最近, 有大量的文献研究风险模型在投资和再保险下, 最大化或最小化一些目标函数.文[1]首先研究了该问题.它假设保险公司的盈余过程满足扩散过程, 风险资产满足几何布朗运动, 获得了最大化终值财富的最优策略和值函数.文[2]研究了类似的问题, 获得了最优投资-再保险策略和最优值函数.文[3]研究了跳-扩散过程的最优投资问题, 获得了最优投资策略和最优值函数及破产概率的数值解.

均值-方差问题的目标是, 在终值财富的均值给定时同时使方差最小.文[4]首先研究了该问题.之后, 许多学者都研究了该问题.文[5]研究了动态多个时代的均值-方差组合问题, 文[6]在随机LQ的框架下研究了连续时间均值-方差组合问题, 通过通过随机线性二次控制(LQ)的方法得到了最优策略和有效边界.文[7]研究了马尔柯夫调制市场上具有资产负债的均值-方差组合问题, 获得了最优策略和有效边界.

研究中发现很少有学者在具有马氏调制的风险模型中研究均值-方差问题.研究该问题, 可以指导保险公司进行合理的投资, 使自身获得一定的财富, 而且面临的风险最小.因此, 研究该问题具有很大的现实意义.本文就致力于这方面的研究.在研究中, 我们假设保险公司的盈余满足扩散过程, 可以通过再保险减小风险, 同时通过在金融市场上投资来增加财富.金融市场由一个无风险资产和 $n$个风险资产上投资, 风险资产满足跳-扩散过程.假设保险公司的盈余过程和金融市场都具有马氏调制.应用线性二次控制理论解决该问题, 获得了最优的再保险、投资策略和有效的均值-方差边界的显示解.

为了使数学上更为严格, 假设所有的随机过程和随机变量都定义在完备的概率空间 $(\Omega, F_t, P)$上, 并且有一满足通常条件的 $\sigma$ -流 $\{F_t, t\geq 0\}$, 即 $F_t$右连续且 $P$完备.允许连续交易, 不考虑交易费用和税收, 且所有资产都是无穷可分的.

设理赔过程 $C(t)$满足如下的马氏调制的几何布朗运动

$ dC(t)=\alpha(t, X(t))dt-\beta(t, X(t))dW^{0}_t, $

这里 $\{W^0_t, t\geq 0\}$是标准布朗运动, $X(t)$是概率空间 $(\Omega, F, P)$上的连续时间有限状态马尔柯夫链, 状态空间为 $E:=(1, 2, \cdots, N )$, 假设 $\{W^0_t, t\geq 0\}$和 $X(t)$相互独立.为了使该马尔柯夫链 $X(t)$更加具体, 设它的的转移矩阵为 $P=(p_{ij}(t))_{N\times N}$, 其中 $N$是状态空间元素的总数.更精确地, 转移概率可定义为

$ p_{ij}(t)=p(X(s+t)=j\mid X(s)=i), i, j=1, 2, \cdots, N; $

密度矩阵为 $Q=(q_{ij})_{N\times N}, $

$\begin{eqnarray*} q_{ij}:={\lim\limits_{t\rightarrow 0^+} \frac {p_{ij}}{t}}, i\neq j, q_{ii}:={\lim\limits_{t\rightarrow 0^+} \frac {p_{ii}-1}{t}}, i, j=1, 2, \cdots, N, \end{eqnarray*} $

这里对每个 $i$有 $\sum^{N}\limits_{i=1} q_{ij} =0$, 对于 $i, j= 1, 2, \cdots, N(i\neq j)$有 $q_{ij}> 0$.

保费支付率满足下面的方程

$ m_t=(1+\theta)\alpha(t, X(t)), $

其中 $\theta$为保险公司的安全负载, 所以保险公司在进行投资和再保险之前, 盈余 $R(t)$满足下面的方程

$ dR(t)=m_tdt-dC(t)=\theta\alpha(t, X(t))dt+\beta(t, X(t))dW^{0}_t. $

设 $q_t\in[0, 1]$为时刻 $t$的再保险比例, 再保险的安全负载为 $\eta(\eta>\theta)$, 则进行再保险后, 保险公司的盈余满足下面的方程

