近年来, 由于在物理学、机械、化学、生态和工程等领域中的重要应用, 分数阶微分方程得到了很多研究者的极大关注, 关于这方面的工作见文[1-8].上述工作中发展方程中的算子 $A$是一个闭的线性算子并且生成经典的 $C_0$半群.然而, 当考虑算子 $A$生成预解算子时, 这方面的工作还很少见.主要困难来源于预解算子没有半群很好的性质, 包括紧预解算子范数的一致连续性.幸运的是, 不仅证明了解析预解算子范数的一致连续性而且给出了解析预解算子的紧性刻划.这方面的工作可以参阅文[9].有关无穷时滞泛函微分方程的研究始于20世纪70年代, 由于这类方程能更真实反映事物的客观变化过程, 故受到人们广泛的关注, 且有了丰富的研究成果^[10-14].

前人文章中处理的无穷时滞情形主要考虑的是算子 $A$生成 $C_0$半群, 而对预解算子理论涉足的比较少.本文主要讨论如下由预解算子控制的具有无穷时滞分数阶泛函微分方程解的存在性:

$ \begin{eqnarray}\label{1} D^\alpha x(t)& =& Ax(t)+J_t^{1-\alpha}f(t, x_t), \quad t\in J=[0, b], \\ x_0&=&\varphi\in \mathcal{B}_h, \nonumber \end{eqnarray} $

(1)

其中 $0<\alpha<1$, $A:D(A)\subseteq X\rightarrow X$生成紧的解析预解算子 $S_\alpha(t), $ $t\geq 0$, $D_t^\alpha$为Caputo分数阶导数, $J_t^{1-\alpha}$为 $1-\alpha$阶分数积分; $f:[0, b]\times \mathcal{B}\rightarrow X$, $\varphi\in \mathcal{B}$为给定函数.时滞函数 $x_t:(-\infty, 0]\rightarrow X$定义为 $x_t(\theta)=x(t+\theta), \theta\in (-\infty, 0]$, 这里 $x_t(\cdot)$表示时刻 $t$以前的历史状态.本文总假定 $x_t$属于某抽象相空间 $\mathcal{B}$.

本文总假定 $X$为一个Banach空间, 并赋予通常意义下的范数 $\|\cdot\|$, $C([0, b], X)$表示定义在区间 $[0, b]$取值于 $X$上的连续函数空间, 按范数 $\|x\|=\sup\{\|x(t)\|, t\in [0, b]\}$构成Banach空间, $L^p([0, b], X)$表示定义在区间 $[0, b]$取值于 $X$上的Bochner可积函数全体, 定义 $\|f\|_{L^p}=(\displaystyle\int_0^b\|f(t)\|^p\, \mathrm{d}t)^{1/p}$, 其中 $1\leq p<\infty $, $L(X)$表示一切从 $X$到 $X$的有界线性算子的全体.

在无穷时滞系统的研究中, 相空间的选取是非常重要的.本文主要采用HALE和KATO^[15]的公理化定义, 相关术语可参阅文献[16].

定义2.1  相空间 $\mathcal{B}$是由 $(-\infty, b]$到 $X$的一些函数构成的集合, 赋予半范数 $\|\cdot\|_{\mathcal{B}}$满足下列公理.

A1:若 $x: (-\infty, \sigma+b]\rightarrow X$, $b>0$, 使得 $x_\sigma\in\mathcal{B}$, $x|_{[\sigma, \sigma+b]}$连续, 则 $\forall t\in [\sigma, \sigma+b]$, 下列条件成立: $x_t\in \mathcal{B}$, $\|x(t)\|\leq H\|x_t\|_{\mathcal{B}}$, $\|x_t\|_{\mathcal{B}}\leq K(t-\sigma)\sup\{\|x(s)\|: \sigma\leq s\leq t\} +M(t-\sigma)\|x_\sigma\|_{\mathcal{B}}$, 其中 $H>0$是一个常数, $K:[0, \infty)\rightarrow [0, \infty)$连续, $M:[0, \infty)\rightarrow [0, \infty)$局部有界, $H, K(\cdot), M(\cdot)$均独立于 $x(\cdot)$;

A2:对A1中的函数 $x(\cdot)$, 映射 $t\in [\sigma, \sigma+b]\rightarrow x_t\in\mathcal{B}$连续;

A3:空间 $\mathcal{B}$是完备的.

