20世纪80年代初Cogburn等人开始研究随机环境中马氏链的一般理论, 取得一系列深刻而丰富的成^[1-3]. Orey ^[4]在Cogburn等人研究的基础对随机环境中马氏链进行了深入地研究, 并提出一系列的问题, 引起众多概率论学者的关注.目前有关随机环境中马氏链的强大数定律方面的研究文献比较多, 如李应求^[8]研究了马氏环境中马氏链的强极限定理, 同时在文献[9]中研究了具有离散参数量的马氏环境中马氏链函数的强大数定律.然而随机环境中马氏链函数的强大数定律研究却很少, 鉴于此, 本文通过对一类马氏链函数强大数定理的研究, 推进这方面的研究.本文研究了随机环境中马氏链函数的强极限定理, 得到了随机环境中马氏链函数强大数定律成立的两个充分条件, 已有的文献是在马氏环境中给出了马氏链函数的强大数定律, 本文仅在随机环境的条件下得到了类似的结论, 从而拓宽了已有定理的适用范围.

本文沿用文[1-4]中的符号和术语, 设N表示整数集, N $_{+}$表示非负整数集, $(\Omega, \mathcal{F}, P)$是一概率空间, $(X, \mathcal{A})$和 $(\Theta, \mathcal{B})$均为任意的可测空间, $\overrightarrow{\xi}=\{\xi_{n}:n\in N_{+}\}$和 $\overrightarrow{X}=\{X_{n}:n\in N_{+}\}$分别是 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$上取值于 $\Theta$和X的随机序列, $\{P(\theta):\theta\in\Theta\}$是 $(X, \mathcal{A})$上的一族转移函数, 且对任意的 $A\in\mathcal{A}$, $P(\cdot;\cdot, A)$是关于 $\mathcal{B}\times\mathcal{A}$可测的, $\{K_{n}(., .)\}$是 $(\Theta, \mathcal{B})$上的一步转移概率函数族, 且假定任意的 $B\in\mathcal{B}, K_{n}(., B)$是关于 $\mathcal{B}$可测的.对任意序列 $\overrightarrow{\eta}=\{\eta_{n }, n\in N_{+}\}$, 记 $\overrightarrow{\eta_{k}^{r }}=\{\eta_{n }, k\leq n \leq r \}.$

定义1^[5]  如果对任意的A $\in\mathcal{A}$, $n\in N_{+}$, 有

$ \begin{eqnarray*} &&P(X_{0}\in A\mid\overrightarrow{\xi_{0}^{\infty}})=P(X_{0}\in A\mid \xi_{0}), \\ &&P(X_{n+1}\in A\mid\ \overrightarrow {X_{0}^{n}}, \overrightarrow {\xi_{0}^{\infty}})=P(\xi_{n};X_{n}, A), \end{eqnarray*} $

则称 $\overrightarrow{X}$是随机环境 $\overrightarrow{\xi}$中的马氏链.

引理1^[5]   $\overrightarrow{X}$是随机环境 $\overrightarrow{\xi}$中的马氏链, $\{f_{n}(.)\}_{n\geq0}$是 $(X, \mathcal{A})$上的有界可测函数列, 令 $\mathcal{F}_{n}=\sigma(\overrightarrow X_{0}^{n}, \overrightarrow \xi_{0}^{n} )$, 则 $\textbf{E}[f_{n}(X_{n})|\mathcal{F}_{n-1}]=\textbf{E}[f_{n}(X_{n})|X_{n-1}, \xi_{n-1}]$ a.s..

引理2^[6]  (克罗内克引理)设 $\{x_{n}\}$是实数的一个序列, $\{\alpha_{n}, n>0\}$是 $\lim\limits_{n \rightarrow\infty}\alpha_{n}=\infty $的一个正数列, 若 $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x_{n}}{\alpha_{n}} < \infty, $则 $\lim\limits_{n \rightarrow\infty} \frac{1}{\alpha_{n}}\sum\limits_{k=1}^{n}x_{k}=0.$

引理3^[6]  对任意的事件 $\{E_{n}, n\in N_{+}\}$, 若 $ \sum\limits_{n=0}^{\infty}P(E_{n}) < \infty, $则 $P(E_{n}\;\;\text{i.o.})=0.$

