近年来, Camassa-Holm 方程(CH 方程)

$m_t+\omega u_x+2mu_x+m_xu=0, m=u-u_{xx}$

(其中 $\omega$ 是任意常数)得到广泛关注. 它是一类描述浅水区域中单向传播波的运动模型. CH 方程是一类完全可积系统, 它有一对相应的 Lax 对 ^[1], 具有双 Hamilton 结构 ^[2]. 该方程由于其一些显著特征而被广泛关注. 当 $\omega=0$ 时, 该方程具有形如 $u(x, t)=ce^{-|x-ct|}$ 的孤立波解 (其中 c 为任意常数). 当 $c\neq0$ 时, 这种孤立波解在有限速度内行进, 且在波峰处不光滑 (它的一阶导含有一个跳跃间断点), 即出现了尖点, 又称孤立尖解 ^[3]. Constantin 等研究了该方程尖孤立子的稳定性和相互碰撞问题, 证实了这种孤立子和 KdV 方程的孤立子一样, 具有碰撞后不改变其形状和速度等性质. CH 方程另一显著特征, 既能描述孤立子又能描述波的破裂现象 ^{[1, 4]}. CH 方程的短波极限形式就是 Hunter-Saxton (HS)方程

$u_{xxt}+2u_xu_{xx}+uu_{xxx}=0, $

该方程描述的是线状液态晶体波的传播.

CH 方程和 HS 方程有许多可积的多成分推广 ^[5-9], 其中最著名的是

$ \left\{\begin{array}{ll} m_t+2u_xm+um_x+\sigma\rho\rho_x=0, \hspace{0.5cm}&t>0, x\in R, \\ \rho_t+(u\rho)_x=0, &t>0, x\in R, \end{array}\right. $

其中 $m=u-u_{xx}, \sigma=\pm 1$, CH 方程可由 $\rho\equiv0$ 得到.它是一个完全可积系统. 在 文[8] 中, Constantin 和 Ivanov 从浅水波理论的角度导出该系统, 并研究了它的整体解和某些爆破解. 最近, 该系统的数学性质被许多文章进一步研究, 例如 文[5, 6, 8] 等.

在实际情况下, 能量耗散是自然界不可避免的现象, 这在波的传播过程中也经常发生, 因此研究耗散项对水波方程的影响是很有必要的. 早在 1970 年, Ott 和 Sudan 就研究了能量耗散对 KdV 方程的解的影响. 在 1988 年, Ghidaglia 把弱耗散的 KdV 方程作为有限维动力系统的一个模型, 来研究该方程解的长时间性态.

带耗散项的双成分 CH 方程具有如下形式

$ \left\{\begin{array}{ll} m_t+2u_xm+um_x+\sigma\rho\rho_x+L(u)=0, \hspace{0.5cm}&t>0, x\in R, \\ \rho_t+(u\rho)_x=0, &t>0, x\in R, \end{array}\right. $

其中 $m=u-u_{xx}, \sigma=\pm 1$, $L(u)$ 是耗散项.根据不同的物理背景, $L$ 可以是一个微分算子或是一个拟微分算子.本文研究下面具零阶耗散的双成分 CH 方程的 Cauchy 问题

$ \left\{\begin{array}{ll} m_t+2u_xm+um_x+\lambda u=-\sigma\rho\rho_x, \hspace{0.5cm}&t>0, x\in R, \\ \rho_t+(u\rho)_x=0, &t>0, x\in R, \\ m(0, x)=m_0(x), &x\in R, \\ \rho(0, x)=\rho_0(x), &x\in R, \end{array}\right. \label{1.1} $

(1.1)

其中 $m=u-u_{xx}, \sigma=\pm 1$, $\lambda$ 是一个大于 0 的固定常数.

在第二节, 将应用 Kato 理论证明方程(1.1)的局部适定性.在第三节研究方程(1.1)的解的爆破现象. 最后, 在第四节研究了方程(1.1)的整体解.

下面给出本文常用的一些记号.用 $\|\cdot\|_{H^s}, \|\cdot\|_{L^\infty}, \|\cdot\|_{L^p}$ 分别表示 $H^s(R), L^\infty( R)$, $L^p(R)$ 空间的范数;$(\cdot, \cdot)_s$ 表示 $H^s( R)$ 空间的内积;$\|\cdot\|_X$ 表示 Banach 空间 $X$ 上的范数.

本节用 Kato 定理证明出方程(1.1)的解的局部适定性定理.先叙述 Kato 定理, 考虑抽象的拟线性发展方程

$\frac{{{\rm{d}}v}}{{{\rm{d}}t}} + A(v)v = f(v),t \ge 0,v(0) = {v_0}.$

(2.1)

设 $X$, $Y$ 是两个 Hilbert 空间, $Y$ 连续嵌入到 $X$, 且嵌入是稠密的, 从 $Y$ 到 $X$ 有一个微分同胚 $Q:Y\to X$, $\|\cdot\|_X$和$\|\cdot\|_Y$表示 Banach 空间 $X$, $Y$ 的范数, $L(Y, X)$ 表示从 $Y$ 到 $X$ 的全体有界线性算子空间(当 $X=Y$ 时, 记为 $L(X)$ ). 假设

(ⅰ) $\forall y\in Y$, $A(y)\in L(Y, X)$, 且

$\|(A(y)-A(z))w\|_X\leq\mu_1\|y-z\|_X\|w\|_Y, y, z, w\in Y, $

且$\exists\beta\in R, A(y)\in G(X, 1, \beta)$在 $Y$ 上一致有界.

(ⅱ) $QA(y)Q^{-1}=A(y)+B(y)$, 其中 $B(y) \in L(X)$ 在 $Y$上一致有界, 且

$\|(B(y)-B(z))w\|_X\leq\mu_2\|y-z\|_Y\|w\|_X, y, z\in Y, w\in X.$

(ⅲ) $f:Y\to Y$在 $Y$ 上一致有界, 且

$\|f(y)-f(z)\|_Y\leq\mu_3\|y-z\|_Y, y, z\in Y, \\ \|f(y)-f(z)\|_X\leq\mu_4\|y-z\|_X, y, z\in Y, $

这里 $\mu_1$, $\mu_2$, $\mu_3$, $\mu_4$ 是仅依赖于 $\max {\{\|y\|_Y, \|z\|_Y\}}$ 的常数.

定理 2.1^[10]  在条件 (ⅰ)--(ⅲ) 下, 对于 $v_0\in Y$, 存在一个仅依赖于 $\|v_0\|_Y$ 的最大 时间 $T>0$, 使得方程(1.1)在 [0, T) 存在唯一解 $v$, 并满足 $v = v( \cdot ,{v_0}) \in C([0,T);Y) \cap {C^1}([0,T);X)$, 且映射 ${v_0} \to v( \cdot ,{v_0})$从 Y 到 $ C([0, T);Y)\cap C^1([0, T);X)$ 是连续的.

下面将方程(1.1)变形, 以便应用 Kato 定理证明其解的局部适定性.注意在流体动力学的 推导过程中, 当 $|x|\to \infty$ 时, $u(t, x)\to0, \rho(t, x)\to 1, \forall t\in R$.令 $\bar{\rho}=\rho-1$, 则当 $|x|\to \infty$ 时, $\bar{\rho}\to 0$. 取 $\sigma=1$, 方程(1.1)化为

$ \left\{\begin{array}{ll} u_t-u_{txx}+3uu_x+\lambda u=2u_xu_{xx}+uu_{xxx}-\bar{\rho}\bar{\rho}_x-\bar{\rho}_x, \hspace{0.5cm}&t>0, x\in R, \\ \bar{\rho}_t+u\bar{\rho}_x=-u_x\bar{\rho}-u_x, &t>0, x\in R, \\ u(0, x)=u_0(x), &x\in R, \\ \bar{\rho}(0, x)=\bar{\rho}_0(x), &x\in R, \end{array}\right. $

(2.2)

注意, 若令 $p(x)=\frac{1}{2}e^{-|x|}, x\in R$, 则有 $(1-\partial_x^2)^{-1}f=p\ast f, \forall f\in L^2(R)$, 且 $p\ast m=u$, 其中定义 $\ast$ 为卷积符号.应用这两个恒等式, 可将方程(2.2)化为

$ \left\{\begin{array}{ll} u_t+uu_x=-\partial_x p\ast (u^2+\frac{1}{2}u_x^2+\frac{1}{2}\bar{\rho}^2+\bar{\rho}+ \lambda u_x)-\lambda u, \hspace{0.5cm}&t>0, x\in R, \\ \bar{\rho}_t+u\bar{\rho}_x=-u_x\bar{\rho}-u_x, &t>0, x\in R, \\ u(0, x)=u_0(x), &x\in R, \\ \bar{\rho}(0, x)=\bar{\rho}_0(x), &x\in R, \end{array}\right. $

(2.3)