$ dR(t, q)=(\theta-\eta q_t)\alpha(t, X(t))dt+(1-q_t)\beta(t, X(t))dW^{0}_t. $

假设金融市场由一个无风险资产和 $n$个风险资产组成.无风险资产在时刻 $t$的价格为 $S_0(t)$, 满足下面的方程

$ dS_0(t)=r(t, X(t))S_0(t)dt. $

风险险资产在时刻 $t$的价格为 $S_i(t), i=1, \cdots, n$, 满足下面的方程

$ \begin{eqnarray*} dS_i(t)&=&S_i(t-)\{r_i(t, X(t-)) dt+\sum^n_{j=1}\sigma_{ij}(t, X(t-))dW^{j}_{t}\\ && +\sum^{n}_{j=1}\int_{R-\{0\}}\gamma_{ij}(t, y, X(t-))\hat{M}^{j}_{X(t-)}(dt, dy)\}, ~~i=1, \cdots, n, \end{eqnarray*} $

这里 $\{W^{j}_t, t\geq 0\}$, $j=1, \cdots, n$是标准布朗运动, 假设 $\{W^{j}_{t}, t\geq 0\}$, $j=0, \cdots, n$相互独立.

$ \hat{M}^{j}_{X(t-)}(dt, dy):=M^{j}_{X(t-)}(dt, dy)-\nu^{j}_{X(t-)}(dy\mid t)\eta(dt), j=1, 2, \cdots, n $

相互独立, 是马氏调制的泊松补偿随机测度.进一步, 假设 $r_i(t, i)>r(t, i)$, $\eta(dt)=dt$, 马氏调制的泊松补偿随机测度和布朗运动相互独立.

设 $\pi_i(i=1, 2, \cdots, n)$是时刻 $t$在第 $i$( $i=1, 2, \cdots, n$)个风险资产上投资的金额, 令 $\pi=(\pi_1, \cdots, \pi_n)$.选择 $\pi$和风险暴露 $q$作为控制变量.在任意时刻 $t\geq 0$, $q=q(t)$, $\pi=\pi(t)$由保险公司选择, 记 $u(\cdot)=(q(\cdot), \pi(\cdot))$.一旦策略 $u(\cdot)$被选定, 则盈余过程变为

$ \begin{aligned}dz(t)=& [(\theta-\eta q_t)\alpha(t, X(t))+r(t, X(t))z(t)+\\ &B(t, X(t))\pi(t)]dt+(1-q_t)\beta(t, X(t))dW^0_t\\ &+\pi(t)^{\top}\sigma(t, X(t))dW_t+\pi(t)^{\top}\int_{R-\{0\}}\gamma(t, y, X(t-))\hat{M}_{X(t-)}(dt, dy), \end{aligned} $

(1)

$z(0)=z$, 这里

$ \begin{eqnarray*}&& \sigma(t, X(t)):=(\sigma_{ij}(t, X(t)))_{n\times n}, \\ &&\gamma(t, y, X(t-))=(\gamma_{ij}(t, y, X(t-)))_{n\times n}, \\ && \hat{M}_{X(t-)}(dt, dy):=(\hat{M}^{1}_{X(t-)}(dt, dy), \\ &&\cdots, \hat{M}^{n}_{X(t-)}(dt, dy))^{\top}, \\ && B(t, X(t)):=[r_1(t, X(t))-r(t, X(t)), r_2(t, X(t))-r(t, X(t)), \\ &&\cdots, r_n(t, X(t))-r(t, X(t))]^{\top}, \end{eqnarray*} $

其中 $A^{\top}$是 $A$的转置.

定义1  一个控制策略 $u(\cdot)=(q(\cdot), \pi(\cdot))$称为可行的, 如果 $q(\cdot)$和 $\pi(\cdot)$关于流 $F$可料, 对任意的 $t\geq 0$, $q(\cdot)$和 $\pi(\cdot)$满足下面的条件

(1) $0\leq q(t)\leq 1$;

(2) 对所有的 $T<\infty, i=1, \cdots, n$有 $P\{\int_{0}^{T}[\pi^{2}_i(t)dt]^2<\infty\}=1$.所有可行的策略记为 $\mathscr{U}$.

保险人的目的是, 在所有可行策略中找到一个策略 $u(\cdot)$, 使得 $Ez(t)=d$, 同时使

$ {\hbox{Var}}z(T)\equiv E[z(T)-Ez(T)]^2=E[z(T)-d]^2 $

最小.该问题称为均值-方差组合选择问题.

