本文将研究如下具有强阻尼项的四阶非线性波动方程的初边值问题

$ \left\{ \begin{array}{l} u_{tt}+\Delta^2 u-\Delta u_t+u+u_t|u_t|^{m-1}=u|u|^{p-1}, \quad x\in\Omega, \quad t\geq0, \\ u(x, t)=0, \quad \Delta u(x, t)=0, \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad x\in\partial\Omega, \quad t\geq0, \\ u(x, 0)=u_0(x), \quad u_t(x, 0)=u_1(x), \quad\quad\quad\quad\quad x\in\Omega, \end{array} \right. $

(1.1)

其中$m, p>1, \Omega$是$R^n$中具有光滑边界的有界区域.问题(1.1) 描述的是粘弹性微观物体的实际运动过程.事实上, 物体在运动时周围的介质产生的阻尼和力源, 特别是强阻尼, 对物体内部能量的积聚起着重要的耗散作用, 因此在实际模型中需要加以考虑.

当方程(1.1) 中的强阻尼项$\Delta$u_t$和线性项$u$缺失时, 非线性弱阻尼项和非线性源项之间的相互作用对解的影响已被很多作者考虑过.2002年, Messaoudi在文[1]中指出当$m$$\geq$$p$时, 初始值的弱解是整体存在的, 当$m < p$且初始能量$E(0) < 0$时, 解将在有限时间里爆破; 同时, Messaoudi在文[2]中拓展了在文[1]中的结果, 指出当初始数据选择合适的值时, 不需讨论$m, p$的大小关系, 得到了整体解的存在性定理和衰减估计.2008年, 韩献军、薛红霞在文[3]中得到了类似的结论, 他们利用势井理论构造了稳定集, 在初值位于稳定集时, 得到了弱解是整体存在的且具有衰减性质; 2010年, 尹丽、薛红霞、韩献军在文[4]中利用势井理论构造了不稳定集, 证明了当$m < p$且初始能量非负时, 解将在有限时刻发生爆破.2009年, Chen和Zhou在文[5]中, 对$m < p$且初始能量为正的情形, 证明了整体解的不存在性, 关于解的爆破结论与文^[4]中的结论是一样的.

2013年, 在文[6]中, Chen和Liu考虑了二阶波动方程的情形, 即方程(1.1) 中的$\Delta^2 u$被$\Delta u$代替, 同时线性项$u$缺失时, 证明了局部解的存在唯一性, 同时利用势井法, 研究了整体解的存在性, 解的多项式和指数衰减.最后指出当初始数据足够大或$E(0) < 0$时, 能量将随着时间呈指数式增长.

以上文献[1-5]都是没有强阻尼项时的情形, 研究非线性弱阻尼项的波动方程解的存在性、爆破及衰减估计, 文献[6]研究了具有强阻尼项二阶的非线性波动方程.对带有强阻尼项四阶的非线性波动方程, 目前结论很少且有很多问题有待解决.本文将在以上文献的基础上研究具有强阻尼项的四阶非线性波动方程(1.1) 解的存在性、爆破和能量衰减.

为证明局部弱解的存在性, 下面先给出几个引理.

引理 2.1  设$1 < p\leq \frac{n}{n-4}, n\geq5; 1 < p < \infty, 1\leq n\leq 4, m\geq1.$则对任意$v\in C([0, T];C^{\infty}_{0}(\Omega))$和$u_0(x), u_1(x)\in C^{\infty}_{0}(\Omega).$方程

$ \left\{ \begin{array}{l} u_{tt}+\Delta^2 u-\Delta u_t+u+u_t|u_t|^{m-1}=v|v|^{p-1}, \quad x\in\Omega, \quad t\geq0, \\ u(x, t)=0, \quad \Delta u(x, t)=0, \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad x\in\partial\Omega, \quad t\geq0, \\ u(x, 0)=u_0(x), \quad u_t(x, 0)=u_1(x), \quad\quad\quad\quad\quad x\in\Omega, \end{array} \right. $

(2.1)

存在唯一的解$u(x, t), $并且满足

$ u\in L((0, T);H^{4}(\Omega)\cap H^{2}_{0}(\Omega)), ~~u_{tt}\in L^{\infty}((0, T);L^{2}(\Omega)), \\ u_t\in L^{2}((0, T);H^{1}_{0}(\Omega))\cap L^{m+1}((0, T)\times\Omega). $

此引理的证明类似于文献[7]中第一章定理3.1的证明, 略去证明过程.

引理 2.2  设$1 < p\leq \frac{n}{n-4}, n\geq5;1 < p < \infty, 1\leq n\leq 4, m\geq1.$则对任意$u_0(x)\in H^{2}_{0}(\Omega), u_1(x)\in L^{2}(\Omega), v\in C([0, T];H^{3}(\Omega)).$方程(2.1) 存在唯一的弱解$u(x, t), $满足

$ u\in C((0, T);H^{2}_{0}(\Omega)), \\ u_t\in L^{2}((0, T);H^{1}_{0}(\Omega))\cap L^{m+1}((0, T)\times\Omega), $

并且成立能量等式

$ \;\;\;\;\frac{1}{2}\int_{\Omega}(u^{2}_{t}+(\Delta u)^{2}+u^{2})dx+\int^{t}_{0}\int_{\Omega}|u_t|^{m+1}dxds +\int^{t}_{0}\int_{\Omega}|\nabla u_t|^{2}dxds\nonumber\\ \;\;=\;\;\frac{1}{2}\int_{\Omega}(u^{2}_{1}+(\Delta u_0)^{2}+u^{2}_{0})dx+\int^{t}_{0}\int_{\Omega}v|v|^{p-1}u_{t}dxds. $

(2.2)

证  在$C^{\infty}_{0}(\Omega)$中分别取序列$\{u^{\mu}_{0}\}, \{u^{\mu}_{1}\}, $使得$\{u^{\mu}_{0}\}, \{u^{\mu}_{1}\}$在$C^{\infty}_{0}(\Omega)$中分别逼近于$u_{0}, u_{1}.$在$C([0, T];C^{\infty}_{0}(\Omega))$中取序列$\{v^{\mu}\}$, 使得在$C^{\infty}_{0}(\Omega)$中逼近于$v$.由引理2.1可知方程

$ \left\{ \begin{array}{l} u^{\mu}_{tt}+\Delta^2 u^{\mu}-\Delta u^{\mu}_t+u^{\mu}+u^{\mu}_t|u^{\mu}_t|^{m-1}=v^{\mu}|v^{\mu}|^{p-1}, \quad x\in\Omega, \quad t\geq0, \\ u^{\mu}(x, t)=0, \quad \Delta u^{\mu}(x, t)=0, \quad x\in\partial\Omega, \quad t\geq0, \\ u^{\mu}(x, 0)=u^{\mu}_0(x), \quad u^{\mu}_t(x, 0)=u^{\mu}_1(x), \quad x\in\Omega \end{array} \right. $

(2.3)

存在唯一的解$\{u^{\mu}\}$满足

$ u^{\mu}\in L((0, T);H^{4}(\Omega)\cap H^{2}_{0}(\Omega)), ~u^{\mu}_{tt}\in L^{\infty}((0, T);L^{2}(\Omega)), \\ u^{\mu}_t\in L^{2}((0, T);H^{1}_{0}(\Omega))\cap L^{m+1}((0, T)\times\Omega). $

