假设一家公司面临选择出口产品, 还是进入外国市场直接投资生产销售的问题. 由于预 测外国经济、政治的稳定性比本国难, 所以公司若要进行跨国直接投资, 将会面临更多的不确定, 这样就会直接导致预测在东道国赚得的利润时产生不确定. Aizenman 和Marion^[1] 指出当分析跨国直接投资时, 专注于不确定是重要的. 因为一般来说, 跨国直接投资的东道国是发展中国家, 发展中国家的商业经营被认为比发达国家更不确定. 因此, 如果更多的不确定对发达国家进行跨国直接投资有负面影响, 那么就可能会阻碍发展中国家的经济发展, 这就意味着发展中国家应该采取政策鼓励跨国直接投资.

Aizenman和Marion^[1] 基于美国跨国公司的数据发现风险对跨国直接 投资有负面影响. 而Pennings^[2] 分析了风险增加对东道国法人税税率的影响, 并表明风险的增加会使得法人税税率增加. 近些年来, 许多学者 将不确定性的概念推广到含糊(ambiguity)的概念. Ellsberg^[3] 提出了风险和含糊之间的区别, 为人们趋向于喜欢对已知, 而不是未知做出行动的事实提供了证据. Gilboa和Schmeidler^[4] 为了克服Ellsberg的悖论, 公理化了最大最小期望效用(MMEU), 而 MMEU会加深对决策者含糊下行为的理解. Nishimura和Ozaki^[5] 表明奈特不确定对不可逆投资机会价值的影响与 风险形式的传统不确定性是截然不同的. Asano^[6] 采用了由Chen和Epstein^[7] 提出的连续时间模型. 他研究了一家公司在含糊条件下进行一个不可逆跨 国直接投资的最优时间和东道国的最优税收政策, 并分析了含糊性的增加对最优税收政策的影响. 赵果庆^[8] 研究了我国FDI与GDP增长之间的关系 问题. 赵燕和赵增耀^[9] 从理论上分析了金融市场因素对于FDI促进经济增长的影响, 并 对中美两国数据进行了实证检验. 廖利兵和曹标^[10] 在跨国投资理论基础上融入 了国际贸易, 用以研究多国(地区)制造业企业进入中国市场的方式. 通过梳理一般产业均衡模型分析企业选择出口还是水平型FDI的内在机制, 在此基础上进行了实证检验. 费宇和 王江^[11] 运用面板平滑转换(PSTR)模型研究国外直接投资(FDI)对我国各地区经 济增长的非线 性效应. 杨林^[12] 着重分析了FDI流入中国的产业经济学基础, 同时对FDI对中国经济 的影响做了分析. 另一方面, 通货膨胀风险及其规避问题是学术界和业界普遍关心的问题. 根据已有的研究成果, 可以看出通 货膨胀对决策也存在一定的影响. Fama和Schwert^[13] 估计了1953--1971年期间不同的资产对冲 预期和非预期通胀的程度. 戴国强和张建华^[14] 检验了我国资产价格与通货膨胀的关系. Fei^[15] 在 带有马尔科夫机制 和通胀的金融市场下给出通胀环境下的预期消费贴现效用最大化问题, 并给出了最优消费和投资组合策略. 费为银和李淑娟^[16] 研究 了奈特不确定下带通胀的最优消费和投资模型, 并分析了含糊和通胀等因素对最优消费和投资决 策的影响. 费为银等^[17] 分析了奈特不确定及机制转换环境下带通胀的最优投资问题. 而通过对 已有经济数据的分析, 不难发现, 在现实经济环境中通货膨胀或通 货紧缩对投资决策存在一定程度的影响.

通过上述文献综述分析, 发现通胀和含糊很大程度上会影响投资者的最优资产配置策略. 本文研究了含糊下带通胀的跨国直接投资问题. 对现有模型进行了推广, 在理论上推导出了在含糊条件下考虑通胀因素时, 公司进 行跨国直接投资的最优时间, 以及由出口转向跨国直接投资时的最优GDP水平. 分析含糊和随机通胀波动率等参数 对公司决策的影响, 得出一些有重要经济意义的结论.

在本文中, 现有一家公司, 假设从第三国出口的费用极端昂贵, 那么仅考虑存在两个国家的情形, 这就意味着它仅仅有益于公司从本国出口商品或进行跨国直接投资在东道国生产. 也就是说, 这家公司必须决定是将产品出口到东道国, 还是进入奈特不确定环境下采取跨国 直接投资的市场. 在这里跨国直接投资是不可逆的, 其意义在于一旦公司决定停止在东道国 的投入转向出口时, 投入的费用不能被收回. 假设公司的决策依赖于直接影响其利润的东道 国 GDP 水平的变化. 其 GDP 水平的演变过程服从几何布朗运动, 公司对于 GDP 水平的变 化并不是完全信任的. 换句话说这个公司面临着含糊. 本文中跨国直接投资的含糊是由东道 国 GDP 水平的增长来表示的.

假设在概率空间$(\Omega ,{\mathcal F},P)$ 上定义两个标量Wiener过程$w_{I} (t)$和$w(t)$ , $w_{I} (t)$ 构建通胀的随机状态, $(w(t))_{0\le t\le T} $ 是关于 $P$ 的标准布朗运动, $({\mathcal F}_{t} )_{0\le t\le T} $是由$(w_{I} (t))_{0\le t\le T} $和$(w(t))_{0\le t\le T} $生成的基本信息流. 由于通货膨胀与金融市场有关, 因此$w_{I} (t)$和$w(t)$相关. 由费为银和李淑娟^[16]可知东道国的对数 消费篮子价格的动力学可以表示为

$\begin{equation}\label{(1)} dL(t)=(\psi-\frac{1}{2} \xi ^{2} )dt+\xi dw_{I} (t), \end{equation}$

(2.1)

其中$\psi $和$\xi $是常数, 实数$\psi $表示预期通胀率, $\xi $是通胀波动率. 因为消费篮子价格通常是上升的, 所以$\psi >0$. 向量${\epsilon }$表示$w_{I} (t)$和$w(t)$之间的相关系数, 即

$E[dw(t)dw_{I}(t)]={\epsilon }dt.$

记$Y_{t} $是$t$时刻东道国GDP水平的变化, 假设GDP水平的变化$(Y_{t} )_{0\le t\le T} $服从几何布朗运动 $dY_{t} =\mu Y_{t} dt+\sigma Y_{t}dw(t), $ 其中$\mu $和$\sigma $是常数. 因为几何布朗运动在无限期限内是上方无界的, 所以GDP水平服从几何布 朗运动的这个假设可以看成是在短、中期运作中GDP水平变化的近似.

