中立型泛函微分方程

$\begin{eqnarray} & \frac{\mathrm{d}} {\mathrm{d}t} \left [x(t)-g(t,x_t)\right]=f(t,x_t),t\ge 0,\end{eqnarray}$

(1.1)

$\begin{eqnarray} \label{eq:2} &x=\varphi(t), t\in [-r,0], \end{eqnarray}$

(1.2)

$\begin{eqnarray}\label{eq:3} &\Delta x(t_k)=I_k(x(t_k)), k=1,2,\cdots \end{eqnarray}$

(1.3)

解的存在性及稳定性已引起众多研究者的重视, 文献 [3, 4]分别利用不动点定理和构造Lyapunov 函数的方法得到系统 (1.1), (1.2) 解的稳定性, 文献 [5] 利用迭代分析法得到系统(1.1), (1.2), (1.3) 解的存在性和稳定性, 文献 [6- 8]也利用迭代分析法获得了一类偏泛函微分方程平凡解的稳定性结果, 本文将这种方法成功应用到了以下非线性中立型脉冲发展方程解的存在性及唯一性的研究, 并得到了相应的结果.

考虑以下问题:

$\begin{eqnarray} &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[u(t)-g(t,u_t)\right]=A[u(t)-g(t,u_t)]+f(t,u_t), \end{eqnarray}$

(1.4)

$\begin{eqnarray} &u=\varphi(t), t\in [-r,0], \end{eqnarray}$

(1.5)

$\begin{eqnarray} &\Delta u(t_k)=I_k(u(t_k)), k=1,2,\cdots, \end{eqnarray}$

(1.6)

其中X是一个Banach空间,A为空间X上的强连续半群T(t)的无穷小生成元, $ u_t=u(t+\theta),-r\leq\theta\leq0,C=C([-r,0],X) $, 对于 $ \varphi\in C $ 取 $ \|\varphi \|_C=\sup\limits_{-r\leq\theta\leq0}\|\varphi \|_X $.

以下为基本假设:

$ {\rm H}_1) A $ 为Banach空间X上的强连续半群T(t)的无穷小生成元,并且存在常数 $ K>0,\omega>0 $ 使得对于 $ t>s $, 有$ \|T(t-s)\|\leq Ke^{-\omega(t-s)} $.

$ {\rm H}_2) f:R_+\times C\rightarrow X $ 连续, 且 $ f(t,0)=0 $, 存在一个对于第二个变元单调非减的函数 $ F\in C(R_+\times R_+,R_+) $ 使得 $ \|f(t,\varphi\|_X\leq F(t,\|\varphi\|_C),(t,\varphi)\in R_+\times C. $ 对于 $ \varphi_1,\varphi_2\in C $, 以下的不等式成立: $ \|f(t,\varphi_1)-f(t,\varphi_2)\|_X\leq P(t,\|\varphi_1 \|_C,\|\varphi_2 \|_C)\|\varphi_1-\varphi_2 \|_C, $ 其中 $ P(t,x,y)>0 $ 是连续函数, 且关于 $ x,y $ 单调非减.

与此同时, $ g(t,0)=0 $, 存在一个非负函数 $ L(t)\in C[-r,\infty) $,使得不等式$ \|g(t,u_1)-g(t,u_2)\|_X\leq L(t)\|u_1-u_2 \|_C $ 成立.

$ {\rm H}_3) I_k:C([-r,\infty)\rightarrow X) $ 连续, $ I_k(\varphi(0))=0,I_k(0)=0 $, 存在 $ q_k>0 $ 使得

$\begin{eqnarray}\left\|I_k(x_1)-I_k(x_2)\right\|_X\leq q_k\left\|x_1-x_2\right\|_C,\end{eqnarray}$

其中级数 $ \sum\limits_{k=1}^\infty q_k $ 收敛, 记 $ Q=\sum\limits_{k=1}^\infty Kq_k $ , 而且假设 $ 0﹤L(t)+Q﹤1 $ 成立.

