随着中国金融市场的发展, 期权将逐步进入中国市场, 并有越来越大的发展空间, 期权定价的问题也逐渐受到关注.近些年来, 很多学者研究了一些特殊期权以及含期权的金融产品的定价问题^[1-5].本文主要研究商品期货期权和裂解价差期权的定价问题.期货期权和裂解价差期权分别指以期货合约和裂解价差为标的的期权, 裂解价差为汽油价格或燃料油价格与原油价格的差值.与股票市场不同, 商品现货(期货)具有均值回归、跳跃等重要特征, 同时为了拟合相应期货期权的隐含波动率, 一般还需要时间非齐次的更复杂的随机模型, Li Jing等^[6]提出的ASubCIR(additive subordinate Cox-Ingersoll-Ross)模型较好地解决了这些问题.另外, 对于价差期权的定价问题, 虽然Hikspoors和Jaimungal^[7]给出了期权价格的解析表示, 但该模型仅局限于执行价格为0的特殊情况, 对于一般情况的价差期权, 即使在B-S模型下, 大部分研究也只给出近似的边界公式, 没有价格的解析表示, 但利用Fourier变换方法可以进行快速计算.

本节简要介绍Li Jing等基于ASubCIR随机过程提出的交叉商品(cross-commodity)模型及相关结果.

若 $\mathbb{R}_{+}$上 $X_t$为CIR过程, 即

$ \begin{eqnarray*} dX_t=\kappa(\theta-X_t)dt+\sigma\sqrt{X_t}dW_t, \end{eqnarray*} $

其中 $\kappa >0, \theta >0, \sigma >0, W_t$为标准Brown运动.并记上述CIR分布的转移概率为 $(P_t, t\geq0)$, 在 $C([0, \infty])$上转移半群 $\{\mathcal{P}_{t}, t\geq 0\}$满足

$ \begin{eqnarray} \mathcal{P}_{t}f(x)=\mathbb{E}_x\left[f(X_t)\right]=\int_0^{\infty}{f(y)}P_t(x, dy), \quad \forall f(x)\in C([0, \infty]), \end{eqnarray} $

(2.1)

$\mathbb{E}_x$表示在 $X_t$对应的概率测度 $\mathbb{P}_x$下的期望, $X_t$初值为 $x$.上述条件下, 给出如下定义.

定义2.1  若 ${\{A_t\}}_{t\geq 0}$为一个初值为0, 具有独立增量的非负随机连续的càdlàg过程, 定义 $X_t^{\psi}=X_{A_t}(X_t^{\psi}=x_0)$为ASubCIR (additive subordinate Cox-Ingersoll-Ross)过程, 此时, ${\{A_t\}}_{t\geq 0}$称为可加下标(additive subordinator), $\{A_t\}$的Laplace变换^[8]为

$ \begin{eqnarray*} \mathbb{E}\left[e^{-\lambda(A_t-A_s)}\right]=e^{-\int_s^t{\psi(\lambda, u)du}}, \quad \psi(\lambda, u)=\lambda\gamma(u)+\int_{(0, \infty)}(1-e^{-\lambda\tau})\upsilon(u, d\tau), \end{eqnarray*} $

易知每组 $(\kappa, \theta, \sigma, \psi)$与唯一的ASubCIR过程相对应, 称 $(\kappa, \theta, \sigma, \psi)$为这个ASubCIR过程的生成元组.

一种简单的获取可加下标的方式为将Lévy下标(Lévy subordinator)的相关参数转化为时间的函数.另外, 对于Sato过程, 其对应的可加下标较易得到.如IG-Sato, Gamma-Sato可加下标的Lapalce指数可由IG, Gamma下标的Laplace指数得到^[8]

$ \int_0^{t}\psi(\lambda, u)du= \begin{cases} \gamma\lambda t^\rho+\tfrac{\mu^2}{\nu}\left(\sqrt{1+\tfrac{2\nu}{\mu}\lambda t^\rho}-1\right)& \text{(IG-Sato)}, \\ \gamma\lambda t^\rho+\tfrac{\mu^2}{\nu}\log \left(1+\tfrac{\nu}{\mu}\lambda t^\rho\right)& \text{(Gamma-Sato)}. \end{cases} $

ASubCIR过程具有状态相依和时间相依的均值回复跳跃, 且具有时间非齐次性等特点, 这些性质与商品市场价格变动相一致.