定义2.2  设 $f\in L^1([0, b], X)$, $t\geq0$, 对任意的 $0 < \alpha < 1$, 称

$ J_t^{\alpha}f(t)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-s)^{\alpha-1}f(s)\, \mathrm{d}s $

为 $f(t)$的 $\alpha$阶分数积分, 其中 $\Gamma(\cdot)$为Gamma函数.

定义2.3  设 $f: [0, b]\rightarrow X$是绝对连续的, 对任意的 $0 < \alpha < 1$, 称

$ D^\alpha f(t)=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\int_0^t(t-s)^{-\alpha}f^{(1)}(s)\, \mathrm{d}s $

为函数 $f(t)$的 $\alpha$阶Caputo导数.

定义2.4  设 $X$是Banach空间, $\{S_\alpha(t), t\geq 0\}$为 $X$上的有界线性算子族, 如果满足

(S1) $S_\alpha(t)$在 $R^+$上强连续, 且 $S_\alpha(0)=I$;

(S2) 对任意的 $x\in D(A)$, $t\geq 0$, 有 $S_\alpha(t)D(A)\subseteq D(A)$, $AS_\alpha(t)x=S_\alpha(t)AX$;

(S3) 对任意的 $x\in D(A)$, $t\geq 0$, 如下积分方程成立

$ \begin{eqnarray}\label{2} S_\alpha(t)x=x+\int_0^tg_\alpha(t-s)AS_\alpha(s)x\, \mathrm{d}s, \end{eqnarray} $

(2.1)

其中 $g_\alpha(t)=\frac{t^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}(t>0)$, 则称 $\{S_\alpha(t), t\geq 0\}$为由 $A$生成的预解算子族.

注  因为 $A$是空间 $X$上的闭稠定线性算子, 因此容易验证对任意的 $x\in X$, 积分方程(2.1) 成立.

定义2.5  设 $\sum (\omega, \theta):=\{\lambda\in C: |\arg(\lambda-\omega)|<\theta\}$.若函数 $S_\alpha(\cdot):R^+\rightarrow L(X)$可以解析地延拓到 $\sum (0, \theta_0)$, $0<\theta_0\leq \pi/2$, 则称 $S_\alpha(t)$为解析的预解算子; 若对任意的 $\theta<\theta_0$, $\omega>\omega_0$, 存在常数 $M_1=M_1(\omega, \theta)$使得 $\|S(z)\|\leq M_1e^{\omega {\rm Re} z}$, $z\in\sum (0, \theta)$, 其中 ${\rm Re} z$代表 $z$的实部, 则称预解算子 $S_\alpha(t)$为 $(\omega_0, \theta_0)$解析型的.

定义2.6  若预解算子 $S_\alpha(t)$, $t>0$是紧的, 则称 $S_\alpha(t)$是一个紧算子.

引理2.1^[9]  设 $S_\alpha(t)$是 $(\omega_0, \theta_0)$型的紧的解析预解算子, 则

(ⅰ) $\lim\limits_{h\rightarrow 0}\|S_\alpha(t+h)-S_\alpha(t)\|=0$, $t>0$;

(ⅱ) $\lim\limits_{h\rightarrow 0^+}\|S_\alpha(t+h)-S_\alpha(h)S_\alpha(t)\|=0$, $t>0$;

(ⅲ) $\lim\limits_{h\rightarrow 0^+}\|S_\alpha(t)-S_\alpha(h)S_\alpha(t-h)\|=0$, $t>0$.