$ {\rm H}_4) $ 存在 $ h(t,\alpha)\in C([-r,\infty)\times R_+,R_+) $ 使得对于每一个确定的 $ \alpha\geq0,h(t):=h(t,\alpha) $ , 以下不等式组成立

$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} &h(t)\geq\frac{1}{\delta}Ke^{-\omega t}(1+L(t)) \alpha + \frac{1}{\delta}\int_{0}^{t}{Ke^{-\omega (t-s)} F(s,h_s)ds},&t\geq0,\\ &h(t)\geq\alpha,&t\in [-r,0], \end{aligned} \right. \end{equation} $

(1.7)

其中 $ h_t=\sup\limits_{-r\leq \theta\leq0}h(t+\theta),\delta=\inf\limits_{t\in[-r,\infty)}(1-L(t)-Q) $ .

定义 1.1 函数$ u(.):\left[ -r,\infty )\to X \right. $称为问题 (1.4),(1.5) 的温和解,如果u(t)满足以下等式

$\begin{equation} u(t)=T(t)\left[ \varphi (0)-g(0,{{u}_{0}}) \right]+g(t,{{u}_{t}})+\int_{0}^{t}{T(t-s)f(s,{{u}_{s}})}ds,t\ge 0, \\ u(t)= \varphi (t),t \in \left[ -r,0 \right]. \end{equation}$

(1.8)

本文以后所说的解均代表温和解.

定理2.1 函数 $ u(\cdot):[-r,\infty)\rightarrow X $ 称为问题(1.4),(1.5),(1.6)的温和解, 如果 $ u(t) $ 满足以下等式:

$\begin{equation}\label u(t)=T(t)[\varphi(0)-g(0,u_0)]+g(t,u_t)+\int_{0}^{t} {T(t-s)f(s,u_s)ds}\\ +\sum\limits_{0﹤t_i﹤t}{T(t-t_i)I_i(u(t_i))}, t\geq0,\\ u(t)=\varphi(t), t\in[-r,0]. \end{equation}$

(2.1)

证 当$ t\in[-r,0] $ 时, 显然 $ u(t)=\varphi(t) $ ,%这是定理的证明. 当 $ t\in(0,t_1] $ 时, 没有脉冲作用, 易得

$u(t)=T(t)[\varphi(0)-g(0,u_0)]+g(t,u_t)+\int_{0}^{t} {T(t-s)f(s,u_s)ds},t\geq0.$

当 $ t\in(t_1,t_2] $ 时, 取

$\begin{equation}\label{eq:5} u(t_1)=T(t_1)[\varphi(0)-g(0,u_0)]+g(t_1,u_{t_1})+\int_{0}^{t_1} {T(t_1-s)f(s,u_s)ds}+I_1(u(t_1)), \end{equation}$

(2.2)

在区间 $ t\in(t_1,t_2] $ 上考虑初值问题(1.4),(2.2)有

$\begin{equation}\label{eq:6} u(t)=T(t-t_1)[\varphi(0)-g(0,u_0)]+g(t,u_t)+\int_{0}^{t} {T(t-s)f(s,u_s)ds}+T(t-t_1)I_1(u(t_1)), \end{equation}$

(2.3)

在区间 $ (t_2,t_3],(t_3,t_4],\cdots $ 上重复以上的步骤很容易得到(2.1)式成立.

定理2.2若假设条件 $ {\rm H}_1)-{\rm H}_4) $ 成立, 则问题(1.4),(1.5), (1.6))存在唯一的温和解 $ u(t,\varphi):[-r,\infty)\rightarrow X $ 且有以下不等式成立

$\begin{equation} \|u(t)\|_X\leq h(t,\|\varphi\|_C),t\in[-r,\infty). \end{equation}$

(2.4)

证 令 $ T^* $ 为一任意的正整数, 选取

$\begin{equation}\label{eq:8} \left\{ \begin{aligned} &u^{(0)}(t)=T(t)[\varphi(0)-g(0,u_0)]+g(t,{u_t}^{(0)}),&0\leq t\leq T^*,\\ &u^{(0)}(t)=\varphi(t),&t\in [-r,0], \end{aligned} \right. \end{equation}$

(2.5)

则对于 $ t\in [-r,0] $ 有 $ \left\|u^{(0)}(t)\right\|_X\leq \|\varphi(t)\|_X\leq K\|\varphi\|_C\leq h(t,\|\varphi\|_C). $ 对于 $ 0\leq t\leq T^* $,由于 $ I_k(\varphi(0))=0,u^{(0)}(t)=\varphi(0) $,有

