计算与估计分形集的Hausdorff维数与测度是分形几何研究的重要内容之一。一般地说，计算分形集合的Hausdorff维数，特别是计算Hausdorff测度是非常困难的。在满足开集条件下，自相似集的Hausdorff维数已被完全确定（参见文[1])。但就在这种情形，Hausdorff测度的计算与估计, 除直线上Cantor集及其种种变形之外，也几乎无任何结果(参见文[1~3])。Moran集最先由[4]引入。关于Moran集的详细论述参见文[5]。文[6]利用网测度的方法得到了齐次Cantor集和偏齐次Cantor集的Hausdorff维数，并估计了一般齐次Moran集的Hausdorff维数。文[7]在齐次Cantor集和偏齐次Cantor集的基础上，通过将相邻的k阶基本区间的间隔$\varepsilon_k$缩小到t倍（$0\leq t\leq 1$）变为$\varepsilon_k t$, 而保持基本区间的长度和个数不变，得到了位于齐次Cantor集和偏齐次Cantor集之间的一类齐次Moran集，且得到了这类集合的Hausdorff维数。文[8]运用Mauldin和Williams引入的方法确定了一类齐次Cantor集的Hausdorff测度。本文将在齐次Cantor集结构和文[6]、[8]相关结果的基础上，在一定条件下改变齐次Cantor集基本区间的位置得到一类新的齐次Moran集，并确定它的Hausdorff测度。

设$\{n_k\}_{k\geq 1}$为一列正整数序列，$\{c_k\}_{k\geq 1}$为一列正实数序列，满足$n_k\geq 2$，$0<c_k<1$，$n_1c_1\leq\delta$及$n_kc_k\leq1(k\geq2)$, 其中$\delta$为一正实数。对任意$k\geq1$, 记

$ D_k=\{i_1i_2\cdots i_k:1\leq i_j\leq n_j, 1\leq j\leq k\}，$

令$D=\bigcup\limits_{k\geq0}D_k$, 其中$D_0$约定为$\{\emptyset\}$.

若$\sigma=\sigma_1\cdots \sigma_k\in D_k, \ \tau=\tau_1\cdots \tau_m\in D_m$, 则记$\sigma*\tau=\sigma_1\cdots \sigma_k\tau_1\cdots \tau_m$.

定义2.1^[5]  设J为长度为$\delta $的闭区间，J的闭子集簇$\mathcal{F}=\{J_{\sigma}:\sigma\in D\}$称为具有齐次Moran结构，如果它满足

1.$J_{\emptyset}=J$;

2.对任意$k\geq0$及任意$\sigma\in D_k$, $J_{\sigma*1}, \cdots, J_{\sigma*n_{k+1}}$为$J_\sigma$的闭子区间，并且对任意$i\neq j$, ${\rm{int}}(J_{\sigma*i})\cap {\rm{int}}(J_{\sigma*j})=\emptyset$;

3.对任意$k\geq1$，$\sigma\in D_{k-1}$及$1\leq j\leq n_k$有

$ \frac{\mid J_{\sigma*j}\mid}{\mid J_{\sigma}\mid}=c_k, $

其中$\mid A\mid$表示集$A$的直径。

设$\mathcal{F}$为具有齐次Moran结构的J的闭子区间族，称$E(\mathcal{F}):=\bigcap\limits_{k\geq1}\bigcup\limits_{\sigma\in D_k}J_{\sigma}$为由$\mathcal{F}$确定的齐次Moran集，称$\mathcal{F}_k=\{J_{\sigma}:\sigma\in D_k\}$为$E(\mathcal{F})$的k阶基本区间，J称为$E(\mathcal{F})$的母区间.由上面的定义看到，对于给定的区间J，序列$\{n_k\}_{k\geq 1}$, $\{c_k\}_{k\geq 1}$随着$k(k\geq1)$阶基本区间的位置不同而产生不同的齐次Moran集.用$\mathcal{M}(J, \{n_k\}, \{c_k\})$表示由$J, \{n_k\}, \{c_k\}$生成的所有齐次Moran集的集合.

