马氏过程泛函的矩已有许多学者进行了研究, 如王梓坤在文献[1]中研究了连续时间可数状态空间马氏链(即$Q$过程)的随机积分型泛函的矩;李俊平等在文献[2]中研究了Markov骨架过程随机积分型泛函的分布与矩;来向荣在文献[3]中研究了非齐次生灭过程的积分型泛函;陈柳鑫等在文献[4]中研究了非齐次$(H, Q)$过程随机积分型泛函的分布与矩.而本文利用文献[5]中最小非负解的一般理论, 研究了一般状态空间马氏链的随机泛函的指数矩, 作为应用, 得到了一般状态空间马氏链的矩条件与漂移条件等价.

设$E$是局部紧可分度量空间, $\mathcal{E}$是$E$上的Borel$\sigma$代数, $P:E\times\mathcal{E}\rightarrow$ $ [0, 1]$是转移概率核, $\Phi=\{\Phi_n, n\geq0\}$以$P$为转移核的马氏链.对任意的$ A\in\mathcal{E}$, $E$上的非负实值可 测函数$V$, 以及$x\in E$, 记

$\sigma_{A}:=\inf\{n\geq 0:\Phi_{n}\in A\}, \tau_{A}:=\inf\{n\geq 1:\Phi_{n}\in A\}, \eta_{A}:=\sum\limits_{n=1}^{\infty}I_{\{\Phi_{n}\in A\}}, \\ PV(x):=\int_{E}P(x, dy)V(y), \Delta V(x):=PV(x)-V(x).$

定义 1.1^[6]  称马氏链$\Phi=\{\Phi_n, n\geq0\}$是$\varphi$不可约的, 若存在$\sigma$有限测度$\varphi$, 当$\varphi(A)>0$, 有 $P_{x}(\tau_{A}＜\infty)>0, \forall x\in E.$

注 1.2  由文献[6]中的命题4.2.2可知若马氏链$\Phi=\{\Phi_n, n\geq0\}$是$\varphi$不可约的, 则一定存在最大不可约概率测度$\psi$(即对任意其它不可约测度$\nu$, 都有$\nu$关于$\psi$绝对连续).令${\mathcal{E}}^{+}=\{A\in{\mathcal{E}}:\psi(A)>0\}$.

定义 1.3^[6]  称集合$A$是Harris常返的, 若$Q(x, A)=P_{x}(\eta_{A}=\infty)=1, x\in A.$称马氏链$\Phi=\{\Phi_n, n\geq0\}$是Harris常返的, 若马氏链是$\psi$不可约的, 且${\mathcal{E}}^{+}$中的每一个集合都是Harris常返的.

如果没有特别说明, 总是假设马氏链$\Phi=\{\Phi_n, n\geq0\}$是Harris常返的.本文的主要结果是

定理 1.4  设$\Phi=\{\Phi_n, n\geq0\}$是$(E, \mathcal{E})$上的马氏链, 常数$r>1$, $C\in {\mathcal{E}}^{+}$, 函数$f:E\rightarrow[0, \infty)$, 则随机泛函的指数矩$\{G_{C}(x, f, r):=E_{x}[\sum\limits_{k=0}^{\tau_{C}-1}f(\Phi_{k})r^{k}], x\in E\}$是方程

$V(x)=r\int_{C^{c}}P(x, dy)V(y)+f(x), x\in E $

(1.1)

的最小非负解.

推论 1.5  随机泛函的指数矩$\{G_{C}(x, f, r)=E_{x}[\sum\limits_{k=0}^{\tau_{C}-1}f(\Phi_{k})r^{k}], x\in C^{c}\}$是方程

$V(x)=r\int_{C^{c}}P(x, dy)V(y)+f(x), x\in C^{c}$

的最小非负解.

应用定理1.4, 我们得到了下面的矩条件与漂移条件等价.