$\begin{equation} \left\|u^{(0)}(t)\right\|_X\leq \|T(t)\|\left\|\varphi(0)-g(0,u_0)\right\|_X+\left\|g(t,{u_t}^{(0)}\right\|_X+\sum_{0﹤t_i﹤t}\left\|T(t-t_i)\right\|\left\|I_k(u^{(0)}(t_i))\right\|_X \\ \leq Ke^{-\omega t}(\|\varphi\|_C+L(0)\|\varphi\|_C)+L(t)\left\|{u_t}^{(0)}\right\|_C+\sum_{0﹤t_i﹤t}Ke^{-\omega(t-t_i)}q_k\left\|(u^{(0)}(t_i))\right\|_C. \end{equation}$

(2.6)

定义以下函数

$\begin{equation}\label{eq:10} \eta(t)=\sup\{\left\|u^{(0)}(s)\right\|_X:-r\leq s\leq t\},0\leq t\leq T^*. \end{equation}$

(2.7)

令$ t^*\in [-r,t] $ 使得 $ \eta(t)=\left\|u^{(0)}(t^*)\right\|_X $, 则

若 $ t^*\in [0,t] $, 由于 $ 0﹤L(t)+Q﹤1,\delta=\inf\limits_{t\in[-r,\infty)}(1-L(t)-Q) $ 有 $ \frac{1}{\delta}>1 $ , 由(2.6),(2.7)式和 $ {\rm H}_3) $ 可得

$\begin{eqnarray}&\eta(t)\leq Ke^{-\omega t}(1+L(t))\|\varphi\|_C+L(t)\eta(t)+Q\eta(t),\nonumber\\ \label{eq:11} &\eta(t)\leq\frac{1}{(1-L(t)-Q)}Ke^{-\omega t}(1+L(t))\|\varphi\|_C\leq \frac{1}{\delta}Ke^{-\omega t}(1+L(t))\left\|\varphi\right\|_C, \end{eqnarray}$

(2.8)

则有

$ \begin{equation}\label{eq:12} \left\|u^{(0)}(t)\right\|_X\leq\frac{1}{\delta}Ke^{-\omega t}(1+L(t))\|\varphi\|_C\leq h(t,\|\varphi\|_C). \end{equation}$

(2.9)

若 $ t^*\in [-r,0] $, 有 $ \eta(t)=\|\varphi\|_C $, 同时不等式 (2.8) 和 (2.9)成立. 因此 有

$\left\|u^{(0)}(t)\right\|_X\leq h(t,\|\varphi\|_C),t\in[-r,T^*] \text{或} \left\|{u_t}^{(0)}\right\|_C\leq h_t,0\leq t\leq T^*.$

定义以下的迭代格式

$\begin{equation}\label{eq:13} \left\{ \begin{aligned} \begin{split} u^{(k)}(t)=T(t)[\varphi(0)-g(0,\varphi(t))]+g(t,{u_t}^{(k)})+\int_{0}^{t} {T(t-s)f(s,{u_s}^{(k-1)})ds}\\+\sum_{0﹤t_i﹤t}T(t-t_i)I_i(u^{(k)}(t_i)), 0\leq t\leq T^*, \end{split} \\ u^{(k)}(t)=\varphi(t),\quad t\in [-r,0],k=1,2,\cdots. \end{aligned} \right. \end{equation}$

(2.10)

当 $ k=1 $时, 对于 $ t\in [0,T^*] $, 由 (2.10)式可得

$\begin{equation} \begin{aligned} \|u^{(1)}(t)\|_X \leq\|T(t)\|\left\|\varphi(0)-g(0,u_0)\right\|_X+\|g(t,{u_t}^{(1)}-g(t,0))\|_X \\ +\int_{0}^{t} {\|T(t-s)\|\left\|f(s,{u_s}^{(0)})\right\|_X ds}+\sum_{0﹤t_i﹤t}\|T(t-t_i)\|\left\|I_i(u^{(1)}(t_i))\right\|_X\\ \leq Ke^{-\omega t}(\left\|\varphi\right\|_C+L(0)\left\|\varphi\right\|_C)+L(t)\left\|{u_t}^{(1)}\right\|_C+\int_{0}^{t} {Ke^{-\omega(t-s)}F(s,{u_s}^{(0)})ds}\\ +\sum_{0﹤t_i﹤t}Kq_ie^{-\omega(t-t_i)}\left\|u^{(1)}(t_i)\right\|_X. \end{aligned} \end{equation}$

