下面给出齐次Moran集的定义:

设 $\{n_k\}_{k\geq1}$为一正整数序列, $\{c_{k}\}_{k\geq1}$为一正实数序列, 满足 $n_{k} \geq2, 0<c_{k}<1, n_{1}c_{1}\leq\delta$及 $n_{k}c_{k}\leq1 (k\geq 2)$, 其中, $\delta$为一正实数.对任意 $k\geq1$, 记

$ D_{k}=\{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}:1\leq i_{j} \leq n_{j}, 1\leq j \leq k\}. $

令 $D=\bigcup \limits_{k\geq0} D_{k}$, 其中 $D_{0}$约定为 $\emptyset$.

若

$ \sigma=\sigma_{1}\cdots \sigma_{k} \in D_{k}, \tau =\tau_{1}\cdots \tau_{m} \in D_{m}, $

记 $\sigma\ast \tau =\sigma_{1}\cdots\sigma_{k}\tau_{1}\cdots\tau_{m}$.

定义1.1  设 $\mathit{J}$为长度为 $\delta$的闭区间. $\mathit{J}$中的闭区间族 $\mathcal{F}=\{J_{\sigma}:\sigma \in D$}称为具有齐次Moran结构, 如果它满足

1. $~J_{\emptyset}=J$;

2.对任意 $k\geq0$及任意 $\sigma \in D_{k}, J_{\sigma\ast1}, \cdots J_{\sigma\ast n_{k+1}}$为 $J_{\sigma}$的闭子区间, 并且对任意 $i\neq j$,

$ \text{int}(J_{\sigma\ast i}) \bigcap \text{int}(J_{\sigma\ast j})=\emptyset, $

其中, $\text{int}(J_{\sigma\ast i})$表示区间 $J_{\sigma\ast i}$的内部.

3.对任意 $k\geq 1, \sigma \in D_{k-1}$及 $1\leq j\leq n_{k}$有

$ \frac{|J_{\sigma\ast j}|}{|J_{\sigma}|}=c_{k}, $

其中 $|A|$表示集 $\mathit{A}$的直径.

设 $\mathcal{F}$为具有齐次Moran结构的 $\mathit{J}$的闭子区间族, 称 $E(\mathcal{F}):=\bigcap \limits _{k\geq 1} \bigcup \limits _{\sigma\in D_{k}}J_{\sigma}$为由 $\mathcal{F}$确定的齐次Moran集, 称 $\mathcal{F}_{k}=\{J_{\sigma}:\sigma\in D_{k}\}$为 $E(\mathcal{F})$的 $k$阶基本区间, $J$称为 $E(\mathcal{F})$的母区间.由上面的定义看到, 对于给定的闭区间 $J$, 序列 $\{n_{k}\}_{k\geq1}, \{c_{k}\}_{k\geq1}$随着k阶基本区间的位置不同 $(k\geq1)$而产生不同的齐次Moran集, 记 $\mathcal{M}=\mathcal{M}(J, \{n_{k}\}, \{c_{k}\})$表示这些齐次Moran集的集合.

定义1.2  设对任意 $k\geq 1$, 任意 $\sigma\in D_{k}$及 $1\leq j\leq n_{k+1}$, 它 $k+1$阶基本元 $J_{\sigma\ast j}$（我们假定 $J_{\sigma\ast 1}, \cdots J_{\sigma\ast n_{k+1}}$在 $J_{\sigma}$中从左到右排列）满足

1. $J_{\sigma\ast1}$的左端点与 $J_{\sigma}$的左端点重合, $J_{\sigma\ast n_{k+1}}$的右端点与 $J_{\sigma}$的右端点重合.

2.相邻的 $k+1$阶基本区间的间隔相同.

