众所周知非线性波动问题是有许多物理问题做背景的.非线性发展方程是研究此类物理问题的重要数学模型, 而非线性发展方程的求解等相关问题是孤立子理论的重要研究内容之一.所以研究非线性发展方程的求解方法等问题具有重要的研究意义.

文献[9]主要研究了如下几个具任意次非线性项发展方程的求解问题, 并获得了新解.

广义KdV方程

$ u_t+u^{q/p}u_x+u_{xxx}=0. $

(1.1)

广义Zakharv-Kuznetsov (ZK)方程

$ u_t+au^{q/p}u_x+b(u_{xx}+u_{yy})_x=0. $

(1.2)

广义Burgers方程

$ u_t+au^{q/p}u_x+bu_{xx}=0. $

(1.3)

广义KP-Burgers方程

$ (u_t+au^{q/p}u_x+bu_{xx}+cu_{xx})_x+\sigma^2u_{yy}=0. $

(1.4)

广义ZK-Burgers方程

$ u_t+au^{q/p}u_x+bu_{xxx}+c(u_{yy}+u_{zz})_x+du_{xx}=0, $

(1.5)

这里$p$和$q$都是任意的正整数.

当$p=q$时, 方程(1.1)-(1.5) 化为KdV方程, ZK方程, Burgers方程, KP-Burgers方程和ZK-Burgers方程, 文献[1-8]都研究过这些方程的求解问题, 获得了成果.

当$q=nq$且$n$是整数($n\geqslant1$)时, 方程(1.1)-(1.5) 变成正整数幂的非线性发展方程.

文献[9]利用如下两个常微分方程, 构造了非线性常微分方程(1.1)-(1.5) 的新解,

$ F^{\prime2}=AF^2-F^{q/p+2}, $

(1.6)

$ F^\prime=\pm(AF-F^{q/p+1}), $

(1.7)

其解由双曲正割函数和双曲正切函数组成, 形式分别如下

$ F=[{\rm Asech}^2\sqrt{A}{\frac{q}{2p}}\xi]^{\frac{q}{p}}, \\ F=[{\frac{A}{2}}(1\pm\tanh{\frac{q}{2p}}\xi)]^{\frac{q}{p}}. $

本文给出了包含常微分方程(1.6) 和(1.7) 的如下常微分方程, 并获得了新解,

$ F^{\prime2}=AF^2+BF^{q/p+2}, $

(1.8)

$ F^\prime=\pm(AF+BF^{q/p+1}), $

(1.9)

$ F^{\prime2}=-AF^2+BF^{q/p+2}, $

(1.10)

这里$A>0, ~p, ~q$是正整数, $B$是常数, 且当$B=-1$时, 方程(1.6) 和(1.7) 是方程(1.8) 和(1.9) 的特殊情况.

本文用方程(1.8), (1.9) 和(1.10), 构造了广义KdV方程和广义KP-Burgers方程等几种广义非线性发展方程的新解.这些解由双曲余割函数、双曲正切函数、双曲正割函数、双曲余切函数和余割函数组成.

考虑如下非线性发展方程

$ H(u, u_x, u_t, u_{xx}, u_{xt}, u_{tt}, \cdots)=0. $

(2.1)

假设方程(2.1) 的形式解为

$ u(\xi)=\lambda F^m(\xi), \lambda\neq0, \xi=x-Vt, $

(2.2)

其中$\lambda, V$和$m$是待定系数, $F=F(\xi)$由常微分方程(1.8), (1.9) 或(1.10) 来确定.

经计算获得了常微分方程(1.8), (1.9) 或(1.10) 的如下新解:

常微分方程(1.8) 的解为

$ F(\xi)=[{\frac{A}{B}}{\rm csch}^2\sqrt{A}(-{\frac{q}{2p}})\xi]^{\frac{p}{q}}, $

(2.3)

这里$A>0, ~p, ~q$是正整数.

常微分方程(1.9) 的解为

$ F=[{\frac{A}{2B}}(\coth(-{\frac{\ln B}{2}}-{\frac{q}{2p}}\xi)\pm1)]^{\frac{p}{q}}, B>0, \nonumber\\ F=[{\frac{A}{2B}}(\coth({\frac{\ln (-B)}{2}}-{\frac{q}{2p}}\xi)\pm1)]^{\frac{p}{q}}, B<0, $

(2.4)

这里$A>0, ~p, ~q$是正整数.