定义2  均值-方差组合选择问题是以参数 $d\in R^1$为限制的随机最优化问题, 也就是

$ \left\{ \begin{aligned} &\min J_{MV}(z_0, i, u(\cdot)):=E_{z_0, i}[z(T)-d]^2 \\ &{\hbox{使得}}~~ Ez(T)=d, u(\cdot)\in \mathfrak{U}, (z(\cdot), u(\cdot))~~{\hbox{满足}}~~(1), \end{aligned} \right. $

(2)

这里 $E_{z_0, i}$是在概率测度 $P_{z_0, i}:=P(\cdot\mid z(0)=z_0, X(0)=i)$下的条件期望.

引理1  均值-方差问题(2) 对于 $d\in R$称为是可行的当且仅当

$ E\int_{0}^{T}B(t, X(t))^{\top}B(t, X(t))dt>0. $

该引理的证明和文[6]相似, 这里就不再证明了.

引理2  设 $f_t(t, i)=h(t, i)f(t, i)-\sum\limits^{N}_{j=1}q_{ij}f(t, j)$, $f(T)=e$, 记 $B(t)$如下

$ B(t)=(h(t, 1), h(t, 2), \cdots, h(t, N))_{\hbox {diag}}-A, $

这里 $A=(q_{ij})_{N\times N}$, 则由Feynman-Kac公式获得 $f(t, i)$满足下式

$ f(t, i)=E_{t, i}\{\exp[-\int_{t}^{T}h(s, X(s))ds]\}, $

这里 $E_{t, i}$是以 $X(t)=i$为条件的条件期望.

证  从文[8]知如下定义的 ${M_v, v\geq t}$为鞅

$ M_v:=f(v, X(v))-f(t, X(t))-\int_{t}^{T}[f_t(s, X(s))+<f(s), A'X(s)>]ds. $

设 $K(v)$定义如下

$ K(v)=\exp\{-\int_{t}^{T}h(s, X(s))ds\}. $

应用Itö公式, 有

$ \begin{eqnarray*}d(K(v)f(v, X(v)))&=&K(v)\{df(v, X(v))-h(v, X(v))f(v, X(v))dv\}\\ &=& K(v)\{dM(v)+[f_t(v, X(v))+\langle f(v), A'X(v)\rangle]dv\\ && -h(v, X(v))f(v, X(v))dv\}, \end{eqnarray*} $

因为

$\begin{eqnarray*} &&f_t(v, X(v))=\langle f_t(v), X(v)\rangle=\\ &&\langle A(v)f(v), X(v)\rangle =h(v, X(v))f(v, X(v))-\langle f(v), A'X(v)\rangle. \end{eqnarray*} $

所以

$ K(v)f(v, X(v))-f(t, X(t))=\int_{t}^{T}K(s)dM(s). $

设 $v=T$然后取期望得到

$ f(t, i)=E_{t, i}K(T)=E_{t, i}\{\exp[-\int_{t}^{T}h(s, X(s))ds]\}. $

证毕.

有了引理1和引理2的保证, 我们继续研究均值-方差最优化问题.因为问题(2) 是一个凸的最优化问题, 限制 $Ez(T)=d$能够用拉格朗日乘数因子 $\lambda \in R$做进一步的处理.问题(2) 可转化为如下的问题

$ \label{eq:1} \left\{ \begin{aligned} & J_{MVL}(z_0, i, u(\cdot), \lambda)=E_{z_0, i}[z(T)+\lambda-d]^2-\lambda^2 \\ &{\hbox{ 使得}}~~ Ez(T)=d, u(\cdot)\in \mathfrak{U}, (z(\cdot), u(\cdot))~~{\hbox{满足}}~~(1). \end{aligned}\right. $

(3)

在这一节里求解问题(3).首先设

$ \rho(t, i)=B(t, i)D(t, i)^{-1}B(t, i)^{\top}, $

其中 $D(t, i)$为

$ D(t, i)=\sigma(t, i)\sigma(t, i)^{\top}+\int_{R-\{0\}}\gamma(t, y, i)C(\nu_i(dy\mid t))\gamma(t, y, i)^{\top}, $

$C(\nu_i(dy\mid t))={\hbox{diag}}(\nu^1_i(dy\mid t), \cdots, \nu^n_i(dy\mid t))$, $i=1, 2, \cdots, N$.