定理1  设 $\overrightarrow{X}$是随机环境 $\overrightarrow{\xi}$中的马氏链, $\{f_{n}(X_{n})\}_{n\geq0}$是 $(X, \mathcal{A})$上的可测函数列, 且 $0 < a_{n}\uparrow \infty$, 若

$ \sum\limits_{n = 0}^\infty {\bf{E}} \frac{{|{f_n}({X_n}){|^\beta }}}{{{a_n}|{f_n}({X_n}){|^{\beta - 1}} + a_n^\beta }} < \infty (1 \le \beta \le 2), $

(2.1)

则 $\forall k\geq1$有

$ \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{f_n}({X_n}) - {\bf{E}}({f_n}({X_n})|{X_{n - k}},{\xi _{n - k}})}}{{{a_n}}}} < \infty \ \ \ \ {\rm{a}}{\rm{.s}}{\rm{.}}, $

及

$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{a_n}}}\sum\limits_{m = 0}^n {({f_m}(} {X_m}) - {\bf{E}}({f_m}({X_m})|{X_{m - k}},{\xi _{m - k}})) = 0\ \ \ \ {\rm{a}}{\rm{.s}}{\rm{.}}, $

这里约定 $\forall k\geq1, X_{-k}=0, \xi_{-k}=0$.

证   $k=1$的情况.因为 $1\leq\beta\leq2$, 所以当 $|f_{n}(X_{n})|> a_{n}> 0$时, 有

$ \frac{2|f_{n}(X_{n})|^{\beta}}{a_{n}|f_{n}(X_{n})|^{\beta-1}+a_{n}^{\beta}}>\frac{2|f_{n}(X_{n})|^{\beta}}{2|f_{n}(X_{n})|^{\beta}} =1, $

由(2.1) 式可知

$\ \begin{eqnarray*} & &\sum_{n=0}^{\infty}P(|f_{n}(X_{n})|>a_{n})=\sum_{n=0}^{\infty}\textbf{E} I_{\{|f_{n}(X_{n})|>a_{n}\}}\\ &\leq&\sum_{n=0}^{\infty} \textbf{E}\frac{2|f_{n}(X_{n})|^{\beta}}{a_{n}|f_{n}(X_{n})|^{\beta-1}+a_{n}^{\beta}}I_{\{|f_{n}(X_{n})|>a_{n}\}}\\ &\leq&\sum_{n=0}^{\infty} \textbf{E}\frac{2|f_{n}(X_{n})|^{\beta}}{a_{n}|f_{n}(X_{n})|^{\beta-1}+a_{n}^{\beta}} < \infty. \end{eqnarray*} $

由引理3可知 $P(|f_{n}(X_{n})|>a_{n} \;\; \text{i.o.})=0$, 即 $P(\frac{|f_{n}(X_{n})|}{a_{n}}>1 \;\;\text{i.o.})=0$, 所以

$ \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{f_n}({X_n})}}{{{a_n}}}} {I_{\{ |{f_n}({X_n})| > {a_n}\} }} < \infty \;\;\;\;{\rm{a}}{\rm{.s}}{\rm{.}}, $

(2.2)

由(2.1) 式知

$ \begin{eqnarray*} & &\textbf{E}\sum_{n=0}^{\infty}|\textbf{E} \frac{f_{n}(X_{n})}{a_{n}}I_{\{|f_{n}(X_{n})|>a_{n}\}}|(X_{n-1}, \xi_{n-1})|\\ &\leq &\textbf{E}\sum_{n=0}^{\infty}|\textbf{E}\frac{|f_{n}(X_{n})|}{a_{n}}I_{\{|f_{n}(X_{n})|>a_{n}\}}|(X_{n-1}, \xi_{n-1})|\\ &\leq &\sum_{n=0}^{\infty}\textbf{E}(\frac{|f_{n}(X_{n})|}{a_{n}}\frac{2|f_{n}(X_{n})|^{\beta-1}}{a_{n}^{\beta-1}+|f_{n}(X_{n})|^{\beta-1}} I_{\{|f_{n}(X_{n})|>a_{n}\}}|(X_{n-1}, \xi_{n-1}))\\ &\leq & 2\sum_{n=0}^{\infty}\textbf{E}\frac{|f_{n}(X_{n})|^{\beta}}{a_{n}|f_{n}(X_{n})|^{\beta-1}+a_{n}^{\beta}} < \infty, \end{eqnarray*} $