常微分方程(1.10) 的解为

$ F(\xi)=[{\frac{A}{B}}\csc^2\sqrt{A}(-{\frac{q}{2p}})\xi]^{\frac{p}{q}}, $

(2.5)

这里$A>0, ~p, ~q$是正整数.

将(2.2) 式代入非线性发展方程(2.1), 并利用齐次平衡法确定常数$m$.再令$\lambda F^iF^{\prime j}(i, j\geq0)$的系数为零后得到一个以$\lambda, V$和$A$未知量的非线性代数方程组.解出$\lambda, V$和$A$, 并与常微分方程的解$F=F(\xi)$一起代入形式解(2.2) 后即可得到非线性发展方程(2.1) 的新解.

例1  广义KdV方程的解

把$u(x, t)=u(\xi), \xi=x-Vt$ (其中$V$是待定的常数)代入方程(1.1) 后得

$ -Vu^\prime+u^{q/p}u^\prime+u^{\prime\prime\prime}=0. $

(3.1)

根据齐次平衡法, 获得如下方程

$ m\times q/p+m+q/2p=m+q/2p\times3, $

(3.2)

解出$m=1$.所以假设方程(1.1) 的形式解为

$ u(\xi)=\lambda F(\xi), \lambda\neq0. $

(3.3)

情况1  用常微分方程(1.8) 构造新解.

将(3.3) 式和常微分方程(1.8) 一起代入方程(3.1) 得

$ (A-V)\lambda F^\prime+[\lambda^{q/p}+B({\frac{q}{2p}}+1)({\frac{q}{p}}+1)]\lambda F^{q/p}F^\prime=0. $

(3.4)

令$\lambda F^\prime, \lambda F^{q/p}F^\prime$的系数为零, 可以得到

$ V=A, \lambda=[-B({\frac{q}{2p}}+1)({\frac{q}{p}}+1)]^{p/q}. $

(3.5)

将(2.3) 和(3.5) 式代入(3.3) 式可得到广义KdV方程的如下解

$ u(x, t)=[-A({\frac{q}{2p}}+1)({\frac{q}{p}}+1){\rm csch}^2\sqrt{A}(-{\frac{q}{2p}})(x-At)]^{\frac{p}{q}}. $

(3.6)

情况2  用常微分方程(1.10) 构造新解.

将(3.3) 式和常微分方程(1.10) 一起代入方程(3.1) 得

$ (-A-V)\lambda F^\prime+[\lambda^{q/p}+B({\frac{q}{2p}}+1)({\frac{q}{p}}+1)]\lambda F^{q/p}F^\prime=0. $

(3.7)

令$\lambda F^\prime, \lambda F^{q/p}F^\prime$的系数为零, 可以得到

$ V=-A, \lambda=[-B({\frac{q}{2p}}+1)({\frac{q}{p}}+1)]^{p/q}. $

(3.8)

将(2.5) 和(3.8) 式代入(3.3) 式可得到广义KdV方程的如下形式的解

$ u(x, t)=[-A({\frac{q}{2p}}+1)({\frac{q}{p}}+1)\csc^2\sqrt{A}(-{\frac{q}{2p}})(x+At)]^{\frac{p}{q}}. $

(3.9)

情况3  当$B=-1$时, 方程(1.8) 可变为方程(1.6), 此时广义KdV方程有如下形式的解^[9]

$ u(x, t)=[A({\frac{q}{2p}}+1)({\frac{q}{p}}+1)\sec h^2\sqrt{A}{\frac{q}{2p}}(x-At)]^{\frac{p}{q}}. $

(3.10)

例2  广义ZK方程的解

把$u(x, y, t)=u(\xi), \xi=k_1x+k_2y-Vt, k_1^2+k_2^2=1$(其中$V$是待定的常数)代入方程(1.2) 后得

$ -Vu^\prime+ak_1u^{q/p}u^\prime+bk_1u^{\prime\prime\prime}=0. $

(3.11)

假设方程(1.2) 的形式解为

$ u(\xi)=\lambda F(\xi), \lambda\neq0. $

(3.12)

情况1  用常微分方程(1.8) 构造新解.