下面证明$\{u^{\mu}\}$是

$ Y=\{u|u\in C((0, T);H^{2}_{0}(\Omega)), u_t\in L^{2}((0, T);H^{1}_{0}(\Omega))\cap L^{m+1}((0, T)\times\Omega)\} $

中的Cauchy列.为此, 令$U=u^{\mu}-u^{\nu}, V=v^{\mu}-v^{\nu}$, 则$U$满足下面方程

$ \left\{ \begin{array}{l} U_{tt}+\Delta^2 U-\Delta U_t+U+(u^{\mu}_t|u^{\mu}_t|^{m-1}-u^{\nu}_t|u^{\nu}_t|^{m-1})\\ =v^{\mu}|v^{\mu}|^{p-1}-v^{\nu}|v^{\nu}|^{p-1}, \quad\quad\quad\quad\quad\quad x\in\Omega, \quad t\geq0, \\ U(x, t)=0, \quad \Delta U(x, t)=0, \quad \quad \quad\quad\quad x\in\partial\Omega, \quad t\geq0, \\ U(x, 0)=U_0(x)=u^{\mu}_{0}-u^{\nu}_{0}, \quad U_t(x, 0)=U_1(x)=u^{\mu}_{1}-u^{\nu}_{1}, \quad x\in\Omega. \end{array} \right. $

(2.4)

在方程(2.4) 两端同时乘以$U_{t}$, 并且在$(0, T)\times\Omega$上积分得

$ \;\;\;\;\frac{1}{2}\int_{\Omega}(U^{2}_{t}+(\Delta U)^{2}+U^{2})dx+\int^{t}_{0}\int_{\Omega}|\nabla U_t|^{2}dxds\nonumber\\ \;\;\;\;+\int^{t}_{0}\int_{\Omega}(u^{\mu}_t|u^{\mu}_t|^{m-1} -u^{\nu}_t|u^{\nu}_t|^{m-1})U_{t}dxds\nonumber\\ \;\;=\;\;\frac{1}{2}\int_{\Omega}(U^{2}_{1}+(\Delta U_0)^{2}+U^{2}_{0})dx+\int^{t}_{0}\int_{\Omega}(v^{\mu}|v^{\mu}|^{p-1} -v^{\nu}|v^{\nu}|^{p-1})U_tdxds. $

(2.5)

下面来估计(2.5) 式的最后一项

$ \;\;\;\;\int^{t}_{0}\int_{\Omega}(v^{\mu}|v^{\mu}|^{p-1}-v^{\nu}|v^{\nu}|^{p-1})U_tdxds\nonumber\\ \leq\;\|U_t\|_2\|V\|_{\frac{2n}{n-4}}[\|v^{\mu}\|^{p-1}_{\frac{n(p-1)}{2}}+\|v^{\nu}\|^{p-1}_{\frac{n(p-1)}{2}}]\nonumber\\ \leq\;c\|U_t\|_2\|\Delta V\|_{2}(\|\Delta v^{\mu}\|^{p-1}_{2}+\|\Delta v^{\nu}\|^{p-1}_{2}), $

(2.6)

其中$c$是一个仅依赖于$\Omega$的常数.

由$(|\alpha|^{m-1}\alpha-|\beta|^{m-1}\beta)(\alpha-\beta)\geq c|\alpha-\beta|^m$及(2.6) 式得(2.5) 式变为

$ \;\;\;\;\frac{1}{2}\int_{\Omega}(U^{2}_{t}+(\Delta U)^{2}+U^{2})dx+\int^{t}_{0}\int_{\Omega}|\nabla U_t|^{2}dxds+c\int^{t}_{0}\int_{\Omega}|U_t|^{m+1}_{m+1}dxds\nonumber\\ \;\;\leq\;\;\frac{1}{2}\int_{\Omega}(U^{2}_{1}+(\Delta U_0)^{2}+U_0^{2})dx+\Gamma\int^{t}_{0}[\|U_t\|^{2}_2+\|\Delta V\|^{2}_{2}]ds, $

(2.7)

其中$\Gamma$是一个依赖于$c$和$C([0, T];H^{2}_{0}(\Omega))$中包含$v^{\mu}$和$v^{\nu}$的球半径的正常数.由$\{u^{\mu}_{0}\}$是$H^{2}_{0}(\Omega)$中的Cauchy列, $\{u^{\mu}_{1}\}$为$L^{2}(\Omega)$中的Cauchy列, $\{v^{\mu}\}$为$C([0, T];H^{2}_{0}(\Omega))$中的Cauchy列, 进而可得$\{u^{\mu}\}$为$Y$中的Cauchy列.

下面证明极限$u(x, t)$是方程(2.1) 在以下式子意义下的弱解:即对每个$\theta\in H^{2}_{0}(\Omega)$, 有

$ \frac{d}{dt}\int_{\Omega}u_t(x, t)\theta(x)dx+\int_{\Omega}\Delta u(x, t)\Delta\theta(x)dx+\int_{\Omega}\nabla u_t(x, t)\nabla\theta(x)dx\nonumber\\ +\int_{\Omega}u(x, t)\theta(x)dx+\int_{\Omega}u_t|u_t|^{m-1}(x, t)\theta(x)dx =\int_{\Omega}v|v|^{p-1}(x, t)\theta(x)dx $

(2.8)

对几乎处处的$t\in[0, T]$成立.

事实上, 在(2.3) 式两端同时乘以$\theta$, 并在$\Omega$上积分可得

$ \frac{d}{dt}\int_{\Omega}u^{\mu}_t(x, t)\theta(x)dx+\int_{\Omega}\Delta u^{\mu}(x, t)\Delta\theta(x)dx+\int_{\Omega}\nabla u^{\mu}_t(x, t)\nabla\theta(x)dx\nonumber\\ +\int_{\Omega}u^{\mu}(x, t)\theta(x)dx+\int_{\Omega}u^{\mu}_t|u^{\mu}_t|^{m-1}(x, t)\theta(x)dx =\int_{\Omega}v^{\mu}|v^{\mu}|^{p-1}(x, t)\theta(x)dx. $

(2.9)

令$\mu\rightarrow\infty$, 可知在$C([0, T])$中成立

$ \int_{\Omega}\Delta u^{\mu}(x, t)\Delta\theta(x)dx\rightarrow\int_{\Omega}\Delta u(x, t)\Delta\theta(x)dx, \\ \int_{\Omega}u^{\mu}(x, t)\theta(x)dx\rightarrow\int_{\Omega}u(x, t)\theta(x)dx, \\ \int_{\Omega}v^{\mu}|v^{\mu}|^{p-1}(x, t)\theta(x)dx\rightarrow\int_{\Omega}v|v|^{p-1}(x, t)\theta(x)dx, $

且在$L^{1}([0, T])$中成立

$ \int_{\Omega}\nabla u^{\mu}_t(x, t)\nabla\theta(x)dx\rightarrow\int_{\Omega}\nabla u_t(x, t)\nabla\theta(x)dx, \\ \int_{\Omega}u^{\mu}_t|u^{\mu}_t|^{m-1}(x, t)\theta(x)dx\rightarrow\int_{\Omega}u_t|u_t|^{m-1}(x, t)\theta(x)dx. $

因此$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(u^{\mu}_{t}, \theta(x))=(u_{t}, \theta(x)), \displaystyle\int_{\Omega}u_t(x, t)\theta(x)dx$是[0, T]上的一个绝对连续函数.故(2.8) 式对几乎处处的$t\in[0, T]$成立, 同理从关于$u^{\mu}$的能量等式出发可以证明能量等式(2.2).