本文总假定 $0 < \alpha < 1$, $g_\alpha(t)=t^{\alpha-1}/\Gamma(\alpha), \ t>0$, $A$为 $X$上的闭稠定线性算子.考虑如下分数阶微分方程

$ \begin{eqnarray}\label{3} D^\alpha x(t)& =& Ax(t)+J_t^{1-\alpha}f(t), \quad 0 < t\leq b, \\ x(0)&=&x_0.\nonumber \end{eqnarray} $

(2.2)

假设 $x_0\in X$, $f\in L^1([0, b], X)$, $x$是问题(2.2) 的解, 则

$ \begin{eqnarray}\label{4} x(t)=S_\alpha(t)x_0+\int_0^t S_\alpha(t-s)f(s)\, \mathrm{d}s, \ \ \ 0\leq t\leq b. \end{eqnarray} $

(2.3)

事实上, 如果 $x$满足方程(2.2), 则对任意的 $0\leq t\leq b$, $x(t)=x_0+A(g_\alpha\ast x)(t)+\displaystyle\int_0^tf(s)\, \mathrm{d}s$.由预解算子的定义有

$ \begin{eqnarray*} 1*x&=&(S_\alpha-Ag_\alpha*S_\alpha)*x=S_\alpha*x-S_\alpha*(Ag_\alpha*x)\\ &=&S_\alpha*(x_0+1*f)=S_\alpha*x_0+1*S_\alpha*f, \end{eqnarray*} $

即(2.3) 式成立.

根据(2.3) 式, 可以给出如下适度解的定义.

定义3.1  一个函数 $x:(-\infty, b]\rightarrow X$如果满足下列条件: $x_0=\varphi$; $x|_{[0, b]}$连续; 且

$ x(t)=S_\alpha(t)\varphi(0)+\int_0^t S_\alpha(t-s)f(s, x_s)\, \mathrm{d}s, \ \ \ 0\leq t\leq b, $

则称函数 $x$为无穷时滞方程(1.1) 的一个适度解.

以下记 $K_b=\sup\limits_{0\leq t\leq b}K(t), M_b=\sup\limits_{0\leq t\leq b}M(t)$.假设下列条件成立.

(H1) $(\omega_0, \theta_0)$型的解析预解算子 $S_\alpha(t)$是紧的, 且 $M=\sup\limits_{t\in[0, b]}\|S_\alpha(t)\| < +\infty$;

(H2) 函数 $f:J\times \mathcal{B}\rightarrow X$满足如下条件

(ⅰ)对任意的 $\varphi\in \mathcal{B}$, 函数 $f(\cdot, \varphi):J\rightarrow X$为强可测的,

(ⅱ)对任意的 $t\in J$, 函数 $f(t, \cdot):\mathcal{B}\rightarrow X$为连续的,

(ⅲ)对任意的正数 $r$, 存在函数 $\rho_r\in L^1(J, R^+)$, 使得对几乎处处的 $t\in J$,

$ \mathop {\sup }\limits_{{{\left\| v \right\|}_B} \le r} \left\| {f(t,v)} \right\| \le {\rho _r}(t),\;\;\;\;\mathop {\lim \inf }\limits_{r \to + \infty } \frac{{\int_{\rm{0}}^b {{\rho _r}(t){\rm{d}}t} }}{r} = \sigma < \infty . $

定理3.1  设假设条件(H1)-(H2) 成立, 且 $M\sigma K_b < 1$, 则无穷时滞微分方程(1.1) 至少有一个适度解.

证  令

$ \begin{eqnarray*} y(t)=\left\{ \begin{array}{ll} \varphi(t), & t\in (-\infty, 0], \\ S_\alpha(t)\varphi(0), & t\in [0, b], \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

则由公理A1知, 对任意的 $t\in [0, b]$,

$ \begin{eqnarray*} \|y_t\|_{\mathcal{B}}&\leq & K(t)\sup\{\|y(s)\|:0 < s < t\}+M(t)\|y_0\|_{\mathcal{B}}\\ &=& K(t)\sup\{\|S_\alpha(t)\varphi(0)\|: 0\leq s\leq t\}+M(t)\|\varphi\|_{\mathcal{B}}\leq (K_bMH+M_b)\|\varphi\|_{\mathcal{B}}. \end{eqnarray*} $