或

$ \left\{\begin{array}{ll} u_t+uu_x=-\partial_x (1-\partial_x^2)^{-1} (u^2+\frac{1}{2}u_x^2+\frac{1}{2}\bar{\rho}^2+\bar{\rho}+ \lambda u_x)-\lambda u, \hspace{0.5cm}&t>0, x\in R, \\ \bar{\rho}_t+u\bar{\rho}_x=-u_x\bar{\rho}-u_x, &t>0, x\in R, \\ u(0, x)=u_0(x), &x\in R, \\ \bar{\rho}(0, x)=\bar{\rho}_0(x), &x\in R. \end{array}\right. $

(2.4)

定理 2.2  设 $z_0=\left(\begin{array}{c}u_0\\\bar{\rho}_0\end{array}\right)\in H^s\times H^{s-1}, s\ge2$, 则存在一个最大时间 $T=T(\|z_0\|_{H^s\times H^{s-1}})>0$, 使得方程(2.3)在区间 [0, T) 存在唯一解 $z=\left(\begin{array}{c}u\\\bar{\rho}\end{array}\right)$, 并满足

$z=z(\cdot, z_0)\in C([0, T);H^s\times H^{s-1})\cap C^1([0, T);H^{s-1}\times H^{s-2}), $

且解连续依赖于初值 $z_0$, 即映射

$z_0\to z(\cdot, z_0):H^s\times H^{s-1}\to C([0, T);H^s\times H^{s-1})\cap C^1([0, T);H^{s-1}\times H^{s-2})$

是连续的.

设 $z=\left(\begin{array}{c}u\\ \bar{\rho}\end{array}\right)\in H^s\times H^{s-1}$, $A(z)=\left(\begin{array}{cc}u\partial_x&0\\0&u\partial_x\end{array}\right)$和

$f(z)=\left(\begin{array}{c}-\partial_x (1-\partial_x^2)^{-1} (u^2+\frac{1}{2}u_x^2+\frac{1}{2}u_x^2+\frac{1}{2}\bar{\rho}^2+\bar{\rho}+ \lambda u_x)-\lambda u\\-u_x\bar{\rho}-u_x\end{array}\right).$

又设 $Y=H^s\times H^{s-1}, X=H^{s-1}\times H^{s-2}, \Lambda=(1-\partial_x^2)^{\frac{1}{2}}$和 $Q=\left(\begin{array}{rl}\Lambda &0\\0&\Lambda\end{array}\right)$. 显然, $Q$ 是 $H^s\times H^{s-1}$ 到 $H^{s-1}\times H^{s-2}$ 上的一个同胚映射. 为证明定理 2.2, 仅需要证明 $A(z)$ 和 $f(z)$ 满足Kato定理中的条件 (ⅰ)--(ⅲ).

下面将定理 2.2 的证明分成几个引理完成.

引理 2.1^[11]  设 $X_1$ 和 $X_2$ 是 Banach 空间, 且 $A_i\in G(X_i, 1, \beta), i=1, 2, $则算子

$A=\left(\begin{array}{rl}A_1 &0\\0&A_2 \end{array}\right)\in G(X_1\times X_2, 1, \beta), $

其中 $D(A)=D(A_1)\times D(A_2).$

引理 2.2^{[5, 12]}  设 $u\in H^s, s\geq2, $则算子 $A(u)=u\partial_x\in G( H^{s-1}, 1, \beta).$

由引理 2.1--2.2 得到

引理 2.3  设 $z\in H^s\times H^{s-1}, s\geq2, $ 则算子 $A(z)=\left(\begin{array}{cc}u\partial_x&0\\0&u\partial_x\end{array}\right)\in G( H^{s-1}\times H^{s-2}, 1, \beta).$

引理 2.4^{[7, 8]}  设 $A(z)=\left(\begin{array}{cc}u\partial_x&0\\0&u\partial_x\end{array}\right), z\in H^s\times H^{s-1}, s\geq2$, 则 $A(z)\in L( H^s\times H^{s-1}, H^{s-1}\times H^{s-2})$, 且满足

$\|(A(y)-A(z))w\|_ {H^{s-1}\times H^{s-2}} \leq\mu_1\|y-z\|_{H^{s-1}\times H^{s-2}}\|w\|_ {H^s\times H^{s-1}}, \forall y, z, w\in H^s\times H^{s-1}.$

引理 2.5 ^{[7, 8]}  设 $ B(z)=QA(z)Q^{-1}-A(y), z\in H^s\times H^{s-1}, s\ge2$, 则

$\|(B(z)-B(y))w\|_{H^{s-1}\times H^{s-2}}\leq \mu_2\|y-z\|_{H^{s}\times H^{s-1}}\|w\|_{H^{s-1}\times H^{s-2}}, $

$\forall y, z\in H^s\times H^{s-1}, w\in H^{s-1}\times H^{s-2}.$

引理 2.6 ^[10]  设 $r$, $t$ 为满足 $-r＜t\leq r$ 的实数, 则

$\|fg\|_{H^t}\leq c\|f\|_{H^r}\|g\|_{H^t}, r>\frac{1}{2}, \|fg\|_{H^{t+r-\frac{1}{2}}}\leq c\|f\|_{H^r}\|g\|_{H^t}, r＜\frac{1}{2},$

其中 $c$ 只为依赖于 $r$, $t$ 的正常数.

现证明在定理 2.2 中 $f$ 满足条件 (ⅲ).

引理 2.7  设 $z\in H^s\times H^{s-1}, s\ge2$,

$f(z)=\left(\begin{array}{c}-\partial_x (1-\partial_x^2)^{-1} (u^2+\frac{1}{2}u_x^2+\frac{1}{2}\bar{\rho}^2+\bar{\rho}+ \lambda u_x)-\lambda u\\ -u_x\bar{\rho}-u_x\end{array}\right), $

则 $f$ 在 $H^s\times H^{s-1}$ 上有界, 且满足

(a) $\|f(y)-f(z)\|_{H^s\times H^{s-1}}\leq\mu_3\|y-z\|_{H^s\times H^{s-1}}, y, z\in H^s\times H^{s-1}, $

(b) $\|f(y)-f(z)\|_{H^{s-1}\times H^{s-2}}\leq\mu_4\|y-z\|_{H^{s-1}\times H^{s-2}}, y, z\in H^s\times H^{s-1}.$

证  设 $y, z\in H^s\times H^{s-1}, s\ge2$. 注意 $H^{s-1}$ 是 Banach 代数, 则

$\begin{align*} &\|f(y)-f(z)\|_{H^s\times H^{s-1}} \\ \leq&\displaystyle\|(y_1^2-u^2)+\frac{1}{2}(y_{1, x}^2-u_x^2)+\frac{1}{2}(y_2^2-\bar{\rho}^2)+(y_2-\bar{\rho}) +\lambda (y_{1, x}-u_x)\|_{H^{s-1}} \\ &+\|\lambda(y_1-u)\|_{H^s}+\|u_x\bar{\rho}-y_{1, x}y_2\|_{H^{s-1}}+\|y_{1, x}-u_x \|_{H^{s-1}}\\ \leq&\displaystyle\|y_1-u\|_{H^{s-1}}\|y_1+u\|_{H^{s-1}} +\frac{1}{2}\|y_1-u\|_{H^s}\|y_1+u\|_{H^s}\\ &\displaystyle+\frac{1}{2}\|y_2-\bar{\rho} \|_{H^{s-1}}\|y_2+\bar{\rho }\|_{H^{s-1}} +\|y_2-\bar{\rho}\|_{H^{s-1}}+2\lambda\|y_1-u\|_{H^s}\\ &+\|u_x\bar{\rho}-u_xy_2 \|_{H^{s-1}} +\|u_xy_2-y_{1, x}y_2\|_{H^{s-1}}+\|y_1-u \|_{H^s}\\ \leq&\displaystyle(\|y\|_{H^s\times H^{s-1}}+\|z\|_{H^s\times H^{s-1}})\|y-z\|_{H^s\times H^{s-1}}\\ &\displaystyle+\frac{1}{2}(\|y\|_{H^s\times H^{s-1}}+\|z\|_{H^s\times H^{s-1}})\|y-z\|_{H^s\times H^{s-1}}\\ &+\displaystyle\frac{1}{2}(\|y\|_{H^s\times H^{s-1}}+\|z \|_{H^s\times H^{s-1}})\|y-z \|_{H^s\times H^{s-1}}+(2\lambda+1)\|y-z\|_{H^s\times H^{s-1}}\\ &+\|z\|_{H^s\times H^{s-1}}\|y-z \|_{H^s\times H^{s-1}}+\|y\|_{H^s\times H^{s-1}}\|y-z\|_{H^s\times H^{s-1}}+\|y-z\|_{H^s\times H^{s-1}}\\ =&(3\|y\|_{H^s\times H^{s-1}}+3\|z\|_{H^s\times H^{s-1}} +2\lambda+2)\|y-z\|_{H^s\times H^{s-1}} . \end{align*}$

这就完成了对 (a) 式的证明. 其中, 在上述不等式中令 $y=0$, 就能够得到 $f$ 在 $H^s\times H^{s-1}$ 上是有界的.