由此得到的Moran集称为齐次均匀康托集, 记为

$ \mathcal{C}=\mathcal{C}(J, \{n_{k}\}, \{c_{k}\}). $

如果将上述定义中的条件1用下列条件代替: $J_{\sigma\ast1}$的左端点与 $J_{\sigma}$的左端点重合, $J_{\sigma\ast j+1}$的左端点与 $J_{\sigma\ast j}$的右端点重合 $1\leq j\leq {n_{k+1}-1}$, 则得到的Moran集称为偏齐次均匀康托集, 记为

$ \mathcal{C}^{\ast}=\mathcal{C}^{\ast}(J, \{n_{k}\}, \{c_{k}\}). $

定义1.3  定义预维数序列 $\{s_{k}\}_{k\geq1}$, 其中 $s_{k}$满足下列等式

$ \prod \limits_{i=1} \limits^{k}\sum \limits_{j=1} \limits^{n_{i}}c_{ij}^{s_{k}}=1. $

令 $s_{\ast}=\liminf \limits _{k\rightarrow \infty} s_{k}, s^{\ast}=\limsup \limits _{k\rightarrow\infty}s_{k}$.

下面总假设 $J=[0, 1], s_{\ast}, s^{\ast}$同前面定义, 亦即

$ s_{\ast}=\liminf \limits _{k \rightarrow \infty} \frac{\log n_{1}\cdots n_{k}}{-\log c_{1}\cdots c_{k}}, s^{\ast}=\limsup \limits _{k\rightarrow\infty} \frac{\log n_{1}\cdots n_{k}}{-\log c_{1}\cdots c_{k}}. $

(1)

令 $\delta_{k}, \varepsilon_{k}$分别为 $\mathcal{C}$的第 $\mathit{k}$阶基本区间的长度和相邻基本区间之间的间隔, 则

$ \delta_{k}=c_{1}\cdots c_{k}, \varepsilon _{k}=\frac{c_{1}\cdots c_{k-1}(1-n_{k}c_{k})}{n_{k}-1}. $

命题1  设 $\mathcal{C}=\mathcal{C}(J, \{n_{k}\}, \{c_{k}\})$为齐次均匀康托集, 则 $\dim_{H}\mathcal{C}=s_{\ast}$.

现设 $\mathcal{C}^{\ast}=\mathcal{C}^{\ast}(J, \{n_{k}\}, \{c_{k}\})$为偏齐次均匀康托集, 对任意整数 $l\geq 0, $令

$ u_{l}:=\sum \limits _{k=l+1} \limits ^{\infty}(n_{k}-1)\delta_{k}. $

记 $J^{\prime}=[0, u_{0}], d_{k}=\frac{u_{k}}{u_{k-1}}, k\geq 1$, 则由 $\mathcal{C}$与 $\mathcal{C^{\ast}}$的定义得到

引理1  设 $J^{\prime}, d_{k}, $同上定义, 则

$ \mathcal{C}^{\ast}(J, \{n_{k}\}, \{c_{k}\})=\mathcal{C}(J^{\prime}, \{n_{k}\}, \{d_{k}\}), $

亦即 $\mathcal{C}^{\ast}$对应于 $J^{\prime}, \{n_{k}\}, \{d_{k}\}$的齐次均匀康托集.

现在我们定义一种新的齐次Moran集.

定义2.1  设 $t\geq 0, t\in R$相对于齐次均匀康托集 $\mathcal{C}(J, \{n_{k}\}, \{c_{k}\})$, 对于 $k$级基本区间 $J_{\sigma}, (\sigma\in D_{k})$, 定义第 $k+1$级的基本区间 $J_{\sigma\ast 1, \cdots J_{\sigma\ast n_{k+1}}}$满足:

1. $|J_{\sigma\ast i}|=c_{1}\cdots c_{k+1}=\delta_{k+1}, \forall 1\leq i\leq n_{k+1}$.

2. $J_{\sigma\ast i}$与 $J_{\sigma\ast(i+1)}$之间的间隔相同, 记为 $a_{k+1}$.

