次序统计量被广泛应用在统计推断、可靠性理论、生命试验、应用概率等其他领域.在可靠性理论中, $n$中取$k$系统是一种非常常见的纠错系统.一个$n$中取$k$系统正常工作当且仅当系统中至少有$k$个元件正常工作, 或者等价地说, 一个$n$中取$k$系统正常工作当且仅当系统中至多有$n-k$个元件失效.一个$n$中取$k$系统的寿命就是这$n$个随机变量中的第$(n-k+1)$个次序统计量.特别地, 并联系统就是$n$中取$1$系统, 串联系统就是$n$中取$n$系统.因此, 对并联系统寿命和串联系统寿命的研究就分别等价于是对极大次序统计量和极小次序统计量的研究.对次序统计量的研究文献很多, 有兴趣的读者可以参阅Balakrishnan等^[1], Balakrishnan和Zhao ^[2]和Balakrishnan和Rao ^{[3, 4]}等.

众所周知，可靠性理论里有很多重要的模型, 如威布尔分布模型^[11]和比例风险率模型(Proportional hazard rates, 简称: PH).设一个系统由$n$个元件构成, 其寿命分别为$X_{1}, \ldots, X_{n}$且对应的分布函数为$F_{1}, \ldots, F_{n}$.且设某个随机变量$X$的分布函数为$F(x)$, 对应的密度函数和生存函数分别为$f(x)$和$\overline{F}(x)$.若存在正常数$\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$使得

$ \begin{eqnarray} \overline{F}_{i}(x)=[\overline{F}(x)]^{\lambda_{i}}, i=1, \ldots, n \end{eqnarray} $

(1.1)

都成立, 则称随机变量$X_{1}, \ldots, X_{n}$来自于比例风险率模型.在此情形下, $r(x)=\frac{f(x)}{\overline{F}(x)}$是基本函数的风险率函数, 则$X_{i}$的风险率是$\lambda_{i}r(x), i=1, \ldots, n.$故(1.1) 式可以表示为

$ {\bar F_i}(x) = {e^{ - {\lambda _i}R(x)}}, i = 1, \ldots, n, $

其中$R(x)=\int_{0}^{x}r(t)dt, $是随机变量$X$的累积风险率.具有风险率$\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$的指数随机变量是特殊的PH模型, 其$R(x)=x.$ Pledger和Proschan ^[5]已经证明了若随机向量$(X_{1}, \ldots, X_{n})$和$(Y_{1}, \ldots, Y_{n})$分别具有风险率$(\mu_{1}, \ldots, \mu_{n})$和$(\nu_{1}, \ldots, \nu_{n})$, 则由

$ ({\mu _1}, \ldots, {\mu _n}){\succeq_m}({\nu _1}, \ldots, {\nu _n}), $

可得$X_{i:n}\geq_{st}Y_{i:n}, i=1, \ldots, n$.随后, Proschan和Sethuraman ^[6]把上述的结果由单个的随机比较推广到了向量的多元普通序比较, 即$(X_{1:n}, \ldots, X_{n:n})\geq_{st}(Y_{1:n}, \ldots, Y_{n:n})$成立.

在文献Balakrishnan等^[7]中研究了两个通过$\Beta$随机变量的普通多元随机序比较.设

$ {X_i} \sim \Beta({\alpha _i},1),{Y_i} \sim \Beta({\gamma _i},1),i = 1,2, $

都是独立的随机变量.则由

$ ({\alpha _1}, {\alpha _2}){\succeq_m}({\gamma _1}, {\gamma _2}), $

可得$(Y_{1:2}, Y_{2:2})\geq_{st}(X_{1:2}, X_{2:2})$成立.本文利用Beta随机变量的性质, 结合Proschan和Sethuraman ^[6]中PH模型随机比较的结论来研究Fisher-$Z$分布的普通多元随机序.

一个随机变量$X$的概率密度函数可以表示为

$ f(x；a, b)=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\frac{x^{a-1}}{(1+x)^{a+b}}, \ \ x>0, $

则称随机变量$X$服从Fisher-$Z$分布, 简称$Z$分布, 记为$Z(a, b)$, 其中$a$与$b$是两个正参数, $Z$分布族记为$\{Z(a, b): a>0, b>0\}$.