记 $C_0=\{x:(-\infty, b]\rightarrow X: x|_{(-\infty, 0]}=0, x|_{[0, b]} $连续 $\}$, 取上确界范数构成Banach空间并且满足相空间的公理假设.定义 $\Gamma :C_0\rightarrow C_0$,

$ \begin{eqnarray*} \Gamma u(t)=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle\int_0^t S_\alpha(t-s)f(s, u_s+y_s)\, \mathrm{d}s, & t\in [0, b], \\ 0, & t\in (-\infty, 0). \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

若 $\Gamma$在 $C_0$上有不动点 $u$, 则易知 $x=y+u$即为方程(1.1) 的适度解.由于易见 $\Gamma C_0\subset C_0$, 且 $C_0$中元素可以视为 $C([0, b], X)$中的元素.因此下面利用Schauder不动点定理来证明 $\Gamma$在 $C_0$上有不动点.

第一步  记 $B_r=\{u\in C_0, \|u\|_{C_0}\leq r\}$.往证存在正常数 $r>0$使得 $\Gamma B_r\subseteq B_r$.若不然, 则对任意的正常数 $r$, 存在函数 $u^r(\cdot)\in B_r$, 以及 $t_0\in [0, b]$, 使得 $\|(\Gamma u^r)(t_0)\|>r$.因为对任意的 $u\in B_r$, $s\in [0, b]$, 有

$ \|u_s+y_s\|_{\mathcal{B}}\leq \|u_s\|_{\mathcal{B}}+\|y_s\|_{\mathcal{B}}\leq K_br+(K_bMH+M_b)\|\varphi\|_{\mathcal{B}}=r'. $

由条件(H2) 可得

$ r < \|(\Gamma u^r)(t_0)\|=\int_0^{t_0}S_\alpha(t_0-s)f(s, u^r_s+y_s)\, \mathrm{d}s \leq M\int_0^b\rho_{r^{'}}(s)\, \mathrm{d}s. $

上式两边同除以 $r$得

$ 1 < M\frac{\displaystyle\int_0^b\rho_{r^{'}}(s)\, \mathrm{d}s}{r}=M\frac{\displaystyle\int_0^b\rho_{r^{'}}(s)\, \mathrm{d}s}{r'}\frac{r'}{r}. $

注意到当 $r\rightarrow\infty$时, $r'=K_br+(K_bMH+M_b)\|\varphi\|_{\mathcal{B}}\rightarrow \infty$, 故令 $r\rightarrow +\infty$, 则有 $M\sigma K_b\geq1$, 这和假设相矛盾.因此存在正常数 $r$使得 $\Gamma B_r\subseteq B_r$.

第二步   $\Gamma: C_0\rightarrow C_0$为连续映射.设 $\{u^n\}_{n\geq 1}\subseteq C_0$, 并且在 $C_0$中 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}u^n=u$, 有

$ \|(\Gamma u^n)(t)-(\Gamma u)(t)\|\leq M\int_0^t\|f(s, u^n_s+y_s)-f(s, u_s+y_s)\|\, \mathrm{d}s. $

由公理 $A_1$可知, 对任意的 $s\in [0, t]$有

$ \|(u^n_s+y_s)-(u_s+y_s)\|_{\mathcal{B}}=\|u^n_s-u_s\|_{\mathcal{B}}\leq K_b\sup\{\|u^n(\tau)-u(\tau)\|:0\leq\tau\leq s\}\\ \rightarrow 0, n\rightarrow \infty. $

因此由条件(H2) 知, 对几乎处处的 $s\in [0, b]$, 有 $\|f(s, u^n_s+y_s)-f(s, u_s+y_s)\|\rightarrow 0, n\rightarrow \infty$.从而由勒贝格控制收敛定理知, $\forall t\in [0, b]$, $\displaystyle\int_0^t\|f(s, u^n_s+y_s)-f(s, u_s+y_s)\|\, \mathrm{d}s\rightarrow 0, n\rightarrow \infty$.故 $\Gamma$在 $C_0$上是连续的.