引理3  假设 $P(t, i)$, $H(t, i)$满足下面的Riccati方程

$\begin{eqnarray*} dP(t, i)=[\rho(t, i)+\frac{\eta^2\alpha^2(t, i)}{\beta^2(t, i)}-2r(t, i)]P(t, i)-\sum^N_{j=1}q_{ij}P(t, i), \end{eqnarray*} $

边界条件 $P(T, i)=1, i=1, 2, \cdots, N$,

$\begin{eqnarray*} {dH(t, i)}= r(t, i)H(t, i)-\frac{1}{P(t, i)}\sum^N_{j=1}q_{ij}[H(t, j)-H(t, i)], \end{eqnarray*} $

边界条件 $H(T, i)=1, i=1, 2, \cdots, N$, 则

$ P(t, i)=E_{t, i}\{\exp[-\int_{t}^{T}f(s, X(s))ds]\}, $

(4)

$\begin{eqnarray*} &&H(t, i)=1-\int_{t}^{T}\exp\{-\int_{t}^{s}[r(\tau, i)+\\ &&\sum\limits_{j\neq i}q_{ij}]\}d\tau\times [r(s, i)+\frac{1}{P(s, i)}\sum\limits_{j\neq i}q_{ij}P(s, j)[1-H(t, i)]], \end{eqnarray*} $

(5)

这里

$ f(t, i)=\rho(t, i)+\frac{\eta^2\alpha^2(t, i)}{\beta^2(t, i)}-2r(t, i), i=1, 2, \cdots, N. $

证  由引理2可得(4) 式成立, (5) 式的证明和文献[6]相似, 不再证明.

引理4  假设 $G(t, i)$, $F(t, i)$满足下面的Riccati方程

$\begin{eqnarray*} dG(t, i)=[\rho(t, i)-2r(t, i)]G(t, i)-\sum^N_{j=1}q_{ij}G(t, i), \end{eqnarray*} $

边界条件 $G(T, i)=1, i=1, 2, \cdots, N, $

$\begin{eqnarray*} {dF(t, i)}= r(t, i)F(t, i)-\frac{1}{G(t, i)}\sum^N_{j=1}q_{ij}[F(t, j)-F(t, i)], \end{eqnarray*} $

边界条件 $F(T, i)=1, i=1, 2, \cdots, N$, 则

$ G(t, i)=E_{t, i}\{\exp[-\int_{t}^{T}g(s, X(s))ds]\}, $

(6)

$\begin{eqnarray*} &&F(t, i)=1-\int_{t}^{T}\exp\{-\int_{t}^{s}[r(\tau, i)+\\ &&\sum\limits_{j\neq i}q_{ij}]\}d\tau\times [r(s, i)+\frac{1}{G(s, i)}\sum\limits_{j\neq i}q_{ij}G(s, j)[1-F(t, i)]], \end{eqnarray*} $

(7)

这里

$ g(t, i)=\rho(t, i)-2r(t, i), i=1, 2, \cdots, N. $

证  和引理3相似的即可获得引理4.

定理1  设

$ \begin{eqnarray*}&& \hat{q}(t, z, i)=1+\frac{\eta\alpha(t, i)}{\beta(t, i)^2}[z+(\lambda-d)H(t, i)], \\ && \gamma=\sum\limits_{i=j}\int_{0}^{T}P(t, j)q_{ij}[H(t, j)-H(t, x(t))]^2dt.\end{eqnarray*} $

(1) 如果 $\hat{q}(t, z, i)>0$, 问题(3) 的最优投资策略为

$ \pi^*(t, z, i)=-D(t, i)^{-1}B(t, i)^{\top}[z+(\lambda-d)H(t, i)]; $

(8)

最优再保险策略为

$ q^*(t, z, i)=\hat{q}(t, z, i)=1+\frac{\eta\alpha(t, i)}{\beta(t, i)^2}[z+(\lambda-d)H(t, i)], $

(9)

最优的值函数为

$ \begin{aligned}& \inf\limits_{\pi(\cdot) {\hbox{admissible}}}J(z_0, i_0, \pi(\cdot), \lambda)\\ =& [P(0, i_0)H(0, i_0)^2+\gamma-1](\lambda-d)^2+\\ &2[P(0, i_0)H(0, i_0)z_0-d](\lambda-d)+P(0, i_0)z^2_0-d^2\\ & +2P(t, x(t))\alpha(t, i)(\theta-\eta)[z+(\lambda-d)H(t, x(t))]. \end{aligned} $