设$\Theta $是密度生成元集. 对于这样的集合, 令

$dB(t)\triangleq \frac{\sigma dw(t)-\xi dw_{I} (t)}{\sqrt{\xi ^{2} +\sigma ^{2} -2\xi \sigma{\epsilon }} }, $

则$B(t)$为标准布朗运动, 在$(\Omega ,{\mathcal F}_{T} )$上定义由$\Theta $生成的概率测度集$\mathcal {P}^{\Theta}=\{ \left. Q^{\theta } \right|\theta \in \Theta \} $, 其中$Q^{\theta } $由下式给出

$\frac{dQ^{\theta } }{dP} =\exp \left\{-\frac{1}{2} \int _{0}^{t}\left|\theta _{s} \right|^{2} ds -\int _{0}^{t}\theta _{s} dB(s) \right\}. $

为了分析MMEU框架中含糊条件下的行为, 假设用相当于一个概率测度P的概率测度集 来刻画决策者的信仰. 如果概率测度集$\mathcal {P}^{\Theta} $通过密度生成元集$\Theta $变大, 那么这就意味着决策者要考虑许多情况, 包括最好和最坏的情况.

引入下面由Chen和Epstein^[7]提出的密度生成元类. 引入i.i.d.含糊的概念是为了分析解决动态最优化问题. 设${\mathcal L}$是$(\Omega ,{\mathcal F}_{t} ,P)$上实值可测, ${\mathcal F}_{t} $适应的随机过程集, ${\mathcal L}^{2} $是${\mathcal L}$的一个子集, 定义为

${\rm {\mathcal L}}^{2} {\rm =}\left\{\left(\theta _{t} \right)_{0\le t\le T} \in {\rm {\mathcal L}}\left|\int _{0}^{T}\theta _{t}^{2} dt<+\infty, P-{\hbox{a.s.}} \right. \right\}.$

若存在${\mathbb R}$上的一个紧子集K使得$0\in K$, 且 $\Theta ^{K} {\rm }=\{ \left. (\theta _{t} )\in {\rm {\mathcal L}}^{2} \right|\theta _{t} \in K (l\otimes P)-{\hbox{a.s.}}\},$ 其中$l$表示${\mathcal B}([0,T])$上的Lebesgue测度, ${\mathcal B}([0,T])$表示包含$[0,T]$的最小Borel$\sigma$ -代数. 由$\Theta ^{K} $刻画的含糊叫做i.i.d.含糊. 集合$\Theta ^{K} $是状态、时间独立的, $\kappa$ -无知是i.i.d.含糊$\Theta ^{K} $的一种特殊情形. 在$\kappa$ -无知的情况下, 可以将含糊的程度参数化. 关于$\kappa$ -无知的$K$可以表示为对所有$\kappa >0$, $K=[-\kappa, \kappa ]$. 而且因为$\kappa $越大, 概率测度集也越大, 所以正实数$\kappa $就表示含糊度. 通过考虑$\kappa$ -无知的情形, 可以静态分析比较含糊的影响.

通过Girsanov定理, 可知$Q^{\theta } $下的标准布朗运动为

$B(t)^{\theta } =B(t)+\int _{0}^{t}\theta (s)ds. $

另一方面, 根据Itô公式, 结合(2.1)式可得

$\begin{array}{rcl} de^{-L(t)}&&=-e^{-L(t)} dL(t)+\frac{1}{2} e^{-L(t)} \xi ^{2} dt =e^{-L(t)} (dL(t)-\frac{1}{2} \xi ^{2} dt) \\ & &=e^{-L(t)} ((\psi -\frac{1}{2} \xi ^{2} )dt+\xi dw_{I} (t)-\frac{1}{2} \xi ^{2} dt) =e^{-L(t)} ((\psi -\xi ^{2} )dt+\xi dw_{I} (t)). \end{array}$

记$\tilde{Y}_{t} \triangleq e^{-L(t)} Y_{t} $, 于是

$ \begin{array}{rcl} && d\tilde{Y}_{t}=d(e^{-L(t)} Y_{t} ) =Y_{t} de^{-L(t)} +e^{-L(t)} dY_{t} +de^{-L(t)} dY_{t} \\ &&=-e^{-L(t)} Y_{t} \left((\psi -\xi ^{2} )dt+\xi dw_{I} (t)\right)+e^{-L(t)} Y_{t} (\mu dt+\sigma dw(t)) -e^{-L(t)} \xi \sigma Y_{t} dw(t)dw_{I} (t) \\ &&=-\tilde{Y}_{t} \left((\psi -\xi ^{2} )dt+\xi dw_{I} (t)\right)+\tilde{Y}_{t} (\mu dt+\sigma dw(t))-\tilde{Y}_{t} \xi \sigma dw(t)dw_{I} (t) \\ &&=\tilde{Y}_{t} [(\xi ^{2} -\psi +\mu -\xi \sigma {\epsilon})dt+(\sigma dw(t)-\xi dw_{I} (t))] \\ &&=\tilde{Y}_{t} [(\xi ^{2} -\psi +\mu -\xi \sigma {\epsilon })dt+\sqrt{\xi ^{2} +\sigma ^{2} -2\xi \sigma {\epsilon}} dB(t)] \\ &&=\tilde{Y}_{t} \left(\tilde{\mu }dt+\tilde{\sigma }dB(t)\right), \end{array} $