第三步   $\Gamma:B_r\rightarrow B_r$为紧的.首先, $\Gamma B_r$在 $J$中为等度连续的.事实上, 设 $0\leq t_1 < t_2\leq b$, $u\in B_r$, 有

$ \begin{eqnarray*} &&\|(\Gamma u)(t_2)-(\Gamma u)(t_1)\|\\ &=&\|\int_0^{t_2}S_\alpha(t_2-s)f(s, u_s+y_s)\, \mathrm{d}s-\int_0^{t_1}S_\alpha(t_1-s)f(s, u_s+y_s)\, \mathrm{d}s\|\\ &\leq&\int_0^{t_1}\|S_\alpha(t_2-s)-S_\alpha(t_1-s)\|\|f(s, u_s+y_s)\|\, \mathrm{d}s+ \int_{t_1}^{t_2}\|S_\alpha(t_2-s)f(s, u_s+y_s)\|\, \mathrm{d}s\\ &\leq& \int_0^{t_1}\|S_\alpha(t_2-s)-S_\alpha(t_1-s)\|\rho_r(s)\, \mathrm{d}s+M\int_{t_1}^{t_2}\rho_r(s)\, \mathrm{d}s. \end{eqnarray*} $

如果 $t_1=0$, 显然对任意的 $u\in B_r$, 有 $\lim\limits_{t_2\rightarrow 0}\|(\Gamma u)(t_2)-(\Gamma u)(t_1)\|=0$.

如果 $0 < t_1 < b$, 对于 $0 < \delta < t_1$, 有

$ \begin{eqnarray*} &&\|(\Gamma u)(t_2)-(\Gamma u)(t_1)\|\\ &\leq& \int_0^{t_1-\delta}\|S_\alpha(t_2-s)-S_\alpha(t_1-s)\|\rho_r(s)\, \mathrm{d}s\\ &&+\int_{t_1-\delta}^{t_1}\|S_\alpha(t_2-s)-S_\alpha(t_1-s)\|\rho_r(s)\, \mathrm{d}s+M\int_{t_1}^{t_2}\rho_r(s)\, \mathrm{d}s\\ &\leq& \|\rho_r\|_{L^1}\sup_{s\in [0, t_1-\delta]}\|S_\alpha(t_2-s)-S_\alpha(t_1-s)\|+2M\int_{t_1-\delta}^{t_1}\rho_r(s)\, \mathrm{d}s +M\int_{t_1}^{t_2}\rho_r(s)\, \mathrm{d}s. \end{eqnarray*} $

由引理2.1易知对于 $t\in [\delta, b]$, 算子 $S_\alpha(t)$是范数一致连续的, 并且由 $\delta$的任意性, 有

$ \mathop {\lim }\limits_{|{t_2} - {t_1}| \to 0} (\Gamma u)({t_2}) - (\Gamma u)({t_1}) = 0, u \in {B_r}. $

由此表明 $\Gamma B_r$在 $J$中等度连续.

其次, 往证 $\Gamma$将 $B_r$映射到 $B_r$中的一个准紧集.对于固定的 $0 < t\leq b$以及 $0 < \varepsilon < t$, 由于 $S_\alpha(\varepsilon)$为紧的, 故集合 $\{S_\alpha(\varepsilon)\displaystyle\int_0^{t-\varepsilon}S_\alpha(t-s-\varepsilon)f(s, u_s+y_s)\, \mathrm{d}s: u\in B_r\}$在 $B_r$中为相对紧的.此外, 对任意的 $\varepsilon < \delta < t$, 有