(10)

(2) 如果 $\hat{q}(t, z, i)\leq 0$问题(3) 的最优再保险策略 $q^*(t, z, i)=0$, 最优的投资策略为

$ \pi^*(t, z, i)=-D(t, i)^{-1}B(t, i)^{\top}[z+(\lambda-d)F(t, i)], $

(11)

最优的值函数为

$ \begin{aligned}& \inf\limits_{\pi(\cdot) {\hbox{admissible}}}J(z_0, i_0, \pi(\cdot), \lambda)\\ =& [G(0, i_0)F(0, i_0)^2+\gamma-1](\lambda-d)^2+2[G(0, i_0)F(0, i_0)z_0-d](\lambda-d)+\\ &G(0, i_0)z^2_0-d^2\\ & +2G(t, x(t))\alpha(t, i)\theta[z+(\lambda-d)F(t, x(t))]+\beta(t, i)^2. \end{aligned} $

(12)

证  (1) 对 $P(t, i)[z+(\lambda-d)H(t, i)]^2$应用Itö公式得到

$ \begin{eqnarray*}&& d\{P(t, x(t))[z+(\lambda-d)H(t, x(t))]^2\}\\ &=& P_t(t, x(t))[z+(\lambda-d)H(t, x(t))]^2+P(t, x(t))\\ &&\{2[z+(\lambda-d)H(t, x(t))][dz(t)+(\lambda-d)H_t(t, x(t))]\\ && +\pi^{\top}\sigma(t, i)\sigma^{\top}(t, i)\pi+\beta^2(t, i)(1-q)^2\}dt+\sum^N_{j=1}q_{x(t)j}P(t, j)[z+(\lambda-d)H(t, j]^2\\ && +\sum^{n}_{j=1}\int_{R-\{0\}}P(t, x(t))\{[z+\pi^{\top}\gamma(t, y, i)+\\ &&(\lambda-d)H(t, x(t))]^2-[z+(\lambda-d)H(t, x(t))]^2\\ && -2[z+(\lambda-d)H(t, x(t))]\pi^{\top}\gamma(t, y, i)\}\nu^j_i(dy\mid t)\\ &=& [z+(\lambda-d)H(t, x(t))]^2[\rho(t, i)+\frac{\eta^2\alpha(t, i)^2}{\beta(t, i)^2}-2r(t, i)]P(t, x(t))\\ && -\sum^N_{j=1}q_{x(t)j}P(t, j)[z+(\lambda-d)H(t, x(t))]^2+\\ &&\sum^N_{j=1}q_{x(t)j}P(t, j)[z+(\lambda-d)H(t, j)]^2\\ && -2(\lambda-d)[z+(\lambda-d)H(t, x(t))]\sum^N_{j=1}q_{ij}[H(t, j)-H(t, X(t))]\\ && +P(t, x(t))\{\pi(t)^{\top}(\sigma(t, i)\sigma^{\top}(t, i))\pi+\\ &&\pi(t)^{\top}\int_{R-\{0\}}\gamma(t, y, i)C(\nu_i(dy\mid t))\gamma(t, y, i)^{\top}\pi(t)\}\\ && +\beta^2(t, i)(1-q)^2+2[z+(\lambda-d)H(t, x(t))][B\pi(t)+(\theta-\eta q(t))\alpha(t, i)]\\ &&+2r(t, i)[z+(\lambda-d)H(t, x(t))]^2\}dt\\ &&+2P(t, x(t))[z+(\lambda-d)H(t, x(t))][\pi(t)^{\top}\sigma(t, X(t))dW_t+\\ &&(1-q_t)\beta(t, X(t))dW^0_t]\\ &=&P(t, x(t))\{(\pi-\pi^*)^{\top}D(t, i)(\pi-\pi^*)+\beta^2(t, i)[q-q^*]^2\}\\ &&+2P(t, x(t))\alpha(t, i)(\theta-\eta)[z+(\lambda-d)H(t, x(t))]\\ &&+(\lambda-d)^2\sum^N_{j=1}q_{x(t)j}P(t, j)[H(t, j)-H(t, x(t))]^2+2P(t, x(t))\\ &&[z+(\lambda-d)H(t, x(t))][\pi(t)^{\top}\sigma(t, X(t))dW_t +(1-q_t)\beta(t, X(t))dW^0_t], \end{eqnarray*} $

