2 预备知识
定义2.1[12] 一个$(2, 2, 2, 2, 0, 0)$型代数$(A, \wedge, \vee, \odot, \rightarrow, 0, 1)$, 若它满足下列公理:对任意$x, y, z \in A$,
(BL-1) $(A, \wedge, \vee, 0, 1)$是一个有界格;
(BL-2) $(A, \odot, 1)$是可换的幺半群;
(BL-3) $x\leq y\rightarrow z\Leftrightarrow x\odot y\leq z$;
(BL-4) $x\wedge y=x\odot(x\rightarrow y)$;
(BL-5) $(x\rightarrow y)\vee(y\rightarrow x)=1$,
则称$(A, \wedge, \vee, \odot, \rightarrow, 0, 1)$是一个BL -代数.
一个BL -代数$A$称为Gödel代数, 对任意的$x\in A$, $x\odot x=x$成立.
在BL -代数$A$中定义序关系“$\leq$”为$x\leq y$当且仅当$x\rightarrow y=1$, 定义$x^{-}=x\rightarrow 0$, 其中$x, y \in A$.另外, 称$B(A)=\{x\in A: x\odot x=x\}$为$A$的布尔中心.
引理2.2[12-15] 设$A$是BL -代数, 则下列结论成立: $\forall x, y, z\in A$,
(1) $x\leq y \Rightarrow x\odot z\leq y\odot z$;
(2) $x\odot y=0\Leftrightarrow x\leq y^{-}$;
(3) $x\leq y\Rightarrow y^{-}\leq x^{-}$;
(4) $1^{-}=0$，$0^{-}=1$, $x^{---}=x^{-}$;
(5) $x\odot y\leq x\wedge y$, $x\odot x^{-}=0$, $x\odot0=0$;
(6) $x\odot(y\vee z)=(x\odot y)\vee(x\odot z)$;
(7) $x\odot(y\wedge z)=(x\odot y)\wedge(x\odot z)$.
性质2.3[16] 每一个BL -代数都是一个分配格.
定理2.4[13] 设$A$是BL -代数.对任意的$a\in A$和$e\in B(A)$, 则$e\odot a=e\wedge a$, $a\rightarrow e=(a\odot e^{-})^{-}$.进而, 若$e\leq a\vee a^{-}$, 则$e\odot a\in B(A)$.
定义2.5[18] 设$I$是BL -代数$A$的非空子集, 称$I$是$A$的格理想, 若$I$满足条件: $\forall x, y\in A$,
(1) 若$x\leq y$且$y\in I$, 则$x\in I$;
(2) 若$x, y\in I$, 则$x\vee y\in I$.
若BL -代数$A$的格理想$I$满足条件: (3) $\forall x, y\in A$, $x\wedge y\in A$有$x\in A$或$y\in A$, 则称$I$是$A$的格素理想.对任意的$a\in A$, $[a]=\{x\in A: x\leq a\}$表示由$a$生成的格理想, 称为格主理想.
3 BL -代数的$\odot$ -导子
定义3.1[7] 设$A$是一个格, $d: A\rightarrow A$是映射.若$d$满足: $\forall x, y\in A$,
| $d(x\wedge y)=(d(x)\wedge y)\vee(x\wedge d(y)), $ |
则称$d$是$A$的$\wedge$ -导子, 简记$d(x)=dx$.
利用BL -代数上的$\odot$和$\vee$运算, 我们给出$\odot$ -导子的概念.
定义3.2 设$A$是一个BL -代数, $d: A\rightarrow A$映射.若$d$满足: $\forall x, y\in A$,
| $d(x\odot y)=(d(x)\odot y)\vee(x\odot d(y)), $ |
则称$d$是$A$的$\odot$ -导子.简记$d(x)=dx$.
设$A$是一个BL -代数, 定义映射$d:A\rightarrow A$为$dx=0$, $\forall x\in A$, 则容易验证$d$为$\odot$ -导子, 称$d$为零$\odot$ -导子.