所以

$ \sum\limits_{n = 0}^\infty {\bf{E}} (\frac{{{f_n}({X_n})}}{{{a_n}}}{I_{\{ |{f_n}({X_n})| > {a_n}\} }}|({X_{n - 1}},{\xi _{n - 1}})) < \infty \;\;\;\;{\rm{a}}{\rm{.s}}.. $

(2.3)

记

$ Y_{n}=\frac{f_{n}(X_{n})}{a_{n}} I_{\{|f_{n}(X_{n})|\leq a_{n}\}}-\textbf{E} (\frac{f_{n}(X_{n})}{a_{n}} I_{\{|f_{n}(X_{n})|\leq a_{n}\}}|(X_{n-1}, \xi_{n-1})), $

因为 $\frac{f_{n}(X_{n})}{a_{n}} I_{\{|f_{n}(X_{n})|\leq a_{n}\}}\leq1$, 所以由引理1可知 $\{Y_{n}, n\geq 0\}$是关于 $\sigma$代数族 $\{\mathcal{F}_{n}, n\geq 0\}$的鞅差序列.由鞅差序列正交性知, 对任意 $i\neq j$有 $ \textbf{E}Y_{i}Y_{j}=0$, 对 $1\leq\beta\leq2$有

$ \begin{eqnarray*} & & \textbf{E}|\sum_{m=0}^{n}Y_{m} |^{2} =\sum_{m=0}^{n}\textbf{E} Y_{m}^{2}\\ & \leq&4\sum_{m=0}^{n}\textbf{E} \frac{|f_{m}(X_{m})|^{2}}{a_{m}^{2}}I_{\{|f_{m}(X_{m})|\leq a_{m}\}}\\ &\leq &4\sum_{m=0}^{n}\textbf{E} \frac{|f_{m}(X_{m})|^{\beta}}{a_{m}^{\beta}}I_{\{|f_{m}(X_{m})|\leq a_{m}\}}\\ &\leq & 4\sum_{m=0}^{n}\textbf{E} \frac{2|f_{m}(X_{m})|^{\beta}}{a_{m}^{\beta}+a_{m} |f_{m}(X_{m})|^{\beta-1}}I_{\{|f_{m}(X_{m})|\leq a_{m}\}}, \end{eqnarray*} $

由(2.1) 式可知 $\sup\limits_{n\geq0}\textbf{E}|\sum\limits_{m=0}^{n}Y_{m} |^{2} < \infty, $所以 $\sum\limits_{m=0}^{n}Y_{m}$是 $L^{2}$收敛的, 而 $L^{2}$收敛的鞅是a.s.收敛的, 即

$ \sum\limits_{n = 0}^\infty {{Y_n}} < \infty \;\;\;\;{\rm{a}}{\rm{.s}}{\rm{.}}, $

(2.4)

所以

$ \begin{eqnarray*} &&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f_{n}(X_{n})-\textbf{E}(f_{n}(X_{n})|(X_{n-1}, \xi_{n-1}))}{a_{n}}\\ &=&\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{f_{n}(X_{n})}{a_{n}} I_{\{|f_{n}(X_{n})|>a_{n}\}})+\sum_{n=0}^{\infty}Y_{n} -\sum_{n=0}^{\infty}\textbf{E} \frac{f_{n}(X_{n})}{a_{n}} I_{\{|f_{n}(X_{n})|>a_{n}\}})|(X_{n-1}, \xi_{n-1})), \end{eqnarray*} $

由(2.2)、(2.3) 和(2.4) 式可知

$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{f_n}({X_n}) - {\bf{E}}({f_n}({X_n})|({X_{n - 1}},{\xi _{n - 1}}))}}{{{a_n}}}} < \infty \;\;\;\;{\rm{a}}{\rm{.s}}.. $

(2.5)