其中$\tilde{\mu }=\xi ^{2} -\psi +\mu -\xi \sigma {\epsilon }$, $\tilde{\sigma }=\sqrt{\xi ^{2} +\sigma ^{2} -2\xi \sigma {\epsilon }} $, 则在$Q^{\theta } $下有

$ \begin{array}{rcl} d\tilde{Y}_{t}&=&\tilde{Y}_{t} \left(\tilde{\mu }dt+\tilde{\sigma }dB(t)\right) \\ &=&\tilde{Y}_{t} \left(\tilde{\mu }dt+\tilde{\sigma }(dB_{t} ^{\theta } -\theta _{t} dt)\right) \\ &=&\tilde{Y}_{t} \left(\left(\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta _{t} \right)dt+\tilde{\sigma }dB_{t} ^{\theta } \right). \end{array}\ $

因此$Q^{\theta } $下带通胀折现的利润流$\tilde{Y}_{t} $动力学方程为

$ d\tilde{Y}_{t} =\tilde{Y}_{t} \left(\left(\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta _{t} \right)dt+\tilde{\sigma }dB_{t} ^{\theta } \right), $

再由Itô公式, 可推出含糊条件下带通胀折现的利润流的动力学方程为

$\tilde{Y}_{t} =\tilde{Y}_{0} \exp \left((\tilde{\mu }-\frac{1}{2} \tilde{\sigma }^{2} )t-\tilde{\sigma }\int _{0}^{t}\theta _{s} ds+ \tilde{\sigma }dB_{t} ^{\theta } \right), \forall t\ge 0. $

(2.2)

Pennings^[2] 认为商业公司的产业远小于整个经济系统, 以至于产业中的价格变化并不会影响其他产业的价格. 因此, 可以用部分均衡来分析, 假设一个典型的家庭是下面效用函数$U:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$的最大化:

$U(x,m)=u(x+m),$

其中$u:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$是幸福函数, x 是某商品的消费量, m 表示所有其他商品的总消费额. 在标准模型中, 假设幸福函数u对于所有的x≥0 有${{u}^{'}}(x)>0,{{u}^{n}}(x)\le 0,$那么这个典型家庭的逆需求函数是 ${{u}^{'}}(x)=q,$ 其中 q 是商品的消费价格.

如果公司进行出口的话, 商品的消费价格$q=q^{E} =p^{E} +n$, 如果公司采取跨国直接投资, 那么$q=q^{F} =p^{F} $, 其中$p^{E} $和$p^{F} $分别表示出口和跨国直接投资时的生产价格, $n\ge 0$表示交易费用, 它包括运输费用$n_{1} \ge 0$和特定关税$n_{2} \ge 0$, 而且$n=n_{1} +n_{2} $. 由此, 可以知道如果公司采取跨国直接投资并在东道国生产产品, 那么$n=0$. 设$c^{E} $和$c^{F} $分别表示在本国工厂和外国工厂生产的常临界成本. 正如Blanchard^[18]中的假设, 真实的利润 是一个关于产量的增函数, 本文假设投资利润是由整个GDP水平的一部分来构造的, 即$\lambda Y_{t} $, $0<\lambda <1$. 如果公司进行出口, 那么每一单位家庭, 公司最大的税前和关税前利润是$\hat{\pi }^{E} =(\hat{p}^{E} -c^{E} )x(\hat{q}^{E} )$, 而如果采取跨国直接投资并在东道国生产产品, 那就有$\hat{\pi }^{F} =(\hat{p}^{F} -c^{F} )x(\hat{q}^{F} )$, 其中$\hat{p}^{E} $和$\hat{p}^{F} $分别表示出口和跨国直接投资时, 使每一单位家庭税前和关税前利润最大化的生产价格, $\hat{q}^{E} =\hat{p}^{E} +n$, $\hat{q}^{F} =\hat{p}^{F} $.

当公司采取跨国直接投资时, 她需要支付在东道国建立工厂的成本$I(I\ge 0)$. 而且她还需要缴纳从跨国直接投资中获得的利润的法人税$0\le \tau _{1} \le 1$和东道国的一次性付清税（或津贴、补贴）$\tau _{2} \ge 0$ (或$-I\le \tau _{2} \le 0$). 另一方面, 她需要缴纳从本国出口所获利润的法人税$0\le \tau _{0} \le 1$.

假设公司是含糊厌恶的, 也就是说, 她的信仰是由概率测度集表示的, 并使$\mathcal {P}^{\Theta}$上的期望利润下确界最大化. 此外, 假设含糊由i.i.d.含糊刻画, 生产计划期为无限, 而且工厂永远不会完全贬值, 公司的折现率$r>\tilde{\mu }$. 因此, $t$时刻进行跨国直接投资的价值为

$\begin{array}{l}\displaystyle {V_{t} \equiv V(\tilde{Y}_{t} ) =\mathop{\inf }\limits_{{\rm {\mathcal Q}}\in \mathcal {P}^{\Theta} } E^{Q} [\int _{t}^{\infty }e^{-r(s-t)} \tilde{Y}_{s} ((1-\tau _{1} )\hat{\pi }^{F} -(1-\tau _{0} )\hat{\pi }^{E} ) ds\left|{\rm {\mathcal F}}_{t} \right. ]} \\ {{\rm }=\displaystyle\mathop{\inf }\limits_{{\rm {\mathcal Q}}\in \mathcal {P}^{\Theta} } E^{Q} [\int _{t}^{\infty }e^{-r(s-t)} \tilde{Y}_{s} A ds\left|{\rm {\mathcal F}}_{t} \right. ],} \end{array}$

其中$A=(1-\tau _{1} )\hat{\pi }^{F} -(1-\tau _{0} )\hat{\pi }^{E} $.