下证唯一性, 取$v^{1}, v^{2}, $令$u^{1}, u^{2}$分别为方程(2.1) 相应于$v^{1}, v^{2}$的两个解.令$U=u^{1}-u^{2}, $则

$ \frac{1}{2}\int_{\Omega}(U^{2}_{t}+(\Delta U)^{2}+U^{2})dx+\int^{t}_{0}\int_{\Omega}|\nabla U_t|^{2}dxds+\int^{t}_{0}\int_{\Omega}(u^{1}_t|u^{1}_t|^{m-1}\nonumber\\ -u^{2}_t|u^{2}_t|^{m-1}) U_{t}dxds =\int^{t}_{0}\int_{\Omega}(v^{1}|v^{1}|^{p-1}-v^{2}|v^{2}|^{p-1})U_tdxds. $

(2.10)

若$v^{1}=v^{2}, $则由(2.10) 式可知$U=0$, 即唯一性得证.

下面给出局部弱解存在唯一性的定理.

定理 2.1  设$1 < p\leq \frac{n}{n-4}, n\geq5;~1   p   \infty, 1\leq n\leq 4, m\geq1.$若$u_0(x)\in H^{2}_{0}(\Omega), u_1(x)\in L^{2}(\Omega)$, 则方程(1.1) 存在唯一的弱解$u(x, t)\in Y, $其中$T>0$充分小.

证  取$M>0$充分大, 设$X(M, T)$是由$Y$中满足方程(2.1) 中的初边值条件, 并且满足下面条件的$w$组成的集合

$ \max\limits_{o\leq t\leq T}\frac{1}{2}\int_{\Omega}(w^{2}_{t}+(\Delta w)^{2}+w^{2})dx+\int^{T}_{0}\int_{\Omega}|\nabla w_t|^{2}dxds+\int^{T}_{0}\int_{\Omega}w^{m+1}_tdxds\leq M^{2}. $

(2.11)

定义映射$u=f(v):~X(M, T)\rightarrow Y$.其中$u(x, t)$是方程(2.1) 的唯一解.

下面证明当$M$充分大, $T>0$充分小时, $f$是一个从$X(M, T)$到$X(M, T)$的映射.

由能量等式(2.2) 知

$ \;\;\;\;\int_{\Omega}(u^{2}_{t}+(\Delta u)^{2}+u^{2})dx+2\int^{t}_{0}\int_{\Omega}|u_t|^{m+1}dxds +2\int^{t}_{0}\int_{\Omega}|\nabla u_t|^{2}dxds\nonumber\\ \;\;\leq\;\;\int_{\Omega}(u^{2}_{1}+(\Delta u_0)^{2}+u^{2}_{0})dx+2\int^{t}_{0}\|u_t\|_2\|\Delta v\|_2^{p}ds, $

(2.12)

因此

$ \|u\|^{2}_{Y}\leq c[\|u_1\|^{2}_2+\|\Delta u_0\|^2_2+\|u_0\|^2_2]+cM^pT\|u\|_{Y}, $

其中$c$与$M$无关, 选取$M$充分大, $T>0$充分小, 使(2.11) 式成立, 故$f$是一个从$X(M, T)$到$X(M, T)$的映射.

下证$f$是一个压缩映射.

令$U=u-\bar{u}, V=v-\bar{v}$, 其中$u=f(v), \bar{u}=f(\bar{v})$.则$U$满足下面方程

$ \left\{ \begin{array}{l} U_{tt}+\Delta^2 U-\Delta U_t+U+(u_t|u_t|^{m-1}-\bar{u_t}|\bar{u_t}|^{m-1})\\ =v|v|^{p-1}-\bar{v}|\bar{v}|^{p-1}, \quad \quad \quad \quad\quad\quad x\in\Omega, \quad t\geq0, \\ U(x, t)=0, \quad \Delta U(x, t)=0, \quad \quad \quad x\in\partial\Omega, \quad t\geq0, \\ U(x, 0)= U_t(x, 0)=0, \quad\quad\quad\quad\quad x\in\Omega, \end{array} \right. $

(2.13)

在(2.13) 式两端同时乘以$U_t$, 并在$(0, t)\times\Omega$上积分, 可得

$ \;\;\;\;\int_{\Omega}(U^{2}_{t}+(\Delta U)^{2}+U^{2})dx\\ +\;\;\int^{t}_{0}\int_{\Omega}|\nabla U_t|^{2}dxds+\int^{t}_{0}\int_{\Omega}(u_t|u_t|^{m-1} -\bar{u_t}|\bar{u_t}|^{m-1}) U_{t}dxds\nonumber\\ =\;\;c\int^{t}_{0}\int_{\Omega}(v|v|^{p-1}-\bar{v}|\bar{v}|^{p-1})U_tdxds. $

(2.14)

由式(2.6)和(2.7)知

$ \;\;\;\;\int_{\Omega}(U^{2}_{t}+(\Delta U)^{2}+U^{2})dx+\int^{t}_{0}\int_{\Omega}|\nabla U_t|^{2}dxds+\int^{t}_{0}\int_{\Omega}|U_t|^{m+1}dxds\nonumber\\ \;\;\leq\;\;\Gamma\int_0^t\|U_t\|_2\|\Delta V\|_2(\|\Delta v\|^{p-1}_2+\|\Delta \bar{v}\|^{p-1}_2)ds, $

因此

$ \|U\|^2_Y\leq\Gamma TM^{p-1}\|V\|^2_Y. $

(2.15)

选取$T$充分小使$\Gamma TM^{p-1} < 1$, 则由(2.15) 式可知$f$是一个压缩映射.由压缩映射原理可知, 存在唯一的$u=f(u)$, 即$u$是方程(1.1) 的解, 并由(2.14) 式可知解的唯一性.

先给出证明解的爆破的一个有关引理.

引理 3.1  设$1 < p\leq \frac{n}{n-4}, n\geq5;1 < p < \infty, 1\leq n\leq 4$ .则存在仅依赖于$\Omega$的常数$c>1$, 使得

$ \|u\|^s_{p+1}\leq c(\|\Delta u\|^2_{2}+\|u\|_{p+1}^{p+1}), $

(3.1)

其中$u\in H^{2}_{0}(\Omega), ~2\leq s\leq p+1$.

证  由Sobolev嵌入定理即可证明.

为了下面证明中表达方便, 这里定义与方程(1.1) 相关的能量泛函为

$ E(t)=E(u(t))=\frac{1}{2}\|u_t\|_2^2+\frac{1}{2}\|\Delta u\|_2^2+\frac{1}{2}\|u\|_2^2-\frac{1}{p+1}\|u\|_{p+1}^{p+1}. $

(3.2)

令

$ H(t)=-E(t). $

(3.3)

定理 3.1  设$1 < p\leq \frac{n}{n-4}, n\geq5;1 < p<\infty, 1\leq n\leq 4.$若$1<m<p, u_0(x)\in H^{2}_{0}(\Omega), u_1(x)\in L^{2}(\Omega), $且$E(0)<0, $则方程(1.1) 的解在有限时刻发生爆破.