(2.11)

定义$ \eta(t)=\sup\{{\|u^{(1)}(s)\|_X:-r\leq s\leq t}\},0\leq t\leq T^* $ 令 $ t^*\in [-r,t] $ 使得 $ \eta(t)=\|u^{(1)}(t^*)\|_X $, 则 若 $ t^*\in [0,t] $, 有

$\begin{eqnarray*} \eta(t)\leq Ke^{-\omega t}(1+L(t))\|\varphi\|_C+L(t)\eta(t)+\int_{0}^{t} {Ke^{-\omega(t-s)}F(s,\left\|{u_s}^{(0)})\right\|_Cds}\\ +\sum_{0﹤t_i﹤t}Kq_ie^{-\omega(t-t_i)}\eta(t),\\ \left\|u^{(1)}(t)\right\|_X\leq \frac{1}{\delta}Ke^{-\omega t}(1+L(t))\|\varphi\|_C+\frac{1}{\delta}\int_{0}^{t} {Ke^{-\omega(t-s)}F(s,\left\|{u_s}^{(0)}\right\|_C)ds}\leq h(t,\|\varphi\|_C). \end{eqnarray*}$

若 $ t^*\in [-r,0] $, 有 $ \eta(t)=\|\varphi\|_C $, 上述不等式显然成立. 考虑到当 $ t\in [-r,0] $ 时,

$\left\|u^{(1)}(t)\right\|_X\leq\|\varphi(t)\|_X \leq\|\varphi\|_C\leq h(t,\|\varphi\|_C).$

因此有 $ \left\|u^{(1)}(t)\right\|_X\leq h(t,\|\varphi\|_C),t\in[-r,T^*] \text{或} \left\|{u_t}^{(1)}\right\|_C\leq h_t,0\leq t\leq T^*. $ 假定对于任意的正整数k以下不等式成立

$\begin{equation}\label{eq:14} \left\|u^{(k)}(t)\right\|_X\leq h(t,\left\|\varphi\right\|_C),t\in[-r,T^*] \text{或} \left\|{u_t}^{(k)}\right\|_C\leq h_t,0\leq t\leq T^*, \end{equation}$

(2.12)

则由迭代格式的首个等式, 当 $ 0\leq t\leq T^* $ 时,

$\begin{equation} \begin{aligned} \left\|u^{(k+1)}(t)\right\|_X \leq\|T(t)\|\|\varphi(0)-g(0,\varphi(t))\|_X+\left\|g(t,{u_t}^{(k+1)})-g(t,0)\right\|_X \\ +\int_{0}^{t} {\|T(t-s)\|\left\|f(s,{u_s}^{(k)})\right\|_X ds}+\sum_{0﹤t_i﹤t}\left\|T(t-t_i)\right\|\left\|I_i(u^{(k+1)}(t_i))\right\|_X\\ \leq Ke^{-\omega t}(\|\varphi\|_C+L(0)\|\varphi\|_C)+L(t)\left\|{u_t}^{(k+1)}\right\|_C+\int_{0}^{t} {Ke^{-\omega(t-s)}F(s,{u_s}^{(k)})ds}\\ +\sum_{0﹤t_i﹤t}Kq_ie^{-\omega(t-t_i)}\left\|u^{(k+1)}(t_i)\right\|_X. \end{aligned} \end{equation}$

(2.13)

按照上述同样的方法易得

$\left\|u^{(k+1)}(t)\right\|_X\leq \frac{1}{\delta}Ke^{-\omega t}(1+L(t))\left\|\varphi\right\|_C+\frac{1}{\delta}\int_{0}^{t} {Ke^{-\omega(t-s)}F(s,h_s)ds}\leq h(t,\left\|\varphi\right\|_C).$

当 $ t\in [-r,0] $ 时, $\left\|u^{(k+1)}(t)\right\|_X\leq\left\|\varphi(t)\right\|_X \leq\|\varphi\|_C\leq h(t,\|\varphi\|_C), $ 利用数学归纳法可得不等式(2.12)成立.