命题1 假设公司是含糊厌恶的, 其信仰由$\Theta ^{K} $来刻画, 则含糊下$t$时刻进行跨国直接投资的价值为

$\begin{equation}\label{(3)} V(\tilde{Y}_{t} )=\frac{A\tilde{Y}_{t} }{r-\left(\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta ^{*} \right)}, \end{equation}$

(3.1)

其中$\theta ^{*} \equiv \arg \max \{ \tilde{\sigma }x\left|x\in K\right. \} =\max K$.

证 设$s\ge t$, $\theta, \theta ^{*}\in \Theta $, 满足

$ \exp (-\int _{t}^{s}\tilde{\sigma }\theta _{\rho } d\rho +\tilde{\sigma }(B_{s}^{\theta } -B_{t}^{\theta } ))\ge \exp (-\int _{t}^{s}\tilde{\sigma }\theta _{\rho }^{*} d\rho +\tilde{\sigma }(B_{s}^{\theta } -B_{t}^{\theta } )), $

则由条件期望的单调性知

$\begin{array}{l} {E^{Q^{\theta } } \displaystyle[\exp (-\int _{t}^{s}\tilde{\sigma }\theta _{\rho } d\rho +\tilde{\sigma } (B_{s}^{\theta } -B_{t}^{\theta } ))\left|{\rm {\mathcal F}}_{t} \right. ]\ge E^{Q^{\theta } } [\exp (-\int _{t}^{s}\tilde{\sigma }\theta _{\rho }^{*} d\rho +\tilde{\sigma }(B_{s}^{\theta } -B_{t}^{\theta } )) \left|{\rm {\mathcal F}}_{t} \right. ]} \\ {{\rm }=\displaystyle \exp \left(-\int _{t}^{s}\tilde{\sigma }\theta _{\rho }^{*} d\rho \right)\exp \left(\frac{1}{2} \tilde{\sigma }^{2} (s-t)\right)} \\ {{\rm }=E^{Q^{\theta ^{*} } } [\exp (-\int _{t}^{s}\tilde{\sigma }\displaystyle\theta _{\rho }^{*} d\rho +\tilde{\sigma }(B_{s}^{\theta ^{*} } -B_{t}^{\theta ^{*} } ))\left|{\rm {\mathcal F}}_{t} \right. ].} \end{array}$

由条件期望Fubini定理可得

$\begin{array}{l} {V_{t}\displaystyle =\mathop{\inf }\limits_{{\rm {\mathcal Q}}\in \mathcal {P}^{\Theta} } E^{Q^{\theta } } [\int _{t}^{\infty }e^{-r(s-t)} \tilde{Y}_{s} A ds\left|{\rm {\mathcal F}}_{t} \right. ]} \\ {{\rm }=\displaystyle\mathop{\inf }\limits_{{\rm {\mathcal Q}}\in \mathcal {P}^{\Theta} } \int _{t}^{\infty }E^{Q^{\theta } } [e^{-r(s-t)} \tilde{Y}_{s} A\left|{\rm {\mathcal F}}_{t} \right. ] ds.} \end{array}$

再结合(2.2)式, 有

$\begin{array}{l} {V_{t} =\displaystyle\mathop{\inf }\limits_{{\rm {\mathcal Q}}\in \mathcal {P}^{\Theta} } \int _{t}^{\infty }\tilde{Y}_{t} A\exp ((\tilde{\mu }-r-\frac{1}{2} \tilde{\sigma }^{2} )(s-t))E^{Q^{\theta } } [\exp (-\int _{t}^{s}\tilde{\sigma }\theta _{\rho } d\rho +\tilde{\sigma }(B_{s}^{\theta } -B_{t}^{\theta } ))\left|{\rm {\mathcal F}}_{t} \right. ] ds} \\ \displaystyle{{\rm }=\displaystyle\int _{t}^{\infty }\tilde{Y}_{t} A\exp ((\tilde{\mu }-r-\frac{1}{2} \tilde{\sigma }^{2} )(s-t))E^{Q^{\theta ^{*} } } [\exp (-\int _{t}^{s}\tilde{\sigma }\theta _{\rho }^{*} d\rho +\tilde{\sigma }(B_{s}^{\theta ^{*} } -B_{t}^{\theta ^{*} } ))\left|{\rm {\mathcal F}}_{t} \right. ] ds} \\ {{\rm }=\displaystyle\int _{t}^{\infty }\tilde{Y}_{t} A\exp ((\tilde{\mu }-r-\frac{1}{2} \tilde{\sigma }^{2} )(s-t)-\int _{t}^{s}\tilde{\sigma }\theta _{\rho }^{*} d\rho )E^{Q^{\theta ^{*} } } [\exp \tilde{\sigma }(B_{s}^{\theta ^{*} } -B_{t}^{\theta ^{*} } )\left|{\rm {\mathcal F}}_{t} \right. ] ds} \\ {{\rm }=\displaystyle\int _{t}^{\infty }\displaystyle\tilde{Y}_{t} A\exp ((\tilde{\mu }-r-\frac{1}{2} \tilde{\sigma }^{2} )(s-t)-\int _{t}^{s}\tilde{\sigma }\theta _{\rho }^{*} d\rho )\exp (\frac{1}{2} \tilde{\sigma }^{2} (s-t)) ds} \\ {{\rm }=\displaystyle\int _{t}^{\infty }\tilde{Y}_{t} A\exp ((\tilde{\mu }-r)(s-t)-\int _{t}^{s}\tilde{\sigma }\theta _{\rho }^{*} d\rho ) ds} \\ {{\rm }=\displaystyle\frac{A\tilde{Y}_{t} }{r-\left(\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta ^{*} \right)} .} \end{array}$

证毕.