与文献[6]中相同, 假设在风险中性测度下, 两商品的现货价格满足:

$ \begin{eqnarray} S_t^1 &=& a_1(t)X_t^{\psi_1}, X_0^{\psi_1}=x_1, \end{eqnarray} $

(2.2)

$ \begin{eqnarray} S_t^2 &=& a_2(t)\left(X_t^{\psi_1}+X_t^{\psi_2}\right), X_0^{\psi_2}=x_2. \end{eqnarray} $

(2.3)

对于上面的表示, 有以下两点说明:

(1) 因为价差期权所涉及的两种商品往往是原料（如原油）和产成品（如燃料油）, 影响原料价格的因素定会对产成品价格产生影响, 用 $X_t^{\psi_1}$刻画这些共同的影响因素.同时用 $X_t^{\psi_2}$刻画只对产成品价格产生影响的因素.并且, 假设 $X_t^{\psi_1}, X_t^{\psi_2}$为两个独立的ASubCIR过程, 其生成元组分别为 $(\kappa_1, \theta_1, \sigma_1, \psi_1)$, $(\kappa_2, \theta_2, \sigma_2, \psi_2)$;

(2) 记 $F_i(0, T_i)(i=1, 2)$为到期时间为 $T_i$, 第 $i$个商品期货的初始时刻的价格.在风险中性测度下, 期货价格可表示为现货价格的条件期望, 则 $a_1(t), a_2(t)$可以通过期货价格初值确定, 即 $a_1(t)=F_1(0, T_1)/\mathbb{E}[X_t^{\psi_1}], a_2(t)=F_2(0, T_2)/\mathbb{E}[X_t^{\psi_1}+X_t^{\psi_2}]$.

ASubCIR过程可以更好地拟合两个期货期权的隐含波动率曲面和相应的价差期权隐含相关系数, 在刻画商品市场价格时具有明显的优势, 但是, Li Jing等文章的特征函数展开方法在计算上比较慢且不稳定, 这就需要一种更方便快捷的定价方法.本文尝试利用Fourier变换方法对期权定价, 在此之前, 首先介绍两个在文献[6]已经证明的结论:

引理2.2  对 $f\in L^2(\mathbb {R}_{+}, m)$, 令 $f_n=(f, \varphi_n)=\displaystyle\int_0^\infty{f(x)\varphi_n(x)m(x)}dx$, 若 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{|f_n|n^{-1/4}}<\infty$, 则ASubCIR半群 $\{\mathcal{P}_{s, t}^{\psi}, t>s\geq 0\}$有如下的特征函数展开表示:

$ \begin{eqnarray} \mathcal{P}_{s, t}^{\psi}f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty e^{-\displaystyle\int_s^t{\psi (\kappa n, u)du}}f_n\varphi_n(x), \end{eqnarray} $

(2.4)

对任意 $ t>s\geq 0$, 上式关于 $x$一致收敛, 其中 $\varphi_n(x)=\sqrt{\frac{n!\kappa}{\Gamma(\beta+n)}}\alpha^{\frac{\beta-1}{2}}L_n^{(\beta-1)}(\alpha x) $为CIR分布的特征函数, $L_n^{(v)}(x)$为广义拉盖尔多项式, $\Gamma(\cdot)$为Gamma函数, $m(x)=\frac{2}{\sigma^2}x^{\beta-1}e^{-\alpha x}$, $\alpha=\frac{2\kappa}{\sigma ^2}, ~\beta=\frac{2\kappa\theta}{\sigma^2}$.为了方便后面的计算, 引入标准化的拉盖尔多项式

$ l_n^{(v)}(x):=\sqrt{\frac{n!}{\Gamma(v+n+1)}}L_n^{(v)}(x)(n=0, 1, 2, \cdots), $

$l_n^{(v)}(x) $可通过递推关系^[9]得到.

引理2.3   $F_i(t, T_i)(i=1, 2)$表示 $T_i$时刻到期, 第 $i$个商品期货在时刻 $t$的价格, 则对 $0\leq t \leq T_i$, $F_i(t, T_i)(i=1, 2)$为鞅, 且

$ \begin{align} F_1(t, T_1)=&a_1(T_1)e^{-\displaystyle\int_{t}^{T_1}\psi_1(k_1, u)du}X_t^{\psi_1}+\\ &a_1(T_1)\theta_1\Big(1-e^{-\displaystyle\int_{t}^{T_1} \psi_1(k_1, u)du}\Big), \end{align} $

(2.5)

$ \begin{align} F_2(t, T_2)=&a_2(T_2)e^{-\displaystyle\int_{t}^{T_2}\psi_1(k_1, u)du}X_t^{\psi_1}\\ &+a_2(T_2)e^{-\displaystyle\int_{t}^{T_2}\psi_2(k_2, u)du} X_t^{\psi_2}\notag\\ &+a_2(T_2)\theta_1\Big(1-e^{-\displaystyle\int_{t}^{T_2}\psi_1(k_1, u)du}\Big)\\ &+a_2(T_2)\theta_2\Big(1-e^{-\displaystyle\int_{t}^{T_2} \psi_2(k_2, u)du}\Big), \end{align} $