现在证明序列 $ \{u^{(k)}(t)\} $ 在区间 $ [0, T^*] $ 上是一致收敛的. 当 $ 0\leq t\leq T^* $ 时, 由(2.5)和(2.10)式,

$\begin{equation} \begin{aligned} \left\|u^{(1)}(t)-u^{(0)}(t)\right\|_X \leq \left\|g(t,{u_t}^{(1)})-g(t,{u_t}^{(0)})\right\|_X +\int_{0}^{t} {\left\|T(t-s)\right\|\left\|f(s,{u_s}^{(0)})-f(s,0)\right\|_Xds}\\ +\sum_{0﹤t_i﹤t}\left\|T(t-t_i)\right\|\left\|I_i(u^{(1)}(t_i))-I_i(u^{(0)}(t_i))\right\|_X\\ \leq L(t)\left\|{u_t}^{(1)}-{u_t}^{(0)}\right\|_C+\int_{0}^{t} {Ke^{-\omega(t-s)}P(s,\left\|{u_s}^{(0)}\right\|_C,0)\left\|{u_s}^{(0)}\right\|_Cds}\\ +\sum_{0﹤t_i﹤t}Kq_ie^{-\omega(t-t_i)}\left\|u^{(1)}(t_i)-u^{(0)}(t_i)\right\|_X. \end{aligned} \end{equation}$

(2.14)

取 $ \xi(t)=\sup\{\|u^{(1)}(s)-u^{(0)}(s)\|_X:-r\leq s\leq t\},0\leq t\leq T^*, $ 令 $ t^*\in [-r,t] $ 使得 $ \xi(t)=\left\|u^{(1)}(t^*)-u^{(0)}(t^*)\right\|_X $, 则

若 $ t^*\in [0,t] $, 对于 $ t\in [0,T^*] $ 由以上不等式有

$\xi(t)\leq L(t)\xi(t)+\int_{0}^{t} {Ke^{-\omega(t-s)}P(s,\left\|{u_s}^{(0)}\right\|_C,0)\left\|{u_s}^{(0)}\right\|_Cds}+Q\xi(t), $

继而有

$\begin{equation}\label{eq:15} \begin{aligned} \left\|u^{(1)}(t)-u^{(0)}(t)\right\|_X \leq\frac{1}{\delta}\int_{0}^{t} {Ke^{-\omega(t-s)}P(s,\left\|{u_s}^{(0)}\right\|_C,0)\left\|{u_s}^{(0)}\right\|_Cds}\\ \leq\frac{1}{\delta}\int_{0}^{t} {Ke^{-\omega(t-s)}P(s,h_s,h_s)h_sds}. \end{aligned} \end{equation}$

(2.15)

若$ t^*\in [-r,0] $, 有 $ \eta(t)=0 $, 上述不等式(2.15)显然成立. 又因为$ h_t $, $ P\left(t,h_t,h_t\right) $均是连续函数, 因此对于 $ t^*\in [0, T^*] $, 存在常数 $ M>0, N>0 $ 有 $ h_t\leq N $, $ \ \frac{1}{\delta}KP\left(t,h_t,h_t\right)\leq M $. 结合不等式 (2.15) 有 $ \left\|u^{(1)}(t)-u^{(0)}_t\right\|_X\leq MNt, $ 显然也有

$\begin{eqnarray}\left\|u^{(1)}_t-u^{(0)}_t\right\|_C\leq MNt,\nonumber\\ \begin{aligned} \left\|u^{(2)}(t)-u^{(1)}_t\right\|_X\leq \frac{1}{\delta}\int^t_0Ke^{-\omega(t-s)}P\left(s, \left\|u_s^{(1)}\right\|_C, \left\|u_s^{(0)}\right\|_C\right)\left\|u_s^{(1)}-u_s^{(0)}\right\|_C \mathrm{d}s\\ \leq N\frac{M^2t^2}{2}\leq N\frac{M^2{T^*}^2}{2!}. \end{aligned} \end{eqnarray}$

(2.16)