定理 1.6  设$\Phi=\{\Phi_n, n\geq0\}$是$(E, \mathcal{E})$上的马氏链, $r>1$, $C\in {\mathcal{E}}^{+}$, 函数$f:E\rightarrow[0, \infty)$, 在集合$C$上有界, 则下列两个条件等价

(1) 方程

$\left\{ \begin{array}{ll} \Delta V(x)\leq-(1-\frac{1}{r}) V(x)-\frac{f(x)}{r}, &\quad x\in {C}^{c}, \\ \displaystyle\sup_{x\in C}\int_{C^{c}}P(x, dy)V(y)＜\infty \end{array} \right. $

(1.2)

有几乎处处(关于$\psi$)有限非负解.

(2) $\sup\limits_{x\in C}E_{x}[\sum\limits_{k=0}^{\tau_{C}-1}f(\Phi_{k})r^{k}]＜\infty.$

注 1.7  对于连续时间可数状态空间马氏链$\{X_{t}, t\geq 0\}$, $B$是一个非空有限子集, 则集合$B$的首次返回时的指数矩在集合$B$上有界等价于从集合$B$中任一个状态出发, 首次返回此状态的指数矩是有限的, 即$\sup\limits_{x\in B}E_{x}[e^{\lambda\zeta_{B}}]＜\infty\Leftrightarrow E_{j}[e^{\lambda^{\prime}\zeta_{j}}]＜\infty, j\in B$, 其中$\zeta_{B}=\inf\{t\geq J_{1}:X_{t}\in B\}$, $J_{1}=\inf\{t\geq 0, X_{t}\neq X_{0}\}$表示马氏链$\{X_{t}, t\geq 0\}$第一次跳跃时刻.利用此性质, 证明了可数状态空间马氏链的漂移条件与矩条件等价(见文[7], $\S6.6$, 引理6.4).而一般状态空间马氏链没有类似的性质, 本文利用随机泛函的指数矩是相应方程的最小非负解, 证明了一般状态空间马氏链的矩条件与漂移条件等价.

定义 2.1^[6]  称集合$A\in\mathcal{E}$是满集, 若$\psi(A^{c})=0.$ 称集合$A\in\mathcal{E}$是吸收集, 若$P(x, A)=1, \forall x\in A.$

引理 2.2 ^[6]  设马氏链是$\psi$不可约的, 则每个非空的吸收集都是满集.

引理 2.3^[6]  设马氏链$\Phi=\{\Phi_n, n\geq0\}$是Harris常返的, 则对任意的$x\in E$, $B\in {\mathcal{E}}^{+}$, 有$P_{x}(\eta_{B}=\infty)=1$, 更有$P_{x}(\tau_{B}＜\infty)=1.$

令$\mathcal{H}$表示从$E$到${\overline{R}}_{+}:=[0, \infty]$上的映射集合: $\mathcal{H}$包含1, 且对非负线性组合及单调递增极限封闭, 则$\mathcal{H}$是一个凸锥. 称A是从$\mathcal{H}$到$\mathcal{H}$的一个锥射, 若$A0=0, $

$A(c_{1}f_{1}+c_{2}f_{2})=c_{1}Af_{1}+c_{2}Af_{2}, \forall c_{1}, \, c_{2}\geq 0, \, f_{1}, \, f_{2}\in \mathcal{H}.$

令${\mathcal{A}}:=\{A:\mathcal{H}\rightarrow \mathcal{H}, $$A$是一个锥射, 当$f_{n}\in \mathcal{H}, $, $f_{n}\uparrow f \Rightarrow Af_{n}\uparrow Af\}$.

定义 2.4 ^[5]  给定$A\in \mathcal{A} $, $g\in \mathcal{H} $,称$f^{*}$为方程

$f(x)=(Af)(x)+g(x), x\in E $

(2.1)

的最小非负解, 若$f^{*}$满足(2.1)式且对于任何满足(2.1)式的$\widetilde{f}\in\mathcal{H}$, 都有

$\widetilde{f}(x)\geq f^{*}(x), \forall x\in E.$

引理 2.5 ^[5]  方程(2.1)的最小非负解一定存在并且唯一.进一步, 最小非负解可以通过下面递推方法构造: 令

$f^{(0)}=0, f^{(n+1)}=Af^{(n)}+g, n\geq 0, $

则当$n\rightarrow \infty$时, $f^{(n)}\uparrow f^{*}$.