下面将给出含糊条件下对跨国直接投资的价值进一步的刻画, 并分析解出HJB方程. 公司面临 的问题是在含糊条件下如何确定出口与跨国直接投资之间转换的那个时间点. 因此 找一停时$t'$ , 使 跨国直接投资在0时刻的价值最大化

$\mathop{\min }\limits_{{\rm {\mathcal Q}}\in \mathcal {P}^{\Theta} } E^{Q} [\int _{t'}^{\infty }e^{-rs} \tilde{Y}_{s} A ds-e^{-rt'} (I+\tau _{2} )\left|{\rm {\mathcal F}}_{0} \right. ].$

因此用$F_{t} $ 表示在含糊条件下跨国直接投资在$t$ 时刻价值的最大值, 即

$\begin{equation} \label{GrindEQ__4_} F_{t} =\mathop{\max }\limits_{t'\in [t,\infty )} \mathop{\min }\limits_{{\rm {\mathcal Q}}\in \mathcal {P}^{\Theta} } E^{Q} [\int _{t'}^{\infty }e^{-r(s-t)} \tilde{Y}_{s} A ds-e^{-r(t'-t)} (I+\tau _{2} )\left|{\rm {\mathcal F}}_{t} \right. ]. \end{equation}$

(3.2)

命题 2 假设奈特不确定由i.i.d.含糊刻画, 生产计划期为无限, 而且工厂永远不会完全贬值. 在这三个假设条件下, $F_{t} $ 是稳定的, 即可将$F_{t} $ 看作$F_{t} =F(V_{t} )$ , 其中$F:{\mathbb R}_{+} \to {\mathbb R}$ 是某实函数. 因此可以得到在含糊条件下跨国直接投资在$t$ 时刻价值的最大值的HJB方程

$\begin{equation} \label{GrindEQ__5_} F(V_{t} )=\max \left\{V_{t} -(I+\tau _{2} ),\mathop{\min }\limits_{\theta \in \Theta } E^{Q^{\theta } } [dF(V_{t} )\left|{\mathcal F}_{t} \right. ]+F(V_{t} )-rF(V_{t} )dt\right\}. \end{equation}$

(3.3)

证 由矩形性(参见Asano^[6]中引理4)和(3.2)式得

$\begin{array}{l} {F_t} = \max \left\{ {\mathop {\min }\limits_{{\cal Q} \in {{\cal P}^\Theta }} {E^Q}[\int_t^\infty {{e^{ - r(s - t)}}} {{\tilde Y}_s}Ads\left| {{{\cal F}_t}} \right.] - (I + {\tau _2}),} \right.\;\;\;\;\;\\ \;\left. {\mathop {\max }\limits_{t' \ge t + dt} \mathop {\min }\limits_{{\cal Q} \in {{\cal P}^\Theta }} {E^Q}\left[ {\int_{t'}^\infty {{e^{ - r(s - t)}}} {{\tilde Y}_s}Ads - {e^{ - r(t' - t)}}(I + {\tau _2})\left| {{{\cal F}_t}} \right.} \right]} \right\}\\ = \max \left\{ {{V_t} - (I + {\tau _2}),\mathop {\max }\limits_{t' \ge t + dt} \mathop {\min }\limits_{{\cal Q} \in {{\cal P}^\Theta }} {E^Q}\left[ {\int_{t'}^\infty {{e^{ - r(s - t)}}} {{\tilde Y}_s}Ads - {e^{ - r(t' - t)}}(I + {\tau _2})\left| {{{\cal F}_t}} \right.} \right]} \right\}\;\\ = \max \left\{ {{V_t} - (I + {\tau _2}),\mathop {\max }\limits_{t' \ge t + dt} \mathop {\min }\limits_{\theta \in \Theta } {E^{{Q^\theta }}}\left[ {\int_{t'}^\infty {{e^{ - r(s - t)}}} {{\tilde Y}_s}Ads - {e^{ - r(t' - t)}}(I + {\tau _2})\left| {{{\cal F}_t}} \right.} \right]} \right\}\\ \;\;\; = \max \left\{ {{V_t} - (I + {\tau _2}),} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;{e^{ - rdt}}\mathop {\max }\limits_{t' \ge t + dt} \mathop {\min }\limits_{\theta \in \Theta } {E^{{Q^\theta }}}\left[ {{E^{{Q^\theta }}}\left[ {\int_{t'}^\infty {{e^{ - r(s - t - dt)}}} {{\tilde Y}_s}Ads - {e^{ - r(t' - t - dt)}}(I + {\tau _2})\left| {{{\cal F}_{t + dt}}} \right.} \right]\left| {{{\cal F}_t}} \right.} \right]\} \\ \;\;\; = \max \{ {V_t} - (I + {\tau _2}),\;\;\;\;\;\;\\ \;\;{e^{ - rdt}}\mathop {\max }\limits_{t' \ge t + dt} \mathop {\min }\limits_{\theta \in \Theta } {E^{{Q^\theta }}}\left[ {\mathop {\min }\limits_{\theta ' \in \Theta } {E^{{Q^{\theta '}}}}\left[ {\int_{t'}^\infty {{e^{ - r(s - t - dt)}}} {{\tilde Y}_s}Ads - {e^{ - r(t' - t - dt)}}(I + {\tau _2})\left| {{{\cal F}_{t + dt}}} \right.} \right]\left| {{{\cal F}_t}} \right.} \right]\} \\ \;\;\; = \max \{ {V_t} - (I + {\tau _2}),\;\;\;\;\;\\ \;\;\;{e^{ - rdt}}\mathop {\min }\limits_{\theta \in \Theta } {E^{{Q^\theta }}}\left[ {\mathop {\max }\limits_{t' \ge t + dt} \mathop {\min }\limits_{\theta ' \in \Theta } {E^{{Q^{\theta '}}}}\left[ {\int_{t'}^\infty {{e^{ - r(s - t - dt)}}} {{\tilde Y}_s}Ads - {e^{ - r(t' - t - dt)}}(I + {\tau _2})\left| {{{\cal F}_{t + dt}}} \right.} \right]\left| {{{\cal F}_t}} \right.} \right]\} \;\;\;\\ = \max \left\{ {{V_t} - (I + {\tau _2}),{e^{ - rdt}}\mathop {\min }\limits_{\theta \in \Theta } {E^{{Q^\theta }}}[{F_t} + d{F_t}\left| {{{\cal F}_t}} \right.]} \right\}\;\;\\ \; = \max \left\{ {{V_t} - (I + {\tau _2}),(1 - rdt)\left( {\mathop {\min }\limits_{\theta \in \Theta } {E^{{Q^\theta }}}[d{F_t}\left| {{{\cal F}_t}} \right.] + {F_t}} \right)} \right\}\;\;\;\\ = \max \left\{ {{V_t} - (I + {\tau _2}),\mathop {\min }\limits_{\theta \in \Theta } {E^{{Q^\theta }}}[d{F_t}\left| {{{\cal F}_t}} \right.] + {F_t} - r{F_t}dt} \right\}. \end{array}$