例3.3 设$A=\{0, a, b, 1\}$, 二元运算$\odot$和$\rightarrow$如下表所示, $0<a<b<1$, 则容易验证$(A, \wedge, \vee, \odot, \rightarrow, 0, 1)$是BL -代数.映射$d: A\rightarrow A$定义为$d0=0$, $d1=a$, $da=0$, $db=a$, 则容易验证$d$是$A$的$\odot$ -导子.定义$d_{1}: A\rightarrow A$为$d_{1}0=0$, $d_{1}1=b$, $d_{1}b=1$, $d_{1}a=0$, 由于$d_{1}(a\odot b)=d_{1}a=0$, $(d_{1}a\odot b)\vee(a\odot d_{1}b)=0\vee a=a\neq0$, 则$d_{1}$不是$A$的$\odot$ -导子.
注 对于例3.3中的$\odot$ -导子$d$, 由于$d(a\wedge b)=da=0$, $(da\wedge b)\vee(a\wedge db)=0\vee a=a\neq0$.因此$d$不是$A$的$\wedge$ -导子, 即$d$是$\odot$ -导子, 但不是$\wedge$ -导子.
命题3.4 设$d$是BL -代数$A$的$\odot$ -导子, 则下列结论成立: $\forall x\in A$,
(1) $d0=0$;
(2) $dx\odot x^{-}=x\odot dx^{-}=0$;
(3) $dx=dx\vee(x\odot d1)$;
(4) $x\odot d1\leq dx\leq x^{--}$, $dx^{-}\leq x^{-}\leq(dx)^{-}$.
证 (1) $d0=d(0\odot0)=(d0\odot0)\vee(0\odot d0)=0$.
(2) 由于$0=d0=d(x\odot x^{-})=(x\odot dx^{-})\vee(dx\odot x^{-})=0$, 则$dx\odot x^{-}=0$.同理可证$x\odot dx^{-}=0$.
(3) $dx=d(x\odot1)=(dx\odot1)\vee(x\odot d1)=dx\vee(x\odot d1)$.
(4) 根据(3) 知$x\odot d1\leq dx$.由(2) 和引理2.2知$dx\leq x^{--}$, $dx^{-}\leq x^{-}$.则$x^{-}=x^{---}\leq(dx)^{-}$, 故$dx^{-}\leq x^{-}\leq(dx)^{-}$.
命题3.5 设$d$是BL -代数$A$的$\odot$ -导子. $\forall x, y \in A$, 若$x\odot y=0$, 则(1) $dy\leq x^{-}$; (2) $dx\odot dy=0$.
证 (1) 由于$0=d(x\odot y)=(x\odot dy)\vee(dx\odot y)$, 则$dx\odot y=x\odot dy=0$, 故$dx\leq y^{-}$, $dy\leq x^{-}$.
(2) 通过(1) 的证明过程可得, $dx\leq y^{-}$.根据引理2.2的(3) 和命题3.4的(2) 知, $dx\odot dy\leq y^{-}\odot dy = 0$, 因此$dx\odot dy=0$.
定义3.6 设$d$是BL -代数$A$的$\odot$ -导子. $\forall x\in A$, 若$dx\leq x$, 则称$d$为$A$的强$\odot$ -导子.
命题3.7 设$d$是BL -代数$A$的强$\odot$ -导子, 则下列结论成立: $\forall x, y\in A$,
(1) 若$I$是$A$的格理想, 则$dI\subseteq I$;
(2) $dx\odot dy\leq d(x\odot y)\leq dx\vee dy\leq x\vee y$;
(3) $(dx)^{n}\leq d(x^{n})$, 其中$n\in N^{+}$, $x^{n}=\underbrace{x\odot x\odot\cdots\odot x}_{n \mbox{次}}$;
(4) 若$d1=1$, 则$dx=x$.