定义2.2^[5]  对任意$k\geq1$，$\sigma\in D_{k-1}$及$1\leq j\leq n_k$, 它的$k$阶基本区间$J_{\sigma*j}$(我们假定$J_{\sigma*1}, \cdots, J_{\sigma*n_k}$在$J_\sigma$中从左到右排列)满足

1.$J_{\sigma*1}$的左端点与$J_{\sigma}$的左端点重合; $J_{\sigma*n_k}$的右端点与$J_{\sigma}$的右端点重合；

2.相邻的k阶基本区间的间隔相同。

由此得到的Moran集称为齐次康托集，记为

$ \mathbb{C}=\mathbb{C}(J, \{n_k\}, \{c_k\}). $

如果将上述定义中的条件1用以下条件代替：$J_{\sigma*1}$的左端点与$J_{\sigma}$的左端点重合，$J_{\sigma*{j+1}}$的左端点与$J_{\sigma*j}$的右端点重合，$1\leq j\leq n_k-1$，则得到的Moran集称为偏齐次康托集，记为

$ \mathbb{C}^*=\mathbb{C}^*(J, \{n_k\}, \{c_k\}). $

定义2.3^[9]  定义预维数序列$\{s_k\}_{k\geq 1}$, 其中$s_k$满足下列等式

$ \prod\limits_{i=1}^k\sum\limits_{j=1}^{n_i}c_{ij}^{s_k}=1. $

令$s_*=\liminf\limits_{k\rightarrow\infty}s_k$.

下面总假设${J}{\rm{ = [0,1]}}$, $s_*$如上所定义，则

$ s_*=\liminf\limits_{k\rightarrow\infty}\frac{\log n_1\cdots n_k}{-\log c_1\cdots c_k}. $

定义

$ t_*=\liminf\limits_{k\rightarrow\infty}\frac{\log n_1\cdots n_k}{-\log c_1\cdots c_{k+1}n_{k+1}}. $

令$\delta_k, \varepsilon_k$分别为$\mathbb{C}$的第k级基本区间的长度和相邻基本区间之间的间隔，则

$ \begin{equation} \delta_k=c_1\cdots c_k, \qquad\varepsilon_k=\frac{c_1\cdots c_{k-1}(1-n_kc_k)}{n_k-1}. \end{equation} $

(2.1)

在本文中，我们考虑一种新的齐次Moran集，定义如下：

定义2.4  在上述齐次Cantor集的基础上, 对任意$k\geq1$，$\sigma\in D_{k-1}$及$1\leq j\leq n_k$, 新的$k$阶基本区间满足

1.相邻的k阶基本区间的间隔为$\varepsilon^{'}_k=\frac{n_k-1}{n_k+1}\varepsilon_k$；

2.k阶基本区间的长度$\delta_k$，母区间$J$, 序列$\{n_k\}, \{c_k\}$均不变；

3.从齐次Cantor集的$k$阶基本区间出发，将$J_{\sigma*1}$的左端点和$J_{\sigma*n_k}$的右端点分别向相应的$k-1$级基本区间的中心移动$\varepsilon^{'}_k$；

由上面定义得到的所有齐次Moran集的全体记为

$ \mathbb{C}^{'}=\mathbb{C}^{'}(J, \{n_k\}, \{c_k\}). $

在不混淆的情况下记为$\mathbb{C}^{'}$.

对于任意$E\in\mathbb{C}^{'}(J, \{n_k\}, \{c_k\})$, 设$\dim_HE=s$.由[5，6]我们知道

定理3.1^[5，6]  若$E\in\mathcal{M}(J, \{n_k\}, \{c_k\})$, 则有

$ t_*\leq \dim_HE\leq s_*. $

特别地，

(1) 若$E$还满足$\inf\limits_{k\geq1}c_k>0$, 则$\dim_HE=s_*$;

(2) 若$E$还满足$\sup\limits_{k\geq1}n_k<\infty$, 则${\rm{dim}}_HE=s_*=t_*.$

由于

$ \mathbb{C}^{'}(J, \{n_k\}, \{c_k\})\subseteq \mathcal{M}(J, \{n_k\}, \{c_k\}), $

所以$E\in\mathcal{M}(J, \{n_k\}, \{c_k\})$.

故由定理1，有$t_*\leq s\leq s_*$; 当$\inf\limits_{k\geq1}c_k>0$时，$s=s_*$; 当$\sup\limits_{k\geq1}n_k<\infty$时，$s=s_*=t_*$.