在本文中, 我们研究了$Z$分布次序统计量向量的随机比较的一些新结果.具体地, 令$X_{1}, \ldots, X_{n}$是一组相互独立的随机变量, $Y_{1}, \ldots, Y_{n}$是另一组相互独立的随机变量.首先, 若$X_{i}\sim Z(\beta_{i}, 1)$, $Y_{i}\sim Z(\gamma_{i}, 1)$, $ i=1, \ldots, n$, 证明了

$ (\beta_{1}, \ldots, \beta_{n})\succeq_{m} (\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{n}) \Longrightarrow (Y_{1:n}, \ldots, Y_{n:n})\geq_{st} (X_{1:n}, \ldots, X_{n:n}). $

其次, 若$X_{i}\sim Z(1, \beta_{i})$, $Y_{i}\sim Z(1, \gamma_{i})$, $ i=1, \ldots, n$, 得出

$ (\beta_{1}, \ldots, \beta_{n})\succeq_{m} (\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{n}) \Longrightarrow (X_{1:n}, \ldots, X_{n:n})\geq_{st} (Y_{1:n}, \ldots, Y_{n:n}). $

本节中我们首先给出本文中所需要的普通多元随机序以及优化序(majorization)的定义, 然后给出证明主要结论所需要的五个引理.

定义2.1  令$ {\bf{X}} = ({X_1}, \ldots ,{X_n})$和${\bf{Y}} = ({Y_1}, \ldots ,{Y_n})$为两个随机向量, 如果对所有的单调递增函数$\phi: \Re^{n}\rightarrow\Re$, 都有$E[\phi ({\bf{X}})] \ge E[\phi ({\bf{Y}})]$成立.则称${\bf{X}}$普通多元随机序意义下大于${\bf{Y}} $, 记作$ {\bf{X}}\geq_{st} {\bf{Y}}$.

在数学和统计的不同研究领域, 优化序是一个很有意义的研究课题.优化序是非增加顺序重排向量中元素以后的一种偏序.优化序的理论研究起源于Schur ^[8]和Hardy等^[9].优化序与组合数学、分析不等式、数值分析、矩阵理论、概率和统计等联系密切.

定义2.2   设${\bf{\lambda }}$$=(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n})$, ${{\bf{\lambda }}^*}$$ = (\lambda _1^ * ,\lambda _2^ * , \ldots ,\lambda _n^ * )$表示两个$n$维正向量, 令

$ {\lambda _{(1)}} \le {\lambda _{(2)}} \le \ldots \le {\lambda _{(n)}},\lambda _{(1)}^ * \le \lambda _{(2)}^ * \le \ldots \le \lambda _{(n)}^ * $

是它们元素的递增的排列, 如果$\sum^{j}_{i=1}\lambda_{(i)}\leq\sum^{j}_{i=1}\lambda^{\ast}_{(i)}$对$j=1, \ldots, n-1$, 且$\sum^{n}_{i=1}\lambda_{(i)}=\sum^{n}_{i=1}\lambda^{\ast}_{(i)}$, 则称${\bf{\lambda }}$优化于${{\bf{\lambda }}^{\bf{*}}}$, 记作${\bf{\lambda }}{{\succeq}_m}{{\bf{\lambda }}^{\bf{*}}}$.

下面的结论给出了PH模型的次序统计量组成的向量的普通多元随机序比较.

引理2.1 ^[6]  设$X_{1}, \ldots, X_{n}$是一组相互独立的随机变量, 符合PH模型且$X_{i}$的生存函数为

$ $$\overline{F}_{i}(x)=[\overline{F}(x)]^{\lambda_{i}}, \ \ i=1, \ldots, n. $

设$Y_{1}, \ldots, Y_{n}$是另一组相互独立的随机变量, 符合PH模型且$Y_{i}$的生存函数为

$ \overline{G}_{i}(x)=[\overline{F}(x)]^{\lambda^{*}_{i}}, \ \ i=1, \ldots, n. $

记${\bf{\lambda }}$$=(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n})$, ${{\bf{\lambda }}^{\bf{*}}}$$= (\lambda_{1}^{\ast}, \ldots, \lambda_{n}^{\ast})$, 则

$ {\bf{\lambda }}{\succeq_m}{{\bf{\lambda }}^{\bf{*}}}\Longrightarrow({X_{1:n}}, \ldots, {X_{n:n}}){ \ge _{st}}({Y_{1:n}}, \ldots, {Y_{n:n}}). $

下面的引理研究了$\Beta$随机变量的次序统计量组成的向量的普通多元随机序比较.