接下来证明 (b) 式,

$\begin{align*} &\|f(y)-f(z)\|_{H^{s-1}\times H^{s-2}} \\ \leq&\displaystyle\|(y_1-u)(y_1+u)\|_{H^{s-2}} +\frac{1}{2}\|(y_{1, x}-u_x)(y_{1, x}+u_x)\|_{H^{s-2}} +\frac{1}{2}\|(y_2-\bar{\rho})(y_2+\bar{\rho}) \|_{H^{s-2}} \\ &+\|y_2-\bar{\rho} \|_{H^{s-2}}+\lambda \|(y_{1, x}-u_x)\|_{H^{s-2}} +\lambda\|y_1-u\|_{H^{s-1}} +\|u_x(\bar{\rho}-y_2) \|_{H^{s-2}}\\ &+\|(u_x-y_{1, x})y_2\|_{H^{s-2}}+\|y_{1, x}-u_x \|_{H^{s-2}} \\ \leq&\displaystyle c\|y_1-u\|_{H^{s-1}}\|y_1+u\|_{H^{s-2}} +\frac{c}{2}\|y_{1, x}-u_x\|_{H^{s-2}}\|y_{1, x}+u_x\|_{H^{s-1}}\\ &\displaystyle+\frac{c}{2}\|y_2-\bar{\rho} \|_{H^{s-2}}\|y_2+\bar{\rho}\|_{H^{s-1}} +\|y_2-\bar{\rho} \|_{H^{s-2}}+2\lambda\|y_1-u\|_{H^{s-1}}\\ &+c\|u_x\|_{H^{s-1}}\|y_2-\bar{\rho }\|_{H^{s-2}}+c\|y_2\|_{H^{s-1}}\|y_{1, x}-u_x\|_{H^{s-2}}+\|y_1-u \|_{H^{s-1}}\\ \leq&\displaystyle c(\|y\|_{H^s\times H^{s-1}}+\|z\|_{H^s\times H^{s-1}})\|y-z\|_{H^{s-1}\times H^{s-2}} \\ &\displaystyle+\frac{c}{2}(\|y\|_{H^s\times H^{s-1}}+\|z\|_{H^s\times H^{s-1}})\|y-z\|_{H^{s-1}\times H^{s-2}}\\ &+\displaystyle\frac{c}{2}(\|y\|_{H^s\times H^{s-1}}+\|z \|_{H^s\times H^{s-1}})\|y-z \|_{H^{s-1}\times H^{s-2}} +(2\lambda+1)\|y-z\|_{H^{s-1}\times H^{s-2}} \\ &+c\|z\|_{H^s\times H^{s-1}}\|y-z \|_{H^{s-1}\times H^{s-2}}+c\|y\|_{H^s\times H^{s-1}}\|y-z\|_{H^{s-1}\times H^{s-2}} +\|y-z\|_{H^{s-1}\times H^{s-2}} \\ =&(3c\|y\|_{H^s\times H^{s-1}}+3c\|z\|_{H^s\times H^{s-1}} +2\lambda+2)\|y-z\|_{H^{s-1}\times H^{s-2}} . \end{align*}$

上述估计过程中需用到引理 2.6 ($r=s-1, t=s-2$ 的情形). 于是 (b) 式得证.

综合引理 2.1--2.5 和引理 2.7, 应用定理 2.1, 定理 2.2 得证.

这节中将证明方程(2.2)解爆破的充要条件, 并给出导致解发生爆破的两个充分条件.

引理 3.1^[13]  若 $r>0$, 则 $H^r\cap L^\infty$ 是 Banach 代数, 且

$\|fg\|_{H^r}\leq c(\|f\|_{L^\infty}\|g\|_{H^r}+\|f\|_{H^r}\|g\|_{L^\infty}), $

其中 $c$ 只为依赖于 $r$ 的常数.

引理 3.2^[13]  若 $r>0$, 则

$\|[\Lambda^r, f]g\|_{L^2}\leq c(\|\partial_x f\|_{L^\infty}\|\Lambda^{r-1}g\|_{L^2}+\|\Lambda^r f\|_{L^2}\|g\|_{L^\infty}),$

其中$c$只为依赖于$r$ 的常数.

引理 3.3  设 $z_0=\left(\begin{array}{c}u_0\\\bar{\rho}_0\end{array}\right)\in H^s\times H^{s-1}, s\ge2$, 且 $T>0$ 是方程(2.2)相应解 $z=(u, \bar{\rho})$ 的最大存在时间, 则 $\forall t\in[0, T)$, 有

$ E(t)=\int_R(u^2+u_x^2+\bar{\rho}^2)dx\leq\int_R(u_0^2+u_{0, x}^2+\bar{\rho}_0^2)dx, \forall t\in[0, T), $

(3.1)

且

$ \|u(t, \cdot)\|_{L^\infty}^2\leq\frac{1}{2}(\|u_0\|_{H^1}^2+\|\bar{\rho}_0\|_{L^2}^2). $

(3.2)

证  运用定理 2.2 及稠密性定理, 只需证明上述定理对某个 $s\ge2$ 成立即可. 这里假设 $s=3$ 来证明上述定理, 在方程(2.3)中, 对第一个方程关于 $x$ 求偏导, 再运用 恒等式 $\partial_x^2p\ast f=p\ast f-f $, 得到

$ u_{tx}+uu_{xx}+\frac{1}{2}u_x^2=u^2+\frac{1}{2}\bar{\rho}^2+\bar{\rho}-p\ast (u^2+\frac{1}{2}u_x^2+\frac{1}{2}\bar{\rho}^2+ \bar{\rho}+\lambda u_x), $

(3.3)

其中 $\displaystyle f=u^2+\frac{1}{2}u_x^2+\frac{1}{2}\bar{\rho}^2+\bar{\rho}+\lambda u_x$, 根据方程(2.3)及(3.3)式, 再分部积分得到

$\begin{array}{l} \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}E(t) = 2\int\limits_R {(u{u_t} + {u_x}{u_{xt}} + \bar \rho {{\bar \rho }_t})} dx\\ \quad \quad \quad \; = 2\int\limits_R {( - \lambda {u^2} - u{\partial _x}p * f - u{u_x}{u_{xx}} - \frac{1}{2}u_x^3 - \frac{1}{2}{u_x}{{\bar \rho }^2} - {u_x}p * f - u\bar \rho {{\bar \rho }_x})} dx\\ \quad \quad \quad \; = - 2\lambda \int\limits_R {{u^2}} dx \le 0,n \end{array}$

所以(3.1)式得证.

根据上述不等式, 得到

$\begin{align} \|u(t, \cdot)\|_{L^\infty}^2 \leq\displaystyle\frac{1}{2}\|u\|_{H^1}^2 \leq\displaystyle\frac{1}{2}(\|u\|_{H^1}^2+\|\bar{\rho}\|_{L^2}^2) \leq\displaystyle\frac{1}{2}(\|u_0\|_{H^1}^2+\|\bar{\rho}_0\|_{L^2}^2) \nonumber, \end{align}$

这就完成了对引理 3.3 的证明.

由引理3.1--3.3可得到下述重要结论.

定理 3.1  设 $z_0=\left(\begin{array}{c}u_0\\\bar{\rho}_0\end{array}\right)\in H^s\times H^{s-1}, s\ge2$, 且 $T$ 是方程(2.3)关于初始值 $z_0$ 的解 $z=(u, \bar{\rho})$ 的最大存在时间, 若存在 $M>0$, 使得

$\|u_{x}(t, \cdot)\|_{L^\infty}+\|\bar{\rho}(t, \cdot)\|_{L^\infty}+ \|\bar{\rho}_{x}(t, \cdot)\|_{L^\infty}\leq M, \forall t\in[0, T), $

则解 $z(t, \cdot)$ 关于范数 $\|\cdot\|_{H^s\times H^{s-1}}$ 在 [0, T) 内不会爆破.