证 (1) 设$y\in dI$, 则存在$x\in I$使得$y=dx\leq x$.考虑到$I$是$A$的格理想, 有$y\in I$, 从而$dI\subseteq I$.
(2) 因为$dx\odot dy\leq x\odot dy$和$dx\odot dy\leq y\odot dx$, 所以$dx\odot dy\leq(dx\odot y)\vee(x\odot dy)=d(x\odot y)$.又因为$dx\odot y\leq dx\leq x$, $x\odot dy\leq dy\leq y$, 则$(dx\odot y)\vee(x\odot dy)=d(x\odot y)\leq dx\vee dy\leq x\vee y$.
(3) 由(2) 知$dx\odot dx\leq d(x\odot x)$, 故$dx\odot dx\odot dx\leq d(x\odot x)\odot dx\leq d(x\odot x\odot x)$.以此类推, $(dx)^{n}\leq d(x^{n})$成立.
(4) 注意到$x\odot d1\leq dx\leq x$, 若$d1=1$, 则$x=x\odot d1\leq dx\leq x$, 故$dx=x$.
推论3.8 设$A$是BL -代数, $d$是$A$的强$\odot$ -导子.对任意的$x, y\in A$, 若$y\leq x$且$dx=x$, 则$dy=y$.
证 由于$y\leq x$, 则$y=y\wedge x$, 因此$dy=d(x\wedge y)=d(x\odot(x\rightarrow y))=(dx\odot(x\rightarrow y))\vee(x\odot d(x\rightarrow y))=(y\wedge x)\vee(x\odot d(x\rightarrow y))=y\vee(x\odot d(x\rightarrow y))$, 从而$dy\geq y$.另一方面, 由强$\odot$ -导子定义知$dy\leq y$, 故$dy=y$.
命题3.9 设$d$是BL -代数$A$的$\odot$-导子.对于任意的$x, y \in A$, 若$d(x\wedge y)=dx\wedge dy$或者$d(x\vee y)=dx\vee dy$, 则$d$是保序的.
证 对任意$x, y\in A$, 设$d(x\wedge y)=dx\wedge dy$成立.若$x\leq y$, 则$dx=d(x\wedge y)=dx\wedge dy$, 故$dx\leq dy$, 即$d$保序.类似可证:对任意$x, y\in A$, 若$d(x\vee y)=dx\vee dy$, 则$d$是保序的.
定理3.10 设$d$是线性BL -代数$A$的$\odot$ -导子, 则下列结论等价: $\forall x, y \in A$,
(1) $d$是保序的;
(2) $d(x\wedge y)=dx\wedge dy$;
(3) $d(x\vee y)=dx\vee dy$.
证 $(1)\Rightarrow(2)$由于$A$是线性的, $\forall x, y\in A$, 则有$x\leq y$或者$y\leq x$.不妨设$x\leq y$, 由于$d$是保序的, 因此$dx\leq dy$, 故$dx=dx\wedge dy$.另一方面, $dx=d(x\wedge y)$, 从而$d(x\wedge y)=dx\wedge dy$.
$(1)\Rightarrow(3)$由于$A$是线性的, $\forall x, y\in A$, 则有$x\leq y$或者$y\leq x$.不妨设$x\leq y$, 由于$d$是保序的, 则$dx\leq dy$, 因此$dy=dx\vee dy$.另一方面, $dy=d(x\vee y)$, 从而$d(x\vee y)=dx\vee dy$.
$(2)\Rightarrow(1)$和$(3)\Rightarrow(1)$类似于命题3.9的证明.
定理3.11 设$d$是BL -代数$A$的强$\odot$ -导子.若$d1\in B(A)$, 则下列结论等价: $\forall x, y \in A$,
(1) $d$是保序的;
(2) $dx\leq d1$;
(3) $dx=d1\odot x$;
(4) $d(x\wedge y)=dx\wedge dy$;
(5) $d(x\vee y)=dx\vee dy$;
(6) $d(x\odot y)=dx\odot dy$.
