本文中环R均指的是有单位元的结合环, 用ModR (或modR)表示所有(有限生成)左R -模构成的范畴.用pd(M)表示左R -模M的投射维数.

对于双边Noether环上的有限生成模, Auslander和Bridger在文[1]中定义了所谓的G -维数为0的模, 并利用它定义有限生成模的G -维数.对于任意结合环上Gorenstein投射模的概念是由Enochs和Jenda在文[2]中提出的, 并对偶的定义了Gorenstein内射模.不难证明, Noether环上的有限生成模是Gorenstein投射模当且仅当它是G -维数为0的模(参见文[3]).随后, Gorenstein同调模和相应的Gorenstein同调维数被广泛的研究, 成为了相对同调代数的热门问题之一, 许多经典的同调维数的概念和结果被加以推广和扩充.

回想一个左R-模M称为Gorenstein投射模, 指的是存在ModR中一个投射模的正合列

$\mathbf{P}:\cdots \to {{P}_{1}}\to {{P}_{0}}\to {{P}^{0}}\to {{P}^{1}}\to \cdots $

使得$M\cong \text{ Im}({{P}_{0}}\to {{P}^{0}})$, 且对每个投射模Q, $\text{Ho}{{\text{m}}_{R}}(\mathbf{P}, Q)$仍是正合的, 其中正合复形$\mathbf{P}$称为M的一个完全投射分解. Gorenstein投射模简称G -投射模, 用$\mathcal{GP}(R)$表示Gorenstein投射模类.

一个左R-模M的Gorenstein投射维数定义为

定义1.1^[4] 设$M\in \text{Mod}R$, 令$ Gpd(M)=\inf\{n|$存在正合列

$0\to {{G}_{n}}\to \cdots \to {{G}_{1}}\to {{G}_{0}}\to M\to 0, $

其中对$0\leq i\leq n, G_i\in \mathcal{GP}(R)\}$, 称为$M$的Gorenstein投射维数.若不存在这样的正合列, 则记$Gpd(M)=\infty$.

令

$l.Gpd(R)=\sup \{Gpd(M)|M\in \text{Mod}R\},$

称为环R的左Gorenstein整体维数.

注1 显然投射模均是Gorenstein投射模, 且对$M\in \text{Mod}R$均有$Gpd(M)\leq pd(M)$.根据文[4]的定理2.5, $\mathcal{GP}(R)$是ModR的一个投射预解子范畴, 但$\mathcal{GP}(R)$的同调有限性仍是一个公开的问题.在文[4]中Holm证明了如下的定理.

定理1.2^[4] 设$M\in \text{Mod}R$, 若$Gpd(M)\leq\infty$, 则存在正合列$0\rightarrow K\rightarrow G\rightarrow M\rightarrow 0$, 使得$G\rightarrow M\rightarrow 0$为$M$的一个满的右$\mathcal{GP}(R)$ -逼近, 且$pd(K)<\infty$.

利用上述定理容易证明下面关于Gorenstein投射维数有限的模的Gorenstein投射维数的等价刻画.

定理1.3 ^[4] 设$M\in\hbox{Mod}R$, $n$为一个非负整数, 若$Gpd(M)< \infty$, 则下列表述是等价的:

(1) $Gpd(M)\leq n$;

(2) 对于任意的投射模$P$, $\forall i>n$, 有$\hbox{Ext}^i_R(M, P)=0$;

(3) 对于任意的投射维数有限的左$R$ -模$L$, $\forall i>n$, 有$\hbox{Ext}^i_R(M, L)=0$;

(4) 对于任意的正合列

$0\rightarrow K_n\rightarrow G_{n-1}\rightarrow \cdots \rightarrow G_1 \rightarrow G_0\rightarrow M\rightarrow 0, $

其中对$0\leq i\leq n-1$, $G_i$为Gorenstein投射模, 则$K_n$也是Gorenstein投射模.

在经典的同调代数中, 一个熟知的结论由Auslander在1955年得到的.

定理1.4^[5] 对于任意的环R, $lD(R)=\sup \{pd(R/I)|I$为R的左理想$\}=\sup \{pd(C)|C$为循环左R -模, 即$C=Rx\}$.

特别地, 对于Artin (半准素环)来说$lD(R)=\sup\{pd(S)|$$S$为环$R$的任意单左$R$ -模$\}.$

已经知道经典同调代数中很多的结果在Gorenstein同调代数中均有相应的结论, 鉴于此, 文章主要考虑上述定理在Gorenstein同调代数中的部分体现, 得到Gorenstein投射维数有限的模的Gorenstein投射维数的一种新的刻画(定理2.2), 并利用这一结论证明Gorenstein (左)完全环的Gorenstein整体维数是由循环模的Gorentein投射维数来限制(定理2.3), 而Artin环的Gorenstein整体维数是由环上单模的Gorenstein投射维数来限制(定理2.9), 这些结论扩展了相对同调维数的内容, 其中后一个结论是一个已知的结果, 而本文方法是不同的(见文[6]).