3. $J_{\sigma\ast 1}$的左端点与 $J_{\sigma}$的左端点的距离为 $ta_{k+1}, J_{\sigma\ast n_{k+1}}$的右端点与 $J_{\sigma}$的右端点的距离也是 $ta_{k+1}$我们把由此得到的Moran集记为 $\mathcal{C}^{\ast\ast}(t)=\mathcal{C}^{\ast\ast}(J, \{n_{k}\}, \{c_{k}\}, t)$当 $t=0$时, $\mathcal{C}^{\ast\ast}(0)$即为齐次均匀Cantor集 $\mathit{C}$.令

$ l_{0}=t\sum \limits _{i=1} \limits ^{\infty} a_{i}, l_{k}=t\sum \limits _{i=k+1} \limits ^{\infty} a_{i}, u_{0}=\delta_{0}-t\sum\limits _{i=1}\limits ^{\infty}a_{i}, u_{k}=\delta_{k}-t\sum \limits _{i=k+1}\limits ^{\infty} a_{i}, $

从而

$ a_{1}=\frac{\delta_{0}-n_{1}\delta_{1}}{n_{1}-1+2t}, a_{k}=\frac{\delta_{k-1}-n_{k}\delta_{k}}{n_{k}-1+2t}. $

令

$ J^{\prime\prime}=[l_{0}, u_{0}], d_{k}^{\prime}=\frac{u_{k}-l_{k}}{u_{k-1}-l_{k-1}}, k\geq 1, $

由 $\mathcal{C}$与 $\mathcal{C}^{\ast\ast}$的定义我们类似得到与引理1平行的结果.

引理   $1^{\prime}$ $J^{\prime\prime}$和 $d_{k}$如上定义, 则

$ \mathcal{C}^{\ast\ast}(J, \{n_{k}\}, \{c_{k}\}, t)=\mathcal{C}(J^{\prime\prime}, \{n_{k}\}, \{d_{k}^{\prime}\}), $

即 $\mathcal{C}$为对应于 $J^{\prime\prime}, \{n_{k}\}, \{d_{k}^{\prime}\}$的齐次均匀康托集.

定理1  设 $\mathcal{C}^{\ast\ast}(t)=\mathcal{C}^{\ast\ast}(J, \{n_{k}, \{c_{k}\}, t)$, 则当 $t\geq 0$时有 $\text{dim}_{H}\mathcal{C}^{\ast\ast}=s_{\ast}$.

证  当 $t=0$时, $C^{\ast\ast}(0)$即为齐次均匀Cantor集, 下面只需证明 $t>0$的情况.注意到

$ \dim_{H}C^{\ast\ast}=\liminf\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{\log n_{1}\cdots n_{k}}{-\log d_{1}^{\prime}\cdots d_{k}^{\prime}}=\liminf\limits_{k\rightarrow\infty}\frac{\log n_{1}\cdots n_{k}}{-\log u_{k}-l_{k}}. $

(2)

由 $u_{k}$和 $l_{k}$的定义有

$\begin{eqnarray*} &u_{k}-l_{k}=\delta_{k}-2t\sum\limits_{i=k+1}\limits^{\infty}a_{i}\\ &=(1-\frac{2t}{n_{k+1}-1+2t})\delta_{k}+2t\sum\limits_{i=k+1}\limits^{\infty}(\frac{n_{i}}{n_{i}-1+2t}-\frac{1}{n_{i+1}-1+2t})\delta_{i}, \end{eqnarray*} $

而 $n_{k}\geq 2$, 所以

$ 1-\frac{2t}{n_{k+1}-1+2t}\geq \frac{1}{1+2t}. $

又由于

$ \frac{n_{i}}{n_{i}-1+2t}-\frac{1}{n_{i+1}-1+2t}\geq 0, $

得到

$ \frac{1}{1+2t}\delta_{k}\leq u_{k}-l_{k}\leq \delta_{k}, $

其中, $t \geq 0, $由（2）式得到

$ \text{dim}_{H}\mathcal{C}^{\ast\ast}=\liminf \limits_{k\rightarrow\infty}\frac{\log n_{1}\cdots n_{k}}{-\log c_{1}\cdots c_{k}}=\liminf\limits_{k\rightarrow\infty}\frac{\log n_{1}\cdots n_{k}}{-\log u_{k}-l_{k}}=s_{\ast}. $