证 $(1)\Rightarrow(2)$显然.
$(2)\Rightarrow(3)$由于$dx\leq x$, 故$dx\odot d1\leq x\odot d1$.又因为$d1\in B(A)$, 所以$d1\odot dx=d1\wedge dx=dx$, 故$dx\leq x\odot d1$.另一方面, 由命题3.4知, $dx\geq x\odot d1$.因此$dx=x\odot d1$.
$(3)\Rightarrow(4)$ $d(x\wedge y)=d1\odot(x\wedge y)=d1\wedge(x\wedge y)=(d1\wedge x)\wedge(d1\wedge y)=(d1\odot x)\wedge(d1\odot y)=dx\wedge dy$.
$(4)\Rightarrow(1)$根据命题3.9可得.
$(3)\Rightarrow(5)$ $d(x\vee y)=d1\odot(x\vee y)=d1\wedge(x\vee y)=(d1\wedge x)\vee(d1\wedge y)=(d1\odot x)\vee(d1\odot y)=dx\vee dy$.
$(5)\Rightarrow(1)$根据命题3.9可得.
$(3)\Rightarrow(6)$ $d(x\odot y)=d1\odot(x\odot y)=(d1\odot x)\odot(d1\odot y)=dx\odot dy$.
$(6)\Rightarrow(2)$由于$dx=d(x\odot1)=dx\odot d1=dx\wedge d1$, 故$dx\leq d1$.
定理3.12 设$A$是BL -代数和$a\in A$, 定义$d_{a}:A\rightarrow A$为$d_{a}(x)=a\odot x$, 其中$x\in A$, 则$d_{a}$是$A$的$\odot$ -导子.
证 对于任意的$x, y\in A$, 由于$d_{a}(x\odot y)=a\odot x\odot y=(a\odot x\odot y)\vee(a\odot x\odot y)=(d_{a}x\odot y)\vee(x\odot d_{a}y)$, 故$d_{a}$是$A$的$\odot$ -导子.
注 称定理3.12所定义的$d_{a}$为主$\odot$ -导子.主$\odot$ -导子一定是保序的.事实上, 若$x\leq y$, 则$d_{a}(x)=a\odot x\leq a\odot y=d_{a}(y)$, 从而$d_{a}$保序.设$d_{a}$为主$\odot$ -导子, 对于任意的$x\in A$, 由于$d_{a}(x)=a\odot x\leq x$, 因此主$\odot$ -导子$d_{a}$是强$\odot$ -导子, 但反之不成立.
例3.13 设$A$是例3.3中所定义的BL -代数, 定义映射$d: A\rightarrow A$为$d0=0$, $d1=a$, $da=a$, $db=a$, 容易验证$d$是$A$的强$\odot$ -导子, 但却不是$A$的主$\odot$ -导子.
命题3.14 设$(A, \wedge, \vee, \odot, \rightarrow, 0, 1)$是BL -代数, $d$是$A$的保序$\wedge$ -导子, 且$d1\in B(A)$, 则$d$是$A$的保序$\odot$ -导子.
证 对于任意的$x \in A$, 注意到$d$是保序$\wedge$ -导子, 有$dx\leq d1$.由于$\wedge$-导子满足$dx\leq x$, 则$d1\odot dx\leq x\odot d1$.又$d1\in B(A)$, 故$d1\odot dx=d1\wedge dx=dx$, 从而$dx\leq x\odot d1$.另一方面, 由于$dx=d(x\wedge1)=(dx\wedge1)\vee(x\wedge d1)=dx\vee(x\wedge d1)$, 则$x\odot d1=x\wedge d1\leq dx$.因此$dx=x\odot d1$.根据定理3.12知, $d$是BL -代数$A$的保序$\odot$ -导子.