设$R_s(E)=\liminf\limits_{k\rightarrow\infty}\prod\limits_{j=1}^kn_jc_j^s$, 在本文中设$0\leq R_s(E)<\infty$.

定理3.2  若$E\in\mathbb{C}^{'}(J, \{n_k\}, \{c_k\})$, $0\leq R_s(E)<\infty$, 则

$ \frac{1}{6}R_s(E)\leq\mathcal{H}^s(E)\leq R_s(E). $

由于$\forall k\geq1$, $\mathcal{F}_k$为E的覆盖，故

$ \mathcal{H}^s(E)\leq\liminf\limits_{k\rightarrow\infty}allel{\mathcal{F}}_kallel=\liminf\limits_{k\rightarrow\infty}\prod\limits_{j=1}^kn_jc_j^s=R_s(E). $

若$R_s(E)=0$, 则$\mathcal{H}^s(E)=0$, 即$\mathcal{H}^s(E)=R_s(E)=0$.此时，定理3.2成立。

下面只需考虑$0< R_s(E)<\infty$的情形。

对任意$\sigma\in D_{k-1}$, 记$G_{k, \sigma}$为$J_\sigma\cap \mathcal{F}_k$中元素所有可能并集的集合，令

$ G_k=\bigcup\limits_{\sigma\in D_{k-1}}G_{k, \sigma}, \qquad G=\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}G_k, \\ \mathcal{H}^s_G(E)=\liminf\limits_{\delta\rightarrow0}\{\sum\limits_{i=1}^{\infty}{\mid U_i\mid}^s:E\subset{\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}U_i}, {\mid U_i\mid}<\delta, U_i\in G\}. $

引理4.1  设$\mathcal{H}^s(E)$是$E$的$s$维 Hausdorff 测度，则

$ \begin{equation}\label{eq:1} \frac{1}{2}\mathcal{H}^s_G(E)\leq\mathcal{H}^s(E)\leq\mathcal{H}^s_G(E). \end{equation} $

(4.1)

证  由$\mathcal{H}^s_G(E)$和$\mathcal{H}^s(E)$的定义可知，第二个不等式$\mathcal{H}^s(E)\leq\mathcal{H}^s_G(E)$显然成立。现证第一个不等式。设$U$为${\rm{[0,1]}}$上的开区间，$U\cap E\neq\emptyset$.由于$\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\prod\limits_{i=1}^kc_i=0$, 因此，存在一个正整数$k_0$, 使得$\mid U\mid\geq2\prod\limits_{i=1}^{k_0}c_i$.此时，可分为两种情形（A1, A2）：

A1) 存在一个正整数$k\geq k_0$，使得$U$至少含有一个$k$阶基本区间，但不含任何$(k-1)$阶基本区间，因此$U$至多与两个$(k-1)$阶基本区间相交.

a) $U$与两个$(k-1)$阶基本区间相交，设$I_1$, $I_2$是那样的两个基本区间，记$U_1=I_1\cap U$，$U_2=I_2\cap U$，那么利用$x^s$的凸性, 有

$ \begin{equation}\label{eq:2} {\mid U\mid}^s\geq(\mid U_1\mid+\mid U_2\mid)^s\geq\frac{2^s}{2}({\mid U_1\mid}^s+{\mid U_2\mid}^s). \end{equation} $

(4.2)

由于$U_1$和$U_2$中至少有一个含$k$阶基本区间，不失一般性，设$U_1$含有一个含$k$阶基本区间，记$G(U_1)=\bigcup\limits_{\sigma\in D_k, J_{\sigma}\cap U_1\neq\emptyset}J_{\sigma}, $则${\mid G(U_1)\mid}^s\leq(\mid U_1\mid+\prod\limits_{i=1}^kc_i)^s\leq2^s{\mid U_1\mid}^s$.