将(3.12) 式和常微分方程(1.8) 一起代入方程(3.11) 得

$ (-V+bAk_1)\lambda F^\prime+[ak_1\lambda^{q/p}+bk_1B({\frac{q}{2p}}+1)({\frac{q}{p}}+1)]\lambda F^{q/p}F^\prime=0. $

(3.13)

令$\lambda F^\prime, \lambda F^{q/p}F^\prime$的系数为零可得到

$ V=bAk_1, \lambda=[-{\frac{bB}{a}}({\frac{q}{2p}}+1)({\frac{q}{p}}+1)]^{p/q}. $

(3.14)

将(2.3) 和(3.14) 式代入(3.12) 式可得到广义ZK方程的如下形式的解

$ u(x, y, t)=[-{\frac{bA}{a}}({\frac{q}{2p}}+1)({\frac{q}{p}}+1)\csc h^2\sqrt{A}(-{\frac{q}{2p}})(k_1x+k_2y-bAk_1t)]^{\frac{p}{q}}. $

(3.15)

情况2  用常微分方程(1.10) 来构造新解.

将(3.12) 式和常微分方程(1.10) 一起代入方程(3.11) 得

$ (-V-bAk_1)\lambda F^\prime+[ak_1\lambda^{q/p}+bk_1B({\frac{q}{2p}}+1)({\frac{q}{p}}+1)]\lambda F^{q/p}F^\prime=0. $

(3.16)

令$\lambda F^\prime, \lambda F^{q/p}F^\prime$的系数为零可得到

$ V=-bAk_1, \lambda=[-{\frac{bB}{a}}({\frac{q}{2p}}+1)({\frac{q}{p}}+1)]^{p/q}. $

(3.17)

将(2.5) 和(3.17) 式代入(3.12) 式可得广义ZK方程的如下形式的解

$ u(x, y, t)=[-{\frac{bA}{a}}({\frac{q}{2p}}+1)({\frac{q}{p}}+1)\csc^2\sqrt{A}(-{\frac{q}{2p}})(k_1x+k_2y+bAk_1t)]^{\frac{p}{q}}. $

(3.18)

情况3  当$B=-1$时, 式(1.8) 可变为式(1.6), 此时广义ZK方程有如下形式的解^[9]

$ u(x, y, t)=[{\frac{bA}{a}}({\frac{q}{2p}}+1)({\frac{q}{p}}+1)\sec h^2\sqrt{A}{\frac{q}{2p}}(k_1x+k_2y-bAk_1t)]^{\frac{p}{q}}. $

(3.19)

例3  广义Burgers方程的解

把$u(x, t)=u(\xi), \xi=x-Vt$(其中$V$是待定的常数)代入方程(1.3) 后得

$ -Vu^\prime+au^{q/p}u^\prime+bu^{\prime\prime}=0. $

(3.20)

考虑$m\times q/p+m+q/p=m+q/p\times2$可得$m=1$.

假设方程(1.3) 的形式解为

$ u(\xi)=\lambda F(\xi), \lambda\neq0. $

(3.21)

用常微分方程(1.9)(取“+”号形式)来构造新解.将(3.21) 式和常微分方程(1.9) 一起代入方程(3.20) 得

$ (-VA+bA^2)\lambda F+[-BV+aA\lambda^{q/p}+bAB({\frac{q}{p}}+2)]\lambda F^{q/p+1}\nonumber\\ +[a\lambda^{q/p}B+bB^2({\frac{q}{p}}+1)]\lambda F^{2q/p+1}=0. $

(3.22)

令$\lambda F, \lambda F^{q/p+1}, \lambda F^{2q/p+1}$的系数为零可得到

$ V=bA, \lambda=[{\frac{b}{a}}({\frac{q}{p}}+1)]^{p/q}. $

(3.23)

将式(3.23) 和(2.4) 式(取“-”号形式)代入(3.21) 式可得广义Burgers方程的如下形式的解

$ u[x, t]=[{\frac{bA}{2a}}({\frac{q}{p}}+1)(\coth(-{\frac{\ln B}{2}}-{\frac{q}{2p}}A(x-bAt))-1)]^{\frac{p}{q}}, B>0, \nonumber\\ u[x, t]=[{\frac{bA}{2a}}({\frac{q}{p}}+1)(\coth({\frac{\ln (-B)}{2}}-{\frac{q}{2p}}A(x-bAt))-1)]^{\frac{p}{q}}, B<0. $