(2.6)

这里 $a_i(T_i)(i=1, 2)$可以通过期货初始价格得到.即

$ \begin{eqnarray} a_1(T_1)&=&\frac{F_1(0, T_1)}{\theta_1+(x_1-\theta_1)e^{-\displaystyle\int_{0}^{T_1}\psi_1(k_1, u)du}}, \end{eqnarray} $

(2.7)

$ \begin{eqnarray} a_2(T_2)&=&\frac{F_2(0, T_2)}{\theta_1+\theta_2+(x_1-\theta_1)e^{-\displaystyle\int_{0}^{T_2}\psi_1(k_1, u)du} +(x_2-\theta_2)e^{-\displaystyle\int_{0}^{T_2}\psi_2(k_2, u)du}}. \end{eqnarray} $

(2.8)

在上面的模型设定下, 下面使用Fourier变换方法对期权定价.关于Fourier变换解决期权的定价的问题, Andersen和Piterbarg ^[10]经给出了一个非常有意义的结论.

引理3.1  对随机变量 $\xi$, 定义它的矩母函数为 $\chi(u)=\mathbb{E}\left[e^{u\xi}\right]$, 则对 $k\in\mathbb{R} $, $\alpha>0, $

$ \begin{align} \mathbb{E}\big[\left(\xi-\kappa\right)^{+}\big]=\frac{d\chi(\kappa)}{d\kappa}\bigg|_{ \kappa=0} -\kappa +\frac{1}{2\pi} \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{e^{-\kappa(-\alpha+i\omega)}\chi(-\alpha+i\omega)}{(-\alpha+i\omega)^{2}}}d\omega. \end{align} $

(3.1)

根据上面引理, 若已知矩母函数, 看涨期权的价格可以直接由公式得到, 所以下面首先对ASubCIR过程的矩母函数进行一般性的推导.

定理3.2  对生成元组为 $(\kappa, \theta, \sigma, \psi)$的ASubCIR过程 $X_t^{\psi}(X_0^{\psi}=x_0)$, 若 $\Re {(\lambda)<\alpha}$, 则其对应的矩母函数为

$ \begin{align} \chi(\lambda)&=\mathbb{E}\left[e^{\lambda X_t^{\psi}}\right]=\alpha^{\beta} \sum\limits_{n=0}^\infty e^{-\displaystyle\int_{0}^{t}\psi(\kappa n, u)du}L_n^{(\beta-1)}(\alpha x_0) \frac{(-\lambda )^{n}}{(\alpha-\lambda )^{n+\beta}}. \end{align} $

(3.2)

证   $\chi(\lambda)=\mathbb{E}\left[e^{\lambda X_t^{\psi}}\right]$, 故 $f(x)=e^{\lambda x}$, 由引理2.2可得

$ \begin{align} f_n &=(f, \varphi_n)=\int_0^\infty{f(x)\varphi_n(x)m(x)}dx\notag\\ &=\int_0^\infty e^{\lambda x}\sqrt{\frac{n!\kappa}{\Gamma(\beta+n)}}\alpha^{\frac{\beta-1}{2}} L_n^{(\beta-1)}(\alpha x)\frac{2}{\sigma^2}x^{\beta-1}e^{-\alpha x}dx\notag\\ &=\sqrt{\frac{n!\kappa}{\Gamma(\beta+n)}}\alpha^{\frac{\beta-1}{2}}\int_0^\infty e^{\lambda x} L_n^{(\beta-1)}(\alpha x)\frac{\alpha^{2-\beta}}{\kappa}(\alpha x)^{\beta-1}e^{-\alpha x}dx\notag\\ &=\sqrt{\frac{n!}{\kappa\Gamma(\beta+n)}} \alpha^{\frac{1-\beta}{2}}\int_0^\infty{e^{-(-\frac{\lambda}{\alpha}+1)y}L_n^{(\beta-1)}(y)y^{\beta-1}}dy\end{align} $

(3.3)

$ \begin{align} =\sqrt{\frac{n!}{\kappa\Gamma(\beta+n)}}\alpha^{\frac{1-\beta}{2}}\frac{\Gamma(n+\beta) (\frac{-\lambda}{\alpha})^n}{n!(\frac{-\lambda+\alpha}{\alpha})^{n+\beta}} =\sqrt{\frac{\Gamma(\beta+n)}{\kappa n!}}\alpha^{\frac{\beta+1}{2}}\frac{(-\lambda)^n}{(-\lambda+\alpha)^{n+\beta}}, \end{align} $

(3.4)

其中(3.4) 式利用了公式^[11]

$ \begin{align*} \int_0^\infty e^{-st}t^{\alpha}L_n^{(\alpha)}(t)dt=\frac{\Gamma(\alpha+n+1)(s-1)^n}{n!s^{\alpha+n+1}}\quad [\Re(\alpha) >-1, \Re(s)>0]. \end{align*} $

由公式使用限制条件, 要求 $\Re(\beta-1) >-1, \Re(-\frac{\lambda}{\alpha}+1)>0$, 即 $\Re {(\lambda)<\alpha}$.将上面的结果带入(2.4) 式, 经过化简即可得到定理的结果.