证毕.

因此 在继续投资期内, 跨国直接投资获得的最小期望资金等同于按公司折现率权衡所需的机会成本, 即

$\begin{equation} \label{GrindEQ__6_} \mathop{\min }\limits_{\theta \in \Theta } E^{Q^{\theta } } [dF_{t} \left|{\mathcal F}_{t} \right. ]=rF_{t} dt. \end{equation}$

(3.4)

再由Itô引理, 结合(2.2)和(3.1)式, 得

$\begin{eqnarray*}&& dV_{t} =\frac{A}{r-\left(\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta ^{*} \right)} d\tilde{Y}_{t} =\left(\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta \right)V_{t} dt+\tilde{\sigma }V_{t} dB_{t} ^{\theta }, \\ && (dV_{t} )^{2} =\tilde{\sigma }^{2} V_{t} ^{2} (dB_{t} ^{\theta } )^{2} =\tilde{\sigma }^{2} V_{t} ^{2} dt,\end{eqnarray*}$

其中$V_{0} =\frac{AY_{0} }{r-\left(\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta ^{*} \right)} $ . 再运用Itô引理可知(假设$F'_{t} $ 为正)

$\begin{array}{l} {dF_{t} =F_{t} ^{{'} } dV_{t} +\frac{1}{2} F_{t} ^{{'} {'} } (dV_{t} )^{2} =F_{t} ^{{'} } \left(\left(\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta \right)V_{t} dt+\tilde{\sigma }V_{t} dB_{t} ^{\theta } \right)+\frac{1}{2} F_{t} ^{{'} {'} } \tilde{\sigma }^{2} V_{t} ^{2} dt.} \end{array}$

在继续投资期内, 有

$\begin{equation} \label{GrindEQ__7_} \mathop{\min }\limits_{\theta \in \Theta } E^{Q^{\theta } } [dF_{t} \left|{\mathcal F}_{t} \right. ]=\mathop{\min }\limits_{\theta \in \Theta } E^{Q^{\theta } } [F_{t} ^{{'} } \left(\left(\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta \right)V_{t} dt+\tilde{\sigma }V_{t} dB_{t} ^{\theta } \right)+\frac{1}{2} F_{t} ^{{'} {'} } \tilde{\sigma }^{2} V_{t} ^{2} dt\left|{\mathcal F}_{t} \right]. \end{equation}$

(3.5)

由于$B_{t} ^{\theta } $ 是关于$Q^{\theta } $ 的布朗运动, 所以(3.5)式可表示为

$\begin{equation} \label{GrindEQ__8_} \mathop{\min }\limits_{\theta \in \Theta } E^{Q^{\theta } } [dF_{t} \left|{\mathcal F}_{t} \right. ]=\mathop{\min }\limits_{\theta \in \Theta } F_{t} ^{{'} } \left(\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta \right)V_{t} dt+\frac{1}{2} F_{t} ^{{'} {'} } \tilde{\sigma }^{2} V_{t} ^{2} dt. \end{equation}$

(3.6)

因为$F_{t} ^{{'} } $ 为正, $\theta ^{*} \equiv \max K$ , 所以(3.6)式可表示为

$\mathop{\min }\limits_{\theta \in \Theta } E^{Q^{\theta } } [dF_{t} \left|{\mathcal F}_{t} \right. ]=F_{t} ^{{'} } \left(\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta ^{*} \right)V_{t} dt+\frac{1}{2} F_{t} ^{{'} {'} } \tilde{\sigma }^{2} V_{t} ^{2} dt, $

进而可得

$\frac{1}{2} F_{t} ^{{'} {'} } \tilde{\sigma }^{2} V_{t} ^{2} dt+F_{t} ^{{'} } \left(\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta ^{*} \right)V_{t} dt-\mathop{\min }\limits_{\theta \in \Theta } E^{Q^{\theta } } [dF_{t} \left|{\mathcal F}_{t} \right. ]=0. $

由(3.4)式可得

$\begin{equation} \label{GrindEQ__9_} \frac{1}{2} F_{t} ^{{'} {'} } \tilde{\sigma }^{2} V_{t} ^{2} +F_{t} ^{{'} } \left(\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta ^{*} \right)V_{t} -rF_{t} =0. \end{equation}$

(3.7)

由(2.2)式知若$\tilde{Y}_{t} =0$ , 则$T\ge t$ 时, $\tilde{Y}_{T} =0$ , 即表示公司不该投资, 再由(3.2)式可知跨国直接投资的价值为$F(0)=0$ .