引理2.2  设$X_{1}, \ldots, X_{n}$是一组相互独立的随机变量, $Y_{1}, \ldots, Y_{n}$是另一组相互独立的随机变量.若$X_{i}\sim \Beta(1, \beta_{i})$, $Y_{i}\sim \Beta(1, \gamma_{i})$, $i=1, \ldots, n$, 则

$ (\beta_{1}, \ldots, \beta_{n})\succeq_{m}(\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{n})\Longrightarrow(X_{1:n}, \ldots, X_{n:n})\geq_{st}(Y_{1:n}, \ldots, Y_{n:n}). $

证  首先$X_{i}$的生存函数为$\overline{F}_{i}(x)$：为对任意$x\in (0, 1)$,

$ \overline{F}_{i}(x)=(1-x)^{\beta_{i}}=e^{-\lambda_{i}R(x)}, \ \ i=1, \ldots, n. $

这里$\lambda_{i}=\beta_{i}$, $R(x)=\ln\frac{1}{1-x}$.因此, $X_{1}, \ldots, X_{n}$符合PH模型.由于$(\beta_{1}, \ldots, \beta_{n})\succeq_{m}(\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{n})$, 根据引理2.1, 可得

$ (X_{1:n}, \ldots, X_{n:n})\geq_{st}(Y_{1:n}, \ldots, Y_{n:n}). $

引理2.3 ^[10]  设$ {\bf{X}}$和$ {\bf{Y}}$是两个$n$维随机向量, 若$ {\bf{X}} \geq_{st} {\bf{Y}}$和$ {\bf{h}} : \Re^{n}\rightarrow\Re^{k}$是任一$k$维递增(递减)函数, 则对任一正整数$k$, $k$维向量$ {\bf{h(X)}}$和${\bf{h(Y)}}$在一般多元随机序意义下满足

$ {\bf{h}}({\bf{X}}){ \ge _{st}}({ \le _{st}}){\bf{h}}({\bf{Y}}). $

引理2.4  设$X$是一个随机变量且$X\sim \Beta(a, b)$, 这里$a>0$, $ b>0$.如果$Y=1-X$, 则$Y\sim \Beta(b, a).$

证   $X$的概率密度函数$f_{X}(x)$可表示为对任意的$x\in (0, 1)$,

$ f_{X}(x)=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1}. $

因为$Y=1-X$, 由雅可比变换, $Y$的概率密度函数$f_{Y}(y)$为对任意$y\in (0, 1)$,

$ f_{Y}(y)=|-1|\cdot f_{X}(1-y)=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}y^{b-1}(1-y)^{a-1}. $

很容易看出: $Y\sim \Beta(b, a)$.

引理2.5  设随机变量$X\sim Z(a, b)$, 若$Y=\frac{X}{1+X}$, 则$Y\sim \Beta(a, b)$.

此引理的证明很显然, 在此我们略去.

首先, 我们给出在优化序条件下, $\Beta$分布次序统计量的普通多元随机序.

定理3.1  设$X_{1}, \ldots, X_{n}$是一组相互独立的随机变量, $Y_{1}, \ldots, Y_{n}$是另一组相互独立的随机变量.若$X_{i}\sim \Beta(\beta_{i}, 1)$, $Y_{i}\sim \Beta(\gamma_{i}, 1)$, $i=1, \ldots, n$, 则

$ (\beta_{1}, \ldots, \beta_{n})\succeq_{m}(\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{n})\Longrightarrow(Y_{1:n}, \ldots, Y_{n:n})\geq_{st}(X_{1:n}, \ldots, X_{n:n}). $

证  令$Z_{i}=1-X_{i}$, $Z^*_{i}=1-Y_{i}$, $i=1, \ldots, n$.因为$X_{i}\sim \Beta(\beta_{i}, 1)$, $Y_{i}\sim \Beta(\gamma_{i}, 1)$, 所以根据引理2.4,

$ Z_{i}\sim \Beta(1, \beta_{i})$, $Z^*_{i}\sim \Beta(1, \gamma_{i}). $

从而由引理2.2可得：

$ \begin{eqnarray} (Z_{1:n}, \ldots, Z_{n:n})\geq_{st}(Z^*_{1:n}, \ldots, Z^*_{n:n}). \end{eqnarray} $

(3.1)

现在, 我们考虑函数：$h(x_{1}, \ldots, x_{n}) = (1-x_{1}, \ldots, 1-x_{n})$, $0 < x_{i}< 1$, $i=1, \ldots, n$.很显然, $h(x_{1}, \ldots, x_{n})$是一个关于$(x_{1}, \ldots, x_{n})$单调递减函数.因此, 根据引理2.3与(3.1) 式, 可得

$ \begin{eqnarray} h(Z^*_{1:n}, \ldots, Z^*_{n:n})\geq_{st}h(Z_{1:n}, \ldots, Z_{n:n}). \end{eqnarray} $

(3.2)

将$Z_{i}=1-X_{i}$, $Z^*_{i}=1-Y_{i}$, 代入(3.2) 式, 可得

$ (Y_{1:n}, \ldots, Y_{n:n})\geq_{st}(X_{1:n}, \ldots, X_{n:n}). $

在下面的定理3.2和定理3.3中, 我们研究了在优化序条件下, $Z$分布次序统计量的普通多元随机序的两个结果.