这里 $\pi^*(t, z, i), q^*(t, z, i)$分别是(8) 和(9) 的右手边.对上式在0到 $T$上求积分, 然后再求期望, 得到

$ \begin{eqnarray*}&& E[z(T)+\lambda-d]^2=P(0, i_0)[z+(\lambda-d)H(0, i_0)]^2+\gamma(\lambda-d)^2\\ && +E\int_{0}^{T}P(t, x(t))\{(\pi-\pi^*)^{\top}D(t, i)(\pi-\pi^*)+\beta^2[q-q^*]^2\}\\ && +2P(t, x(t))\alpha(t, i)(\theta-\eta)[z+(\lambda-d)H(t, x(t))], \end{eqnarray*} $

所以

$ \begin{eqnarray*}&& J(z_0, i_0, u(\cdot), \lambda)=E[z(T)+\lambda-d]^2-\lambda^2\\ &=&[P(0, i_0)H(0, i_0)^2+\gamma-1](\lambda-d)^2+2[P(0, i_0)H(0, i_0)z_0-d](\lambda-d)+\\ &&P(0, i_0)z^2_0-d^2\\ && +2P(t, x(t))\alpha(t)(\theta-\eta)[z+(\lambda-d)H(t, x(t))]\\ && +E\int_{0}^{T}P(t, x(t))\{(\pi-\pi^*)^{\top}D(t, i)(\pi-\pi^*)+\\ &&\frac{\beta^2(t, i)}{2}[q-q^*]^2\}. \end{eqnarray*} $

由引理1知 $P(t, X(t))>0$所以最优的投资、再保险策略分别满足(8), (9) 式, 最优的值函数满足(10) 式.

(2) 因为最优的再保险策略 $q^*(t, z, i)\in[0, 1]$.所以当 $\hat{q}(t, z, i)\in[0, 1]$时, $q^*(t, z, i)=\hat{q}(t, z, i))$; $\hat{q}(t, z, i)\leq 0$时 $q^*(t, z, i)=0$.这种情况和(1) 相似的证明, 可得 $\pi^*(t, z, i)$, $\inf_{\pi(\cdot) {\hbox{admissible}}}J(z_0, i_0, \pi(\cdot), \lambda)$分别满足(11), (12) 式.

本节求解均值-方差问题(2).和文[6]类似的有 $P(0, i_0)H(0, i_0)^2+\gamma-1<0$.注意到 $J_{z_0, i_0, u(\cdot)}$关于 $u(\cdot)$是严格凸的, 所以应用Lagrange duality定理得到

$\begin{eqnarray*} J_{MV}(z_0, i_0)=\sup\limits_{\lambda\in R^1}\inf\limits_{\pi(\cdot){\hbox{ admissible}}}J(z_0, i_0, \pi(\cdot), \lambda)>-\infty.\end{eqnarray*} $

(13)

显然 $\inf\limits_{\pi(\cdot) {\hbox{admissible}}}J(z_0, i_0, \pi(\cdot), \lambda)>-\infty$是关于 $\lambda$的二次函数.下面分两种情况讨论.

(1) 如果 $q^*(t, z, i)=\hat{q}(t, z, i)$, 则 $\inf\limits_{\pi(\cdot) {\hbox{admissible}}}J(z_0, i_0, \pi(\cdot), \lambda)>-\infty$在 $\lambda^*$处获得最大值, $\lambda^*$满足下式

$ \lambda^*-d=\frac{d-P(0, i_0)H(0, i_0)z_0-(\theta-\eta)P(t, X(t))\alpha(t, i)z}{P(0, i_0)H(0, i_0)^2+\gamma-1}, $

(14)

把 $\lambda^*$代入(13) 式得到

$ \begin{aligned}& J_{MV}(z_0, i_0)\\ =& [P(0, i_0)H(0, i_0)^2+\gamma-1](\lambda^*-d)^2\\ &+2[P(0, i_0)H(0, i_0)z_0-d](\lambda^*-d)+P(0, i_0)z^2_0-d^2\\ & +2P(t, x(t))\alpha(t, i)(\theta-\eta)[z+(\lambda^*-d)H(t, x(t))]P(t, x(t)). \end{aligned} $