由(3.3)式可知 $F(V_{t}^{*} )=V_{t}^{*} -(I+\tau _{2} )$ . 因为公司进入市场后, 即$V_{t} =V_{t}^{*} $ 时, 会引发成本$I$ 和一次性付清税$\tau _{2} $ .

若在$V_{t}^{*} $ 时进入市场, 那么$F(V_{t} )$ 需在$V_{t}^{*} $ 处光滑通过, 于是$F'(V_{t}^{*} )=1$ . 所以得边界条件为

$\begin{equation} \label{GrindEQ__10_} \left\{\begin{array}{l} {F(0)=0,} \\ {F(V_{t}^{*} )=V_{t}^{*} -(I+\tau _{2} ),} \\ {F'(V_{t}^{*} )=1.} \end{array}\right. \end{equation}$

(3.8)

命题 3 在边界条件(3.8)下, 结合微分方程(3.7), 可得到HJB方程(3.3)的解

$ F(V_{t})= \begin{cases} V_{t}-(I+\tau_{2} ),\quad\quad\quad \ \ V_{t} \ge V_{t}^{*},\\ (\frac{I+\tau _{2} }{\alpha -1})^{1-\alpha }\alpha ^{-\alpha } (V_{t} )^{\alpha }, \quad \ \ V_{t} <V_{t}^{*}, \end{cases} $

其中$V_{t}^{*} =\frac{\alpha }{\alpha -1} (I+\tau _{2} )$ , $\alpha =\frac{-(\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta ^{*} -\frac{1}{2} \tilde{\sigma }^{2} )+\sqrt{(\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta ^{*} -\frac{1}{2} \tilde{\sigma }^{2} )^{2} +2r\tilde{\sigma }^{2} } }{\tilde{\sigma }^{2} } $ .

证 解微分方程(3.7). 假设其特征方程为

$\frac{1}{2} \tilde{\sigma }^{2} x(x-1)+\left(\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta ^{*} \right)x-r=0,$

即 $\frac{1}{2} \tilde{\sigma }^{2} x^{2} +\left(\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta ^{*} -\frac{1}{2} \tilde{\sigma }^{2} \right)x-r=0$ .

其解为

$\alpha =\frac{-(\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta ^{*} -\frac{1}{2} \tilde{\sigma }^{2} )+\sqrt{(\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta ^{*} -\frac{1}{2} \tilde{\sigma }^{2} )^{2} +2r\tilde{\sigma }^{2} } }{\tilde{\sigma }^{2} } , \\ \beta =\frac{-(\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta ^{*} -\frac{1}{2} \tilde{\sigma }^{2} )-\sqrt{(\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta ^{*} -\frac{1}{2} \tilde{\sigma }^{2} )^{2} +2r\tilde{\sigma }^{2} } }{\tilde{\sigma }^{2} } .$

由于

$\begin{array}{l} {\alpha =\frac{-(\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta ^{*} -\frac{1}{2} \tilde{\sigma }^{2} )+\sqrt{(\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta ^{*} -\frac{1}{2} \tilde{\sigma }^{2} )^{2} +2r\tilde{\sigma }^{2} } }{\tilde{\sigma }^{2} } } \\ {{\rm }>\frac{-(\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta ^{*} -\frac{1}{2} \tilde{\sigma }^{2} )+\sqrt{(\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta ^{*} -\frac{1}{2} \tilde{\sigma }^{2} )^{2} +2(\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta ^{*} )\tilde{\sigma }^{2} } }{\tilde{\sigma }^{2} } } \\ {{\rm }=\frac{-(\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta ^{*} -\frac{1}{2} \tilde{\sigma }^{2} )+\left|\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta ^{*} +\frac{1}{2} \tilde{\sigma }^{2} \right|}{\tilde{\sigma }^{2} } .} \end{array}$

若$\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta ^{*} \ge -\frac{1}{2} \tilde{\sigma }^{2} $ , 则

$\frac{-(\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta ^{*} -\frac{1}{2} \tilde{\sigma }^{2} )+\left|\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta ^{*} +\frac{1}{2} \tilde{\sigma }^{2} \right|}{\tilde{\sigma }^{2} } \ge 1.$

若$\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta ^{*} <-\frac{1}{2} \tilde{\sigma }^{2} $ , 则

$\frac{-(\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta ^{*} -\frac{1}{2} \tilde{\sigma }^{2} )+\left|\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta ^{*} +\frac{1}{2} \tilde{\sigma }^{2} \right|}{\tilde{\sigma }^{2} } >1.$

所以$\alpha >1$ . 同理

$\begin{array}{l} {\beta =\frac{-(\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta ^{*} -\frac{1}{2} \tilde{\sigma }^{2} )-\sqrt{(\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta ^{*} -\frac{1}{2} \tilde{\sigma }^{2} )^{2} +2r\tilde{\sigma }^{2} } }{\tilde{\sigma }^{2} } } \\ {{\rm }<\frac{-(\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta ^{*} -\frac{1}{2} \tilde{\sigma }^{2} )-\left|\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta ^{*} +\frac{1}{2} \tilde{\sigma }^{2} \right|}{\tilde{\sigma }^{2} } } \\ {{\rm }\le 0.} \end{array}$

此外, 容易证明由$V_{t}^{\alpha } $ 和$V_{t}^{\beta } $ 能够得到(3.7)的解, 而且$\forall V_{t} >0$ , $V_{t}^{\alpha } $ 和$V_{t}^{\beta } $ 的朗斯基行列式非零, 这里定义函数$f_{1} $ 和$f_{2} $ 的朗斯基行列式为$G(f_{1} ,f_{2} )=f_{1} f'_{2} -f'_{1} f_{2} $ , 而且$G(V_{t}^{\alpha } ,V_{t}^{\beta } )=(\beta -\alpha )V_{t}^{\alpha +\beta -1} $ .