证  根据定理 2.2, 设 $z=\left(\begin{array}{c}u\\\bar{\rho}\end{array}\right)$ 是方程(2.3)关于初始值 $z_0\in H^s\times H^{s-1}, s\ge2, $的解, 且 $T$ 是相应解 $z$ 的最大存在时间.证明过程中, $c>0$ 是仅依赖于 $s$ 的正常数.对方程(2.4)中第一个方程运用算子 $\Lambda^s$, 且两边同时乘以 $\Lambda^s u$, 再关于 $R$ 积分, 得到

$ \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left\| u \right\|_{{H^s}}^2 = - 2{(u{u_x},u)_s} - 2{(u,f(u,\bar \rho ))_s} - 2{(u,\lambda u)_s}, $

(3.4)

其中 $\displaystyle f(u, \bar{\rho} )=\partial_x(1-\partial_x^2)^{-1}(u^2+\frac{1}{2}u_x^2+\frac{1}{2}\bar{\rho}^2+\bar{\rho}+\lambda u_x)$. 现首先估计(3.4)式右边的第一个式子(参见文[14] 定理 3.1)得到

$|(uu_x, u)_s|\leq c\|u_x\|_{L^\infty}\|u\|_{H^s}^2.$

其次, 估计(3.4)式右边的第二个式子

$\begin{align} |(u, f(u, \bar{\rho }))_s| \leq&\|u\|_{H^s}\|f(u, \bar{\rho} )\|_{H^s} \nonumber \\ \leq&\displaystyle(\|u^2\|_{H^{s-1}}+\frac{1}{2}\|u_x^2\|_{H^{s-1}} +\frac{1}{2}\|\bar{\rho}^2\|_{H^{s-1}}+\|\bar{\rho}\|_{H^{s-1}} +\lambda\|u_x\|_{H^{s-1}})\|u\|_{H^s} \nonumber \\ \leq&(c\|u\|_{L^\infty}\|u\|_{H^{s-1}}+c\|u_x\|_{L^\infty}\|u_x\|_{H^{s-1}} +c\|\bar{\rho}\|_{L^\infty}\|\bar{\rho}\|_{H^{s-1}}+\lambda\|u\|_{H^s})\|u\|_{H^s} \nonumber \\ &+\|\bar{\rho}\|_{H^{s-1}}\|u\|_{H^s} \nonumber \\ \leq &c(\|u_x\|_{L^\infty}+\|\bar{\rho}\|_{L^\infty}+\sqrt{\|u_0\|_{H^1}^2+\|\bar{\rho}_0\|_{L^2}^2} +\lambda+\displaystyle\frac{1}{2} )(\|u\|_{H^s}^2+\|\bar{\rho}\|_{H^{s-1}}^2) \nonumber. \end{align}$

上述估计过程需用到引理 3.1 ($r=s-1$ 的情形)和(3.2)式. 最后, 估计(3.4)式右边的第三个式子

$|(u, \lambda u)_s|=\lambda|(u, u)_s|\leq\lambda\|u\|_{H^s}^2.$

结合上述三个不等式及(3.4)式, 得到

$ \begin{array}{l} \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left\| u \right\|_{{H^s}}^2 \le c({\left\| {{u_x}} \right\|_{{L^\infty }}} + {\left\| {\bar \rho {\rm{ }}} \right\|_{{L^\infty }}} + \sqrt {\left\| {{u_0}} \right\|_{{H^1}}^2 + \left\| {{\rho _0}} \right\|_{{L^2}}^2} + \lambda + \frac{1}{2})(\left\| u \right\|_{{H^s}}^2 + \left\| {\bar \rho } \right\|_{{H^{s - 1}}}^2).\\ \\ \end{array} $

(3.5)

为得到关于第二个元素 $\bar{\rho} $ 的类似的估计, 对方程(2.4)中第二个方程作用以 算子 $\Lambda^s$, 且两边同时乘以 $\Lambda^s\bar{ \rho} $, 再关于 $x$ 在 $R$ 上积分, 得到

$ \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left\| {\bar \rho } \right\|_{{H^{s - 1}}}^2 = - 2{({u_x}\bar \rho ,\bar \rho )_{s - 1}} - 2{(\bar \rho ,u{{\bar \rho }_x})_{s - 1}} - 2{(\bar \rho ,{u_x})_{s - 1}}. $

(3.6)

现首先估计(3.6)式右边的第一个式子和第二个式子(参见文[14] 定理 3.1)得到

$\begin{eqnarray*} &&|(u\bar{\rho} _x, u)_{s-1}| \leq c(\|u_x\|_{L^\infty}+\|\bar{\rho}_x\|_{L^\infty}) (\|u\|_{H^s}^2+\|\bar{\rho }\|_{H^{s-1}}^2), \\ &&|(u_x\bar{\rho}, \bar{\rho})_{s-1}| \leq c(\|u_x\|_{L^\infty}+\|\bar{\rho}\|_{L^\infty}) (\|u\|_{H^s}^2+\|\bar{\rho} \|_{H^{s-1}}^2). \end{eqnarray*}$

再估计(3.6)式右边的第三个式子, 得到

$\begin{array}{lll} |(u_x, \bar{\rho})_{s-1}| \leq \|u_x\|_{H^{s-1}}\|\bar{\rho} \|_{H^{s-1}} \leq \displaystyle\frac{1}{2}(\|u\|_{H^s}^2+\|\bar{\rho} \|_{H^{s-1}}^2). \end{array} $

结合上述三个不等式及(3.6)式, 得到

$ \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left\| {\bar \rho } \right\|_{{H^{s - 1}}}^2 \le c({\left\| {{u_x}} \right\|_{{L^\infty }}} + {\left\| {{{\bar \rho }_x}} \right\|_{{L^\infty }}} + {\left\| {\bar \rho } \right\|_{{\rm{ }}{L^\infty }}} + \frac{1}{2})(\left\| u \right\|_{{H^s}}^2 + \left\| {\bar \rho } \right\|_{{H^{s - 1}}}^2). $

(3.7)

根据(3.5)--(3.7)式, 得到

$\begin{array}{l} \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}(\left\| u \right\|_{{H^s}}^2 + \left\| {\bar \rho } \right\|_{{H^{s - 1}}}^2)\\ \le c({\left\| {{u_x}} \right\|_{{L^\infty }}} + {\left\| {\bar \rho } \right\|_{{L^\infty }}} + {\left\| {{{\bar \rho }_x}} \right\|_{{L^\infty }}} + \sqrt {\left\| {{u_0}} \right\|_{{H^1}}^2 + \left\| {{{\bar \rho }_0}} \right\|_{{L^2}}^2} + \lambda + \frac{1}{2})(\left\| u \right\|_{{H^s}}^2 + \left\| {\bar \rho } \right\|_{{H^{s - 1}}}^2).\\ \end{array}$

运用 Gronwall 不等式和定理已给出的假设条件, 得到

$\begin{array}{lll} \|u\|_{H^s}^2+\|\bar{\rho}\|_{H^{s-1}}^2 \leq\exp(cM_1t)(\|u_0\|_{H^s}^2+\|\bar{\rho}_0\|_{H^{s-1}}^2), \end{array}$

其中 $M_1=M+\sqrt{\|u_0\|_{H^1}^2+\|\bar{\rho}_0\|_{L^2}^2}+\lambda+\displaystyle\frac{1}{2}$.这就完成了定理 3.1 的证明.

为研究方程(2.2)的解的精确的爆破机制, 引入如下初值问题

$ \left\{\begin{array}{rl} q_t=u(t, q), \hspace{0.5cm}&x\in [0, T), \\ q(0, x)=x, \hspace{0.5cm}&x\in R, \\ \end{array}\right. $

(3.8)

其中 $u$ 表示方程(2.3)的解的第一个元素, 且是局部Lipschitz连续函数.应用常微分方程的一些结论, 能够得到关于 $q$ 的两个结论, 这两结论在研究爆破现象中非常重要.

引理 3.4^{[15, 16]}  设 $u\in C([0, T);H^s)\cap C^1([0, T);H^{s-1}), s\ge2$, 则方程有唯一解 $q\in C^1([0, T)\times R;R)$, 且 $q(t, \cdot)$ 是 R 上的一个递增微分同胚映, 满足

$q_{x}(t, x)=\exp(\int_0^tu_x(s, q(s, x))ds)>0, \forall (t, x)\in[0, T)\times R.$

引理 3.5  设 $z_0=\left(\begin{array}{c}u_0\\\bar{\rho}_0\end{array}\right)\in H^s\times H^{s-1}, s\ge2$, 且 $T>0$ 是方程(2.3)相应解 $z=(u, \bar{\rho})$ 的最大存在时间, 则

$ (\bar{\rho}(t, q(t, x))+1)q_{x}(t, x)=(\bar{\rho}_{0}(x)+1), \forall (t, x)\in[0, T)\times R. $

(3.9)

此外, 若存在 $M>0$, 使得 $\forall (t, x)\in[0, T)\times R$, 有 $u_x(t, x)\geq-M, $则

$\|\bar{\rho}(t, \cdot)\|_{L^\infty}=\|\bar{\rho}(t, q(t, \cdot))\|_{L^\infty}\leq e^{MT}(\|\bar{\rho}_0(x)\|_{L^\infty}+2), \forall t\in[0, T).$

证  (参见文[6] 引理 2.5)得到$\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}(\bar \rho (t,q(t,x)) + 1){q_x}(t,x) = 0.$根据引理 3.4 和(3.9)式及引理给出的假设条件, 得到

$\begin{align*} \|\bar{\rho}(t, \cdot)\|_{L^\infty} =&\|\bar{\rho}(t, q(t, x))\|_{L^\infty} =\displaystyle\|(\bar{\rho}_{0}(x)+1)\exp(-\int_0^t u_x(s, q(s, x))ds)-1\|_{L^\infty} \\ \leq&e^{MT}(\|\bar{\rho}_0(x)\|_{L^\infty}+2). \end{align*}$

这就完成了引理 3.5 的证明.