同理有 $ \left\|u_t^{(2)}-u_t^{(1)}\right\|_C\leq N\frac{M^2{T^*}^2}{2!}. $

按照以上步骤, 可以由数学归纳法易得以下不等式成立

$\begin{eqnarray*} \left\|u^{(k)}(t)-u^{(k-1)}(t)\right\|_X\leq N\frac{M^k{T^*}^k}{k!}, \left\|u_t^{(k)}-u_t^{(k-1)}\right\|_C\leq N\frac{M^k{T^*}^k}{k!}. \end{eqnarray*}$

综上所述, 函数序列 $ \left\{u^{(k)}(t)\right\} $ 在区间 $ [0,T^*] $ 上一致收敛, 设其极限为 $ u(t) $, 即 $ \lim\limits_{k\rightarrow \infty}u^{(k)}(t)=u(t) $, 显然 $ u(t) $ 是问题 (1.4), (1.5), (1.6) 的温和解.

现证明 $ u(t) $ 是唯一的.假设 $ v(t) $ 是问题 (1.4), (1.5), (1.6) 的另外一解且 $ \left\|v_t\right\|_C\leq h_t $, 则

$\begin{equation} \begin{split} v(t)=T(t)[\varphi(0)-g(0,v_0)]+g(t,v_t)+\int_{0}^{t} {T(t-s)f(s,v_s)ds}\\ +\sum_{0﹤t_i﹤t}T(t-t_i)I_i(v(t_i)), t\geq0,\\ v(t)=\varphi(t), t\in[-r,0]. \end{split} \end{equation}$

(2.17)

当 $ 0\leq t\leq T^* $ 时, 由 (2.5)和 (2.10)式可得

$\begin{equation} \begin{aligned} \left\|u(t)-v(t)\right\|_X \leq\left\| g(t,{u_t})-g(t,{v_t})\right\|_X +\int_{0}^{t} {\left\| T(t-s)\right\|\left\|f(s,{u_s})-f(s,{v_s})\right\|_X ds}\\ +\sum_{0﹤t_i﹤t}\left\|T(t-t_i)\right\|\left\| I_i(u(t_i))-I_i(v(t_i))\right\|_X\\ \leq L(t)\left\|{u_t}-{v_t}\right\|_C+\int_{0}^{t} {Ke^{-\omega(t-s)}P(s,\left\|{u_s}\right\|_C,\left\|{v_s}\right\|_C)\left\|{u_s}-{v_s}\right\|_Cds}\\ +\sum_{0﹤t_i﹤t}Kq_ie^{-\omega(t-t_i)}\left\|u(t_i)-v(t_i)\right\|_C. \end{aligned} \end{equation}$

(2.18)

取 $ \zeta(t)=\sup\{\|u(s)-v(s)\|_C:-r\leq s\leq t\},0\leq t\leq T^* $ , 则对任意小的常数 $ \varepsilon>0 $, 有

$ \zeta(t)\leq \frac{1}{\delta}\int_{0}^{t} {Ke^{-\omega(t-s)}P(s,\left\|{u_s}\right\|_C,\left\|{v_s}\right\|_C)\zeta(s)ds} \leq M\int_{0}^{t}{\zeta(s)ds}+\varepsilon. $

利用Gronwall不等式可得 $ \zeta(t)\leq\varepsilon e^{Mt}\leq\varepsilon e^{MT^*}, \left\|u(t)-v(t)\right\|_X\leq\varepsilon e^{MT^*}, $ 易得 $ u(t)\equiv v(t) $.由此可得定理2.2的证明.

本文利用迭代分析法, 研究了一类中立型脉冲发展方程解的问题, 通过解的表达式构造其解的迭代序列, 证明迭代序列一致收敛于所研究的中立型脉冲发展方程的解, 然后证明其解的唯一性并同时得到了其估计范围. 通过研究发现脉冲时滞发展方程的解的表达式及存在性和唯一性与所给的脉冲和时滞条件密不可分. 而且不难看出利用迭代分析法来研究此类问题具有一定的可行性与优越性, 因为迭代分析法不仅在微分方程解的存在性和唯一性方面有非常重要的应用, 在稳定性分析、数值分析等等方面也具有非常广泛的应用.