首先利用上面的结果对单因素及两因素的期货期权进行定价.因为看跌期权的价格可以根据平价公式由看涨期权的价格直接推导, 所以在下面的期货期权以及价差期权的定价中, 仅以看涨期权为例进行推导.

定理3.3  (1) 对以第一种商品期货为标的的看涨期权, 令

$ \begin{equation*} A=a_1(T_1)e^{-\displaystyle\int_t^{T_1}{\psi_1(\kappa_1, u)du}}, \\ B=a_1(T_1)\theta_1\Big(1-e^{-\displaystyle\int_t^{T_1}{\psi_1(\kappa_1, u)du}}\Big), \kappa=\frac{K-B}{A}, \end{equation*} $

$K$和 $T$分别表示对应期权的行权价格和到期时间(下同), 则期权价格可以表示为

$ \begin{align} C_1(t, K)=e^{-rt}\Big[F_1(0, T_1)-K+\frac{A}{\pi}I(\lambda) \Big], \quad I(\lambda)=\int_0^{\infty}{h(\lambda, \omega)}d\omega, \end{align} $

(3.5)

其中要求 $\lambda>0$, 且

$ \begin{align} &h(\lambda, \omega)=\sum\limits_{n=0}^\infty l_n^{(\beta_1-1)}(\alpha_1x_1) \\ &\exp\Big\{\kappa \lambda+\beta_1 \log\alpha_1-\int_{0}^{t}\psi_1(k_1n, u)du +\frac{1}{2}\big(\log\Gamma(\beta_1+n)\notag\\ &-\log\Gamma(1+n)\big)-(n+\beta_1)\log\sqrt{(\alpha_1+\lambda )^{2}+\omega ^{2}}\\ &+(n-2)\log\sqrt{\lambda^{2}+\omega^{2}}\Big\} \times \cos\Big(\kappa \omega+(n-2)\arctan{\tfrac{\omega}{\lambda}}\\ &-(n+\beta_1)\arctan{\big(\tfrac{\omega }{\alpha_1+\lambda }\big)}\Big)\notag. \end{align} $

(3.6)

(2) 对以第二种商品期货为标的的看涨期权, 令

$ \begin{eqnarray*} &&\bar{A}=e^{-\displaystyle\int_t^{T_2}{\psi_1(\kappa_1, u)du}}, \bar{ B}=e^{-\displaystyle\int_t^{T_2}{\psi_2(\kappa_2, u)du}}, \\ &&\bar{C}=\theta_1\Big(1-e^{-\displaystyle\int_t^{T_2}{\psi_1(\kappa_1, u)du}}\Big) +\theta_2\Big(1-e^{-\displaystyle\int_t^{T_2}{\psi_2(\kappa_2, u)du}}\Big), \end{eqnarray*} $

则期权价格可表示为( $\bar{\kappa}=\frac{K}{a_2(T_2)}-\bar{C}$)

$ \begin{align} C_2(t, K)=e^{-rt}\Big[F_2(0, T_2)-K+\frac{a_2(T_2)}{\pi}\bar{I}(\lambda) \Big], \quad \bar{I}(\lambda)=\int_0^{\infty}{\bar{h}(\lambda, \omega)}d\omega. \end{align} $

(3.7)