(15)

(2) 如果 $q^*(t, z, i)=0$, 则 $\inf_{\pi(\cdot) {\hbox{admissible}}}J(z_0, i_0, \pi(\cdot), \lambda)>-\infty$在 $\lambda^*$处获得最大值, $\lambda^*$满足下式

$ \lambda^*-d=\frac{d-G(0, i_0)F(0, i_0)z_0-\theta G(t, X(t))\alpha(t, i)z}{G(0, i_0)F(0, i_0)^2+\gamma-1}, $

(16)

把 $\lambda^*$代入(13) 式得到

$ \begin{aligned}& J_{MV}(z_0, i_0)\\=& [G(0, i_0)F(0, i_0)^2+\gamma-1](\lambda^*-d)^2\\ &+2[G(0, i_0)F(0, i_0)z_0-d](\lambda^*-d)+G(0, i_0)z^2_0-d^2\\ & +2G(t, x(t))\alpha(t, i)\theta[z+(\lambda^*-d)F(t, x(t))]G(t, x(t))+\beta(t, i)^2. \end{aligned} $

(17)

通过上述分析, 得到下面的定理.

定理2  (1) 如果 $\hat{q}(t, z, i)>0$, 均值-方差问题(2) 在时刻 $t$, 财富为 $z$, 马氏链的状态为 $i$时, 最优的再保险策略 $\pi^*(t, z, i)$为

$ q^*(t, z, i)=\hat{q}(t, z, i)=1+\frac{\eta\alpha(t, i)}{\beta(t, i)^2}[z+(\lambda^*-d)H(t, i)], $

(18)

最优的投资策略 $\pi^*(t, z, i)$为

$ \pi^*(t, z, i)=-D(t, i)^{-1}B(t, i)^{\top}[z+(\lambda^*-d)H(t, i)], $

(19)

最优的边界Var $Z(T)$为

$ \begin{aligned} {\hbox{Var}}Z(T)=&J_{MV}(z_0, i_0)\\ =& [P(0, i_0)H(0, i_0)^2+\gamma-1](\lambda^*-d)^2\\ &+2[P(0, i_0)H(0, i_0)z_0-d](\lambda^*-d)+P(0, i_0)z^2_0-d^2\\ & +2P(t, x(t))\alpha(t, i)(\theta-\eta)[z+(\lambda^*-d)H(t, x(t))]P(t, x(t)), \end{aligned} $

(20)

其中 $\lambda^*$满足下式

$ \lambda^*=d+\frac{d-P(0, i_0)H(0, i_0)z_0-(\theta-\eta)P(t, X(t))\alpha(t, i)z}{P(0, i_0)H(0, i_0)^2+\gamma-1}, $

$P(t, i)$, $H(t, i)$分别满足(4), (5) 式.

(2) 如果 $\hat{q}(t, z, i)\leq 0$, 均值-方差问题(2) 在时刻 $t$, 财富为 $z$, 马氏链的状态为 $i$时, 最优的再保险策略 $q^*(t, z, i)=0 $最优的投资策略 $\pi^*(t, z, i)$,

$ \pi^*(t, z, i)=-D(t, i)^{-1}B(t, i)^{\top}[z+(\lambda^*-d)F(t, i)], $

(21)

最优的边界Var $Z(T)$为

$ \begin{aligned}& {\hbox{Var}}Z(T)=J_{MV}(z_0, i_0)\\ =& [G(0, i_0)F(0, i_0)^2+\gamma-1](\lambda^*-d)^2\\ &+2[G(0, i_0)F(0, i_0)z_0-d](\lambda^*-d)+G(0, i_0)z^2_0-d^2\\ & +2G(t, x(t))\alpha(t, i)\theta[z+(\lambda^*-d)F(t, x(t))]G(t, x(t)) +\beta(t, i)^2, \end{aligned} $

(22)

其中 $\lambda^*$满足下式

$ \lambda^*=d+\frac{d-G(0, i_0)F(0, i_0)z_0-\theta G(t, X(t))\alpha(t, i)z}{G(0, i_0)F(0, i_0)^2+\gamma-1}, $

$G(t, i)$, $F(t, i)$分别满足(6), (7) 式.