如果$U_2$也至少含有一个$k$阶基本区间，记$G(U_2)=\bigcup\limits_{\sigma\in D_k, J_{\sigma}\cap U_2\neq\emptyset}J_{\sigma}, $因此${\mid G(U_2)\mid}^s\leq2^s{\mid U_2\mid}^s$.从而$G(U_i)\in G_k, i=1, 2$且

$ \begin{equation}\label{eq:3} {\mid U\mid}^s\geq\frac{2^s}{2}({\mid U_1\mid}^s+{\mid U_2\mid}^s)\geq\frac{1}{2}({\mid G(U_1)\mid}^s+{\mid G(U_2)\mid}^s). \end{equation} $

(4.3)

如果$U_2$不含任何$k$阶基本区间，则$U$仅与$I_2$相交。通过分析知道，在这种情况下，又可以分为两种情形：

a1) 存在正整数$l(>k)$, 使得$U_2$至少含一个$l$阶基本区间，但它不含任何$(l-1)$阶基本区间，记

$ G(U_2)=\bigcup\limits_{\sigma\in D_l, J_{\sigma}\cap U_2\neq\emptyset}J_{\sigma}, $

则$G(U_2)\in G_l$, 此时可类似上面的论述，得到${\mid G(U_2)\mid}^s\leq2^s{\mid U_2\mid}^s$.于是，式（4.3）成立。

a2) 不存在正整数$l(>k)$, 使得$U_2$含有$l$阶基本区间，此时，$U_2$至多与一个$k$阶基本区间相交，记$G(U_2)=\bigcup\limits_{\sigma\in D_k, J_{\sigma}\cap U_2\neq\emptyset}J_{\sigma}, $则仍有$G(U_2)\in G_k$, 那么${\mid G(U_2)\mid}^s\leq(\mid U_2\mid+\prod\limits_{i=1}^kc_i)^s\leq2^s{\mid U_2\mid}^s$.于是，式（4.3）也成立。

b) $U$仅与一个$(k-1)$阶基本区间相交.

如果$U$的左端点不落在任何$k$阶基本区间上，记$G(U)=\bigcup\limits_{\sigma\in D_k, J_{\sigma}\cap U\neq\emptyset}J_{\sigma}, $则$G(U)\in G_k$, 且

$ \begin{equation}\label{eq:4} {\mid U\mid}^s\geq\frac{1}{2^s}{\mid G(U)\mid}^s\geq\frac{1}{2}{\mid G(U)\mid}^s. \end{equation} $

(4.4)

如果$U$的左端点落在某个$k$阶基本区间上，设$J_1$是那样的基本区间，记$U_1=U\cap J_1$, $U_2=U-U_1$, 且$G(U_2)=\bigcup\limits_{\sigma\in D_k, J_{\sigma}\cap U_2\neq\emptyset}J_{\sigma}$, 则$G(U_2)\in G_k$, 且${\mid G(U_2)\mid}^s\leq2^s{\mid U_2\mid}^s$.对于$U_1$, 我们又可以分为两种情形。

b1) 存在正整数$l(>k)$, 使得$U_1$至少含一个$l$阶基本区间，但它不含任何$(l-1)$阶基本区间，记

$ G(U_1)=\bigcup\limits_{\sigma\in D_l, J_{\sigma}\cap U_1\neq\emptyset}J_{\sigma}, $

类似上面的论述，得到${\mid G(U_1)\mid}^s\leq2^s{\mid U_1\mid}^s$.于是，式（4.3）成立。

b2) 不存在正整数$l(>k)$, 使得$U_1$含有$l$阶基本区间，此时，$U_1$至多与一个$k$阶基本区间相交，记

$ G(U_1)=\bigcup\limits_{\sigma\in D_k, J_{\sigma}\cap U_1\neq\emptyset}J_{\sigma}, $

则仍有$G(U_1)\in G_k$, 那么${\mid G(U_1)\mid}^s\leq(\mid U_1\mid+\prod\limits_{i=1}^kc_i)^s\leq2^s{\mid U_1\mid}^s$.于是，式（4.3）也成立。

A2) 不存在一个正整数$k\geq k_0$，使得$U$含有$k$阶基本区间。此时，对于某个正整数$k$，$U$至多与两个$k$阶基本区间相交, 记$G(U)=\bigcup\limits_{\sigma\in D_k, J_{\sigma}\cap U\neq\emptyset}J_{\sigma}, $则$G(U)\in G_k$, 且${\mid G(U)\mid}^s\leq(\mid U\mid+2\prod\limits_{i=1}^kc_i)^s \leq2^s{\mid U\mid}^s$, 那么也有式(4.3) 成立。