引理 2.6 ^[5]  (局部化定理) 设$U$是一个非负可测核, $\{f^{\ast}(x), x\in E\}$是方程

$f(x)=\int U(x, dy)f(y)+g(x), x\in E$

的最小非负解, 令$G\subset E$且$\{\widetilde{f}^{\ast}(x), x\in G\}$是方程

$f(x)=\int_{G} U(x, dy)f(y)+\int_{G^{c}}U(x, dy)f^{\ast}(y)+g(x), x\in G$

的最小非负解, 则有

$\widetilde{f}^{\ast}(x)=f^{\ast}(x), x\in G.$

引理 2.7 ^[5]  设$A, \widetilde{A}\in \mathcal{A}, $ $g, \widetilde{g}\in \mathcal{H}, $, 满足$\widetilde{A}\geq A, \widetilde{g}\geq g$, $f^{*}$是方程(2.1)的最小非负解, 则方程

$\widetilde{f}\geq \widetilde{A}\widetilde{f}+\widetilde{g}, \widetilde{f}\in \mathcal{H}$

的任意解$\widetilde{f}$, 都有$\widetilde{f}\geq f^{*}$.

设$C\in {\mathcal{E}}^{+}$, 令$\tau_{C}^{(n)}:=\min\{\tau_{C}, n\}, G_{C}^{(n)}(x, f, r):=E_{x}[\sum\limits_{k=0}^{\tau_{C}^{(n)}-1}f(\Phi_{k})r^{k}], \forall n\geq 1$, 则有$\tau_{C}^{(n)}\uparrow \tau_{C}$. 由引理2.3及单调收敛定理, 有

$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}G_{C}^{(n)}(x, f, r)=E_{x}[\sum\limits_{k=0}^{\tau_{C}-1}f(\Phi_{k})r^{k}]=G_{C}(x, f, r).$

引理 2.8  沿用上面的记号, $\forall x\in E, $ 有下面的递推公式

$G_{C}^{(1)}(x, f, r)=f(x), \\$

(2.2)

$G_{C}^{(n+1)}(x, f, r)=r\int_{C^{c}}P(x, dy)G_{C}^{(n)}(y, f, r)+f(x), n\geq 1.$

(2.3)

证  当$n=1$时, $\tau_{C}^{(1)}=\min\{\tau_{C}, 1\}=1$, 所以

$G_{C}^{(1)}(x, f, r)=E_{x}[\sum\limits_{k=0}^{\tau_{C}^{(1)}-1}f(\Phi_{k})r^{k}]=f(x).$

用$\theta$表示通常的漂移算子.注意到, 在$\tau_{C}>1$时, 有$\tau_{C}=\theta\tau_{C}+1$ , 因此

$\tau_{C}^{(n+1)}I_{\{1＜\tau_{C}\}}=\min\{\theta \tau_{C}+1, n+1\}I_{\{1＜\tau_{C}\}}=\{\theta \tau_{C}^{(n)}+1\}I_{\{1＜\tau_{C}\}}, n\geq 1.$由马氏性, 对任意的$n\geq 1$ , 有

$\begin{eqnarray*} &&G_{C}^{(n+1)}(x, f, r)=E_{x}[\sum\limits_{k=0}^{\tau_{C}^{(n+1)}-1}f(\Phi_{k})r^{k}]\\ &=&E_{x}[\sum\limits_{k=0}^{\tau_{C}^{(n+1)}-1}f(\Phi_{k})r^{k}I_{\{1=\tau_{C}\}}]+E_{x}[\sum\limits_{k=0}^{\tau_{C}^{(n+1)}-1}f(\Phi_{k})r^{k}I_{\{1＜\tau_{C}\}}]\\ &=&E_{x}[f(x)I_{\{1=\tau_{C}\}}]+E_{x}[f(x)I_{\{1＜\tau_{C}\}}]+E_{x}[\sum\limits_{k=1}^{\theta\tau_{C}^{(n)}}f(\Phi_{k})r^{k}I_{\{1＜\tau_{C}\}}]\\ &=&E_{x}[E_{x}[\sum\limits_{k=0}^{\theta\tau_{C}^{(n)}-1}f(\Phi_{k+1})r^{k+1}I_{\{1＜\tau_{C}\}}|{\mathcal{F}}_{1}]]+f(x)\\ &=&E_{x}[I_{\{1＜\tau_{C}\}}E_{x}[\sum\limits_{k=0}^{\theta\tau_{C}^{(n)}-1}f(\Phi_{k+1})r^{k+1}|{\mathcal{F}}_{1}]]+f(x)\\ &=&rE_{x}[I_{\{1＜\tau_{C}\}}E_{x}[\theta\sum\limits_{k=0}^{\tau_{C}^{(n)}-1}f(\Phi_{k})r^{k}|{\mathcal{F}}_{1}]]+f(x)\\ &=&rE_{x}[I_{\{1＜\tau_{C}\}}E_{\Phi_{1}}[\sum\limits_{k=0}^{\tau_{C}^{(n)}-1}f(\Phi_{k})r^{k}]]+f(x)\\ &=&r\int_{C^{c}}P(x, dy)G_{C}^{(n)}(y, f, r)+f(x). \end{eqnarray*}$