与(1) 相同, 这里也要求 $\lambda>0$, 且

$ \begin{align} \bar{h}(\lambda, \omega)=&\sum\limits_{n=0}^\infty \sum\limits_{m=0}^\infty l_{n}^{(\beta_1-1)}(\alpha_1x_1) l_{m}^{(\beta_2-1)}(\alpha_2x_2) \exp\Big\{ \bar{\kappa}\lambda + \beta_1\log\alpha_1 + \beta_2\log\alpha_2 + n\log \bar{A} \notag\\ &+ m\log \bar{B} -\int_0^t \big(\psi_1(\kappa_1 n, u) + \psi_2(\kappa_2 m, u) \big) du + (m+n-2)\log\sqrt{\lambda^2+\omega^2}\notag\\ & + \frac{1}{2}\Big( \log\Gamma(n+\beta_1) + \log\Gamma(m+\beta_2) - \log\Gamma(n+1) - \log\Gamma(m+1) \Big)\\ & - (n+\beta_1)\log\sqrt{(\alpha_1+\lambda \bar{A})^2 + \bar{A}^2\omega^2} - \\ &(m+\beta_2)\log\sqrt{(\alpha_2+\lambda \bar{B})^2 + \bar{B}^2\omega^2} \Big\} \notag\\ & \times \cos\Big( \bar{\kappa}\omega + (m+n-2)\arctan\frac{\omega}{\lambda} \\ &- (n+\beta_1)\arctan\big(\tfrac{\bar{A}\omega}{\alpha_1 + \lambda\bar{ A}}\big) \\ &- (m+\beta_2)\arctan\big(\tfrac{\bar{B}\omega}{\alpha_2 + \lambda \bar{B}}\big) \Big).\notag \end{align} $

(3.8)

证  (1) 易知 $A>0$, $F_1(t, T_1)=AX_t^{\psi_1}+B$, 记 $\chi_1(\lambda)$为 $X_t^{\psi_1}$对应的矩母函数, 又 $\frac{d\chi_1(\kappa)}{d\kappa}\big|_{\kappa=0}=\mathbb{E}\left[X_t^{\psi_1}\right]$, 根据引理3.1, 得到

$ \begin{align} C_1(t, K)&=e^{-rt}\mathbb{E}\left[\big(F_1(t, T_1)-K\big)^{+}\right] =e^{-rt}A\mathbb{E}\left[\left(X_t^{\psi_1}-\frac{K-B}{A}\right)^{+}\right]\notag\\ &=e^{-rt}A\left[\frac{d\chi_1(\kappa)}{d\kappa}\bigg|_{ \kappa=0} -\frac{K-B}{A} +\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{e^{-\kappa(-\lambda+i\omega)}\chi_1(-\lambda+i\omega)} {(-\lambda+i\omega)^{2}}}d\omega\right]\notag\\ &=e^{-rt}\left[\mathbb{E}\left(AX_t^{\psi_1}+B\right)-K+\frac{A}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{e^{-\kappa(-\lambda+i\omega)}\chi_1(-\lambda+i\omega)} {(-\lambda+i\omega)^{2}}}d\omega\right]\notag\\ &=e^{-rt}\left[F_1(0, T_1)-K+\frac{A}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{e^{-\kappa(-\lambda+i\omega)}\chi_1(-\lambda+i\omega)} {(-\lambda+i\omega)^{2}}}d\omega\right]. \end{align} $

(3.9)

上面的结果用到了期货价格 $F_1(t, T_1)$为鞅的结论, 即

$ \begin{equation*} \mathbb{E}\big[AX_t^{\psi_1}+B\big]=\mathbb{E}\big[F_1(t, T_1)\big]=F_1(0, T_1). \end{equation*} $

下面对被积函数推导简化, 首先记 $\overline{\chi_1}(\lambda, \omega) =\frac{e^{-\kappa(-\lambda+i\omega)}\chi_1(-\lambda+i\omega)}{(-\lambda+i\omega)^{2}}$, 则

$ \begin{equation} \overline{\chi_1}(\lambda, \omega)= e^{\kappa(\lambda-i\omega)}\alpha_1^{\beta_1}\sum\limits_{n=0}^\infty e^{-\int_{0}^{t}\psi_1(\kappa_1 n, u)du}L_n^{(\beta_1-1)}(\alpha_1x_1) \frac{(\lambda-i\omega)^{n-2} }{(\alpha_1+\lambda -i\omega )^{n+\beta_1}}. \end{equation} $

(3.10)

但由于被积函数为复数, 直接积分会导致运算速度较慢, 为进一步提高运算速度, 增加运算稳定性, 做如下处理:

$ \begin{align} \overline{\chi_1}(\lambda, \omega)=&\sum\limits_{n=0}^\infty l_n^{(\beta_1-1)}(\alpha_1x_1) \exp\Big\{\kappa \lambda-i\kappa\omega\\ &+\beta_1 \log\alpha_1+\frac{1}{2}\big(\log\Gamma(\beta_1+n)\\ &-\log\Gamma(1+n)\big) \notag -\int_{0}^{t}\psi_1(\kappa_1n, u)du\\ &-(n+\beta_1)\log(\alpha_1+\lambda-i\omega ) +(n-2)\log(\lambda-i\omega)\Big\} \notag \\ =&\sum\limits_{n=0}^\infty l_n^{(\beta_1-1)}(\alpha_1x_1) \exp\Big\{\kappa \lambda+\beta_1 \log\alpha_1\\ &+\frac{1}{2}\big(\log\Gamma(\beta_1+n)-\log\Gamma(1+n)\big) \notag \\ &-\int_{0}^{t}\psi_1(\kappa_1n, u)du-(n+\beta_1)\log\sqrt{(\alpha_1+\lambda )^{2}+\omega ^{2}} \\ &+(n-2)\log\sqrt{\lambda^{2}+\omega^{2}}\Big\}\notag\\ &\times \exp\Big[-i\Big(\kappa \omega+(n-2)\arctan{\tfrac{\omega}{\lambda}}\\ &-(n+\beta_1)\arctan{\big(\tfrac{\omega }{\alpha_1+\lambda }\big)}\Big)\Big]. \end{align} $