证  由能量等式可得

$ \frac{d}{dt}(\frac{1}{2}\|u_t\|_2^2+\frac{1}{2}\|\Delta u\|_2^2+\frac{1}{2}\|u\|_2^2-\frac{1}{p+1}\|u\|_{p+1}^{p+1})+\|u_t\|_{m+1}^{m+1}+\|\nabla u_t\|_{2}^{2}=0, $

则对几乎处处的$t\in[0, T), $

$ H'(t)=\|u_t\|_{m+1}^{m+1}+\|\nabla u_t\|_{2}^{2}, $

(3.4)

故$H(t)$是递增函数, 因此由式(3.2)、(3.3) 和$E(0)<0$可知, 对任意的$t\in[0, T)$,

$ 0<H(0)\leq H(t)\leq\frac{1}{p+1}\|u\|_{p+1}^{p+1}. $

(3.5)

定义

$ L(t)=H^{1-\alpha}(t)+\varepsilon\displaystyle\int_{\Omega}uu_t(x, t)dx, $

(3.6)

其中$\varepsilon$充分小, 将在下文中选定, 并且

$ 0<\alpha\leq \min\{\frac{p-1}{2(p+1)}, \frac{p-m}{m(p+1)}\}. $

(3.7)

对$L(t)$求导, 并由方程(1.1) 知

$ L'(t)\;\;=\;\;(1-\alpha)H^{-\alpha}(t)H'(t)+\varepsilon\int_{\Omega}u^{2}_{t}(x, t)dx+\varepsilon\int_{\Omega}uu_{tt}(x, t)dx\nonumber\\ \;\;\;\;\;\;\;=\;\;(1-\alpha)H^{-\alpha}(t)H'(t)+\varepsilon\int_{\Omega}[u^{2}_{t}-(\Delta u)^2-u^2](x, t)dx\nonumber\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;+\varepsilon\int_{\Omega}|u(x, t)|^{p+1}dx-\varepsilon\int_{\Omega}uu_t|u_t|^{m-1}dx-\varepsilon\int_{\Omega}\nabla u_t\nabla udx. $

(3.8)

利用Young不等式

$ XY\leq\frac{\delta^r}{r}X^r+\frac{\delta^{-q}}{q}Y^q;~~~X, Y\geq0, ~~\delta>0, ~~\frac{1}{r}+\frac{1}{q}=1. $

取$r=m+1, q=\frac{m+1}{m}, $来估计(3.8) 式中的$\displaystyle\int_{\Omega}uu_t|u_t|^{m-1}dx$, 可得

$ \int_{\Omega}|u||u_t|^{m}dx\leq\frac{\delta^{m+1}}{m+1}\|u\|^{m+1}_{m+1}+\frac{{m}}{m+1}\delta^{-\frac{m+1}{m}}\|u_t\|^{m+1}_{m+1}. $

同时

$ \int_{\Omega}|\nabla u_t\nabla u|dx\;\;\leq\;\;\frac{\sigma^{-2}}{2}\|\nabla u_t\|^2_2+\frac{\sigma^{2}}{2}\|\nabla u\|^2_2\nonumber\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\leq\;\;\frac{\sigma^{-2}}{2}\|\nabla u_t\|^2_2+c_1\sigma^2\|u\|^2_2+c_1\sigma^2\|\Delta u\|^2_2.\nonumber $

将以上两个不等式带入(3.8) 式得

$ L'(t)~\;\;\geq\;\;[(1-\alpha)H^{-\alpha}(t)-\varepsilon\frac{m}{m+1}\delta^{-\frac{m+1}{m}}]H'(t)+\varepsilon\int_{\Omega}[u^2_t-(\Delta u)^2-u^2](x, t)dx\nonumber\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\varepsilon[(p+1)H(t)+\frac{p+1}{2}\int_{\Omega}(u^2_t+(\Delta u)^2+u^2)(x, t)dx]-\varepsilon\frac{\delta^{m+1}}{m+1}\|u\|^{m+1}_{m+1}\nonumber\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\varepsilon(\frac{m}{m+1}\delta^{-\frac{m+1}{m}}-\frac{\sigma^{-2}}{2})\|\nabla u_t\|^2_2-c_1\varepsilon\sigma^2\|\Delta u\|^2_2-c_1\varepsilon\sigma^2\| u\|^2_2. $

(3.9)

因为(3.9) 式的积分是关于变量$x$的, 因此可取$\delta^{-\frac{m+1}{m}}=K_1H^{-\alpha}(t), \sigma^{-2}=K_2H^{-\alpha}(t), $其中$K_1, K_2$充分大, 且$K_1>K_2, $将在后文中给出, 代入(3.9) 式得

$ L'(t)~\;\;\geq\;\;[(1-\alpha)-\varepsilon\frac{m}{m+1}K_1]H^{-\alpha}(t)H'(t)+\varepsilon(p+1)H(t)+\varepsilon(\frac{p+1}{2}+1)\|u_t\|^2_2\nonumber\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\varepsilon(\frac{p+1}{2}-1-c_1K_2^{-1}H^{-\alpha}(t))(\|u\|_2^2+\|\Delta u\|_2^2)-\varepsilon\frac{K_1^{-m}}{m+1}H^{m\alpha}(t)\|u\|^{m+1}_{m+1}\nonumber\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\varepsilon(\frac{m}{m+1}K_1H^{-\alpha}(t)-\frac{K_2H^{-\alpha}(t)}{2})\|\nabla u_t\|^2_2. $

(3.10)

由(3.5) 式和不等式$\|u\|^{m+1}_{m+1}\leq c\|u\|^{m+1}_{p+1}$知

$ H^{m\alpha}(t)\|u\|^{m+1}_{m+1}\leq \frac{c}{(p+1)^{m\alpha}}\|u\|^{m+1+m\alpha(p+1)}_{p+1}. $

取$s=m+1+m\alpha(p+1)\leq p+1, $由引理3.1和(3.7), (3.10) 式知

$ L'(t)\;\;\geq\;\;[(1-\alpha)-\varepsilon\frac{m}{m+1}K_1]H^{-\alpha}(t)H'(t)+\varepsilon(p+1)H(t)+\varepsilon(\frac{p+1}{2}+1)\|u_t\|^2_2\nonumber\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\varepsilon(\frac{p-1}{2}-c_1K_2^{-1}H^{-\alpha}(t))(\|u\|_2^2+\|\Delta u\|_2^2)+\varepsilon(\frac{m}{m+1}K_1H^{-\alpha}(t)\nonumber\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-\frac{K_2H^{-\alpha}(t)}{2})\|\nabla u_t\|^2_2 -\varepsilon c_2K_1^{-m}(\|\Delta u\|^{2}_{2}+\|u\|^{p+1}_{p+1}). $

(3.11)

其中$c_2=\frac{c}{(m+1)(p+1)^{m\alpha}}.$ 又$H(t)=\frac{1}{p+1}\|u\|_{p+1}^{p+1}-\frac{1}{2}\|u_t\|_2^2-\frac{1}{2}\|\Delta u\|_2^2-\frac{1}{2}\|u\|_2^2, $则(3.11) 式变为