下面的结论是文[5]中命题3在Gorenstein同调代数中的体现, 首先给出一个已知的引理.

引理2.1^[4] 设$0\rightarrow K\rightarrow G\rightarrow M\rightarrow 0$为Mod$R$中的一个短正合列, 其中$G$为Gorenstein投射模.若$M$是Gorenstein投射的, 则$K$也是Gorenstein投射的; 若$M$非Gorenstein投射的, 则$GpdM=GpdK+1$.

定理2.2 设$R$为环, $A$是一个左$R$ -模且$Gpd(A)<\infty $, $\{A_i\}_{i\in I}$为$A$的一类子模族, 其中$I$为一个非空的良序集, 对$i, j\in I$, $i\leq j$当且仅当$A_i\subseteq A_j$.若$\bigcup \limits_{i\in I}A_i=A$且每个投射左$R$ -模$P$均是纯内射的, 且对于$\forall i\in I$, $Gpd(A_i/{A'_i})\leq n$, 其中$A'_i=\bigcup \limits _{j<i, j\in I}A_j$, 则有$Gpd(A)\leq n$.

证 对$n$利用归纳法.

若$n=0$, 则对$\forall i\in I$, $A_i/{A'_i}$是$G$ -投射模, 考虑正合列$0\rightarrow A'_i\rightarrow A_i\rightarrow A_i/{A'_i}\rightarrow 0$, 根据文[4]的定理2.5, 若$A'_i$与$A_i/{A'_i}$均是Gorenstein投射模, 则$A_i$是Gorenstein投射的.由于$I$是良序集, 故有限步后$A'_i$是极小元, 根据假设$A'_i\cong A'_i/0$是Gorenstein投射的, 从而得到对$\forall i\in I$, $A_i$是Gorenstein投射模.这样对于任意的投射模$P$, 根据假设是纯内射的, 于是由文[7]的定理10.1, 对$i>1$, $\hbox{Ext}^i_R(\lim\limits_{\longrightarrow}A_i, P)\cong \lim \limits_{\longleftarrow} {Ext}^i_R(A_i, P)=0$, 故利用定理1.3, $A\cong \lim \limits_{\longrightarrow}A_i$是Gorenstein投射模.

假设$n>0$, 并假设结论对$n-1$时成立.

考虑对$i\in I$, 都有$l.Gpd(A_i/{A'_i})\leq n$.设$F$是由$A$的元素为生成元的自由$R$ -模, $F_i$和$F'_i$分别以$A_i$和$A'_i$的元素为生成元的自由$R$ -模, 显然它们都是Gorenstein投射模.考虑下面正合列$0\rightarrow K\rightarrow F\rightarrow A \rightarrow 0$, 令$K_i=F_i\cap K$, $K'_i=F'_i\cap K$, 根据它们之间的关系,

$A'_i\subseteq A_i, F'_i\subseteq F_i, K'_i\subseteq K_i$

和正合列

$0\rightarrow K_i\rightarrow F_i\rightarrow A_i\rightarrow 0, 0\rightarrow K'_i\rightarrow F'_i\rightarrow A'_i\rightarrow 0, $

得到正合列$0\rightarrow K_i/{K'_i}\rightarrow F_i/{F'_i}\rightarrow A_i/{A'_i} \rightarrow 0$, 且对$\forall i\in I$, $F_i/{F'_i}$是一个自由$R$ -模(这是因为$F'_i$是由$F_i$的生成元素的一个子集生成的).于是根据引理2.1有$Gpd(K_i/{K'_i})\leq n-1$ (对每个$i\in I$).

根据上述$K, K_i, K'_i$的构造, 就有$\{K_i\}_{i\in I}$是$K$的一个子模族, $I$是一个良序集, $\forall i, j \in I$, $i\leq j$当且仅当$K_i\subseteq K_j$, 且$K'_i=\bigcup \limits _{j<i, j\in I}K_j, K=\bigcup\limits_{i\in I}K_i$.这样利用归纳假设得到$Gpd(K)=n-1$, 再由正合列$0\rightarrow K\rightarrow F\rightarrow A\rightarrow 0$和引理2.1, 得到$Gpd(A)\leq n$.

