3 主要定理
陈述主要定理之前, 我们先引入如下引理.
引理3.1 设$Y$是正则空间且存在点$y\in Y$和集族$\mathcal {V} \subset\mathcal{N}(y)$, 使得对任意$\mathcal {W}\in[\mathcal
{V}]^{\geq\omega}$, 恒有$y\notin
$int$\cap \mathcal {W}$.如果$X\times Y$是弱次-ortho-紧空间, 则$X$是弱次亚紧的.
证 设集族$\mathcal{G}$是$X$的任意开覆盖.易证集族$\mathcal
{G}^*$=$\{G\times \{y\}: G\in \mathcal {G}\}$是$X\times \{y\}$的开覆盖.令$\mathcal {H}$=$\{G\times V : G\in \mathcal
{G}, V \in \mathcal {V}\}$, 则存在$O\in
\mathcal{N}(y)$使得$X\times $cl$O\subset \cup \mathcal {H}$.由于$X\times $cl$O $是$X\times Y$的闭子空间, 因此存在$\mathcal {H}$的开加细$\cup_{n\in\omega }\mathcal {U}_n$, 使得任取$x\in X$, 存在$n \in\omega$合于: $\cap(\mathcal {U}_n)_{(x, y)}$=int$(\cap(\mathcal
{U}_n)_{(x, y)})$.
取定$n \in \omega$.令$\mathcal {W}_n$=$\{U\cap (X\times \{y\} ): U\in \mathcal
{U}_n\}$, 则以下结论成立.
(1) $\cup_{n\in\omega}\mathcal {W}_n$是$\mathcal {G}^*$的开加细;
(2) 任取$x\in X$, 存在$n \in\omega$, 使得ord$((x, y), \mathcal {W}_{n})<\omega$.
事实上, 容易证明对任意$n\in\omega$, 集族$\mathcal {W}_n$是$\mathcal {G}^*$的部分开加细且$\cup_{n\in\omega}\mathcal {W}_n$=$\cup\mathcal {G}^*$.接下来只需证明结论(2) 成立.取定$x\in X$.由$X\times $cl$O $的弱次-ortho-紧性, 存在$n_x
\in \omega$满足
| $
\begin{array}{l}
\left( {{\rm{x}},y} \right) \in \cap {\left( {{\mathcal{W}_{{n_x}}}} \right)_{\left( {x,y} \right)}} \subset \cap {\left( {{\mathcal{W}_{{n_x}}}} \right)_{\left( {x,y} \right)}}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {\mathop{\rm int}} \left( { \cap {{\left( {{\mathcal{U}_{{n_x}}}} \right)}_{\left( {x,y} \right)}}} \right) \subset X \times {\mathop{\rm int}} \left( { \cap \left\{ {V\left( U \right):U \in {{\left( {{\mathcal{U}_{{n_x}}}} \right)}_{\left( {x,y} \right)}}} \right\}} \right).
\end{array}
$ |
因此, 断定ord$((x, y), \mathcal {W}_{n_x})<\omega$成立.否则与引理中条件$y\notin
$int$\cap \mathcal \{V(U): U\in (\mathcal
{U}_{n})_{(x, y)}\}$矛盾.
根据结论(1) 和(2), 空间$X\times \{y\}$是弱次亚紧的.因为$X\times \{y\}$同胚于$X$, 所以$X$是也弱次亚紧的.
利用引理3.1的结论, 容易得到下面的例子.
例3.2 存在$T_2$, 正规的可数仿紧空间族$\{X_\alpha: \alpha\in \omega_1 \}$合于:
(ⅰ)集族$\{X_\alpha: \alpha\in \omega_1\}$的任意有限子乘积是弱次-ortho-紧的.
(ⅱ)集族$\{X_\alpha: \alpha\in \omega_1\}$的$\sigma$-积$\sigma\{X_\alpha:\alpha\in\omega_1\}$不是弱次-ortho-紧的.
证 对任意的$\alpha\in \omega_1$, 令$X_\alpha$=$\omega_1$.参见文献[13], 显然每个$X_\alpha$是$T_2$, 正规的可数仿紧空间并且集族$\{X_\alpha: \alpha\in \omega_1 \}$的任意有限子乘积是弱次-ortho-紧的.接下来, 只需证明(ⅱ)为真.定义$\Sigma$=$\omega_1-\{0\}$且令$Y$=$\sigma\{X_\alpha:\alpha\in \Sigma\}$.因此, $s$=$(s_{\alpha}^{*})_{\alpha\in \Sigma}$是空间$Y$的一个基点(其中, 不妨假设每个$s_{\alpha}^{*}$=$\omega$).同时, 容易证明$\sigma\{X_\alpha:\alpha\in\omega_1\}$=$\omega_1 \times Y$.