$ L'(t)\geq[(1-\alpha)-\varepsilon\frac{m}{m+1}K_1]H^{-\alpha}(t)H'(t)+\varepsilon(\frac{p+3}{2}-c_2K_1^{-m}\frac{p+1}{2})\|u_t\|^2_2\nonumber\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\varepsilon(\frac{p-1}{2}-c_1K_2^{-1}H^{-\alpha}(t)-c_2K_1^{-m}\frac{p+1}{2}-c_2K_1^{-m})\|\Delta u\|_2^2+\varepsilon(\frac{p-1}{2}\nonumber\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-c_1K_2^{-1}H^{-\alpha}(t)-c_2K_1^{-m}\frac{p+1}{2})\|u\|_2^2+\varepsilon[(p+1)-c_2K_1^{-m}(p+1)]H(t)\nonumber\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\varepsilon(\frac{m}{m+1}K_1H^{-\alpha}(t)-\frac{K_2H^{-\alpha}(t)}{2})\|\nabla u_t\|^2_2. $

(3.12)

选取$K_1, K_2$充分大, 且$K_1>K_2, $使$\|u_t\|^2_2, \|\Delta u\|^2_2, \|u\|^2_2, H(t), \|\nabla u_t\|^2_2$在(3.12) 式中系数为正, 则可得

$ L'(t)~\;\;\geq\;\;[(1-\alpha)-\varepsilon\frac{m}{m+1}K_1]H^{-\alpha}(t)H'(t)+\varepsilon\gamma[H(t)+\|u_t\|^2_2\nonumber\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\|\Delta u\|^2_2+\|u\|^2_2+\|\nabla u_t\|^2_2], $

(3.13)

其中

$ \gamma=\min\{\frac{p+3}{2}-c_2K_1^{-m}\frac{p+1}{2}, \frac{p-1}{2}-c_1K_2^{-1}H^{-\alpha}(t)-c_2K_1^{-m}\frac{p+1}{2}, \nonumber\\ \;\;\;\;\;\;\;(p+1)-c_2K_1^{-m}(p+1), \frac{m}{m+1}K_1H^{-\alpha}(t)-\frac{K_2H^{-\alpha}(t)}{2}\quad\}>0.\nonumber $

当$K_1$取定时, 选取$\varepsilon$充分小使得$(1-\alpha)-\varepsilon\frac{m}{m+1}K_1\geq0, $且

$ L(0)=H^{1-\alpha}(0)+\varepsilon\int_{\Omega}u_0u_1(x, t)dx>0. $

故由(3.13) 式知

$ L'(t)\geq\varepsilon\gamma[H(t)+\|u_t\|^2_2+\|\Delta u\|^2_2+\|u\|^2_2+\|\nabla u_t\|^2_2]. $

(3.14)

因此可知

$ L(t)\geq L(0)>0, ~~~\forall t\geq0. $

下面来估计(3.6) 式中的第二项

$ |\int_{\Omega}uu_t(x, t)dx|\leq\|u\|_2\|u_t\|_2\leq c\|u\|_{p+1}\|u_t\|_2, $

由Young不等式可知

$ |\int_{\Omega}uu_t(x, t)dx|^{\frac{1}{1-\alpha}}\leq c[\|u\|_{p+1}^{\frac{\mu}{1-\alpha}}+\|u_t\|_2^{\frac{\theta}{1-\alpha}}], $

(3.15)

其中$\frac{1}{\mu}+\frac{1}{\theta}=1, $取$\theta=2(1-\alpha), $则由(3.7) 式可知

$ \frac{\mu}{1-\alpha}=\frac{2}{1-2\alpha}\leq p+1. $

由(3.15) 式可知

$ |\int_{\Omega}uu_t(x, t)dx|^{\frac{1}{1-\alpha}}\leq c[\|u\|_{p+1}^{s}+\|u_t\|_2^{2}], \nonumber $

其中$s=\frac{2}{1-2\alpha}\leq p+1.$由引理3.1可知

$ |\int_{\Omega}uu_t(x, t)dx|^{\frac{1}{1-\alpha}}\le c[\|\Delta u\|_{2}^{2}+\|u\|_{p+1}^{p+1}+\|u_t\|_2^{2}]\nonumber\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\le c[H(t)+\|u_t\|_2^{2}+\|\Delta u\|_{2}^{2}+\|u\|_{2}^{2}]. $

(3.16)

因此可得

$ L^{\frac{1}{1-\alpha}}(t)\;\;=\;\;(H^{1-\alpha}(t)+\varepsilon\int_{\Omega}uu_t(x, t)dx)^{\frac{1}{1-\alpha}}\nonumber\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\leq\;\;2^{\frac{1}{1-\alpha}}(H(t)+|\int_{\Omega}uu_t(x, t)dx|^{\frac{1}{1-\alpha}})\nonumber\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\leq\;\; c[H(t)+\|u_t\|^2_2+\|\Delta u\|^2_2+\|u\|^2_2+\|\nabla u_t\|^2_2], $

(3.17)

由(3.14), (3.17) 式可知

$ L'(t)\geq \Gamma L^{\frac{1}{1-\alpha}}(t), $

(3.18)

其中$\Gamma$是一个依赖于$c, \gamma, \varepsilon$的常数.令(3.18) 式在(0, t)上积分得

$ L^{\frac{1}{1-\alpha}}(t)\geq \frac{1}{L^{\frac{-\alpha}{1-\alpha}}(0)-\Gamma t\frac{\alpha}{1-\alpha}}, $

(3.19)

则$L(t)$在时刻$T^{\ast}\leq\frac{1-\alpha}{\Gamma\alpha L(0)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}}$发生爆破.

此部分先引入势井, 同时给出相关引理.

定义与方程(1.1) 相关的能量泛函为

$ E(t)=\frac{1}{2}\|u_t\|_2^2+\frac{1}{2}\|\Delta u\|_2^2+\frac{1}{2}\|u\|_2^2-\frac{1}{p+1}\|u\|_{p+1}^{p+1}. $

记

$ J(u)=\frac{1}{2}\|\Delta u\|_2^2+\frac{1}{2}\|u\|_2^2-\frac{1}{p+1}\|u\|_{p+1}^{p+1}, $

势井深度

$ d = \mathop {\inf }\limits_{u \in H_0^2(\Omega )\backslash \{ 0\} } \mathop {\sup }\limits_{\lambda \in R} J(\lambda u), $

稳定集

$ W^{i}=\{u\in H_0^2(\Omega)|K(u)>0, J(u)<d\}\cup\{0\}, $

其中

$ K(u)=\|\Delta u\|_2^2+\|u\|_2^2-\|u\|_{p+1}^{p+1}. $

引理 4.1  $d=\frac{p-1}{2p+2}(c_{\ast}^{\frac{2p+2}{p-1}})^{-1}, $其中$c_{\ast}=\sup\frac{\|u\|_p}{\|\Delta u\|}.$

证  由$d$的定义及微分知识可得到证明.

引理 4.2  $W^i$为$H_0^2$中的有界集.

证  直接由$W^i$的定义可得到证明.