根据定理 3.1 和引理 3.5, 可以得到以下推论.

推论 3.1  设 $z_0=\left(\begin{array}{c}u_0\\\bar{\rho}_0\end{array}\right)\in H^s\times H^{s-1}, s\ge2$, 且 $T$ 是方程(2.3)关于初始值 $z_0$ 的解 $z=(u, \bar{\rho})$ 的最大存在时间, 若存在 $M>0$, 使得

$\|u_{x}(t, \cdot)\|_{L^\infty}+\|\bar{\rho}_{x}(t, \cdot)\|_{L^\infty} \leq M, \forall t\in[0, T), $

则解 $z(t, \cdot)$ 关于范数 $\|\cdot\|_{H^s\times H^{s-1}}$ 在 [0, T) 内不会爆破.

接下来将要证明方程(2.3)解的精确的爆破机制.

定理 3.2  设 $z_0=\left(\begin{array}{c}u_0\\\bar{\rho}_0\end{array}\right)\in H^s\times H^{s-1}, s>\frac{5}{2}$, 且 $T$ 是方程(2.3)关于初始值 $z_0$ 的解 $z=(u, \bar{\rho})$ 的最大存在时间, 则方程的解在有限时间 内爆破当且仅当

$ \liminf\limits_{t\to T}\inf\limits_{x\in R}{u_{x}(t, x)}=-\infty \text{或} \limsup\limits_{t\to T}\|\bar{\rho}_{x}(t, \cdot)\|_{L^\infty}=+\infty. $

证  根据定理 2.2, 设 $z=\left(\begin{array}{c}u\\\bar{\rho}\end{array}\right)$ 是方程(2.3)关于初始值 $z_0\in H^s\times H^{s-1}(s\ge2)$的解, 且 $T$ 是相应解 $z$ 的最大存在时间.用 $m=u-u_{xx}$ 同时乘以方程(2.2)的第一个方程的两边, 然后再分部积分, 得到

$\begin{align} \displaystyle \frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}} t}\int_R m^2dx =&2\displaystyle \int_R mm_t dx =2\displaystyle \int_R(-2m^2u_x-mm_xu-\lambda m u-m\bar{\rho}\bar{\rho}_x-m\bar{\rho}_x)dx \nonumber \\ =&-3\displaystyle \int_R m^2u_xdx+\int_Ru_x\bar{\rho}^2dx -\int_Ru_{xxx}\bar{\rho}^2dx-2\lambda \int_R mu dx\\ &-2\int_Rm\bar{\rho}_xdx \nonumber. \end{align}$

(3.10)

对方程(2.2)的第一个方程关于 $x$ 求偏导, 然后方程两边同时乘以 $m_x=u_x-u_{xxx}$, 最后再积分, 得到

$\begin{align} \displaystyle\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}} t}\int_R m_x^2dx =&2\displaystyle\int_R m_xm_{xt} dx \nonumber \\ =&\displaystyle-6\int_R u_xm_x^2dx-4\int_R u_{xx}mm_xdx-2\int_R um_xm_{xx}dx-2\lambda \int_R u_xm_xdx \nonumber \\ &\displaystyle-2\int_R m_x\bar{\rho}_x^2dx-2\int_R m_x\bar{\rho}\bar{\rho} _{xx}dx-2\int_R m_x\bar{\rho} _{xx}dx \nonumber \\ =&\displaystyle-5\int_R u_xm_x^2dx-4\int_R (u-m)mm_xdx -2\lambda \int_R u_xm_xdx\nonumber \\ &\displaystyle-\int_R u_{xxx}(\bar{\rho}^2-2\bar{\rho}\bar{\rho} _{xx}-2\bar{\rho}_x^2)dx-2\int_R m_x\bar{\rho} _{xx}dx \\ =&\displaystyle-5\int_R u_xm_x^2dx+2\int_R u_xm^2dx-2\lambda \int_R u_xm_xdx \nonumber \\ &\displaystyle-\int_R u_{xxx}(\bar{\rho}^2-2\bar{\rho}\bar{\rho} _{xx}-2\bar{\rho}_x^2)dx-2\int_R m_x\bar{\rho} _{xx}dx \nonumber, \end{align}$

(3.11)

这里用到了关系式 $m=u-u_{xx}$ 和 $\displaystyle\int_R m^2m_x dx=0$. 结合(3.10)--(3.11)式, 得到

$\begin{align} \displaystyle\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}} t}\int_R (m^2+m_x^2)dx =&-\displaystyle\int_R m^2u_xdx+\int_Ru_x\bar{\rho}^2dx-5\int_R u_xm_x^2dx -2\int_Rm\bar{\rho}_xdx\\ &\displaystyle-2\lambda \int_R (um+u_xm_x)dx-2\int_R u_{xxx}(\rho^2-\bar{\rho}\bar{\rho} _{xx}-\bar{\rho}_x^2)dx-2\int_R m_x\bar{\rho} _{xx}dx \nonumber . \end{align}$

(3.12)

为了得到关于第二个元素 $\bar{\rho}$ 的类似估计, 用 $\bar{\rho} $ 同时乘以方程(2.2)的第二个方程的两边, 然后再分部积分, 得到

$ \frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}} t}\int_R \bar{\rho} ^2dx=2\int_R\bar{\rho}\bar{\rho}_t dx =2\int_R\bar{\rho}(-u_x\bar{\rho}-u\bar{\rho} _x-u_x)dx =-\int_Ru_x\bar{\rho}^2dx-\int_Ru_x\bar{\rho} dx. $

(3.13)

对方程(2.2)的第二个方程关于 $x$ 求偏导, 然后用 $\bar{\rho} _x$ 同时乘以方程(2.2)的 第二个方程的两边, 再积分, 得到

$\begin{align} \displaystyle\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}} t}\int_R \bar{\rho}_x ^2dx =&\displaystyle2\int_R\bar{\rho}_x\bar{\rho}_{xt} dx\nonumber\\ =&\displaystyle2\int_R \bar{\rho}_x(-u\bar{\rho}_{xx}-2u_x\bar{\rho}_x-u_{xx}\bar{\rho}-u_{xx}\bar{\rho}_x)\\ =&\displaystyle-3\int_Ru_x\bar{\rho}_x^2dx+\int_Ru_{xxx}\bar{\rho}^2dx -2\int_Ru_{xx}\bar{\rho}_xdx \nonumber . \end{align}$

(3.14)

再对方程(2.2)的第二个方程关于 $x$ 求两次偏导, 然后用 $\bar{\rho}_{xx}$ 同时乘以方程(2.2)的 第二个方程的两边, 再积分, 得到

$\begin{align} \displaystyle\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}} t}\int_R \bar{\rho}_{xx} ^2dx =&\displaystyle2\int_R\bar{\rho}_{xx}\bar{\rho}_{xxt}dx \nonumber \\ =&\displaystyle2\int_R\bar{\rho}_{xx}(-3u_{xx}\bar{\rho}_x-3u_x\bar{\rho}_{xx}-u\bar{\rho}_{xxx}-u_{xxx}\bar{\rho}-u_{xxx})dx\\ =&\displaystyle-5\int_Ru_x\bar{\rho}_{xx}^2dx-\int_Ru_{xxx}(2\bar{\rho}\bar{\rho}_{xx}-3\bar{\rho}_x^2)dx -2\int_Ru_{xxx}\bar{\rho}_{xx}dx \nonumber . \end{align}$

(3.15)

结合(3.12)--(3.15)式, 得到

$\begin{align} &\displaystyle\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}} t}\int_R (m^2+m_x^2+\bar{\rho} ^2+\bar{\rho}_x ^2+\bar{\rho}_{xx}^2)dx \nonumber \\ =&-\displaystyle\int_R m^2u_xdx-5\int_R u_xm_x^2dx-3\int_Ru_x\bar{\rho}_x^2dx-5\int_R u_x\bar{\rho}_{xx}^2dx\\ &-\displaystyle2\lambda \int_R (um+u_xm_x)dx+ \int_Ru_{xxx}(-\bar{\rho}^2+5\bar{\rho}_x^2)dx-2\int_Ru_x\bar{\rho}_{xx}dx \nonumber . \end{align}$

(3.16)

假设存在 $M_1>0, M_2>0$, 使得 $u_x(t, x)\geq -M_1$, $\forall (t, x)\in[0, T)\times R$, 和 $\|\bar{\rho}_{x}(t, \cdot)\|_{L^\infty}\leq M_2$, $\forall t\in[0, T)$. 由引理 3.5 知 $\|\bar{\rho}(t, \cdot)\|_{L^\infty}$ 有界, 根据(3.16)式得到