任取$n\in \omega$, $\alpha\in \Sigma$, 令
| $
V(n, \alpha ) = (\prod\nolimits_{\beta \le \alpha } {(n, \omega]} \times \prod\nolimits_{\beta > \alpha } {{X_\beta }} ) \cap Y.
$ |
容易验证, 集族$\mathcal
{V}$=$\{V(n, \alpha):(n, \alpha)\in \omega \times \Sigma \}$是基点$s$的一邻域系且满足$\left| {\mathcal {V} } \right| \geq
\omega$.取定适合于$\left| \Lambda\right| \geqslant
\omega$的子集$\Lambda\subset \omega \times \Sigma$.设$\mathcal {W}$=$\{V(n, \alpha_\delta):n\in\omega, \delta\in
\Gamma\}$且满足$\left|
\Gamma\right| $=$\left| \Lambda\right|$.因此, 有如下断言:
断言1 $s\notin$int$\cap\mathcal{W}$.
如若不然, 假设$s\in $int$\cap\mathcal{W}$.现在, 对以下两种情形进行讨论:
情形1 取定$n_0\in \omega$.任取$\Xi\subset \Gamma$且满足$\left|\Xi\right|\geqslant \omega$.令$\mathcal
{W}_{n_0}$=$\{V(n_0, \alpha):\alpha\in \Xi\}$.由于
| $
s \in {\rm{int}} \cap \mathcal{W} \subset {\rm{int}} \cap {\mathcal{W}_{{n_0}}} \subset {\rm{int}}[(\prod\nolimits_{\beta \le \omega } {({n_0}, \omega]} \times \prod\nolimits_{\beta > \omega } {{X_\beta }} ) \cap Y],
$ |
因此存在$Y$中的标准基元$G$=$\cap_{i=1}^{k}p_{\alpha_i}^{-1}(U_{\alpha_i})$, 使得
| $
s \in G \subset \prod\nolimits_{\beta \le \omega } {({n_0}, \omega]} \times \prod\nolimits_{\beta > \omega } {{X_\beta }} .
$ |
进而, 若$\alpha\in \Xi-\{\alpha_1, \cdots, \alpha_k\}$, 有$X_\alpha\nsubseteq (n_0, \omega]$.显然矛盾.
情形2 取定$\alpha_0\in \Sigma$.任取满足$\left|\Delta\right|\leq \omega$的子集$\Delta\subset
\omega$.设$\mathcal {W}_{\alpha_0}$=$\{V(n, \alpha_0):n \in \Delta\}$.由于
| $
s \in {\rm{int}} \cap {\mathcal{W}_{{\alpha _0}}} \subset {\rm{int}}[(\prod\nolimits_{\beta \le {\alpha _0}} {\{ \omega \} } \times \prod\nolimits_{\beta > {\alpha _0}} {{X_\beta }} ) \cap Y],
$ |
因此存在$Y$中的标准基元$H$=$\cap_{i=1}^{m}p_{\alpha_i}^{-1}(V_{\alpha_i})$, 使得
| $
s \in H \subset \prod\nolimits_{\beta \le {\alpha _0}} {\{ \omega \} } \times \prod\nolimits_{\beta > {\alpha _0}} {{X_\beta }} .
$ |
因此, 这与$\{\omega\}$不是$\omega_1$的开子集矛盾.
鉴于情形1和情形2, 断言1为真.因此, 容易验证基点$s$和集族$\mathcal {V}$满足引理3.1的条件.进而, 假设$\omega _1\times Y$是弱次-ortho-紧的, 则$\omega_1$是弱次亚紧的.这与$\omega_1$不是弱次亚紧矛盾.所以, 假设不成立.也即(ⅱ)的结论为真.
根据例3.2, 弱次-ortho-紧空间族不满足(*)型的结论.接下来, 将通过下面定理说明当$\sigma$-积$X$是$ \left| A
\right|$-仿紧空间的时候, 弱次-ortho-紧空间族具有类似于(*)的结果.
定理3.3 设$X$=$\sigma \{ X_{\alpha}: \alpha \in A \}$, 且$X$是$\left| A
\right|$-仿紧空间.如果集族$\{ X_{\alpha}:
\alpha \in A \}$的任意有限子乘积是弱次-ortho-紧的, 则$X$也是弱次-ortho-紧的.