引理 4.3  设$1<p\leq \frac{n}{n-4}, n\geq5;~1<p<\infty, 1\leq n\leq 4, m\geq1.$初始值$u_0(x)\in h^{2}_{0}(\omega), u_1(x)\in l^{2}(\omega)$.$u(x, t)$是问题(1.1) 在$[0, t_{\max})$上的局部解.如果存在$t_0\in[0, t_{\max})$满足$u(t_0, \cdot)\in w^i, $并且$e(t_0)<d, $那么对任意$t\in[t_0, t_{\max}), $问题(1.1) 的解$u(x, t)$必在$w^i$中.

证  假设存在$t_1\in[t_0, T_{\max})$使得$t\in[t_0, t_1)$时, $u(x, t)\in W^i, $而$u(x, t_1)\not\in W^i.$由$W^i$的定义及$J(u)$和$K(u)$关于$t$的连续性知

(1)$J(u(t_1, \cdot))=d$或

(2)$K(u(t_1, \cdot))=0.$

根据$E(t_0)<d$和能量等式$E(t_1)=E(t_0)-\displaystyle\int^{t_1}_{t_0}[\|\nabla u_t\|_2^2+\|u_t\|^{m+1}_{m+1}]$得

$ J(u(t_1, \cdot))\leq E(t_1)\leq E(t_0)<d. $

显然$J(u(t_1, \cdot))=d$是不可能的, 即(1) 式不成立.

若$K(u(t_1, \cdot))=0.$则

$ \frac{d}{d\lambda}J(\lambda u(t_1, \cdot))|_{\lambda=1}=\lambda(1-\lambda^{p-1})\|u(t_1, \cdot)\|^{p+1}_{p+1}|_{\lambda=1}=0, \\ \frac{d^2}{d\lambda^2}J(\lambda u(t_1, \cdot))|_{\lambda=1}=(1-p)\|u(t_1, \cdot)\|^{p+1}_{p+1}|_{\lambda=1}<0, (p>1), $

从而$\sup\limits_{\lambda\geq0}J(\lambda u(t_1, \cdot))=J(\lambda u(t_1, \cdot))|_{\lambda=1}=J(u(t_1, \cdot))<d.$这与$d$的定义矛盾, 因此(2) 式不成立.所以对任意$t\in[t_0, T_{\max}), u(x, t)\in W^i.$

引理 4.4  在引理4.3的假设下, 对任意$t\in[t_0, T_{\max}), $问题(1.1) 的解$u(x, t)$成立如下不等式

$ J(u)\geq\frac{p-1}{2p+2}(\|u\|^2_2+\|\Delta u\|^2_2)\geq\frac{p-1}{2p+2}\|u\|^{p+1}_{p+1}. $

(4.1)

其中$t\in[t_0, T_{\max}).$

证  根据引理4.3得, 对任意$t\in[t_0, T_{\max}), K(u)=\|u\|^2_2+\|\Delta u\|^2_2+\|u\|^{p+1}_{p+1}\geq0, $则

$ J(u)=\frac{1}{2}\|u\|^2_2+\frac{1}{2}\|\Delta u\|^2_2-\frac{1}{p+1}\|u\|^{p+1}_{p+1}\nonumber\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\geq\;\;\frac{p-1}{2p+2}(\|u\|^2_2+\|\Delta u\|^2_2)\nonumber\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\geq\;\;\frac{p-1}{2p+2}\|u\|^{p+1}_{p+1}, \nonumber $

其中$t\in[t_0, T_{\max}).$

引理 4.5  在引理4.4的条件下, 有

$ c_\ast^{p+1}(\frac{2p+2}{p-1}E(t_0))^{\frac{p-1}{2}}<1, $

(4.2)

$ \|u\|^{p+1}_{p+1}\leq(1-\theta)\|\Delta u\|_2^2, \forall t\in[t_0, T_{\max}), $

(4.3)

其中$\theta=1-c_\ast^{p+1}(\frac{2p+2}{p-1}E(t_0))^{\frac{p-1}{2}}>0.$进一步有

$ K(u)\geq\|u\|_2^2+\theta\|\Delta u\|_2^2\geq\|u\|_2^2+\frac{\theta}{1-\theta}\|u\|^{p+1}_{p+1}, ~\forall t\in[t_0, T_{\max}). $

证  由$d$的定义可得(4.2) 式成立.由引理4.4知

$ d>E(t_0)\geq E(t)=\frac{1}{2}\|u_t\|^2_2+J(u)\nonumber\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\geq\;\;\frac{1}{2}\|u_t\|^2_2+\frac{p-1}{2p+2}(\|u\|^2_2+\|\Delta u\|^2_2)\nonumber\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\geq\;\;\frac{p-1}{2p+2}(\|u_t\|^2_2+\|u\|^2_2+\|\Delta u\|^2_2), $

(4.4)

则由Sobolev嵌入定理及(4.4) 式得

$ \|u\|^{p+1}_{p+1}\;\;\leq\;\; c^{p+1}\|\Delta u\|^{p+1}_{2}=c^{p+1}\|\Delta u\|^{p-1}_{2}\|\Delta u\|^{2}_{2}\nonumber\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\leq\;\; c^{p+1}(\frac{2p+2}{p-1}E(t_0))^{\frac{p-1}{2}}\|\Delta u\|^{2}_{2}\nonumber\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\leq\;\;(1-\theta)\|\Delta u\|_2^2, \nonumber $

进而

$ K(u)\;\;=\;\;\|u\|_2^2+\|\Delta u\|_2^2-\|u\|^{p+1}_{p+1}\geq\|u\|_2^2+\|\Delta u\|_2^2-(1-\theta)\|\Delta u\|_2^2\nonumber\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\;\|u\|_2^2+\theta\|\Delta u\|_2^2\geq\|u\|_2^2+\frac{\theta}{1-\theta}\|u\|^{p+1}_{p+1}.\nonumber $

引理 4.6  设$F:R^{+}\rightarrow R^{+}$为一个非增函数, 若存在$p\geq1, A>0, $使得

$ \int_S^{+\infty}F^{\frac{p+1}{2}}(t)dt\leq AF(S), ~~0\leq S+\infty, $

则

$ F(t)\leq cF(0)(1+t)^{\frac{-2}{p-1}}, ~\forall t\geq0, p>1;~~~F(t)\leq cF(0)e^{-\lambda t}, ~\forall t\geq0, p=1, $

其中$c, \lambda$是不依赖于$F(0)$的正常数.

此引理的证明见文献[8].

注  引理4.5和引理4.6在能量衰减估计中有重要作用.

首先给出整体解的存在性定理.

定理 4.1  设$1<p\leq \frac{n}{n-4}, n\geq5;1<p<\infty, 1\leq n\leq 4, m\geq1.$初始值$u_0(x)\in H^{2}_{0}(\Omega), u_1(x)\in L^{2}(\Omega)$, $u(x, t)$是问题(1.1) 在$[0, T_{\max})$上的局部解.如果存在$t_0\in[0, T_{\max})$满足$u(t_0, \cdot)\in W^i, $并且$E(t_0)<d, $那么$T_{\max}=\infty.$

证  由引理4.4和$E'(t)<0$得

$ d>E(t_0)\geq E(t)=\frac{1}{2}\|u_t\|^2_2+J(u)\nonumber\\ \;\;\;\;\geq\;\;\frac{1}{2}\|u_t\|^2_2+\frac{p-1}{2p+2}(\|u\|^2_2+\|\Delta u\|^2_2)\nonumber\\ \;\;\;\;\geq\;\;\frac{p-1}{2p+2}(\|u_t\|^2_2+\|u\|^2_2+\|\Delta u\|^2_2), $

(4.5)

其中$t\in[t_0, T_{\max}), $由上式和连续性原理^[9]得到整体解, 即$T_{\max}=\infty.$故整体解的存在性得证.