下面考虑 $k>1$的情形.由 $\{X_{n}, n\geq 0\}$的马氏性知, 对于任意的 $m=1, 2, \cdots, k-1, \{X_{nk+m}, n\geq 0\}$也是马氏链, 由(2.1) 式显然有

$ \sum\limits_{n = 0}^\infty {\bf{E}} \frac{{|{f_{nk + m}}({X_{nk + m}}){|^\beta }}}{{{a_{nk + m}}|{f_{nk + m}}({X_{nk + m}}){|^{\beta - 1}} + a_{nk + m}^\beta }} < \infty . $

由(2.5) 式知, 对任意的 $m=1, 2, \cdots, k-1, $有

$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{f_{nk + m}}({X_{nk + m}}) - {\bf{E}}({f_{nk + m}}({X_{nk + m}})|({X_{(n - 1)k + m}},{\xi _{(n - 1)k + m}}))}}{{{a_{nk + m}}}}} < \infty \;\;\;\;{\rm{a}}{\rm{.s}}.. $

(2.6)

从而由(2.6) 式知

$ \begin{eqnarray} &&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f_{n}(X_{n})-\textbf{E}(f_{n}(X_{n})|(X_{n-k}, \xi_{n-k}))}{a_{n}}\nonumber\\ &=&\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{k-1}\frac{f_{nk+m}(X_{nk+m})-\textbf{E}(f_{nk+m}(X_{nk+m})|(X_{(n-1)k+m}, \xi_{(n-1)k+m}))}{a_{nk+m}}\nonumber\\ &=&\sum_{m=1}^{k-1}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f_{nk+m}(X_{nk+m})-\textbf{E}(f_{nk+m}(X_{nk+m})|(X_{(n-1)k+m}, \xi_{(n-1)k+m}))}{a_{nk+m}}\nonumber\\ & < &\infty\ \ \ \ \text{a.s.}. \end{eqnarray} $

(2.7)

由引理2和(2.7) 式知

$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{a_n}}}\sum\limits_{m = 1}^n {({f_m}(} {X_m}) - {\bf{E}}({f_m}({X_m})|{X_{m - k}},{\xi _{m - k}})) = 0\;\;\;\;{\rm{a}}{\rm{.s}}.. $

即定理1得证.

注  定理1与文献[7]中的引理4都给出了随机环境中马氏链函数强大数定律成立的充分条件, 但是两个定理应用的前提条件不一样.

定理2   $\overrightarrow{X}$是随机环境 $\overrightarrow{\xi}$中的马氏链, $\{f_{n}(X_{n})\}_{n\geq0}$是 $(X, \mathcal{A})$上的可测函数列, 且 $0 < a_{n}\uparrow \infty$, 若存在 $0\leq\alpha\leq2, \beta>0$使得

$ \mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{a_n}}}\sum\limits_{k = 1}^n {\bf{E}} [|{f_n}({X_n}){|^\alpha }{e^{\beta |{f_n}({X_n})|}}|{{\cal F}_{k - 1}}] = \varphi (\alpha ,\beta ) < \infty , $

则

$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{a_n}}}\sum\limits_{k = 1}^n {({f_k}(} {X_k}) - {\bf{E}}({f_k}({X_k})|{{\cal F}_{k - 1}})) = 0\;\;\;\;\;{\rm{a}}{\rm{.s}}.. $

证  对任意非零的实数 $\lambda$, 令

$ M_{0}(\lambda)=1, M_{n}(\lambda)=\frac{e^{\lambda\sum\limits_{k=1}^{n}f_{k}(X_{k})}}{\prod\limits_{k=1}^{n}\textbf{E}[e^{\lambda f_{k}(X_{k})}|\mathcal{F}_{k-1}]}, n\geq1. $

易证 $E(M_{n+1}|\mathcal{F}_{n})=M_{n}, $所以 $\{M_{n}(\lambda), \mathcal{F}_{n}, n\geq1\}$是非负实值鞅, 由鞅收敛定理可知 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}M_{n}(\lambda) < \infty\ \ \ \ \text{a.s.}, $因此当 $0 < a_{n}\uparrow \infty$, 有 $\limsup\limits_{n \rightarrow\infty}\frac{1}{a_{n}}\ln M_{n}(\lambda)\leq0\ \ \ \ \text{a.s.}, $即