证 设集族$\mathcal {U}$=$\{U_\xi:\xi\in \Xi \}$是空间$X$的任意开覆盖并且令$ A^* $=$[A]^{<\omega}$.取定$a \in A^*$和$\xi \in \Xi$, 令
| $
{V_{a, \xi }} = \cup \{ V:V\text{开于}{Y_a}, p_a^{ - 1}(V) \subset {U_\xi }\} \text{且}{V_a} = \cup \{ {V_{a, \xi }}:\xi \in \Xi \},
$ |
其中, $p_a: X\longmapsto Y_a$具有如下定义:任取$x$=$(x)_{\alpha \in A}$,
| $
{({P_a}(x))_\alpha } = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_\alpha }, \;\;\;\;\alpha \in a, }\\
{{s_\alpha }, \;\;\;\;\alpha \in A - \{ a\} .}
\end{array}} \right.
$ |
容易证明集族$ \{ p_a^{ - 1} (V_a ):a \in A^* \} $是空间$X$的定向开覆盖.由于空间$X$是$ \left| A \right|$-仿紧的, 因此根据引理2.4, 存在$X$的局部有限开集族$\{ B_a :a \in A^* \}$合于:对任意$a\in A^*$, $B_a \subset p_a^{ - 1} (V_a)$.再令$\Lambda $=$[A^*]^{ < \omega }$.任取$\lambda \in \Lambda $, 令
| $
{E_\lambda } = X - \cup \{ cl{B_a}:a \in {A^*} - \{ \lambda \} \} .
$ |
显然, 集族$ \{ E_\lambda :\lambda
\in \Lambda \}$是$X$的开集覆盖且cl$E_\lambda \subset
p_{a_\lambda }^{ - 1} (V_{a_\lambda } ) $ (其中, $a_\lambda $=$\cup
\{a:a\in \lambda\}$).
任取$\lambda \in\Lambda$, 令$D_{a_\lambda}$=$Y_{a_\lambda}-p_{a_\lambda}(X-$cl$E_\lambda)$且$T_\lambda
$=int$p_{a_\lambda}^{ - 1}(D_{a_\lambda})$.类似于[定理2.2, 14]的方法, 容易证明$\cup\{T_\lambda : \lambda \in \Lambda \}$=$X$.由于$X$是$\left|A\right|$-弱次亚紧的, 则存在$X$内的开集族$\cup_{m\in\omega }\mathcal{G}_m$ (其中, $\mathcal{G}_m$=$\{G_{m, \lambda}:\lambda \in
\Lambda \} $), 合于
(1) 任取$m\in\omega$, $\lambda \in
\Lambda$, 有$G_{m, \lambda}\subset T_\lambda$;
(2) 任取$x\in X$, 存在$m\in\omega$, 使得ord$(x, \mathcal{G}_m)=1$.
由于$D_{a_\lambda }$闭于$Y_{a_\lambda}$且$D_{a_\lambda } \subset \cup \{ V_{a_\lambda, \xi } :\xi
\in \Xi \}$, 因此存在$\{ V_{a_\lambda, \xi }
:\xi \in \Xi \} $的开加细$\cup_{n\in\omega }\mathcal{W}_{n, a_\lambda}$, 合于
(3) 任取$y \in D_{a_\lambda }$, 存在$n\in\omega$以及$V\in \mathcal{N}_{D_{a_\lambda }}(y)$合于$V\subset\cap(\mathcal{W}_{n, a_\lambda})_y$.
鉴于此, 任取$n\in\omega$, 令
| $
{\mathcal{H}_{m, n}} = \{ p_{{a_\lambda }}^{ - 1}(W) \cap {G_{m, \lambda }}:\lambda \in \Lambda, W \in {\mathcal{W}_{n, {a_\lambda }}}\} .
$ |
因此, 断定下面的结论成立.
(4) 集族$\cup_{m, n\in\omega}\mathcal{H}_{m, n}$是$\mathcal{U}$的开加细.
(5) 任取$x\in X$, 存在$(m, n)\in\omega\times\omega$, 使得$\cap(\mathcal {H}_{m, n}) _x\in \mathcal{N}(x)$.
事实上, 根据$\mathcal{H}_{m, n}$的定义, 结论(4) 显然成立.接下来, 证明结论(5) 为真.取定$x\in X$.由(2), 存在$m\in\omega$, 使得ord$(x, \mathcal{G}_m)=1$.取$G_{m, \lambda_0}\in(\mathcal{G}_m)_x$.由于$\lambda_0\in\Lambda$, 因此$x_{a_{\lambda_0}}\in D_{a_{\lambda_0}}$.进而根据(3), 存在$n\in\omega$以及$V\in \mathcal{N}_{D_{a_{\lambda_0} }}(x_{a_{\lambda_0}})$合于$V\subset\cap(\mathcal{W}_{n, a_\lambda
})_{x_{a_{\lambda_0}}}$.根据以上讨论, 显然有
| $
\begin{array}{l}
x \in p_{{a_{{\lambda _0}}}}^{ - 1}(V) \cap {G_{m, {\lambda _0}}} \subset [p_{{a_{{\lambda _0}}}}^{-1}( \cap {({\mathcal {W}_{n, {a_{{\lambda _0}}}}})_{{x_{{a_{{\lambda _0}}}}}}}) \cap {G_{m, {\lambda _0}}}]\\
\;\;\;\; = \cap {\{ p_{{a_{{\lambda _0}}}}^{ - 1}(W) \cap {G_{m, {\lambda _0}}}:W \in {\mathcal {W}_{n, {a_{{\lambda _0}}}}}\} _x} = \cap {({\mathcal {H}_{m, n}})_x}
\end{array}
$ |
所以, 结论(5) 为真.