(3.11)

由函数的对称性, $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{\Im \big(\overline{\chi_1}(\lambda, \omega)\big)}d\omega=0$, $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{\overline{\chi_1}(\lambda, \omega)}d\omega=2\int_{0}^{\infty}{\Re \big(\overline{\chi_1}(\lambda, \omega)\big)}d\omega$.经简单计算可知 $\Re({\overline{\chi_1}(\lambda, \omega)})$即为定理中 $h(\lambda, \omega)$, 证毕.

(2) 易知 $\bar{A}>0, \bar{B}>0$. $F_2(t, T_2)=a_2(T_2)(\bar{A}X_t^{\psi_1}+\bar{B}X_t^{\psi_2}+\bar{C})$, 由 $F_2(t, T_2)$为鞅, 与(1) 类似, 可得到

$ \begin{align} C_2(t, K)&=e^{-rt}\mathbb{E}\left[\big(F_2(t, T_2)-K\big)^{+}\right]\notag\\ &=e^{-rt}\left[F_2(0, T_2)-K+\frac{a_2(T_2)}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{e^{-\bar{\kappa}(-\lambda+i\omega)}\chi_2(-\lambda+i\omega)} {(-\lambda+i\omega)^{2}}}d\omega\right], \end{align} $

(3.12)

其中 $\chi_2(\lambda)$为 $\bar{A}X_t^{\psi_1}+\bar{B}X_t^{\psi_2}$对应的矩母函数, 又 $X_t^{\psi_1}$, $X_t^{\psi_2}$独立,

$ \begin{align} \chi_2(\lambda)=&\mathbb{E}\big[e^{\lambda (\bar{A}X_t^{\psi_1}+\bar{B}X_t^{\psi_2})}\big] =\mathbb{E}\big[e^{\lambda \bar{A}X_t^{\psi_1}}\big]\times \mathbb{E}\big[e^{\lambda \bar{B}X_t^{\psi_2}}\big]\notag\\ =&\alpha_1^{\beta_1} \sum\limits_{n=0}^\infty e^{-\int_{0}^{t}\psi_1(\kappa_1 n, u)du}l_n^{(\beta_1-1)}\\ &(\alpha_1 x_1)\sqrt{\frac{\Gamma(n+\beta_1)}{n!}}\frac{(-\lambda \bar{A} )^{n}}{(\alpha_1-\lambda \bar{A} )^{n+\beta_1}}\notag\\ &\times \alpha_2^{\beta_2} \sum\limits_{m=0}^\infty e^{-\int_{0}^{t}\psi_2(\kappa_2 m, u)du}l_m^{(\beta_2-2)}\\ &(\alpha_2 x_2)\sqrt{\frac{\Gamma(m+\beta_2)}{m!}}\frac{(-\lambda \bar{B} )^{m}}{(\alpha_2-\lambda \bar{B} )^{m+\beta_2}}. \end{align} $

(3.13)

将矩母函数带入, 与(1) 进行相似的推导即可得到结论, 证毕.

在上面的证明中, 为了将问题简化, 做了如下处理: 1.利用鞅性质, 将期权定价公式的第一部分用期货价格初值表示; 2.利用复数的指数形式以及函数的对称性, 将定价公式简化为实表达式, 在实际的计算中发现, 这种处理方式很大程度上提高了计算的速度以及稳定性; 3.在计算中使用 $l_n^{(v)}$而不是 $L_n^{(v)}$, 是为了更好地控制函数的范围, 避免利用计算机计算时越界, 对Gamma函数取对数也是这个目的.

上面完成了单因素和两因素的期货期权定价问题, 现在考虑裂解价差期权的定价.