$ \begin{eqnarray*} &&\|S_\alpha(\varepsilon)\int_0^{t-\varepsilon}S_\alpha(t-s-\varepsilon)f(s, u_s+y_s)\, \mathrm{d}s -\int_0^{t-\varepsilon}S_\alpha(t-s)f(s, u_s+y_s)\, \mathrm{d}s\|\\ &\leq& \int_0^{t-\delta}\|S_\alpha(\varepsilon)S_\alpha(t-s-\varepsilon)-S_\alpha(t-s)\|\rho_r(s)\, \mathrm{d}s\\&&+ \int_{t-\delta}^{t-\varepsilon}\|S_\alpha(\varepsilon)S_\alpha(t-s-\varepsilon)-S_\alpha(t-s)\|\rho_r(s)\, \mathrm{d}s\\ &\leq& \int_0^{t-\delta}\|S_\alpha(\varepsilon)S_\alpha(t-s-\varepsilon)-S_\alpha(t-s)\|\rho_r(s)\, \mathrm{d}s +(M^2+M)\int_{t-\delta}^t\rho_r(s)\, \mathrm{d}s. \end{eqnarray*} $

由引理2.1知, 当 $\varepsilon\rightarrow 0$时, 有

$ S_\alpha(\varepsilon)S_\alpha(t-s-\varepsilon)-S_\alpha(t-s)\rightarrow 0, \ \ s\in [0, t-\delta]. $

故由勒贝格控制收敛定理以及 $\delta$的任意性可得

$ \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} \left\| {{S_\alpha }(\varepsilon )\int_0^{t - \varepsilon } {{S_\alpha }} (t - s - \varepsilon )f(s, {u_s} + {y_s}){\mkern 1mu} {\rm{d}}s - \int_0^{t - \varepsilon } {{S_\alpha }} (t - s)f(s, {u_s} + {y_s}){\mkern 1mu} {\rm{d}}s} \right\| = 0. $

另一方面,

$ \begin{eqnarray*} &&\|S_\alpha(\varepsilon)\int_0^{t-\varepsilon}S_\alpha(t-s-\varepsilon)f(s, u_s+y_s)\, \mathrm{d}s -\int_0^{t}S_\alpha(t-s)f(s, u_s+y_s)\, \mathrm{d}s\|\\ &\leq& \|S_\alpha(\varepsilon)\int_0^{t-\varepsilon}\|S_\alpha(t-s-\varepsilon)f(s, u_s+y_s)\, \mathrm{d}s- \int_0^{t-\varepsilon}S_\alpha(t-s)f(s, u_s+y_s)\, \mathrm{d}s\|\\ &&+\|\int_0^{t-\varepsilon}S_\alpha(t-s)f(s, u_s+y_s)\, \mathrm{d}s-\int_0^tS_\alpha(t-s)f(s, u_s+y_s)\, \mathrm{d}s\|\\ &\leq& \|S_\alpha(\varepsilon)\int_0^{t-\varepsilon}S_\alpha(t-s-\varepsilon)f(s, u_s+y_s)\, \mathrm{d}s -\int_0^{t-\varepsilon}S_\alpha(t-s)f(s, u_s+y_s)\, \mathrm{d}s\|\\ &+&M\int_{t-\varepsilon}^t\rho_r(s)\, \mathrm{d}s. \end{eqnarray*} $

故

$ \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} \left\| {{S_\alpha }(\varepsilon )\int_0^{t-\varepsilon } {{S_\alpha }} (t-s-\varepsilon )f(s, {u_s} + {y_s}){\mkern 1mu} {\rm{d}}s - \int_0^t {{S_\alpha }} (t - s)f(s, {u_s} + {y_s}){\mkern 1mu} {\rm{d}}s} \right\| = 0. $

因此集合 $\{\displaystyle\int_0^tS_\alpha(t-s)f(s, u_s+y_s)\, \mathrm{d}s: u\in B_r\}$在 $B_r$中为准紧集.故由Arzala-Ascoli定理可知 $\Gamma$为紧的.由Schauder不动点定理可知 $\Gamma$在 $C_0$上有不动点 $u$, 则 $x=u+y$即为方程(1.1) 的适度解.

注  从证明过程可以看出, 解析预解算子范数的一致连续性在证明中起到关键的作用; 其次, 适当改变定理3.1中条件(H2) 仍然可以得到适度解的存在性; 最后, 利用本文中的方法可以进一步处理与预解算子相关的分数阶微分方程问题, 例如微分包含问题, 时滞非局部问题, 脉冲问题等等.