$\begin{align} &\displaystyle\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}} t}\int_R (m^2+m_x^2+\bar{\rho} ^2+\bar{\rho}_x ^2+\bar{\rho}_{xx}^2)dx \nonumber \\ \leq&\displaystyle M_1\int_R m^2dx+5M_1\int_R m_x^2dx+3M_1\int_R\bar{\rho}_x^2dx+5M_1 \int_R\bar{\rho}_{xx}^2dx \nonumber \\ &\displaystyle+\frac{1}{2}\|\bar{\rho}\|_{L^\infty}\int_R(u_{xxx}^2+\bar{\rho}^2)dx+ \frac{5}{2}\|\bar{\rho}_x\|_{L^\infty}\int_R(u_{xxx}^2+\bar{\rho}_x^2)dx +\frac{1}{2}\int_R(u_x^2+\bar{\rho}_{xx}^2)dx \nonumber \\ \leq&\displaystyle M_1\int_R m^2dx+5M_1\int_R m_x^2dx+3M_1\int_R\bar{\rho}_x^2dx+5M_1 \int_R\bar{\rho}_{xx}^2dx \\ &\displaystyle+\frac{1}{2}\|\bar{\rho}\|_{L^\infty}\int_R(m_x^2+\bar{\rho}^2)dx+ \frac{5}{2}\|\bar{\rho}_x\|_{L^\infty}\int_R(m_x^2+\bar{\rho}_x^2)dx +\frac{1}{2}\int_R(m_x^2+\bar{\rho}_{xx}^2)dx \nonumber \\ \leq&\displaystyle(5M_1+\frac{1}{2}\|\bar{\rho}\|_{L^\infty} +\frac{5}{2}\|\bar{\rho}_x\|_{L^\infty}) \int_R (m^2+m_x^2+\bar{\rho} ^2+\bar{\rho}_x ^2+\bar{\rho}_{xx} ^2)dx \nonumber, \end{align}$

(3.17)

这里用到了关系式 $\displaystyle\int_R m_x^2 dx\geq \int_Ru_{xxx}^2dx$ 和 $\displaystyle\int_R m_x^2 dx\geq \int_R u_x^2dx$.

运用 Gronwall 不等式, 得到 $\forall t\in[0, T)$ 有

$\begin{align} \|u(t, \cdot)\|_{H^3}^2+\|\bar{\rho} (t, \cdot)\|_{H^2}^2 \leq&\|m(t, \cdot)\|_{H^1}^2+\|\bar{\rho} (t, \cdot)\|_{H^2}^2 \leq\|m(0, \cdot)\|_{H^1}^2+\|\bar{\rho }(0, \cdot)\|_{H^2}^2 \nonumber . \end{align}$

由上述不等式, Sobolev 嵌入定理和推论 3.1 知解 $z$ 在有限时间内不会爆破.

另一方面, 由 Sobolev 嵌入定理知, 若

$\liminf\limits_{t\to T}\inf\limits_{x\in R}{u_{x}(t, x)}=-\infty \text{或} \limsup\limits_{t\to T}\|\bar{\rho}_{x}(t, \cdot)\|_{L^\infty}=+\infty, $

则解 $z$ 就会在有限的时间内爆破.这就完成了对定理 3.2 的证明.

关于初始值 $z_0\in H^2\times H^1$, 有下述精确的爆破机制.

定理 3.3  设 $z_0=\left(\begin{array}{c}u_0\\\bar{\rho}_0\end{array}\right)\in H^2\times H^1$, 且 $T$ 是方程(2.3)关于初始值 $z_0$ 的解 $z=(u, \bar{\rho})$ 的最大存在时间, 则方程(2.3)的$H^2\times H^1-$解在有限时间内爆破当且仅当

$\liminf\limits_{t\to T}\inf\limits_{x\in R}{u_{x}(t, x)}=-\infty.$

证  根据定理 2.2, 设 $z=\left(\begin{array}{c}u\\\bar{\rho}\end{array}\right)$ 是方程(2.3)关于初始值 $z_0\in H^2\times H^1$ 的解, 且 $T$ 是相应解 $z$ 的最大存在时间, 结合(3.10), (3.13)和(3.14)式, 得到

$\begin{align} &\displaystyle\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}} t}\int_R (m^2+\bar{\rho} ^2+\bar{\rho}_x ^2)dx \nonumber \\ =&-3\displaystyle\int_R m^2u_xdx+\int_Ru_x\bar{\rho}^2dx-\int_Ru_{xxx}\bar{\rho}^2dx- 2\lambda \int_R umdx-\int_R u_x\bar{\rho}^2dx \nonumber \\ &\displaystyle-3\int_R u_x\bar{\rho}_x^2dx +\int_R u_{xxx}\bar{\rho}^2dx\\ \leq&-\displaystyle3\int_R m^2u_xdx-3\int_R u_x\bar{\rho}_x^2dx \nonumber . \end{align}$

(3.18)

假设存在 $M_1>0$, 使得 $\forall (t, x)\in[0, T)\times R, u_x(t, x)\geq-M_1.$ 根据(3.18)式得到

$\begin{align} \displaystyle \frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}} t}\int_R (m^2+\bar{\rho} ^2+\bar{\rho}_x ^2)dx \leq&3M_1 \displaystyle \int_R m^2dx+3M_1\int_R \bar{\rho}_x^2dx \leq3M_1 \displaystyle \int_R (m^2+\bar{\rho} ^2+\bar{\rho}_x ^2)dx. \end{align}$

(3.19)

运用 Gronwall 不等式, 得到 $\forall t\in[0, T)$ 有

$\begin{align*} \|u(t, \cdot)\|_{H^2}^2+\|\bar{\rho} (t, \cdot)\|_{H^1}^2 \leq&\|m(t, \cdot)\|_{L^2}^2+\|\bar{\rho} (t, \cdot)\|_{H^1}^2 \leq\|m(0, \cdot)\|_{L^2}^2+\|\bar{\rho }(0, \cdot)\|_{H^1}^2 . \end{align*}$

由上述不等式知, 解 $z$ 在有限时间内不会爆破.

另一方面, 由 Sobolev 嵌入定理知, 若$\liminf\limits_{t\to T}\inf\limits_{x\in R}{u_{x}(t, x)}=-\infty, $则解 $z$ 在有限时间爆破.

注 3.1  由定理 3.2 得到

$T(\|z_0\|_{H^s\times H^{s-1}})=T(\|z_0\|_{H^{s^{'}}\times H^{s^{'}-1}}), \forall s, s^{'}>\frac{5}{2}, $

由定理 3.3 得到

$T(\|z_0\|_{H^s\times H^{s-1}})\leq T(\|z_0\|_{H^2\times H^1}), \forall s\geq2.$

接下来, 将讨论导致方程(2.2)解爆破的两个充分条件.

定理 3.4  设 $z_0=\left(\begin{array}{c}u_0\\\bar{\rho}_0\end{array}\right)\in H^s\times H^{s-1}, s\ge2$, 且 $T$ 是方程(2.3)关于初始值 $z_0$ 的解 $z=(u, \bar{\rho})$ 的最大存在时间, 若存在 $x_0\in R$, 使得 $\bar{\rho}_{0}(x_0)= -1$, 且

$u_0^{'}(x_0)＜-(\|u_0\|_{H^1}^2+\|\bar{\rho}_0\|_{L^2}^2+\lambda^2 )^{\frac{1}{2}}, $

则方程(2.3)的解在有限时间内爆破.

证  设 $z=\left(\begin{array}{c}u\\\bar{\rho}\end{array}\right)$ 是方程(2.3) 关于初始值 $z_0\in H^2\times H^1$ 的解, 且 $T$ 是相应解 $z$ 的最大存在时间.令 $m(t)=u_{x}(t, q(t, x_0))$ 和 $\gamma (t)=\bar{\rho}(t, q(t, x_0))+1$. 由方程(2.3)和(3.8)式得到

$ \displaystyle \frac{\partial m}{\partial t}=(u_{tx}+uu_{xx})(t, q(t, x_0)) \text{和} \displaystyle \frac{\partial \gamma}{\partial t}=-\gamma m. $

再由(3.3)式和关系式 $\displaystyle p\ast \frac{1}{2}=\frac{1}{2}, $ 得到

$ m_t =-\frac{1}{2}m^2+u^2+ \frac{1}{2}\gamma^2-p\ast (u^2+\frac{1}{2}u_x^2+\frac{1}{2}(\bar{\rho}+1)^2+\lambda u_x)(t, q). $

(3.20)

由于 $\gamma(0)=\bar{\rho}(x_0)+1=0$, 根据引理 3.5 知 $\gamma(t)=0, \forall t\in[0, T).$ 于是得到