定理3.4  对于到期收益为 $\big(F_2(t, T_2)-F_1(t, T_1)-K\big)^{+}$的看涨价差期权, 首先令

$ \begin{eqnarray*} &&\tilde{A}=e^{-\displaystyle\int_t^{T_2}{\psi_2(\kappa_2, u)du}}, \qquad\\ &&\tilde{B}=\frac{a_1(T_1)}{a_2(T_2)}e^{-\displaystyle\int_t^{T_1}{\psi_1(\kappa_1, u)du}} -e^{-\displaystyle\int_t^{T_2}{\psi_1(\kappa_1, u)du}}, \\ &&\tilde{C}=\theta_1\left(1-e^{-\displaystyle\int_t^{T_2}{\psi_1(\kappa_1, u)du}}\right)\\ &&+\theta_2\left(1-e^{-\displaystyle\int_t^{T_2}{\psi_2(\kappa_2, u)du}}\right)\\ &&-\frac{a_1(T_1)}{a_2(T_2)}\theta_1\left(1-e^{-\displaystyle\int_t^{T_1}{\psi_1(\kappa_1, u)du}}\right), \end{eqnarray*} $

则价差期权的价格可以表示为( $\tilde{\kappa}=\frac{K}{a_2(T_2)}-\tilde{C}$),

$ \begin{equation} SC(t, K)=e^{-rt}\Big[F_2(0, T_2)-F_1(0, T_1)-K+\frac{a_2(T_2)}{\pi}\tilde{I}(\lambda) \Big], \\ \tilde{I}(\lambda)=\int_0^{\infty}{\tilde{h}(\lambda, \omega)}d\omega. \end{equation} $

(3.14)

(1) 若 $\tilde{B}>0$, 此时要求 $0<\lambda<\frac{\alpha_1}{\tilde{B}}$,

$ \begin{align} \tilde{h}(\lambda, \omega)=&\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{m=0}^\infty (-1)^{m} g_n^2 g_m^1\exp\Big(\tilde{\kappa} \lambda-2\log \sqrt{\lambda^2+\omega^2}\Big)\\ & \cos\Big(\tilde{\kappa }\omega-(n+\beta_2)\arctan{\big(\tfrac{\omega\tilde{ A}}{\alpha_2+\lambda \tilde{A}}\big)}\notag\\ &+(m+\beta_1)\arctan{\big(\tfrac{\omega\tilde{ B}}{\alpha_1-\lambda \tilde{B}}\big)}+(n+m-2)\arctan{\tfrac{\omega}{\lambda}}\Big). \end{align} $

(3.15)

(2) 若 $\tilde{B}<0$, 此时要求 $\lambda>0$,

$ \begin{align} \tilde{h}(\lambda, \omega)=&\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{m=0}^\infty g_n^2 g_m^3\exp\Big(\tilde{\kappa} \lambda-2\log \sqrt{\lambda^2+\omega^2}\Big)\\ &\cos\Big(\tilde{\kappa} \omega-(n+\beta_2)\arctan{\big(\tfrac {\omega \tilde{A}}{\alpha_2+\lambda \tilde{A}}\big)}\notag\\ &-(m+\beta_1)\arctan{\big(\tfrac{\omega |\tilde{B}|}{\alpha_1+\lambda |\tilde{B}|}\big)}+(n+m-2)\arctan{\tfrac{\omega}{\lambda}}\Big). \end{align} $

(3.16)

(3) 若 $\tilde{B}=0$, 此时要求 $\lambda>0$,

$ \begin{equation} \tilde{h}(\lambda, \omega)=\sum\limits_{n=0}^\infty g_n^2 \exp\Big(\tilde{\kappa} \lambda-2\log \sqrt{\lambda^2+\omega^2}\Big) \\ \cos\Big(\tilde{\kappa} \omega-(n+\beta_2)\arctan{\big(\tfrac{\omega \tilde{A}}{\alpha_2+\lambda \tilde{A}}\big)} +(n-2)\arctan{\tfrac{\omega}{\lambda}}\Big). \end{equation} $

(3.17)

$g_n^2, g_m^1, g_m^3$分别定义如下:

$ \begin{align} g_n^2=&l_n^{(\beta_2-1)}(\alpha_2x_2)\exp\Big\{\beta_2 \log\alpha_2-\int_{0}^{t}\psi_2(k_2n, u)du\\ &+n\log(\tilde{A})+n\log\sqrt{\lambda^{2}+\omega^{2}}\notag\\ &+\frac{1}{2}\big(\log\Gamma(\beta_2+n)-\log\Gamma(1+n)\big)\\ & -(n+\beta_2)\log\sqrt{(\alpha_2+\lambda \tilde{A})^{2}+(\omega \tilde{A})^{2}}\Big\}\notag, \\ g_m^1=&l_m^{(\beta_1-1)}(\alpha_1x_1)\exp\Big\{\beta_1 \log\alpha_1-\int_{0}^{t}\psi_1(k_1m, u)du\\ &+m\log(\tilde{B})+m\log\sqrt{\lambda^{2}+\omega^{2}}\notag\\ &+\frac{1}{2}\big(\log\Gamma(\beta_1+m)-\log\Gamma(1+m)\big)\\ & -(m+\beta_1)\log\sqrt{(\alpha_1-\lambda \tilde{B})^{2}+(\omega \tilde{B})^{2}}\Big\}, \\ g_m^3=&l_m^{(\beta_1-1)}(\alpha_1x_1)\exp\Big\{\beta_1 \log\alpha_1-\int_{0}^{t}\psi_1(k_1m, u)du+m\log|\tilde{B}|\\ &+m\log\sqrt{\lambda^{2}+\omega^{2}}\notag\\ &+\frac{1}{2}\big(\log\Gamma(\beta_1+m)-\log\Gamma(1+m)\big)\\ & -(m+\beta_1)\log\sqrt{(\alpha_1+\lambda |\tilde{B}|)^{2}+(\omega |\tilde{B}|)^{2}}\Big\}\notag. \end{align} $

(3.18)

证  易知 $\tilde{A}>0$, $F_2(t, T_2)-F_1(t, T_1)=a_2(T_2)(\tilde{A}X_t^{\psi_2}-\tilde{B}X_t^{\psi_1}+\tilde{C})$, 由 $F_2(t, T_2), F_1(t, T_1)$为鞅, 可得

$ \begin{align} SC(t, K)=e^{-rt}\left[F_2(0, T_2)-F_1(0, T_1)-K+\frac{a_2(T_2)}{2\pi}\\ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-\tilde{\kappa}(-\lambda+i\omega)} \chi_s(-\lambda+i\omega)}{(-\lambda+i\omega)^{2}}d\omega\right], \end{align} $

(3.19)

其中 $\chi_s(\lambda)$为 $\tilde{A}X_t^{\psi_2}-\tilde{B}X_t^{\psi_1}$对应矩母函数, 即

$ \begin{equation*} \chi_s(\lambda)=\mathbb{E}\big[e^{\lambda(\tilde{A}X_t^{\psi_2}-\tilde{B}X_t^{\psi_1})}\big]=E\big[e^{\lambda \tilde{A}X_t^{\psi_2}}\big]\times E\big[e^{-\lambda \tilde{B}X_t^{\psi_1}}\big], \end{equation*} $

这里因为无法直接判断 $\tilde{B}$的符号, 所以要对不同情况分别分析. $\tilde{B}=0$和 $\tilde{B}\neq0$可分别根据单因素期货期权、两因素期货期权类似推导, 其中若 $\tilde{B}<0$, 为将其化成对数形式, 写成 $\tilde{B}=-|\tilde{B}|$的形式再进行推导.特别地, 对于 $\tilde{B}>0$, 要求 $\Re(-(-\lambda+i\omega) \tilde{B}) < \alpha_1 $, 即 $0< \lambda < \frac{\alpha_1}{\tilde{B}}$; $\tilde{B}\leq0$时仅要求 $\lambda >0$, 这也是在具体计算中需要注意的.

假设 $X_t^{\psi_1}$, $X_t^{\psi_2}$均为具有IG-Sato可加下标的CIR过程, 并且使用Li Jing等文章中模型校准的参数进行实证检验, 相关参数如表 1.用C++以及MATLAB程序设计语言实现了所有期权定价公式.为了证明本文的方法更加有效快速, 以两因素期货期权为例比较了两方法的运算速度.使用2014年2月25日市场数据和表 1中的模型参数, 对每个期权到期时间计算40个期权价格, 其中价值状况(moneyness)从0.81到1.20等距分割. 表 2详细地比较了两种方法所需要的时间. 表 3根据2014年2月25日的原油、燃料油的相关期货、期权信息以及表 1中参数, 给出了一些看涨裂解价差期权定价结果的实例.文中相关数据从彭博终端下载得到.

从上表中的结果可以看到, 利用Fourier变换能够得到在不同执行价格、到期时间下的期权价格, 而且通过对两因素期货期权价格的计算时间上的比较, 发现Fourier变换方法在计算速度上有明显的优势, 这对于期权定价公式在实际中的应用具有重要的意义.

基于Fourier变换方法对于期权进行定价, 为期权定价提供了一种较好的思路.相对于一般的期权定价方法, Fourier变换方法主要有以下优势: (1) 运用ASubCIR过程刻画商品期货标的价格, 符合商品市场本身的均值回归等特点; (2) 能够更好地拟合两个期货期权的隐含波动率曲面和相应的价差期权隐含相关系数; (3) 给出了执行价格不为0的一般情况下的价差期权价格的表达式; (4) 虽然LI JING的特征函数展开法也能计算出期权的价格, 但本文的方法定价速度更快更稳定.