现设$\{U^i\}$是$E$的$\delta$覆盖，则$\{G(U_1^i), G(U_2^i)\}\subset G$是$E$的$2\delta$覆盖，因此$\mathcal{H}^s(E)\geq\frac{1}{2}\mathcal{H}^s_G(E)$, 引理4.1得证。

对任意$\sigma=(\sigma_1, \cdots, \sigma_m)\in D_m$, 若$0<k\leq m$, 记$\sigma\mid k=(\sigma_1, \cdots, \sigma_k)$.对任意两个$\sigma, \tau\in D_k$, 记$a(\sigma)$是$I_{\sigma}$的左端点，$b(\tau)$是$I_{\tau}$的右端点。设$\mu$是支撑在$E$上的概率测度，使得对任意$A\in \mathcal{F}_k$, 有$\mu(A)=(n_1\cdots n_k)^{-1}$.

引理4.2  设$E\in\mathbb{C}^{'}(J, \{n_k\}, \{c_k\})$，且$0< R_s(E)<\infty$.那么存在$k_0\in\mathrm{N}$, 使得对任意的$\sigma, \tau\in D_k(k\geq k_0)$, 若$a(\sigma)<b(\tau)$且$\sigma\mid (k-1)=\tau\mid (k-1)$, 则

$ \mu([a(\sigma), b(\tau)])\leq 3^{1-s}(R_s(E)-\varepsilon)^{-1}(b(\tau)-a(\sigma))^s. $

证  由于$\liminf\limits_{k\rightarrow\infty}\prod\limits_{j=1}^kn_jc_j^s=R_s(E)$，则对任意$\varepsilon>0$, 存在$k_0>0$, 使得当$k\geq k_0$时，$\prod\limits_{j=1}^kn_jc_j^s\geq R_s(E)-\varepsilon$, 因此

$ \begin{equation}\label{eq:5} (n_1\cdots n_k)^{-1}\leq(R_s(E)-\varepsilon)^{-1}(c_1\cdots c_k)^s. \end{equation} $

(4.5)

若$\sigma=\tau\in D_k(k>k_0)$, 则$b(\tau)-a(\sigma)=c_1\cdots c_k$, 从而由（4.5）知

$ \begin{array}{l} \mu ([a(\sigma ),b(\tau )]) = {({n_1} \cdots {n_k})^{ - 1}}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \le {({R_s}(E) - \varepsilon )^{ - 1}}{({c_1} \cdots {c_k})^s} = {({R_s}(E) - \varepsilon )^{ - 1}}{(b(\tau ) - a(\sigma ))^s}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \le {3^{1 - s}}{({R_s}(E) - \varepsilon )^{ - 1}}{(b(\tau ) - a(\sigma ))^s}. \end{array} $

若$\sigma\neq \tau$, $\sigma, \tau\in D_k(k>k_0)$, 假设$[a(\sigma), b(\tau)]$中含$i$个$k$阶基本区间，由于$\sigma\mid (k-1)=\tau\mid (k-1)$且$\sigma\neq \tau$，所以$2\leq i\leq n_k$, 且

$ \begin{array}{l} {(b(\tau ) - a(\sigma ))^s} = i{\delta _k} + (i - 1){\varepsilon _k}^s\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = i{c_k} + (i - 1){\frac{{1 - {n_k}{c_k}}}{{1 + {n_k}}}^s}{({c_1} \cdots {c_{k - 1}})^s}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{{{n_k} + i}}{{{n_k} + 1}}{c_k} + {\frac{{i - 1}}{{1 + {n_k}}}^s}{({c_1} \cdots {c_{k - 1}})^s}. \end{array} $

利用$x^s$的凸性有

$ \begin{equation}\label{eq:6} (b(\tau)-a(\sigma))^s\geq(\frac{n_k+2i-1}{n_k+1})^{s-1}[\frac{n_k+i}{n_k+1}(c_1\cdots c_{k-1}c_k)^s+\frac{i-1}{1+n_k}(c_1\cdots c_{k-1})^s]. \end{equation} $

(4.6)