下面作整体解的能量衰减估计.

定理 4.2  在定理4.1的假设下, 若$1\leq m\leq \frac{n+4}{n-4}, n\geq5;1\leq m<\infty, 1\leq n\leq 4, $则问题(1.1) 的整体解的能量衰减估计为

$ E(t)\leq C(1+t)^{\frac{-2}{m-1}}, m>1;~~~E(t)\leq Ce^{-\lambda t}, m=1, $

其中$C, \lambda$是正常数, 且$C$依赖于$E(t_0).$

证  以下要证明

$ \int_{S}^{\infty}E(t)^{\frac{m+1}{2}}dt\leq cE(S), ~~~\forall S\in[t_0, \infty) $

(4.6)

成立, 进而利用引理4.6, 可得结论成立.

用$E(t)^{\frac{m-1}{2}}u$乘方程(1.1) 两端, 并在$\Omega\times[S, T]$上积分, 其中$t_0\leq S\leq T<\infty, $

$ \displaystyle\int^{T}_{S}\int_{\Omega}E(t)^{\frac{m-1}{2}}u[u_{tt}+\Delta^2 u-\Delta u_t+u+u_t|u_t|^{m-1}-u|u|^{p-1}]dxdt=0, $

(4.7)

其中

$ \int^{T}_{S}\int_{\Omega}E(t)^{\frac{m-1}{2}}uu_{tt}dxdt=\int_{\Omega}E(t)^{\frac{m-1}{2}}uu_{t}dx|^{T}_{S} -\int^{T}_{S}\int_{\Omega}E(t)^{\frac{m-1}{2}}|u_{t}|^2dxdt\nonumber\\ \;\;\;\;\;\;\;\;-\frac{m-1}{2}\int^{T}_{S}\int_{\Omega}E(t)^{\frac{m-3}{2}}E'(t)uu_{t}dxdt.\nonumber $

将上式代入(4.7) 式得

$ \;\;\;\;\int^{T}_{S}\int_{\Omega}E(t)^{\frac{m-1}{2}}(|u_t|^2+|\Delta u|^2+|u|^2-|u|^{p+1})dxdt\nonumber\\ =\;\;\int^{T}_{S}\int_{\Omega}E(t)^{\frac{m-1}{2}}(2|u_t|^2-uu_t|u_t|^{m-1}+u\Delta u_t)dxdt\nonumber\\ \;\;\;\;+\frac{m-1}{2}\int^{T}_{S}\int_{\Omega}E(t)^{\frac{m-3}{2}}E'(t)uu_{t}dxdt-\int_{\Omega}E(t)^{\frac{m-1}{2}}uu_{t}dx|^{T}_{S}. $

(4.8)

由$E'(t)\leq0$及(4.5) 式得

$ \;\;\;\;|\frac{m-1}{2}\int^{T}_{S}\int_{\Omega}E(t)^{\frac{m-3}{2}}E'(t)uu_{t}dxdt|\nonumber\\ \leq\;\;\frac{m-1}{2}\int^{T}_{S}E(t)^{\frac{m-3}{2}}|E'(t)|(\frac{1}{2}\|u\|^2_2+\frac{1}{2}\|u_t\|^2_2)dt\nonumber\\ \leq\;\;-\frac{m-1}{2}\int^{T}_{S}E(t)^{\frac{m-3}{2}}E'(t)(\frac{(p+1)c^2}{p-1}\frac{p-1}{2p+2}\|\Delta u\|^2_2+\frac{1}{2}\|u_t\|^2_2)dt\nonumber\\ \leq\;\;-\frac{m-1}{2}\max(\frac{(p+1)c^2}{p-1}, \frac{p+1}{p-1})\int^{T}_{S}E(t)^{\frac{m-1}{2}}E'(t)dt\nonumber\\ =\;\;-\frac{m-1}{m+1}\max(\frac{(p+1)c^2}{p-1}, \frac{p+1}{p-1})E(t)^{\frac{m+1}{2}}|^{T}_{S}\nonumber\\ \leq\;\; cE(S)^{\frac{m+1}{2}}. $

(4.9)

类似的

$ |-\int_{\Omega}E(t)^{\frac{m-1}{2}}uu_{t}dx|^{T}_{S}|\;\;\leq \;\;E(t)^{\frac{m-1}{2}}(\frac{1}{2}\|u\|^2_2+\frac{1}{2}\|u_t\|^2_2)|^{T}_{S}\nonumber\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\leq\;\; E(t)^{\frac{m-1}{2}}(\frac{c^2}{2}\|\Delta u\|^2_2+\frac{1}{2}\|u_t\|^2_2)|^{T}_{S}\nonumber\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\leq\;\;\max(\frac{(p+1)c^2}{p-1}, \frac{p+1}{p-1})E(t)^{\frac{m+1}{2}}|^{T}_{S}\nonumber\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\leq \;\;cE(S)^{\frac{m+1}{2}}. $

(4.10)

又注意到$0<\theta<1, $由引理4.5得

$ \;\;\;\;\int^{T}_{S}\int_{\Omega}E(t)^{\frac{m-1}{2}}(|u_t|^2+|\Delta u|^2+|u|^2-|u|^{p+1})dxdt\nonumber\\ =\;\;\int^{T}_{S}E(t)^{\frac{m-1}{2}}(\|u_t\|^2_2+K(u))dt\nonumber\\ \geq\;\;\int^{T}_{S}E(t)^{\frac{m-1}{2}}(\|u_t\|^2_2+\|u\|^2_2+\theta\|\Delta u\|^2_2)dt\nonumber\\ \geq\;\; 2\theta\int^{T}_{S}E(t)^{\frac{m-1}{2}}(\frac{1}{2}\|u_t\|^2_2+\frac{1}{2}\|u\|^2_2+\frac{1}{2}\|\Delta u\|^2_2)dt\nonumber\\ \geq\;\; 2\theta\int^{T}_{S}E(t)^{\frac{m+1}{2}}dt. $

(4.11)

将(4.9)-(4.11) 式代入(4.8) 式得

$ 2\theta\int^{T}_{S}E(t)^{\frac{m+1}{2}}dt \;\;\leq\;\;\int^{T}_{S}\int_{\Omega}E(t)^{\frac{m-1}{2}}(2|u_t|^2-uu_t|u_t|^{m-1}\nonumber\\ \;\;\;\;\;\;\;\;+u\Delta u_t)dxdt+cE(S)^{\frac{m+1}{2}}. $

(4.12)