注1 对于Mod$R$中的一个短正合列$0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0$, 若对任意的右$R$ -模$N$均有

$0\rightarrow N\otimes A\rightarrow N\otimes B\rightarrow N\otimes C\rightarrow 0$

是正合的, 则称上述的正合列为一个纯的正合列.若对于任一纯的正合列$0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0$, 均有

$0\rightarrow \hbox{Hom}_R(C, M)\rightarrow \hbox{Hom}_R(B, M)\rightarrow \hbox{Hom}_R(A, M)\rightarrow 0$

是正合的, 则称$M$是一个纯内射模.关于纯内射模的性质可参见文[8-11].根据文[10]的定理2.3.8, 知道每个左$R$ -模$M$都有一个纯内射包, 记为$PE(M)$, 使得$M\subseteq PE(M)$.再利用文[10]中定理3.1.6, 若$R$是一个右凝聚环, 则$F$若是平坦模, 那么$PE(F)$和$PE(F)/F$均为平坦模.回想一个环$R$称为左完全环指的是每个平坦左$R$ -模都是投射的, 即平坦模与投射是等价的.这样根据上面的讨论, 若环$R$是左完全右凝聚的(事实上Chase证明了这样的环当且仅当投射模的直积是投射模), 那么环$R$上的每个投射模是纯内射的.

回想一个双边Noether环$R$是一个Gorenstein环, 指的是环$R$作为正则模的左、右内射维数均有限. Gorenstein环上的每个模的Gorenstein投射维数均是有限的, 于是根据上面的讨论有如下的定理.

定理2.3 设$R$是一个Gorenstein完全环, 则有

$l.Ggld(R) = {\rm{sup}}\{ Gpd(C)|$其中$C$为任意的循环左$R$ -模}.

证 显然$l.Ggld(R)\geq\sup\{Gpd(C)|$其中$C$为任意的循环左$R$ -模$\}$.

另一方面, 若$\sup\{Gpd(C)|$$C$为任意的循环左$R$ -模$\}=n$.对任意的左$R$ -模$M$, 下证$Gpd(M)\leq n$, 对$M$中元素$x_i(i\in I)$良序化, 分别记$M_i$(或$M'_i$)为由$M$的所有$j\leq i$(或$j<i$)的元素$x_j$生成的$A$的子模, 这样$M_i/{M'_i}$或是0或是由一个元素$x_i$生成的循环模, 根据假设有$\forall i\in I$, $l.Gpd(M_i/{M'_i})\leq n$.由于$M$的子模族$\{M_i\}_{i\in I}$满足定理2.2的条件, 故得到$Gpd(M)\leq n$.根据$M$的任意性得到$l.Ggld(R)\leq n$, 又由$l.Ggld(R)$的定义有$l.Ggld(R)=n$.

推论2.4 若$R$是一个Gorenstein完全环, 则$l.id_RR=r.id_RR=\sup\{Gpd(C)|$其中$C$为任意的循环左$R$ -模$\}$.

下面考虑Artin环的情形.

引理2.5 设$R$是一个Gorenstein环, 且每个左投射$R$ -模均是纯内射的, 则$Gpd\{\lim\limits_{\longrightarrow}M_i\}=\sup\{Gpd(M_i)\}_{i\in I}$, 其中$\{M_i\}_{i\in I}$为一个直系统.

证 设$\sup\{Gpd(M_i)\}_{i\in I}=n < \infty$, 于是对$\forall i\in I$, $Gpd(M_i)\leq n$, 则存在某个$j\in I$, 使得$Gpd(M_j)=n$.根据定理1.3, 对于任意的投射模(根据假设是纯内射的)和$\forall i\in I, s>n$, 有${\rm Ext}^s_R(M_i, P)=0$且对$j\in I$, ${\rm Ext}^n_R(M_j, R)\neq 0$.于是$\forall s>n$, ${\rm Ext}^s_R(\lim\limits_{\longrightarrow}M_i, P)\cong \lim\limits_{\longleftarrow}{\rm Ext}^s_R(M_i, P)=0$且${\rm Ext}^n_R(\lim\limits_{\longrightarrow}M_i, P)\neq 0$.再根据定理1.3有$Gpd\{\lim\limits_{\longrightarrow}M_i\}=n$.

注2 显然在满足引理2.5条件下, Goresntein投射模是保持正向极限的.一般情形, 关于Gorenstein投射模的正向极限尚没有很好的刻画.

注意一个Artin环是完全环也是Noether环, 当然是凝聚环, 故由前面的讨论Artin环上的每个投射模都是纯内射的, 于是利用上述引理可以证明如下的命题.