$ \mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{a_n}}}\{ \lambda \sum\limits_{k = 1}^n {{f_k}} ({X_k}) - \sum\limits_{k = 1}^n {\ln } {\bf{E}}[{e^{\lambda {f_k}({X_k})}}|{{\cal F}_{k - 1}}]\} \le 0\;\;\;\;{\rm{a}}{\rm{.s}}.. $

(2.8)

当 $\lambda>0$时, 将(2.8) 式两边同除以 $\lambda$可得

$ \mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{a_n}}}\{ \sum\limits_{k = 1}^n {{f_k}} ({X_k}) - \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{\lambda }} \ln {\bf{E}}[{e^{\lambda {f_k}({X_k})}}|{{\cal F}_{k - 1}}]\} \le 0\;\;\;\;{\rm{a}}{\rm{.s}}.. $

(2.9)

当 $\lambda < 0$时, 将(2.8) 式两边同除以 $\lambda$可得

$ \mathop {\lim \inf }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{a_n}}}\{ \sum\limits_{k = 1}^n {{f_k}} ({X_k}) - \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{\lambda }} \ln {\bf{E}}[{e^{\lambda {f_k}({X_k})}}|{{\cal F}_{k - 1}}]\} \ge 0\;\;\;\;{\rm{a}}{\rm{.s}}.. $

(2.10)

首先证明 $0\leq\alpha\leq1$的情况.当 $0 < \lambda < \beta$, 因为

$ \ln x\leq x-1(x>0), e^{x}-1-x\leq|x|^{2}e^{|x|} $

和

$ \sup\{x^{p}e^{-mx}, x>0\}\leq(\frac{p}{me})^{p}(p\geq1, m>0), $

故由(2.9) 式得

$ \begin{eqnarray} & & \limsup\limits_{n \rightarrow\infty}\frac{1}{a_{n}}\sum_{k=1}^{n}[f_{k}(X_{k})-\textbf{E}(f_{k}(X_{k})|\mathcal{F}_{k-1})]\nonumber\\ & \leq&\limsup\limits_{n \rightarrow\infty}\frac{1}{a_{n}}\sum_{k=1}^{n}[\frac{1}{\lambda}\ln\textbf{E}(e^{\lambda f_{k}(X_{k})}|\mathcal{F}_{k-1})-\textbf{E}(f_{k}(X_{k})|\mathcal{F}_{k-1})]\nonumber\\ &\leq &\limsup\limits_{n \rightarrow\infty}\frac{1}{\lambda a_{n}}\sum_{k=1}^{n}[\textbf{E}(e^{\lambda f_{k}(X_{k})}|\mathcal{F}_{k-1})-1-\lambda\textbf{E}(f_{k}(X_{k})|\mathcal{F}_{k-1})]\nonumber\\ &\leq &\limsup\limits_{n \rightarrow\infty}\frac{1}{\lambda a_{n}}\sum_{k=1}^{n}\textbf{E}(|\lambda f_{k}(X_{k})|^{2}e^{|\lambda f_{k}(X_{k})|}|\mathcal{F}_{k-1})\nonumber\\ &=&\limsup\limits_{n \rightarrow\infty}\frac{\lambda}{ a_{n}}\sum_{k=1}^{n}\textbf{E}(|f_{n}(X_{n})|^{\alpha}e^{\beta|f_{n}(X_{n})|}|f_{n}(X_{n})|^{2-\alpha}e^{(\lambda-\beta)|f_{n}(X_{n})|}|\mathcal{F}_{k-1})\nonumber\\ &\leq &\lambda[\frac{2-\alpha}{(\beta-\lambda)e}]^{2-\alpha}\varphi(\alpha, \beta)\ \ \ \ \ \text{a.s.}. \end{eqnarray} $

(2.11)

令 $\lambda\downarrow0$, 由(2.11) 式可得

$ \mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{a_n}}}\mathop \sum \limits_{k = 1}^n [{f_k}({X_k}) - {\bf{E}}({f_k}({X_k})|{{\cal F}_{k - 1}})] \le 0\;\;\;\;{\rm{a}}{\rm{.s}}.. $