定理3.15 设$A$是BL -代数, $d$是$A$的一个强$\odot$ -导子, 定义$F_{d}(A)=\{x\in A: dx=x\}$, 则$F_{d}(A)$是$A$的下集.称$F_{d}(A)$为$d$的不动点集.
证 对于任意的$x \in F_{d}(A)$, 有$dx=x$.任取$y \in A$, 若$y \leq x$, 由于$d$是$A$的一个强$\odot$ -导子, 根据推论3.8知$dy=y$.从而$y \in F_{d}(A)$, 因此$F_{d}(A)$是$A$的下集.
定理3.16 BL -代数$A$的每一个主$\odot$ -导子的不动点集都是$A$的格理想.
证 $\forall a\in A$, 则主$\odot$ -导子$d_{a}$是保序的强$\odot$ -导子.根据定理3.15得$d_{a}$的不动点集$F_{d_{a}}$是$A$的下集, 从而对任意的$x, y \in A$, 当$x\leq y$和$y\in F_{d_{a}}$时有$x \in F_{d_{a}}$.另一方面, $\forall x, y\in A$, 若$x, y\in F_{d_{a}}(A)$, 则$d_{a}x=x$, $d_{a}y=y$.从而$d_{a}(x\vee y)=a\odot(x\vee y)=(a\odot x)\vee(a\odot y)=d_{a}x\vee d_{a}y=x\vee y$, 故$x\vee y\in F_{d_{a}}(A)$, 因此$F_{d_{a}}(A)$是$A$的格理想.
定理3.17 设$A$是BL -代数, $d$是$A$的强$\odot$ -导子.若$d1\in B(A)$, 则下列结论成立:
(1) $d1\in F_{d}(A)$;
(2) 若$d$是保序$\odot$ -导子, 则对于任意的$x\in A$有$d^{n}(x)=dx$.
证 (1) 由于$d(d1)=d(1\odot d1)=(d1\odot d1)\vee(1\odot dd1)=d1\vee dd1=d1$, 故$d1\in F_{d}(A)$.
(2) 设$d$是保序的强$\odot$ -导子, 且$d1\in B(A)$, 由定理3.11知, 对于任意的$x\in A$, $dx=d1\odot x$成立, 从而$d(dx)=d1\odot dx=d1\odot d1\odot x=d1\odot x=dx$.由归纳法可得$d^{n}(x)=dx$.
接下来用BL -代数的$\odot$ -导子的不动点集来刻画Gödel代数.
定理3.18 设$A$是BL -代数, 则以下结论等价:
(1) $\forall a\in A$, 主$\odot$ -导子$d_{a}$满足$F_{d_{a}}(A)=[a]$;
(2) $A$是一个Gödel代数.
证 $(1)\Rightarrow(2)$ $\forall a\in A$, 设$F_{d_{a}}(A)=[a]$.由于$a\in[a]$, 则$a\in F_{d_{a}}(A)$, 从而有$a\odot a=d_{a}(a)=a$成立, 故$A$是一个Gödel代数.
$(2)\Rightarrow(1)$设$A$是一个Gödel代数, 对任意$x\in A$, 则$x\odot x=x$成立.注意到$d_{a}(a)=a\odot a=a$, 则有$a\in F_{d_{a}}(A)$, 并且$d_{a}$是保序的强$\odot$ -导子.根据定理3.15得, $F_{d_{a}}(A)$是$A$的下集.因此, 对于任意的$x \in A$, 当$x\leq a$时, 有$x\in F_{d_{a}}(A)$, 从而$[a]\subseteq F_{d_{a}}(A)$.下证$F_{d_{a}}(A)\subseteq[a]$.任取$x\in F_{d_{a}}(A)$, 则$d_{a}(x)=x=a\odot x\leq a\wedge x$.从而$x=a\wedge x$, 即$x\leq a$.这就证明了$x\in[a]$.因此$F_{d_{a}}(A)=[a]$.