(3.24)

当$B=-1$时, 方程(1.9) 可变为方程(1.7), 此时广义Burgers方程有如下形式的解^[9]

$ u[x, t]=[{\frac{bA}{2a}}({\frac{q}{p}}+1)(1+{\rm tanh}{\frac{q}{2p}}A(x-bAt))]^{\frac{p}{q}}. $

(3.25)

例4  广义KP-Burgers方程的解

把$u(x, y, t)=u(\xi), \xi=x+ky-Vt$(其中$V$是待定的常数)代入方程(1.4) 后得

$ (\sigma^2k^2-V)u+{\frac{p}{p+q}}au^{q/p+1}+bu^{\prime\prime}+cu^\prime=0. $

(3.26)

考虑$u^{q/p+1}$项的次数和$u^{\prime\prime}$项的次数相等可得$m=2$.

假设方程(1.4) 的形式解为

$ u(\xi)=\lambda F^2(\xi), \lambda\neq0. $

(3.27)

用常微分方程(1.9)(取“+”号)来构造新解.将(3.27) 式和常微分方程(1.9) 一起代入方程(3.26) 后得

$ [(\sigma^2k^2-V)+4bA^2+2CA]\lambda F^2+[{\frac{p}{p+q}}\lambda^{q/p}+2bB^2({\frac{q}{p}}+2)]\lambda F^{2q/p+2}\nonumber\\ +[2CB+2bAB({\frac{q}{p}}+4)]\lambda F^{q/p+2}=0. $

(3.28)

令$\lambda F^2, \lambda F^{q/p+2}, \lambda F^{2q/p+2}$的系数为零可得到

$ \lambda=[-{\frac{2b}{a}}B^2({\frac{q}{p}}+2)({\frac{q}{p}}+1)]^{p/q}, A=-{\frac{c}{b}}{\frac{1}{{\frac{q}{p}}+4}}, V=\sigma^2k^2-{\frac{2c^2({\frac{q}{p}}+2)}{b({\frac{q}{p}}+4)^2}}. $

(3.29)

将(3.29) 和(2.4) 式(取“-”号)代入(3.27) 式可得广义KP-Burgers方程的如下形式的解

$ u[x, y, t]=[-{\frac{c^2}{2ab}}({\frac{q}{p}}+2)({\frac{q}{p}}+1){\frac{1}{({\frac{q}{p}}+4)^2}}(\coth(-{\frac{\ln B}{2}}+{\frac{q}{2p}}{\frac{c}{b}}{\frac{1}{{\frac{q}{p}}+4}}\xi)-1)^2]^{\frac{p}{q}}, B>0, \nonumber\\ u[x, y, t]=[-{\frac{c^2}{2ab}}({\frac{q}{p}}+2)({\frac{q}{p}}+1){\frac{1}{({\frac{q}{p}}+4)^2}}(\coth({\frac{\ln (-B)}{2}}+{\frac{q}{2p}}{\frac{c}{b}}{\frac{1}{{\frac{q}{p}}+4}}\xi)-1)^2]^{\frac{p}{q}}, B<0, \nonumber\\ \xi=x+ky-[\sigma^2k^2-{\frac{2c^2({\frac{q}{p}}+2)}{b({\frac{q}{p}}+4)^2}}]t. $

(3.30)

当$B=-1$时, 式(1.9) 可变为式(1.7), 此时广义KP-Burgers方程有如下形式的解^[9]

$ u[x, y, t]=[-{\frac{c^2}{2ab}}({\frac{q}{p}}+2)({\frac{q}{p}}+1){\frac{1}{({\frac{q}{p}}+4)^2}}(1+{\rm tanh}(-{\frac{q}{2p}}{\frac{c}{b}}{\frac{1}{{\frac{q}{p}}+4}}\xi))^2]^{\frac{p}{q}}. $

(3.31)

例5  广义ZK-Burgers方程的解

把$u(x, y, z, t)=u(\xi), \xi=k_1x+k_2y+k_3z-Vt, \sum\limits_{i=1}^3k_i=1$(其中$V$是待定的常数)代入方程(1.5) 后得