(2.12)

当 $ \beta < \lambda < 0$, 由(2.10) 式和类似(2.11) 式计算可得

$ \begin{eqnarray*} & & \liminf\limits_{n \rightarrow\infty}\frac{1}{a_{n}}\sum_{k=1}^{n}[f_{k}(X_{k})-\textbf{E}(f_{k}(X_{k})|\mathcal{F}_{k-1})]\\ & \geq&\liminf\limits_{n \rightarrow\infty}\frac{1}{a_{n}}\sum_{k=1}^{n}[\frac{1}{\lambda}\ln\textbf{E}(e^{\lambda f_{k}(X_{k})}|\mathcal{F}_{k-1})-\textbf{E}(f_{k}(X_{k})|\mathcal{F}_{k-1})]\\ &\geq &\lambda[\frac{2-\alpha}{(\beta-\lambda)e}]^{2-\alpha}\varphi(\alpha, \beta)\ \ \ \ \ \text{a.s.}. \end{eqnarray*} $

令 $\lambda\uparrow0$, 由上式可得

$ \mathop {\lim \;{\rm{inf}}}\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{a_n}}}\sum\limits_{k = 1}^n {\left[ {({f_k}\left( {{X_k}} \right) - {\bf{E}}({f_k}({X_k})|{{\cal F}_{k - 1}})} \right]} \ge 0\;\;\;\;{\rm{a}}{\rm{.s}}.. $

(2.13)

联立(2.12)、(2.13) 式可得, 当 $0\leq\alpha\leq1$有

$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{a_n}}}\sum\limits_{k = 1}^n {({f_k}(} {X_k}) - {\bf{E}}({f_k}({X_k})|{{\cal F}_{k - 1}})) = 0\;\;\;\;{\rm{a}}{\rm{.s}}.. $

再证明 $1 < \alpha\leq2$的情况.

当 $0 < \lambda < \beta$, 因为 $\ln x\leq x-1(x>0)$, $e^{x}-1-x\leq|x|^{\alpha}e^{|x|}(1 < \alpha\leq2)$, 类似(2.11) 式得

$ \begin{eqnarray*} & & \limsup\limits_{n \rightarrow\infty}\frac{1}{a_{n}}\sum_{k=1}^{n}[f_{k}(X_{k})-\textbf{E}(f_{k}(X_{k})|\mathcal{F}_{k-1})]\\ &\leq &\limsup\limits_{n \rightarrow\infty}\frac{1}{\lambda a_{n}}\sum_{k=1}^{n}\textbf{E}(|\lambda f_{k}(X_{k})|^{\alpha}e^{|\lambda f_{k}(X_{k})|}|\mathcal{F}_{k-1})\\ &=&\limsup\limits_{n \rightarrow\infty}\frac{\lambda^{\alpha-1}}{ a_{n}}\sum_{k=1}^{n}\textbf{E}(|f_{n}(X_{n})|^{\alpha}e^{\beta|f_{n}(X_{n})|}e^{(\lambda-\beta)|f_{n}(X_{n})|}|\mathcal{F}_{k-1})\\ &\leq &\lambda^{\alpha-1}\varphi(\alpha, \beta)\text{a.s.}. \end{eqnarray*} $

令 $\lambda\downarrow0$, 则

$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{a_n}}}\mathop \sum \limits_{k = 1}^n [{f_k}({X_k}) - {\bf{E}}({f_k}({X_k})|{{\cal F}_{k - 1}})] \le 0\;\;\;\;{\rm{a}}{\rm{.s}}.. $

(2.14)

当 $ \beta < \lambda < 0$, 类似可得

$ \mathop {\lim \inf }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{a_n}}}\mathop \sum \limits_{k = 1}^n [{f_k}({X_k}) - {\bf{E}}({f_k}({X_k})|{{\cal F}_{k - 1}})] \ge 0\;\;\;\;{\rm{a}}{\rm{.s}}.. $

(2.15)

联立(2.14), (2.15) 式得, 当 $1 < \alpha\leq2$有

$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{a_n}}}\sum\limits_{k = 1}^n {({f_k}(} {X_k}) - {\bf{E}}({f_k}({X_k})|{{\cal F}_{k - 1}})) = 0\;\;\;\;{\rm{a}}{\rm{.s}}.. $

综上所述, 定理2得证.