由Young不等式及$E'(t)=-\|u_t\|^{m+1}_{m+1}-\|\nabla u_t\|^{2}_{2}$得

$ \;\;\;\;2\int^{T}_{S}\int_{\Omega}E(t)^{\frac{m-1}{2}}|u_t|^2dxdt\nonumber\\ \;\;\leq\;\;int^{T}_{S}\int_{\Omega}(\varepsilon_1E(t)^{\frac{m+1}{2}}+c(\varepsilon_1)|u_t|^{m+1})dxdt\nonumber\\ \;\;\leq\;\;varepsilon_1|\Omega|\int^{T}_{S}E(t)^{\frac{m+1}{2}}dt+c(\varepsilon_1)\int^{T}_{S}\|u_t\|^{m+1}_{m+1}dt\nonumber\\ \;\;=\;\;\varepsilon_1|\Omega|\int^{T}_{S}E(t)^{\frac{m+1}{2}}dt-c(\varepsilon_1)(E(T)-E(S))-\int^{T}_{S}\|\nabla u_t\|^{2}_{2}dt\nonumber\\ \;\;\leq\;\;varepsilon_1|\Omega|\int^{T}_{S}E(t)^{\frac{m+1}{2}}dt+cE(S). $

(4.13)

又由Young不等式, (4.5) 式及$E'(t)\leq0$得

$ \;\;\;\;-\int^{T}_{S}\int_{\Omega}E(t)^{\frac{m-1}{2}}uu_t|u_t|^{m-1}dxdt\nonumber\\ \;\;\leq\;\;int^{T}_{S}E(t)^{\frac{m-1}{2}}(\varepsilon_2\|u\|^{m+1}_{m+1}+c(\varepsilon_2)\|u_t\|^{m+1}_{m+1})dt\nonumber\\ \;\;\leq\;\;varepsilon_2c^{m+1}E(t_0)^{\frac{m-1}{2}}\int^{T}_{S}\|\Delta u\|^{m+1}_{2}dt+c(\varepsilon_2)E(S)^{\frac{m-1}{2}}\int^{T}_{S}\|u_t\|^{m+1}_{m+1}dt\nonumber\\ \;\;\leq\;\;varepsilon_2c^{m+1}E(t_0)^{\frac{m-1}{2}}\int^{T}_{S}(\frac{2p+2}{p-1}E(t))^{\frac{m+1}{2}}dt\\ \;\;\;\;\;\;+c(\varepsilon_2)E(S)^{\frac{m-1}{2}}(E(S) -E(T))-\int^{T}_{S}\|\nabla u_t\|^{2}_{2}dt\nonumber\\ \;\;\leq\;\;varepsilon_2c^{m+1}E(t_0)^{\frac{m-1}{2}}(\frac{2p+2}{p-1})^{\frac{m+1}{2}}\int^{T}_{S}(E(t))^{\frac{m+1}{2}}dt+c(\varepsilon_2)E(S)^{\frac{m+1}{2}}, $

(4.14)

这里$c(\varepsilon_1), c(\varepsilon_2)$是依赖于$\varepsilon_1, \varepsilon_2$的正常数.

$ \;\;\;\;\int^{T}_{S}\int_{\Omega}E(t)^{\frac{m-1}{2}}u\Delta u_tdxdt\nonumber\\ \;\;=\;\;[-\frac{1}{2}E(t)^{\frac{m-1}{2}}\|\nabla u(t)\|^2_2]|^{T}_{S}+\frac{1}{2}\int^{T}_{S}\|\nabla u(t)\|^2_2dE(t)^{\frac{m-1}{2}}\nonumber\\ \;\;\leq\;\; c\frac{p+1}{p-1}E(S)^{\frac{m+1}{2}}+c\frac{(m-1)(p+1)}{2(p-1)}\int^{T}_{S}E(t)^{\frac{m-1}{2}}dE(t)\nonumber\\ \;\;\leq\;\; cE(S)^{\frac{m+1}{2}}. $

(4.15)

在(4.13), (4.14) 式中令$\varepsilon_1, \varepsilon_2$充分小使得

$ \varepsilon_1|\Omega|+\varepsilon_2c^{m+1}E(t_0)^{\frac{m-1}{2}}(\frac{2p+2}{p-1})^{\frac{m+1}{2}}<2\theta. $

(4.16)

因此由(4.12)-(4.15) 式得

$ \int^{T}_{S}E(t)^{\frac{m+1}{2}}dt\;\;\leq\;\; cE(S)+cE(S)^{\frac{m+1}{2}}\nonumber\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\leq\;\; c(1+E(t_0)^{\frac{m-1}{2}})E(S), $

(4.17)

即(4.6) 式成立, 故由引理4.6得

$ E(t)\leq C(1+t)^{\frac{-2}{m-1}}, m>1;~~~E(t)\leq Ce^{-\lambda t}, m=1, $

其中$C, \lambda$是正常数, $t\in[t_0, \infty), $且$C$依赖于$E(t_0)$.

注  在定理4.1中并没有限制$m, p$的大小关系, 给出了整体解的存在性.下面将给出当$m\geq p$时, 定理2.1中给出的局部解也是整体存在的.

定理 4.3  设$1<p\leq \frac{n}{n-4}, n\geq5;1<p<\infty, 1\leq n\leq 4.$若$p\leq m$且$u_0(x)\in H^{2}_{0}(\Omega), u_1(x)\in L^{2}(\Omega).$则方程$(1.1)$\forall T>0$存在唯一的整体弱解$u(x, t)$, 使得$u\in Y.$

证  考虑通常的能量函数

$ e(t)=\frac{1}{2}\|u_t\|_2^2+\frac{1}{2}\|\Delta u\|_2^2+\frac{1}{2}\|u\|_2^2\nonumber, $

仅利用$e(t)$很难估计强阻尼项、非线性阻尼项和源项对整体解的影响, 为此引进修正的能量函数

$ F(t)=e(t)+\frac{1}{p+1}\|u\|^{p+1}_{p+1}. $

由能量等式知

$ e'(t)=-\|u_t\|^{m+1}_{m+1}-\|\nabla u_t\|_2^2+\int_{\Omega}uu_t|u|^{p-1}dx. $

(4.18)

故

$ F'(t)=-\|u_t\|^{m+1}_{m+1}-\|\nabla u_t\|_2^2+2\int_{\Omega}uu_t|u|^{p-1}dx. $

(4.19)

由Young不等式和$m\geq p$可知

$ F'(t)\;\;\leq\;\;-\|u_t\|^{m+1}_{m+1}-\|\nabla u_t\|_2^2+2c(\varepsilon)\|u\|^{p+1}_{p+1}+2\varepsilon\|u_t\|^{p+1}_{p+1}\nonumber\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\leq\;\;-\|u_t\|^{m+1}_{m+1}+c(\varepsilon)\|u\|^{p+1}_{p+1}+c(\Omega)\varepsilon\|u_t\|^{p+1}_{m+1}. $

(4.20)

这里讨论两种情况:当$\|u_t\|_{m+1}>1$时, 选取$\varepsilon$充分小使得

$ -\|u_t\|^{m+1}_{m+1}+c(\Omega)\varepsilon\|u_t\|^{p+1}_{m+1}\leq0, $

故$F'(t)\leq c(\varepsilon)\|u\|^{p+1}_{p+1}.$当$\|u_t\|_{m+1}\leq1$时, 可得$F'(t)\leq\varepsilon c(\Omega)+c(\varepsilon)\|u\|^{p+1}_{p+1}.$因此

$ F'(t)\leq c+c_1F(t). $

故

$ F(t)\leq(F(0)+\frac{c}{c_1})e^{c_1t}. $

由连续性原理可知定理4.2成立.