因此(3.7)式的任意解可以用$V_{t}^{\alpha } $ 和$V_{t}^{\beta } $ 的线性关系式来表示, 即$F(V_{t} )=BV_{t}^{\alpha } +CV_{t}^{\beta } $ , 其中$B$ 和$C$ 为实数(参见Boyce and DiPrima^[19]定理3.4).

由于$\beta < 0$ , $F(0)=0$ , 所以$C=0$ , 从而$F(V_{t} )=BV_{t}^{\alpha } $ .

又因为$F(V_{t}^{*} )=V_{t}^{*} -(I+\tau _{2} )$ , $F'(V_{t}^{*} )=1$ , 所以

$\left\{\begin{array}{l} {(V_{t}^{*} )^{\alpha } B=V_{t}^{*} -(I+\tau _{2} ),} \\ {\alpha (V_{t}^{*} )^{\alpha -1} B=1, } \end{array}\right.$

解得 $V_{t}^{*} =\frac{\alpha }{\alpha -1} (I+\tau _{2} )$ , $B=\frac{\alpha ^{-\alpha } }{(\alpha -1)^{1-\alpha } } (I+\tau _{2} )$ . 由(3.3)式可知命题3成立. 证毕.

由此可知含糊条件下受通胀影响后的最优GDP水平$\tilde{Y}_{t}^{*} $ 为

$\begin{equation} \tilde{Y}_{t}^{*} =\frac{r-\left(\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta ^{*} \right)}{A} V_{t}^{*} =\frac{(r-(\tilde{\mu }-\tilde{\sigma }\theta ^{*} ))\alpha }{A(\alpha -1)} (I+\tau _{2} ), \end{equation}$

(3.9)

其中$\tilde{\mu }=\xi ^{2} -\psi +\mu -\xi \sigma {\epsilon }$ , $\tilde{\sigma }=\sqrt{\xi ^{2} +\sigma ^{2} -2\xi \sigma {\epsilon }} $ .

当GDP水平$Y_{t} <\tilde{Y}_{t}^{*} $ 时, 在奈特不确定环境下进行FDI的价值$V_{t} <\tilde{V}_{t}^{*} $ , 则公司应该等待最优时刻; 而当$Y_{t} >\tilde{Y}_{t}^{*} $ 时, 那么$V_{t} >\tilde{V}_{t}^{*} $ , 这时公司应该立即停止FDI. 因此$\tilde{Y}_{t}^{*} $ 可以被看作是预订值.

为了更好地说明通胀因素对公司跨国投资决策的影响, 利用 Matlab 软件进行数值模拟 定量分析, 可以得到以下结论.

在图 1中, 给定参数值$I=1000$ , $\hat{\pi }^{F} =2$ , $(1-\tau _{0} )\hat{\pi }^{E}{\rm=}1$ , $\tau _{1} =0.3$ , $\tau _{2} =-600$ , ${\epsilon=1}$ , $\mu =0.05$ , $\sigma =0.3$ , 研究预期通胀率$\psi =0.002$ 时, 通胀波动率$\xi $ 对最优GDP水平的影响. 从图中可以看到, 随着通胀波动率的增加, 最优GDP水平先是呈现下降趋势, 也就是说决定进入东道国市场时进行FDI的价值$\tilde{V}_{t}^{*} $ 也随之下降. 随着含糊度的增加, 最优GDP水平的下降趋势愈加明显. 但当通胀波动率到达0.3左右时, 出现拐点, 最优GDP水平呈现先上升再下降的趋势, 决定进入东道国市场时进行FDI的价值$\tilde{V}_{t}^{*} $ 也随之先上升再下降. 随着含糊度的增加, 这个拐点愈加明显, 最优GDP水平上升的趋势愈加明显, 下降的趋势反而变缓. 但是拐点的出现均在通胀波动率为0.3左右, 并未受预期通胀率和含糊度的影响.

在图 2中, 给定参数值$I=1000$ , $\hat{\pi }^{F} =2$ , $(1-\tau _{0} )\hat{\pi }^{E} =1$ , $\tau _{1} =0.3$ , $\tau _{2} =-600$ , ${\epsilon=1}$ , $\mu =0.05$ , $\sigma =0.03$ , 研究通胀波动率$\xi =0.08$ 时, 预期通胀率$\psi $ 对最优GDP水平的影响. 从图中可以看出, 随着预期通胀率$\psi $ 的增加, 最优GDP水平随之呈现非线性增长关系, 那么决定进入东道国市场时进行FDI的价值$\tilde{V}_{t}^{*} $ 也随之增加. 而且含糊度越大, 最优GDP水平随通胀率$\psi $ 的增长趋势愈加明显. 然而含糊度的增加却对进行FDI的价值$V_{t} $ 产生了负面影响, 进而导致FDI价值减少, 从而也会影响到外国公司的跨国直接投资, 这就会阻碍东道国的经济发展, 所以东道国应该采取措施鼓励和吸引FDI.

由于各国在某个时期内都会存在一定程度的通货膨胀, 所以投资者不能忽视通货膨胀对 资产配置的影响, 投资者应根据通货膨胀率的变化情况适时调整其资产组合, 以减少风险, 获得更大的收益. 本文研究了公司在含糊环境下带通胀的跨国投资决策问题, 考虑公司是选择出口, 还是跨国直接投资. 结合通胀因素, 利用随机分析方法, 推导出带有通胀因素的利润流的动力学方程. 并利用 Matlab 软件对结果进行了数值模拟, 得出预期通胀率、通胀波动率对最优 GDP 水平的影响. 所得模型更加符合实际, 为公司决策提供参考依据, 问题的研究具有较为重要的现实经济意义.