$\begin{align*} \displaystyle m_t =&\displaystyle-\frac{1}{2}m^2+u^2+ \frac{1}{2}\gamma^2 -p\ast (u^2+\frac{1}{2}u_x^2+\frac{1}{2}(\bar{\rho}+1)^2+\lambda u_x)(t, q(t, x_0)) \\ \leq&\displaystyle-\frac{1}{2}m^2+u^2+ \frac{\lambda ^2}{2}, \end{align*}$

这里需用到关系式 $\displaystyle p\ast(u^2+\frac{1}{2}(u_x+\lambda)^2+\frac{1}{2}(\bar{\rho}+1)^2)\geq0$ 和 $\displaystyle p\ast \frac{\lambda^2}{2}=\frac{\lambda^2}{2}$. 根据上述不等式和引理 3.1 得到

$m^{'}(t)\leq-\frac{1}{2}m^2+K^2, $

其中 $K=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}(\|u_0\|_{H^1}^2+\|\rho_0\|_{L^2}^2+\lambda^2)^{\frac{1}{2}}$ . 若 $m(0)＜-\sqrt{2}K, $那么有 $m(t)＜-\sqrt{2}K, \forall t\in[0, T).$ 则根据上述不等式得到

$\frac{m(0)+\sqrt{2}K}{m(0)-\sqrt{2}K}e^{\sqrt{2}Kt}-1 \leq\frac{2\sqrt{2}K}{m(t)-\sqrt{2}K} \leq0.$

由于 $0＜\displaystyle\frac{m(0)+\sqrt{2}K}{m(0)-\sqrt{2}K}＜1$, 则存在 $0＜T＜\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}K}\ln(\frac{m(0)+\sqrt{2}K}{m(0)-\sqrt{2}K}), $使得 $\lim\limits_{t\to T}m(t)=-\infty.$由定理 3.2 知解在有限时间内爆破. 这就完成了对定理 3.4 的证明.

定理 3.5  设 $z_0=\left(\begin{array}{c}u_0\\\bar{\rho}_0\end{array}\right)\in H^s\times H^{s-1}, s\ge\frac{5}{2}$, $T$ 是方程(2.3)关于初始值 $z_0$ 的解 $z=(u, \bar{\rho})$ 的最大存在时间, $E_0=\|u_0\|_{H^1}^2+\|\bar{\rho}_0\|_{L^2}^2\neq 0, $且存在 $M>0$, 使得$\|\bar{\rho}(t, \cdot)\|_{L^\infty}\leq M, \forall t\in[0, T).$再假设存在 $x_0\in R$, 使得

$\int_R u_{0, x}^3＜-\sqrt{3E_0}[E_0^2+(\lambda ^2+(M+1)^2)E_0]^{\frac{1}{2}}, $

则方程的解在有限时间内爆破.

证 由(3.3)式, 可得

$\begin{align*} \displaystyle\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}} t}\int_R u_x^3dx =&\displaystyle3\int_R u_x^2u_{xt}dx\\ =&\displaystyle3\int_R (-uu_x^2u_{xx}+u^2u_x^2-\frac{1}{2}u_x^4+\frac{1}{2}u_x^2\bar{\rho}^2+u_x^2\bar{\rho}\\ &-u_x^2p\ast (u^2+\frac{1}{2}u_x^2+\frac{1}{2}(\bar{\rho}+1)^2-\frac{1}{2}+\lambda u_x))dx\\ =&\displaystyle3\int_R (-uu_x^2u_{xx}+u^2u_x^2-\frac{1}{2}u_x^4+\frac{1}{2}u_x^2\bar{\rho}^2+u_x^2\bar{\rho}\\ &-u_x^2p\ast (u^2+\frac{1}{2}(u_x+\lambda )^2+\frac{1}{2}(\bar{\rho}+1)^2 -\frac{1}{2}-\frac{\lambda ^2}{2}))dx\\ \leq&\displaystyle3\int_R (-uu_x^2u_{xx}+u^2u_x^2-\frac{1}{2}u_x^4+\frac{1}{2}u_x^2\bar{\rho}^2+u_x^2\bar{\rho} +u_x^2p\ast\frac{ \lambda ^2+1}{2})dx\\ \leq&\displaystyle-\frac{1}{2}\int_R u_x^4dx+3\int_R u^2u_x^2dx+\frac{3}{2}\int_R u_x^2\bar{\rho}^2dx+3\int_R u_x^2\bar{\rho}dx +\frac{ 3(\lambda ^2+1)}{2}\int_R u_x^2dx. \end{align*}$

由引理 3.3 知

$\begin{eqnarray*} &&\int_R u^2u_x^2dx \leq\|u\|_{L^\infty}^2\int_R u_x^2dx \leq\frac{1}{2}(\|u_0\|_{H^1}^2+\|\bar{\rho}_0\|_{L^2}^2)^2 =\frac{1}{2}E_0^2, \\ &&\int_R u_x^2\bar{\rho}^2dx \leq\|\bar{\rho}\|_{L^\infty}^2\int_R u_x^2dx \leq M^2(\|u_0\|_{H^1}^2+\|\bar{\rho}_0\|_{L^2}^2)^2=M^2E_0, \\ &&\int_R u_x^2dx \leq(\|u_0\|_{H^1}^2+\|\bar{\rho}_0\|_{L^2}^2)=E_0, \\ &&\int_R u_x^2\bar{\rho}dx\leq\|\bar{\rho}\|_{L^\infty}\int_R u_x^2dx\leq M(\|u_0\|_{H^1}^2+\|\rho_0\|_{L^2}^2)=ME_0, \end{eqnarray*}$

其中用到关系式 $\displaystyle p\ast \frac{\lambda^2+1}{2}= \frac{\lambda^2+1}{2}.$ 因此

$\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}} t}\int_R u_x^3dx \leq-\frac{1}{2}\int_R u_x^4dx+\frac{3}{2}[E_0^2+(\lambda ^2+(M+1)^2)E_0].$

根据 Hölder 不等式, 得到

$|\int_R u_x^3dx| \leq(\int_R u_x^4dx)^{\frac{1}{2}}(\int_R u_x^3dx)^{\frac{1}{2}} \leq(\int_Ru_x^4dx)^{\frac{1}{2}}\sqrt{E_0}.$

设 $m(t)=\int_Ru_x^3dx$ 和 $K=\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2}[E_0^2+(\lambda^2+(M+1)^2)E_0]^{\frac{1}{2}}, $ 则

$\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}} t}m(t) \leq -\frac{1}{2E_0}m^2(t)+\frac{3}{2}[E_0^2+(\lambda ^2+(M+1)^2)E_0] =-\frac{1}{2E_0}m(t)^2+K^2. $

若 $m(0)＜-\sqrt{2E_0}K, $则有 $m(t)＜-\sqrt{2E_0}K, \forall t\in[0, T).$ 则根据上述不等式得到

$\frac{m(0)+\sqrt{2E_0}K}{m(0)-\sqrt{2E_0}K}e^{\sqrt{2/E_0}Kt}-1 \leq\frac{2\sqrt{2E_0}K}{m(t)-\sqrt{2E_0}K} \leq0.$

由于 $0＜\displaystyle\frac{m(0)+\sqrt{2E_0}K}{m(0)-\sqrt{2E_0}K}＜1$, 则存在 $0＜T＜\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2/E_0}K}\ln(\frac{m(0)+\sqrt{2E_0}K}{m(0)-\sqrt{2E_0}K}), $使得 $\lim\limits_{t\to T}m(t)=-\infty.$ 由定理 3.2 知, 解在有限时间内爆破. 这就完成了对定理 3.5 的证明.

在这节中, 将证明强解的整体存在性. 首先先给出一个重要引理.

引理 4.1  设 $z_0=\left(\begin{array}{c}u_0\\\bar{\rho}_0\end{array}\right)\in H^s\times H^{s-1}, s\ge2$, 且 $T$ 是方程(2.3)关于初始值 $z_0$ 的解 $z=(u, \bar{\rho})$ 的最大存在时间, 若 $\bar{\rho}_{0}(x)\neq-1, \forall x\in R, $ 则存在 $\beta>0$, 使得

$\lim\limits_{t\to T}\inf\limits_{x\in R}{u_{x}(t, x)} \geq \displaystyle-\frac{1}{2\beta}(3+\|z_0\|_{H^s\times H^{s-1}}^2) e^{(\frac{3}{2}+\lambda)(\|u_0\|_{H^1}^2+\|\bar{\rho}_0\|_{L^2}^2+1)T}. $

证  由引理 3.4 知$q(t, \cdot)$ 是 $R$ 上的一个递增微分同胚映射, 满足

$q_{x}(t, x)=\exp(\int_0^tu_x(s, q(s, x))ds)>0, \forall (t, x)\in[0, T)\times R, $

则有

$ \inf\limits_{x\in R}{u_{x}(t, q(t, x))}=\inf\limits_{x\in R}{u_{x}(t, x)}, \forall (t, x)\in[0, T). $

(4.1)

设 $M(t, x)=u_{x}(t, q(t, x))$ 和 $\gamma (t, x)=\bar{\rho} (t, q(t, x))+1$ . 由方程(2.3)和(3.8)式得