定理3.19 设$A$是一个BL -代数, $I$是$A$的有限格理想且$I\subseteq B(A)$, 则在$A$上存在一个$\odot$ -导子$d$, 使得$F_{d}(A)=I$.
证 由于$I$是$A$的有限格理想, 则$\bigvee_{b\in I}b=a\in I$.设映射$d:A\rightarrow A$为$dx=x\odot a$, $\forall x\in A$.根据定理3.12知, $d$是$A$的一个$\odot$ -导子.下证$F_{d}(A)=I$.任取$x\in I\subseteq B(A)$, 则$dx=a\odot x=a\wedge x=x$, 即$x\in F_{d}(A)$, 则$I\subseteq F_{d}(A)$.另一方面, 对于任意的$x\in F_{d}(A)$, 则有$x=dx=a\odot x\leq a$.由于$I$是$A$的格理想, 则$x\in I$, 从而$F_{d}(A)\subseteq I$.因此$F_{d}(A)=I$.
定理3.20 设$A$是一个线性BL -代数.若$d$是$A$的保序强$\odot$ -导子, 则$F_{d}(A)$是$A$的格素理想.
证 注意到$d$是线性BL -代数$A$的保序强$\odot$ -导子, 根据定理3.10知, 对于任意的$x, y \in A$, 有$d(x\vee y)=dx\vee dy$.若$x, y\in F_{d}(A)$, 则$dx=x$, $dy=y$.从而$d(x\vee y)=dx\vee dy=x\vee y$, 故$x\vee y\in F_{d}(A)$.又由定理3.15知$F_{d}(A)$是$A$的下集, 因此$F_{d}(A)$是$A$的格理想.设$x\wedge y\in F_{d}(A)$.由于$A$是线性的, 则$x\leq y$或者$y\leq x$.不妨设$x\leq y$, 由$d$是保序的可知$dx\leq dy$.根据定理3.10知$dx=dx\wedge dy=d(x\wedge y)=x\wedge y=x$, 即$x\in F_{d}(A)$.因此$F_{d}(A)$是$A$的格素理想.
上述定理的逆命题是否成立还未给出肯定的解答, 但加上一定的条件后, 上述定理的逆命题成立.
定理3.21 设$A$是一个BL -代数, 则下列结论等价：
(1) $A$是一个线性Gödel代数;
(2) 每一个主$\odot$ -导子$d_a$满足$F_{d_a}(A)=[a]$且$F_{d_a}(A)$是$A$的格素理想.
证 $(1)\Rightarrow(2)$对任意$a\in A$, 根据定理3.18可得, $F_{d_a}(A)=[a]$.由于任一主$\odot$ -导子都是保序的强$\odot$ -导子, 由定理3.20可知, $F_{d_a}(A)$是$A$的格素理想.
$(2)\Rightarrow(1)$根据定理3.18可得$A$是一个Gödel代数, 下证$A$是线性的.设$x, y\in A$.考虑主$\odot$ -导子$d_{x\wedge y}$, 有$d_{x\wedge y}(t)=t\odot(x\wedge y)$, 则$d_{x\wedge y}$是一个保序强$\odot$ -导子.由于$d_{x\wedge y}(x\wedge y)=(x\wedge y)\odot(x\wedge y)=x\wedge y$, 即$x\wedge y\in F_{d_{x\wedge y}}(A)$.根据假设$F_{d_{x\wedge y}}(A)$是$A$的格素理想, 从而有$x\in F_{d_{x\wedge y}}(A)$或$y\in F_{d_{x\wedge y}}(A)$.不妨设$x\in F_{d_{x\wedge y}}(A)$, 则$x=d_{x\wedge y}x=x\odot(x\wedge y)\leq x\wedge y\Rightarrow x=x\wedge y$, 因此$x\leq y$, 即$A$是一个线性Gödel代数.
2016, Vol. 36 
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