$ -Vu^\prime+ak_1u^{q/p}u^\prime+ck_1u^{\prime\prime\prime}+dk_1^2u^{\prime\prime}=0, C=(b-c)k_1^2+c, $

(3.32)

积分得

$ -Vu+{\frac{p}{p+q}}ak_1u^{q/p+1}+ck_1u^{\prime\prime}+dk_1^2u^\prime=0, C=(b-c)k_1^2+c. $

(3.33)

假设方程(1.5) 的形式解为

$ u(\xi)=\lambda F^2(\xi), \lambda\neq0. $

(3.34)

用常微分方程(1.9)(取“+”号)来构造新解.将(3.34) 式和常微分方程(1.9) 一起代入方程(3.33) 后得

$ (4Ck_1^2A^2+2dk_1^2A-V)\lambda F^2+[{\frac{p}{p+q}}ak_1\lambda^{q/p}+2CB^2k_1({\frac{q}{p}}+2)]\lambda F^{2q/p+2}\nonumber\\ +[2dk_1^2B+2Ck_1AB({\frac{q}{p}}+4)]\lambda F^{q/p+2}=0. $

(3.35)

令$\lambda F^2, \lambda F^{q/p+2}, \lambda F^{2q/p+2}$的系数为零可得到

$ \lambda=[-{\frac{2C}{a}}B^2({\frac{q}{p}}+2)({\frac{q}{p}}+1)]^{p/q}, A=-{\frac{dk_1}{C}}{\frac{1}{{\frac{q}{p}}+4}}, V=-{\frac{2d^2k_1^3({\frac{q}{p}}+2)}{C({\frac{q}{p}}+4)^2}}. $

(3.36)

将式(3.36) 和(2.4) 式(取“-”号)代入(3.34) 式可得广义ZK-Burgers方程的如下形式的解

$ u[x, y, z, t]=[-{\frac{d^2k_1^2}{2aC}}({\frac{q}{p}}+2)({\frac{q}{p}}+1){\frac{1}{({\frac{q}{p}}+4)^2}}(\coth(-{\frac{\ln B}{2}}+{\frac{q}{2p}}{\frac{dk_1}{C}}{\frac{1}{{\frac{q}{p}}+4}}\xi)-1)^2]^{\frac{p}{q}}, B>0, \nonumber\\ u[x, y, z, t]=[-{\frac{d^2k_1^2}{2aC}}({\frac{q}{p}}+2)({\frac{q}{p}}+1){\frac{1}{({\frac{q}{p}}+4)^2}}(\coth({\frac{\ln (-B)}{2}}+{\frac{q}{2p}}{\frac{dk_1}{C}}{\frac{1}{{\frac{q}{p}}+4}}\xi)-1)^2]^{\frac{p}{q}}, B<0, \nonumber\\ C=(b-c)k_1^2+c, ~~~\xi=k_1x+k_2y+k_3z+{\frac{2d^2k_1^3({\frac{q}{p}}+2)}{C({\frac{q}{p}}+4)^2}}t, ~~~\sum\limits_{i=1}^3k_i=1. $

(3.37)

当$B=-1$时, 式(1.9) 可变为式(1.7), 此时广义ZK-Burgers方程有如下形式的解^[9]

$ u[x, y, z, t]=[-{\frac{d^2k_1^2}{2aC}}({\frac{q}{p}}+2)({\frac{q}{p}}+1){\frac{1}{({\frac{q}{p}}+4)^2}}(1+{\rm tanh}{\frac{q}{2p}}(-{\frac{dk_1}{C}}{\frac{1}{{\frac{q}{p}}+4}}\xi))^2]^{\frac{p}{q}}, \nonumber\\ C=(b-c)k_1^2+c, \xi=k_1x+k_2y+k_3z+{\frac{2d^2k_1^3({\frac{q}{p}}+2)}{C({\frac{q}{p}}+4)^2}}t, \sum\limits_{i=1}^3k_i=1. $

(3.38)

文献[9]利用辅助方程(1.6) 和(1.7) 得到了几种广义非线性发展方程的由sech函数和tanh函数组成的新解.本文引进了包含辅助方程(1.6) 和(1.7) 的辅助方程(1.8)-(1.10), 得到了几种广义非线性发展方程的由双曲余割函数、双曲正切函数、双曲正割函数、双曲余切函数和余割函数组成的新解.