定义3.1  现在我们考虑更一般的情况, 我们只需将定义2.1中, 第3条改为: $J_{\sigma\ast 1}$的左端点与 $J_{\sigma}$的左端点之间的距离为 $b_{2k+1}$, 右端点之间的距离为 $b_{2(k+1)}$, 并且满足 $b_{2k+1}+b_{2(k+1)}\leq a_{k+1}$其他条件不变, 我们将由此得到的齐次Moran集记为

$ \mathcal{C}_{1}^{\ast\ast}(J, \{n_{k}\}, \{c_{k}\}, \{b_{2k-1}, b_{2k}\}). $

设

$ l_{0}=\sum\limits_{i=1}\limits^{\infty}b_{2i-1}, l_{k}=\sum\limits_{i=k+1}\limits^{\infty}b_{2i-1}. $

令

$ u_{k}=\delta_{k}-\sum\limits_{i=k+1}\limits^{\infty}b_{2i}, J^{\prime\prime}=[l_{0}, u_{0}], d_{k}^{\prime\prime}=\frac{u_{k}-l_{k}}{u_{k-1}-l_{k-1}}. $

由 $\mathcal{C}$与 $\mathcal{C}_{1}^{\ast\ast}$的定义, 我们也可类似得到下列结果.

引理   $1^{\prime}$ $J^{\prime\prime}$和 $d_{k}^{\prime\prime}$如上定义, 则 $\mathcal{C}_{1}^{\ast\ast}(J, \{n_{k}\}, \{c_{k}\}, \{b_{2k-1}, b_{2k}\}\}=\mathcal{C}(J, \{n_{k}\}, \{d_{k}^{\prime\prime}\})$.

定理2  设 $\mathcal{C}_{1}^{\ast\ast}=\mathcal{C}_{1}^{\ast\ast}(J, \{n_{k}\}, \{c_{k}\}, \{b_{2k-1}, b_{2k}\})$, 若满足 $b_{2k-1}+b_{2k}\leq a_{k}$, 则有

$ \text{dim}_{H}\mathcal{C}_{1}^{\ast\ast}=s_{\ast}. $

证  由于

$ \text{dim}_{H}\mathcal{C}_{1}^{\ast\ast}=\liminf\limits_{k\rightarrow\infty}\frac{\log n_{1}\cdots n_{k}}{-\log d_{1}^{\prime\prime}\cdots d_{k}^{\prime\prime}}=\liminf\limits_{k\rightarrow\infty} \frac{\log n_{1} \cdots n_{k}}{-\log u_{k}-l_{k}}. $

(3)

注意到

$ u_{k}-l_{k}=\delta_{k}-\sum\limits_{i=k+1}\limits^{\infty}(b_{2i-1}+b_{2i}) =\sum \limits_{i=k+1} \limits^{\infty} (n_{i}-1)(\delta_{i}+a_{i}) \\ \leq ( n_{k+1}-1 )(\delta_{k+1} + a_{k+1}), $

而

$ \delta_{k}=n_{k+1}\delta_{k+1}+(n_{k+1}-1)a_{k+1}+b_{2(k+1)-1}+b_{2(k+1)}\\ \leq n_{k+1}\delta_{k+1}+n_{k+1}a_{k+1}, $

所以

$ \delta_{k+1}+a_{k+1}\geq\frac{\delta_{k}}{n_{k+1}}. $

从而

$ (n_{k+1}-1 )(\delta_{k+1} + a_{k+1})\geq\frac{n_{k+1}-1}{n_{k+1}}\delta_{k} =(1-\frac{1}{n_{k+1}})\delta_{k} \geq\frac{1}{2}\delta_{k}. $

由此得到

$ \frac{1}{2}\delta_{k} \leq u_{k}-l_{k} \leq \delta_{k}. $

由(3) 得到

$ \text{dim}_{H}\mathcal{C}_{1}^{\ast\ast}=\liminf\limits_{k \rightarrow \infty}\frac{\log n_{1} \cdots n_{k}}{-\log c_{1} \cdots c_{k}}=\liminf\limits_{k\rightarrow\infty}\frac{\log n_{1}\cdots n_{k}}{-\log u_{k}-l_{k}}=s_{\ast}. $