定理1.4的证明  令

$\begin{eqnarray*} &&V^{(0)}(x)=0, \\ &&V^{(n+1)}(x)=r\int_{C^{c}}P(x, dy)V^{(n)}(y)+f(x), n\geq 0. \end{eqnarray*}$

下面利用归纳法证明, $\forall n\geq 1, x\in E, $ 都有

$V^{(n)}(x)=G_{C}^{(n)}(x, f, r).$

(3.1)

当$n=1$时, 由(2.2)式, 有

$V^{(1)}(x)=f(x)=G_{C}^{(1)}(x, f, r), \forall x\in E.$

(3.2)

即$n=1$时, (3.1)式成立.

假设$n=k>1$时, (3.1)式成立, 即$V^{(k)}(x)=G_{C}^{(k)}(x, f, r).$ 由(2.3)式, 有

$\begin{eqnarray*} V^{(k+1)}(x)&=&r\int_{C^{c}}P(x, dy)V^{(k)}(y)+f(x)\\ &=&r\int_{C^{c}}P(x, dy)G_{C}^{(k)}(y, f, r)+f(x)\\ &=&G_{C}^{(k+1)}(x, f, r). \end{eqnarray*}$

即$n=k+1$时, (3.1)式仍成立. 由引理2.5可知, 方程(1.1)的最小非负解为

$V^{\ast}(x)=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}V^{(n)}(x)=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}G_{C}^{(n)}(x, f, r) =G_{C}(x, f, r)=E_{x}[\sum\limits_{k=0}^{\tau_{C}-1}f(\Phi_{k})r^{k}], x\in E.$

推论1.5的证明  由定理1.4及局部化定理(引理2.6)可知结论成立.

定理1.6的证明  $(1)\Rightarrow (2)$ 令

$\widetilde{V}(x)=E_{x}[\sum\limits_{k=0}^{\sigma_{C}-1}f(\Phi_{k})r^{k}]= \left\{ \begin{array}{ll} E_{x}[\sum\limits_{k=0}^{\tau_{C}-1}f(\Phi_{k})r^{k}], &\quad x\in {C}^{c}, \\ 0, &\quad x\in C, \end{array} \right.$

约定当$n＜m$时, $\sum\limits_{k=m}^{n}a_{k}=0.$

当$x\in C^{c}$时, 由推论1.5, 有

$\begin{eqnarray} \Delta\widetilde{V}(x)&=&P\widetilde{V}(x)-\widetilde{V}(x)\nonumber\\ &=&\int_{C^{c}}P(x, dy)E_{y}[\sum\limits_{k=0}^{\tau_{C}-1}f(\Phi_{k})r^{k}]-E_{x}[\sum\limits_{k=0}^{\tau_{C}-1}f(\Phi_{k})r^{k}]\nonumber\\ &=&( \frac{1}{r}-1)E_{x}[\sum\limits_{k=0}^{\tau_{C}-1}f(\Phi_{k})r^{k}]-\frac{f(x)}{r}. \end{eqnarray}$

(3.3)