由（4.5）和（4.6）式有

$ \begin{array}{l} {(b(\tau ) - a(\sigma ))^s} \ge ({R_s}(E) - \varepsilon ){({n_1} \cdots {n_k})^{ - 1}}{(\frac{{{n_k} + 2i - 1}}{{{n_k} + 1}})^{s - 1}}\frac{{{n_k} + i}}{{{n_k} + 1}} + \frac{{{n_k}(i - 1)}}{{1 + {n_k}}}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = ({R_s}(E) - \varepsilon ){({n_1} \cdots {n_k})^{ - 1}}{(\frac{{{n_k} + 2i - 1}}{{{n_k} + 1}})^{s - 1}}i\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = ({R_s}(E) - \varepsilon ){(\frac{{{n_k} + 2i - 1}}{{{n_k} + 1}})^{s - 1}}\mu ([a(\sigma ),b(\tau )])\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \ge {(\frac{1}{3})^{1 - s}}({R_s}(E) - \varepsilon )\mu ([a(\sigma ),b(\tau )]). \end{array} $

因此$\mu([a(\sigma), b(\tau)])\leq3^{1-s}(R_s(E)-\varepsilon)^{-1}(b(\tau)-a(\sigma))^s$, 引理4.2得证。

引理4.3  设$E\in\mathbb{C}^{'}(J, \{n_k\}, \{c_k\})$，且$0< R_s(E)<\infty$, 则$(\frac{1}{3})^{1-s}R_s(E)\leq\mathcal{H}^s_G(E)\leq R_s(E)$.

证   $\mathcal{H}^s_G(E)\leq R_s(E)$显然成立。现设$\{U_i\}\subset G$是$E$的$\delta$覆盖，$\delta\leq x_{k_0}$.对每个$U_i$，必存在一个正整数$k(i)>k_0$，使得$U_i$含在某个$(k(i)-1)$阶基本区间内.假设$U_i$是某些$k(i)$阶基本区间的并，即$U_i=I_{\sigma^{(i)}}\cup\cdots I_{\tau^{(i)}}$，这里$I_{\sigma^{(i)}}$和$U_i$有相同的左端点，$I_{\tau^{(i)}}$和$U_i$有相同的右端点.则$\mid U_i\mid=b(\tau^{(i)})-a(\sigma^{(i)})$.由引理4.2有

$ \begin{array}{l} 1 = \mu (E) \le \sum\limits_{i = 1}^\infty \mu ({U_i}) \le \sum\limits_{i = 1}^\infty \mu ([a({\sigma ^{(i)}}),b({\tau ^{(i)}})])\\ \;\; \le {3^{1 - s}}{({R_s}(E) - \varepsilon )^{ - 1}}\sum\limits_{i = 1}^\infty {(b(} {\tau ^{(i)}}) - a({\sigma ^{(i)}}){)^s} = {3^{1 - s}}{({R_s}(E) - \varepsilon )^{ - 1}}\sum\limits_{i = 1}^\infty {\mid {U_i}{\mid ^s}} . \end{array} $

因此$\mathcal{H}^s_G(E)\geq (\frac{1}{3})^{1-s}(R_s(E)-\varepsilon)$.由$\varepsilon$的任意性，有$\mathcal{H}^s_G(E)\geq (\frac{1}{3})^{1-s}R_s(E)$，引理4.3得证。

证[定理2的证明]  由引理4.1和引理4.3可知

$ \frac{1}{6}R_s(E)\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{3})^{1-s}R_s(E)\leq\frac{1}{2}\mathcal{H}^s_G(E)\leq\mathcal{H}^s(E)\leq R_s(E), $

即$\frac{1}{6}R_s(E)\leq\mathcal{H}^s(E)\leq R_s(E)$，定理得证。

例  对于经典三分Cantor集$\mathbb{C}([0,1], \{2\}, \{\frac{1}{3}\})$，如本文中的做法处理，可得到新的齐次Moran集$\mathbb{C}^{'}([0,1], \{2\}, \{\frac{1}{3}\})$.任意的$E\in\mathbb{C}^{'}([0,1], \{2\}, \{\frac{1}{3}\})$，由于$\sup\limits_{k}n_k=2<\infty$, 所以$\dim_H(E)=s_*=\frac{\log2}{\log3}$.然而$R_{\frac{\log2}{\log3}}(E)=1$, 因此$\frac{1}{6}\leq\mathcal{H}^s(E)\leq 1$.