命题2.6 设环$R$是一个Gorenstein Artin环, 则有

$l.Ggld(R) = {\rm{sup}}\{ Gpd(S)|$其中$S$为任意的循环单左$R$ -模}.

证 首先, 考虑对任意的有限生成$R$ -模$M$, 由于$R$是Artin环, 于是存在$M$的合成列

$0= M_n\leq M_{n-1}\leq \cdots \leq M_1\leq M_0=M, $

使得对$0\leq i<n-1$, $M_i/M_{i+1}$是一个单模.考虑$M$的一个子模族$\{M_i\}_{0\leq i\leq n}$, 容易看出它满足定理2.2的条件, 这样$Gpd(M)\leq \sup\{Gpd(S)|S$是任意的单左$R$ -模}.

对任意的$ M\in \hbox{ModR}$, 由文[12]的练习2.32, $M=\lim\limits_{\longrightarrow}M_i$, 其中$\{M_i\}_{i\in I}$为$M$的所有有限生成子模构成的子模族.于是由引理2.5得到

$Gpd(M)=\sup {{\{Gpd({{M}_{i}})\}}_{i\in I}}\le \sup \{Gpd(S)|S$为任意的单左$R$ −模},

于是$l.Ggld(R)=\sup\{Gpd(M)|M$为任意的左$R$ -模}$\le \sup \{Gpd(N)|N$为任意有限生成的左R -模$\}\le \sup \{Gpd(S)|S$为任意的单左R -模$\}\le l.Ggld(R).$

$故$l.Ggld(R)=\sup \{Gpd(S)|$其中$S$为任意的单左$R$ -模$\}$.$

下面将上述定理中的“Gorenstein”条件去掉.易知, 对于双边Noether环上的有限生成模, 它是$G$ -维数为0的当且仅当它是Gorenstein投射模, 于是由文[13]有如下的定理.

定理2.7 (见文[13]中定理3.6) 设$R$是一个Artin环, $k$为一个非负整数, 下列条件等价:

(1) $l.id_RR=r.id_RR=k$, 即$R$是Gorenstein环;

(2) 每个mod$R$中的模都有不超过$k$的Gorenstein投射维数.

为了证明下面的定理, 下述引理是需要的.

引理2.8^[4] 设$0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0$为一个短正合列, 如果$A, B, C$中有两个具有有限的Gorenstein投射维数, 则第三个模也有有限的Gorenstein投射维数.

定理2.9 设$R$为一个Artin环, 则

$l.Ggld(R)=\sup\{Gpd(S)|$其中$S$为任意的单左$R$ -模 $\}=l.Gpd(R/J)$.

证 若$\sup\{Gpd(S)|$其中$S$为任意的单左$R$ -模$\}=\infty $, 根据$l.Ggld(R)$的定义, 显然有$l.Ggld(R)=\infty$.

假设$\sup\{Gpd(S)|$其中$S$为任意的单左$R$ -模$\}=n<\infty $.对任意的有限生成左$R$ -模$M$, 存在$M$的合成列

$0= M_n\leq M_{n-1}\leq \cdots \leq M_1\leq M_0=M, $

使得对$0\leq i<n-1$, $M_i/M_{i+1}$是一个单模.考虑正合列

$0\rightarrow M_{n-1}\rightarrow M_{n-2}\rightarrow M_{n-2}/{M_{n-1}}\rightarrow 0, $

其中$M_{n-1}, M_{n-2}/{M_{n-1}}$为单模.由假设$Gpd(M_{n-1})\leq n$, $ Gpd(M_{n-2}/{M_{n-1}})\leq n$, 这样利用引理2.8, 则有$Gpd(M_{n-2})<\infty $.由定理1.3对$\forall i>n$和任意的投射$P$, 有

$\hbox{Ex}t^i_R(M_{n-1}, P)=0=\hbox{Ext}^i_R(M_{n-2}/{M_{n-1}}, P).$

于是根据长正合列定理, 对$\forall i>n$和任意的投射模$P$, 有${\rm Ext}^i_R(M_{n-2}, P)=0$, 再由定理1.3, 得到$Gpd(M_{n-2})\leq n $.重复上面的过程得到$Gpd(M)\leq n$, 利用$M$的任意性和定理2.7, $R$是一个Gorenstein环, 于是由命题2.6得到

$l.Ggld(R)=\sup \{Gpd(S)|$其中$S$为任意的单左$R$ -模$\}$.

综上, $l.Ggld(R)=\sup\{Gpd(S)|$其中$S$为任意的单左$R$ -模$\}$.

由于$R$是Artin环, $R/J$是半单的, 且是一些单左$R$ -模的直和.利用文[4]的定理2.19容易得到第二个等式成立.