由推论1.5及引理2.7可知, $\{\widetilde{V}(x), x\in E\}$是方程(1.2)的最小非负解. 由条件(1)成立, 有

$\sup\limits_{x\in C}\int_{C^{c}}P(x, dy)E_{y}[\sum\limits_{k=0}^{\tau_{C}-1}f(\Phi_{k})r^{k}]\leq \sup\limits_{x\in C}\int_{C^{c}}P(x, dy)V(y)＜\infty.$

(3.4)

由定理1.4可知

$E_{x}[\sum\limits_{k=0}^{\tau_{C}-1}f(\Phi_{k})r^{k}]=r\int_{C^{c}}P(x, dy)E_{y}[\sum\limits_{k=0}^{\tau_{C}-1}f(\Phi_{k})r^{k}]+f(x), x\in E.$

(3.5)

由(3.4), (3.5)式以及函数$f$在集合$C$上有界, 有

$\begin{eqnarray*} \sup\limits_{x\in C}E_{x}[\sum\limits_{k=0}^{\tau_{C}-1}f(\Phi_{k})r^{k}] &\leq& r\sup\limits_{x\in C}\int_{C^{c}}P(x, dy)E_{y}[\sum\limits_{k=0}^{\tau_{C}-1}f(\Phi_{k})r^{k}]+\sup\limits_{x\in C}f(x)\\ &\leq& r\sup\limits_{x\in C}\int_{C^{c}}P(x, dy)V(y)+\sup\limits_{x\in C}f(x)＜\infty.\\ \end{eqnarray*}$

$(2)\Rightarrow (1)$ 设$\sup\limits_{x\in C}E_{x}[\sum\limits_{k=0}^{\tau_{C}-1}f(\Phi_{k})r^{k}]＜\infty$, 则$b:=\frac{1}{r}\sup\limits_{x\in C}E_{x}[\sum\limits_{k=0}^{\tau_{C}-1}f(\Phi_{k})r^{k}]＜\infty.$

当$x\in C$时, 由定理1.4以及$f$的非负性, 有

$\begin{eqnarray} \Delta\widetilde{V}(x)&=&P\widetilde{V}(x)-\widetilde{V}(x) =\int_{C^{c}}P(x, dy)E_{y}[\sum\limits_{k=0}^{\tau_{C}-1}f(\Phi_{k})r^{k}]\nonumber\\ &=&\frac{1}{r}E_{x}[\sum\limits_{k=0}^{\tau_{C}-1}f(\Phi_{k})r^{k}]-\frac{f(x)}{r} \leq \frac{1}{r}E_{x}[\sum\limits_{k=0}^{\tau_{C}-1}f(\Phi_{k})r^{k}]\leq b＜\infty. \end{eqnarray}$

(3.6)

由(3.3), (3.6)式以及$f$的非负性, 有

$ \sup\limits_{x\in C}\int_{C^{c}}P(x, dy)E_{y}[\sum\limits_{k=0}^{\tau_{C}-1}f(\Phi_{k})r^{k}]\leq b＜\infty.$

(3.7)

$\Delta\widetilde{V}(x)\leq -(1-\frac{1}{r})\widetilde{V}(x)+bI_{C}(x), \forall x\in E. $

(3.8)

下证集合$S:=\{x\in E:\widetilde{V}(x)＜\infty\}$是一个吸收集.反证法, 假设存在$x_{0}\in S$满足$P(x_{0}, S^{c})>0, $, 由(3.8)式, 有

$\infty=\int_{S^{c}}P(x_{0}, dy)\widetilde{V}(y)\leq\int_{E}P(x_{0}, dy)\widetilde{V}(y)\leq \frac{1}{r}\widetilde{V}(x_{0})+b＜\infty, $

矛盾, 因此$\forall x\in S, $ 都有$P(x, S^{c})=0, $即$S$是马氏链的吸收集. 由$\emptyset \neq C\subset S$以及引理2.2可知, 集合$S$是满集, 即$\Psi(S)=1, $因此$\widetilde{V}(x)$是几乎处处有限的非负函数.由(3.3), (3.7)式可知, $\{E_{x}[\sum\limits_{k=0}^{\sigma_{C}-1}f(\Phi_{k})r^{k}], x\in E\}$ 是方程(1.2)的几乎处处有限非负解. 证毕.