定理3.2  设$X_{1}, \ldots, X_{n}$是一组相互独立的随机变量, $Y_{1}, \ldots, Y_{n}$是另一组相互独立的随机变量.若$X_{i}\sim Z(\beta_{i}, 1)$, $Y_{i}\sim Z(\gamma_{i}, 1)$, $i=1, \ldots, n$, 则

$ (\beta_{1}, \ldots, \beta_{n})\succeq_{m}(\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{n})\Longrightarrow(Y_{1:n}, \ldots, Y_{n:n})\geq_{st}(X_{1:n}, \ldots, X_{n:n}). $

证  令$U_{i}=\frac{X_{i}}{1+X_{i}}$, $U^*_{i}=\frac{Y_{i}}{1+Y_{i}}$, $i=1, \ldots, n$.因为$X_{i}\sim Z(\beta_{i}, 1)$, $Y_{i}\sim Z(\gamma_{i}, 1)$, 所以, 根据引理2.5立即得到

$ U_{i}\sim \Beta(\beta_{i}, 1)$, $U^*_{i}\sim \Beta(\gamma_{i}, 1). $

根据定理3.1可得

$ \begin{eqnarray} (U^*_{1:n}, \ldots, U^*_{n:n})\geq_{st}(U_{1:n}, \ldots, U_{n:n}). \end{eqnarray} $

(3.3)

现在, 考虑函数$h(x_{1}, \ldots, x_{n}) = (\frac{x_{1}}{1-x_{1}}, \ldots, \frac{x_{n}}{1-x_{n}})$, $0 < x_{i}< 1$, $i=1, \ldots, n$.显然, 函数$h(x_{1}, \ldots, x_{n})$是一个$n$维关于$(x_{1}, \ldots, x_{n})$的单调递增函数.因此, 由引理2.3和(3.3) 式, 我们得到

$ \begin{eqnarray} h(U^*_{1:n}, \ldots, U^*_{n:n})\geq_{st}h(U_{1:n}, \ldots, U_{n:n}). \end{eqnarray} $

(3.4)

将$U_{i}=\frac{X_{i}}{1+X_{i}}$, $U^*_{i}=\frac{Y_{i}}{1+Y_{i}}$, $i=1, \ldots, n$, 代入(3.4) 式, 可得

$ (\beta_{1}, \ldots, \beta_{n})\succeq_{m}(\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{n})\Longrightarrow(Y_{1:n}, \ldots, Y_{n:n})\geq_{st}(X_{1:n}, \ldots, X_{n:n}). $

定理3.3  设$X_{1}, \ldots, X_{n}$是一组相互独立的随机变量, $Y_{1}, \ldots, Y_{n}$是另一组相互独立的随机变量.若$X_{i}\sim Z(1, \beta_{i})$, $Y_{i}\sim Z(1, \gamma_{i})$, $i=1, \ldots, n$, 则

$ (\beta_{1}, \ldots, \beta_{n})\succeq_{m}(\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{n})\Longrightarrow(X_{1:n}, \ldots, X_{n:n})\geq_{st}(Y_{1:n}, \ldots, Y_{n:n}). $

证  因为$X_{i}\sim Z(1, \beta_{i})$, 所以$X_{i}$的概率密度函数为对任意$x\in(0, +\infty)$,

$ f_{i}(x)=\frac{\beta_{i}}{(1+x)^{\beta_{i}+1}}, \ \ i=1, \ldots, n. $

则$X_{i}$的生存函数为

$ \overline{F}_{i}(x)=\frac{1}{(1+x)^{\beta_{i}}}=[\overline{F}(x)]^{\beta_{i}} , \ \ i=1, \ldots, n. $

这里, $\overline{F}(x)=\frac{1}{(1+x)}$, $x\in(0, +\infty)$.因此, $X_{1}, \ldots, X_{n}$符合PH模型.由于

$ (\beta_{1}, \ldots, \beta_{n})\succeq_{m}(\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{n}), $

由引理2.1立得

$ (X_{1:n}, \ldots, X_{n:n})\geq_{st}(Y_{1:n}, \ldots, Y_{n:n}). $