(G)$是4阶初等交换群.显然$N_{H}(P)=P$, 于是$O_{2}(G)\cap N_{G}(P)=1$, 由此得$G=O_{2}(G)\rtimes N_{G}(P)$.又显然$N_{G}(P)$是一个Sylow 2 -子群不正规的54阶群, 而G的Sylow 2 -子群同构于8阶二面体群, 所以可设$O_{2}(G)=\langle x\rangle\times\langle y\rangle$, $N_{G}(P)=\langle z\rangle\rtimes P$, 其中$|x|=|y|=|z|=2$, $x^{z}=x, ~y^{z}=xy$.

1) 当$P\cong P_{1}=\langle a\rangle$时, 必有$P_{G}=\langle a^{3}\rangle$, G的构造应为

$\begin{align} G=((\langle x\rangle\times\langle y\rangle)\rtimes\langle a\rangle) \rtimes\langle z\rangle, |a|=27, x^{a}=y, y^{a}=xy, a^{z}=a^{-1}. \end{align}$

(2.22)

2) 当$P\cong P_{2}$时, 若$P_{G}$是9阶初等交换群, 则G有两种不同的构造

$\begin{eqnarray} &&G=(((\langle x\rangle\times\langle y\rangle)\rtimes\langle a\rangle)\times\langle b\rangle) \rtimes\langle z\rangle, ~~~x^{a}=y, y^{a}=xy, a^{z}=a^{-1}, b^{z}=b^{-1}, \end{eqnarray}$

(2.23)

$\begin{eqnarray} &&G=(((\langle x\rangle\times\langle y\rangle)\rtimes\langle a\rangle)\rtimes\langle z\rangle) \times\langle b\rangle, x^{a}=y, y^{a}=xy, a^{z}=a^{-1}. \end{eqnarray}$

(2.24)

若$P_{G}$是9阶循环群, 则G也有两种不同的构造

$\begin{eqnarray} &&G=(((\langle x\rangle\times\langle y\rangle)\rtimes\langle b\rangle)\times\langle a\rangle) \rtimes\langle z\rangle, ~~~x^{b}=y, y^{b}=xy, a^{z}=a^{-1}, b^{z}=b^{-1}, \end{eqnarray}$

(2.25)

$\begin{eqnarray} &&G=(((\langle x\rangle\times\langle y\rangle)\rtimes\langle b\rangle)\rtimes\langle z\rangle) \times\langle a\rangle, x^{b}=y, y^{b}=xy, b^{z}=b^{-1}. \end{eqnarray}$

(2.26)

3) 当$P\cong P_{3}$时, $P_{G}$只能是9阶初等交换群, G有三种不同的构造

$\begin{eqnarray} &&G=(((\langle x\rangle\times\langle y\rangle)\rtimes\langle a\rangle) \times(\langle b\rangle\times\langle c\rangle))\rtimes\langle z\rangle, \nonumber\\ &&x^{a}=y, y^{a}=xy, a^{z}=a^{-1}, b^{z}=b^{-1}, c^{z}=c^{-1} \end{eqnarray}$

(2.27)

$\begin{eqnarray} &&G=((((\langle x\rangle\times\langle y\rangle)\rtimes\langle a\rangle) \times\langle b\rangle)\rtimes\langle z\rangle)\times\langle c\rangle, \nonumber\\ &&x^{a}=y, y^{a}=xy, a^{z}=a^{-1}, b^{z}=b^{-1}, \end{eqnarray}$

(2.28)

$\begin{eqnarray} &&G=(((\langle x\rangle\times\langle y\rangle)\rtimes\langle a\rangle) \rtimes\langle z\rangle)\times(\langle b\rangle\times\langle c\rangle), x^{a}=y, y^{a}=xy, a^{z}=a^{-1}. \end{eqnarray}$

(2.29)

4) 当$P\cong P_{4}$时, 若$P_{G}$是9阶循环群$\langle a\rangle$, 则$G=\langle b, x, y, z\rangle\ltimes\langle a\rangle$, 于是$\langle b, x, y, z\rangle\cong S_{4}$.又$[a, O_{2}(G)]=1$, b作用在$\langle a\rangle$上诱导$\langle a\rangle$的一个3阶自同构, 注意到$\langle a\rangle$的自同构群是6阶循环群, 而$S_{4}$不可能有3阶或6阶循环商群, 故$P_{G}$不能是9阶循环群.设$P_{G}$是9阶初等交换群$\langle a^{3}, b\rangle$, 则$\langle a, x, y, z\rangle$作用在$P_{G}$上诱导$P_{G}$的一个6阶非交换自同构群.易见$b^{a}=a^{-3}b$, $a^{z}=a^{-1}$.设$b^{z}=a^{3m}b^{n}$, 则由$b^{z^{2}}=b$及$b^{a^{z}}=b^{a^{-1}}$得$m(n-1)\equiv0\pmod{3}$, $n^{2}\equiv1\pmod{3}$与$m-n-1\equiv1\pmod{3}$, $n\equiv1\pmod{3}$同时成立, 所以$m\equiv0\pmod{3}, ~n\equiv1\pmod{3}$, 即有$b^{z}=b$.总之, 当$P\cong P_{4}$时, G只有一种构造

$\begin{align} &G=((\langle x\rangle\times\langle y\rangle)\rtimes\langle a\rangle)\rtimes(\langle b\rangle\times\langle z\rangle), \nonumber\\ &x^{a}=y, y^{a}=xy, a^{b}=a^{4}, x^{b}=x, y^{b}=y, a^{z}=a^{-1}. \end{align}$

(2.30)

5) 当$P\cong P_{5}$时, $P_{G}$只能是9阶初等交换群, 不妨设为$\langle a, c\rangle$, 则$G=\langle b, x, y, z\rangle\ltimes\langle a, c\rangle$, 于是$\langle b, x, y, z\rangle\cong S_{4}$.又$N_{G}(P)=\langle z\rangle\ltimes\langle a, b, c\rangle$, 而$Z(P)=\langle c\rangle$, 所以$c^{z}=c$或$c^{-1}$.又注意到$[P_{G}, O_{2}(G)]=1$, $a^{b}=ac$, 故当$c^{z}=c$时, G的构造是

$\begin{align} &G=((\langle x\rangle\times\langle y\rangle\times\langle a\rangle\times\langle c\rangle)\rtimes\langle b\rangle)\rtimes\langle z\rangle, \nonumber\\ &x^{b}=y, y^{b}=xy, a^{b}=ac, c^{b}=c, a^{z}=a^{-1}, b^{z}=b^{-1}, c^{z}=c. \end{align}$

(2.31)

当$c^{z}=c^{-1}$时, G的构造是

$\begin{align} &G=((\langle x\rangle\times\langle y\rangle\times\langle a\rangle\times\langle c\rangle)\rtimes\langle b\rangle)\rtimes\langle z\rangle, \nonumber\\ &x^{b}=y, y^{b}=xy, a^{b}=ac, c^{b}=c, a^{z}=a, b^{z}=b^{-1}, c^{z}=c^{-1}. \end{align}$

(2.32)

综上所述, 可知引理2.5成立.

由上面的引理2.1-2.3及引理2.5, 可知定理1.1成立.