推论1   $\overrightarrow{X}$是随机环境 $\overrightarrow{\xi}$中的马氏链, $\{f_{n}(X_{n})\}_{n\geq0}$是 $(X, \mathcal{A})$上的有界可测函数列, 且 $0 < a_{n}\uparrow \infty$, 若存在 $1 < \alpha\leq2$使得 $\limsup\limits_{n \rightarrow\infty}\frac{1}{a_{n}}\sum_{k=1}^{n}\textbf{E}[|f_{n}(X_{n})|^{\alpha}|\mathcal{F}_{k-1}] < \infty, $则

$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{a_n}}}\sum\limits_{k = 1}^n {({f_k}(} {X_k}) - {\bf{E}}({f_k}({X_k})|({X_{n - 1}},{\xi _{n - 1}})) = 0\;\;\;\;{\rm{a}}{\rm{.s}}.. $

证  因为 $\{f_{n}(X_{n})\}_{n\geq0}$是有界可测函数列, 则存在正数 $M$, 使对任意的 $n\geq0$, 有 $|\{f_{n}(X_{n})\}|\leq M$.当 $0 < \lambda < 1$时, 因为 $1 < \alpha\leq2$, 则由定理2的证明过程可得

$ \begin{eqnarray*} & & \limsup\limits_{n \rightarrow\infty}\frac{1}{a_{n}}\sum_{k=1}^{n}[f_{k}(X_{k})-\textbf{E}(f_{k}(X_{k})|\mathcal{F}_{k-1})]\\ &\leq &\limsup\limits_{n \rightarrow\infty}\frac{1}{\lambda a_{n}}\sum_{k=1}^{n}\textbf{E}(|\lambda f_{k}(X_{k})|^{\alpha}e^{|\lambda f_{k}(X_{k})|}|\mathcal{F}_{k-1})\\ &\leq&\limsup\limits_{n \rightarrow\infty}\frac{M\lambda^{\alpha-1}}{ a_{n}}\sum_{k=1}^{n}\textbf{E}(|f_{n}(X_{n})|^{\alpha}|\mathcal{F}_{k-1}), \end{eqnarray*} $

令 $\lambda\downarrow0$, 由 $\limsup\limits_{n \rightarrow\infty}\frac{1}{a_{n}}\sum\limits_{k=1}^{n}\textbf{E}[|f_{n}(X_{n})|^{\alpha}] < \infty, $得

$ \limsup\limits_{n \rightarrow\infty}\frac{1}{a_{n}}\sum\limits_{k=1}^{n}[f_{k}(X_{k})-\textbf{E}(f_{k}(X_{k})|\mathcal{F}_{k-1})]\leq0\ \ \ \ \text{a.s.}. $

(2.16)

当 $\lambda < 0$时, 同时可得

$ \mathop {\lim \inf }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{a_n}}}\mathop \sum \limits_{k = 1}^n [{f_k}({X_k}) - {\bf{E}}({f_k}({X_k})|{{\cal F}_{k - 1}})] \ge 0\;\;\;\;{\rm{a}}{\rm{.s}}.. $

(2.17)

联立(2.16)、(2.17) 式得, 当 $1 < \alpha\leq2$有

$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{a_n}}}\sum\limits_{k = 1}^n {({f_k}(} {X_k}) - {\bf{E}}({f_k}({X_k})|{{\cal F}_{k - 1}})) = 0\;\;\;\;{\rm{a}}{\rm{.s}}.. $

因为 $\{f_{n}(X_{n})\}_{n\geq0}$是有界可测函数列, 由引理1可得

$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{a_n}}}\sum\limits_{k = 1}^n {({f_k}(} {X_k}) - {\bf{E}}({f_k}({X_k})|({X_{n - 1}},{\xi _{n - 1}})) = 0\;\;\;\;{\rm{a}}{\rm{.s}}.. $

综上所述, 推论1得证.