综上, 根据结论(4) 和(5), $X$也是弱次-ortho-紧空间.
称空间$X$是遗传弱次-ortho-紧的, 如果$X$的任意子空间是弱次-ortho-紧的.根据其定义, 不难证明空间$X$是遗传弱次-ortho-紧的当且仅当$X$的任意开子空间是弱次-ortho-紧的.接下来, 将证明遗传弱次-ortho-紧空间族具有弱次-ortho-紧空间族的类似结果.
引理3.4 假设$X$=$\sigma\{ X_{\alpha}: \alpha \in A \}$的开子空间$G$是$\left| A
\right|$-弱次亚紧的.如果集族$\{X_{\alpha}: \alpha \in A\}$的每个有限子乘积是遗传弱次-ortho-紧的, 则空间$G$是弱次-ortho-紧的.
证 设集族$\mathcal {U}$=$\{ U_\xi :\xi \in \Xi \} $为开子空间$G$的任意开覆盖且令$ A^* $=$[A]^{<\omega } $.任取$a \in A^*$, $\xi \in \Xi$, 设
| $
{V_{a, \xi }} = \cup \{ V:V\text{开于}{Y_a}, p_a^{ - 1}(V) \cap G \subset {U_\xi }\} \text{且}{V_a} = \cup \{ {V_{a, \xi }}:\xi \in \Xi \},
$ |
其中, 映射$p_a$与定理3.3中的定义类似.容易证明集族$ \{ p_a^{ - 1} (V_a ):a \in A^* \} $是空间$G$的定向开覆盖.由于空间$G$是$\left|A\right|$-弱次亚紧的, 则存在集族$ \{ p_a^{ - 1} (V_a ):a \in A^* \} $的开加细$\cup_{n\in\omega}\mathcal{W}_n$ (其中, $\mathcal{W}_n$=$\{W_{n, a}:a\in A^*\} $), 合于
(1) 任取$x\in G$, 存在$n\in\omega$, 使得ord$(x, \mathcal{W}_n)$=$1$.
取定$a \in A^*$.由于空间$X_a$是遗传弱次-ortho-紧的且$V_{a}$=$\cup{\rm \{ } V_{a, \xi}:\xi \in \Xi \}$, 则存在集族$\{V_{a, \xi}:\xi \in \Xi \}$的开加细$\cup_{m\in\omega}\mathcal{A}_{m, a}$合于
(2) 任取$y\in V_a$, 存在$m\in\omega$, 使得$\cap(\mathcal{A}_{m, a})_y\in\mathcal{N}_{V_a}(y)$.
取定$m, n\in\omega$.令
| $
{\mathcal{H}_{m, n}} = \{ p_a^{ - 1}(B) \cap {W_{n, a}}:B \in {\mathcal{A}_{m, a}}, a \in {A^*}\} .
$ |
类似于定理3.3的证明方法, 容易得到如下结论:
(3) $\cup_{m, n\in\omega}\mathcal{H}_{m, n}$是$\mathcal{U}$的开加细.
(4) 任取$x\in G$, 存在$(m, n)\in\omega\times\omega$, 使得$\cap(\mathcal {H}_{m, n}) _x\in \mathcal{N}_G(x)$.
根据(3) 和(4) 的结论, 空间$G$是弱次-ortho-紧的.
由引理3.4, 可直接得到下面的定理.
定理3.5 设$X$=$\sigma\{ X_{\alpha}: \alpha \in A \}$是遗传$\left| A
\right|$-弱次亚紧空间.如果集族$\{X_{\alpha}: \alpha \in A\}$的每个有限子乘积是遗传弱次-ortho-紧的, 则空间$X$是遗传弱次-ortho-紧的.
证 设$G$是空间$X$的任意开子空间, 根据引理3.4, $G$是弱次-ortho-紧的.进而, 空间$X$是遗传弱次-ortho-紧的.
2016, Vol. 36 
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