$ \frac{\partial M}{\partial t}=(u_{tx}+uu_{xx})(t, q(t, x)) \text{和} \frac{\partial \gamma}{\partial t}=-\gamma M. $

(4.2)

再由方程(3.3)和关系式 $\displaystyle p\ast \frac{1}{2}=\frac{1}{2}, $ 得到

$ M_t=-\frac{1}{2}M^2+u^2+ \frac{1}{2}\gamma^2-p\ast (u^2+\frac{1}{2}u_x^2+\frac{1}{2}\bar{\rho}^2+\bar{\rho}+\frac{1}{2}+\lambda u_x)(t, q). $

(4.3)

注意

$|p\ast \bar{\rho}|\leq \frac{1}{2}(\|p\|_{L^2}^2+\|\bar{\rho}\|_{L^2}^2) \leq\frac{1}{2}(1+\|u_0\|_{H^1}^2+\|\bar{\rho} _0\|_{L^2}^2), \\$

(4.4)

$|p\ast u_x|\leq \frac{1}{2}(\|p\|_{L^2}^2+\|u_x\|_{L^2}^2) \leq\frac{1}{2}(1+\|u_0\|_{H^1}^2+\|\bar{\rho} _0\|_{L^2}^2).$

(4.5)

由引理 3.3 和(4.4)--(4.5)式, 得到

$\begin{align*} &\displaystyle|p\ast (u^2+\frac{1}{2}u_x^2+\frac{1}{2}\bar{\rho}^2+\bar{\rho}+\frac{1}{2}+\lambda u_x)| \\ \leq&\displaystyle\|p\|_{L^\infty}\|u^2+\frac{1}{2}u_x^2+\frac{1}{2}\bar{\rho}^2\|_{L^1} +\lambda|p\ast u_x|+|p\ast \bar{\rho}|+\frac{1}{2}\\ \leq&\displaystyle\frac{1}{2}(\|u\|_{H^1}^2+\|\bar{\rho}\|_{L^2}^2) +\frac{\lambda }{2}(1+\|u_0\|_{H^1}^2+\|\bar{\rho} _0\|_{L^2}^2)+\frac{1}{2}(2+\|u_0\|_{H^1}^2+\|\bar{\rho} _0\|_{L^2}^2)\\ \leq&\displaystyle(\frac{\lambda}{2}+1)(\|u_0\|_{H^1}^2+\|\bar{\rho}_0\|_{L^2}^2+1). \end{align*}$

若设 $\displaystyle f(t, x)=u^2(t, q)-p\ast(u^2+\frac{1}{2}u_x^2+\frac{1}{2}\bar{\rho}^2+\bar{\rho}+\frac{1}{2}+\lambda u_x)(t, q)$, 则

$\begin{align} |f(t, x)| \leq&\displaystyle\|u\|_{L^\infty}^2+|p\ast(u^2+\frac{1}{2}u_x^2+\frac{1}{2}\bar{\rho}^2+\bar{\rho}+\frac{1}{2}+\lambda u_x)| \nonumber \\ \leq&\displaystyle(\frac{\lambda}{2}+\frac{3}{2})(\|u_0\|_{H^1}^2+\|\rho_0\|_{L^2}^2)+\frac{\lambda}{2}+1, \forall (t, x)\in[0, T)\times R, \end{align}$

(4.6)

且

$ M_t=- \frac{1}{2}M^2+ \frac{1}{2}\gamma^2+f(t, x), \forall (t, x)\in[0, T)\times R. $

(4.7)

由引理 3.4--3.5 知 $\forall x\in R$, 有 $\gamma(t, x)$ 与 $\gamma(0, x)=\rho(0, x)$ 同号.根据 Sobolev 嵌入定理, 有 $\bar{\rho}_0(x)\in H^{s-1}, s\geq2$, 则 $\bar{\rho}_0(x)\in C^1(R)\hookrightarrow\rm{Lip}(R)$, 且存在 $R_0$ 使得当 $|x|\geq R_0$时, 有 $|\bar{\rho}_0(x)|\leq\displaystyle \frac{1}{2}$.因为 $\bar{\rho}_0(x)\in C(R)$且$\bar{\rho}_0(x)\neq -1, \forall x\in R$, 则有

$\inf\limits_{|x|\leq R_0}|\gamma(0, x)|=\inf\limits_{|x|\leq R_0}|\bar{\rho}_0(x)+1|>0.$

设 $\beta=\min\{\displaystyle\frac{1}{2}, \inf\limits_{|x|\leq R_0}|\gamma(0, x)|\}$.则$\gamma(0, x)\geq\beta>0, \forall x\in R.$ 因此 $\gamma(t, x)\gamma(0, x)>0, \forall x\in R.$

接下来考虑下述 Lyapunov 函数

$ w(t, x)=\gamma(0, x)\gamma(t, x)+\frac{\gamma(0, x)}{\gamma(t, x)}(1+M^2(t, x)), (t, x)\in[0, T)\times R. $

(4.8)

根据 Sobolev 嵌入定理知

$\begin{align} 0＜w(t, x)=&\gamma^2(0, x)+1+M^2(0, x) \nonumber \\ \leq&\bar{\rho}_0(x)^2+\|u^2_{0, x}(x)+3 \leq\|z_0\|_{H^s\times H^{s-1}}^2+3. \end{align}$

(4.9)

将(4.8)式关于 $t$ 求偏导, 再结合(4.2)式和(4.6)--(4.7)式, 有

$\begin{align*} \displaystyle\frac{\partial w}{\partial t}(t, x) =&\displaystyle2\frac{\gamma(0, x)}{\gamma(t, x)}M(t, x)(f(t, x)+ \frac{1}{2})\\ \leq&\displaystyle[(\lambda+\frac{3}{2})(\|u_0\|_{H^1}^2+\|\bar{\rho}_0\|_{L^2}^2+1)] \frac{\gamma(0, x)}{\gamma(t, x)}(1+M^2(t, x))\\ \leq&\displaystyle(\lambda+\frac{3}{2})(\|u_0\|_{H^1}^2+\|\bar{\rho}_0\|_{L^2}^2+1)w(t, x). \end{align*}$

根据 Gronwall 不等式和上述不等式及(4.9)式, $\forall(t, x)\in[0, T)\times R$有

$\begin{align} w(t, x) \leq&w(0, x)e^{(\lambda+\frac{3}{2})(\|u_0\|_{H^1}^2+\|\bar{\rho}_0\|_{L^2}^2+1)t} \nonumber \\ \leq&(\|z_0\|_{H^s\times H^{s-1}}^2+3) e^{(\lambda+\frac{3}{2})(\|u_0\|_{H^1}^2+\|\bar{\rho}_0\|_{L^2}^2+1)T}. \end{align}$

(4.10)

另一方面,

$w(t, x)\ge2\sqrt{\gamma^2(0, x)(1+M^2(t, x))}\ge2\beta|M(t, x)|.$

因此得到

$\begin{align*} M(t, x) \ge&\displaystyle-\frac{1}{2\beta }w(t, x)\\ \ge&\displaystyle-\frac{1}{2\beta }(\|z_0\|_{H^s\times H^{s-1}}^2+3) e^{(\lambda+\frac{3}{2})(\|u_0\|_{H^1}^2+\|\bar{\rho}_0\|_{L^2}^2+1)T}, \forall (t, x)\in[0, T)\times R. \end{align*}$

根据(4.1)式和上述不等式, 得到

$ \lim\limits_{t\to T}\inf\limits_{x\in R}{u_{x}(t, x)} =\inf\limits_{x\in R}{u_{x}(t, q(t, x))} \ge-\frac{1}{2\beta}e^{(\lambda+\frac{3}{2})(\|u_0\|_{H^1}^2+\|\bar{\rho}_0\|_{L^2}^2+1)T}. $

这就完成了对引理 4.1 的证明.

由定理 3.2--3.3 和引理 4.1, 可以直接得到以下两个定理.

定理 4.1  设 $z_0=\left(\begin{array}{c}u_0\\\bar{\rho}_0\end{array}\right)\in H^2\times H^1$, 若 $\bar{\rho}_{0}(x)\neq -1, \forall x\in R, $则方程(2.3)的强解 $z=(u, \bar{\rho})$ 整体存在.

定理 4.2  设 $z_0=\left(\begin{array}{c}u_0\\\bar{\rho}_0\end{array}\right)\in H^s\times H^{s-1}, s>\displaystyle\frac{5}{2}$, 若$\bar{\rho}_{0}(x)\neq-1, \forall x\in R$, 且 $T$ 是方程关于初始值 $z_0$ 的解 $z=(u, \bar{\rho})$ 的最大存在时间, 则方程(2.3)的解在有限时间内爆破当且仅当

$\limsup\limits_{t\to T}\|\bar{\rho}_{x}(t, \cdot)\|_{L^\infty}=+\infty.$