Hausdorff 测度是分形几何与几何测度论中一个基础而重要的研究课题, 参见文[1--3]. 文献[4] 研究了涉及度量及纲函数的推广 Hausdorff 测度, 讨论了加倍条件、Hausdorff 测度的等价性及度量等价性之间的关系. 得到结论:

(1) $H^{\rho,g}$ 与 $H^{\rho,h}$ 对所有紧度量空间等价, 当且仅当纲函数 $g$ 与 $h$ 等价.

(2) 对给定的 $c\in (0,+\infty)\backslash\{1\},H^{\rho,g}$ 与 $H^{c\rho,g}$ 对任意的紧度量空间 $(\rho, X)$ 等价, 当且仅当纲函数 $g$ 满足加倍条件.

围绕这两个结论, 有一些值得思考的问题:

(a) 是否存在不等价纲函数 $g,h$ 和某一紧度量空间 $(\rho,X)$, 使得 $H^{\rho,g}$ 与 $H^{\rho,h}$ 对该度量空间等价?

(b) 结论 (2) 中, 考虑的度量 $\rho$ 与 $c\rho$ 是等价度量, 而非任意度量 $\rho_1, \rho_2$. 是否存在不等价度量空间 $(\rho_1,X), (\rho_2,X)$ 和某纲函数 $g$, 使得 $H^{\rho_1,g}$ 与$H^{\rho_2,g}$ 等价?

本文拟对上述两问题给出肯定答案.

首先给出需要的定义和引理:

称非空集合 $X$ 上的两度量 $\rho_1$ 与 $\rho_2$ 等价如果存在常数 $0<c_1\le c_2<+\infty$, 使得 $c_1\rho_1(x,y)\le \rho_2(x,y)\le c_2\rho_1(x,y)$ $\forall x,y\in X$ 成立.

称非空集合 $X$ 上的两测度 $\mu_1$ 与 $\mu_2$ 等价如果存在常数 $0<c_1\le c_2<+\infty$, 使得 $c_1\mu_1(K)\le \mu_2(K)\le c_2\mu_1(K)$ $\forall K\subseteq X$ 成立.

称函数 $g:[0,+\infty)\to [0,+\infty)$ 为纲函数若它递增右连续, 当 $x>0$ 时 $g(x)>0$ 且 $g(0)=0$. 称纲函数 $g$ 满足加倍条件, 如果存在常数 $0<c<+\infty$ 及 $\delta>0$, 使得 $\forall 0\le x\le \delta$, 有 $g(2x)\le cg(x)$. 称两纲函数 $g_1$ 与 $g_2$ 等价如果存在常数 $0<c_1\le c_2<+\infty$ 及 $\delta>0$, 使得 $\forall 0\le x\le \delta$, 有 $c_1g_1(x)\le g_2(x)\le c_2g_1(x)$.

设 $(\rho,X)$ 为度量空间, $g$ 为纲函数, 对 $K\subseteq X$, 称可数集族 $\{U_i\}_i$ 为 $K$ 关于度量 $\rho$ 的一个 $\delta$ 覆盖, 若 $\cup_iU_i\supseteq K$ 且对任意 $i, 0\le |U_i|_\rho<\delta$, 其中 $|U_i|_\rho=\sup\{\rho(x,y):x,y\in U_i\}$. 定义

$\begin{equation*} H^{\rho,g}_\delta (K)=\inf\sum\limits_ig(|U_i|_\rho). \end{equation*}$

这里下确界取遍所有 $K$ 关于 $\rho$ 的 $\delta$ 覆盖. 定义 $K$ 关于度量 $\rho$ 及纲函数 $g$ 的 Hausdorff 测度为

$\begin{equation*} H^{\rho,g}(K)=\lim\limits_{\delta\to 0}H^{\rho,g}_\delta(K). \end{equation*}$

由文献[3]知以上定义的测度是 $X$ 上 Borel 正则的度量测度.

引理 2.1 [5] 若 $X$ 为度量空间, 则 $X$ 为紧等价于 $X$ 中的任一序列存在子序列收敛于 $X$ 中的点.

引理 2.2 [3] 若对欧氏空间里的 Borel 集合 $\Omega$ 和连续纲函数 $g$, 有 $H^{\rho,g}(\Omega)=+\infty$ (其中 $\rho$ 是通常欧氏度量), 则存在 $\Omega$ 的紧子集 $X$ 满足 $0<H^{\rho,g}(X)<+\infty$.

反例 3.1 存在两不等价纲函数 $g,h$ 和一紧度量空间 $(\rho,X)$, 使得 $H^{\rho,g}$ 与 $H^{\rho,h}$ 对 $(\rho,X)$ 等价.

构造: 令 $\frac 12<\lambda<1,\forall n\in {\mathbb{N}}_+,a_n=\lambda^{2^{-n}}$, 则 $\forall n\in {{\mathbb N}}_+$, 有 $a_n>\frac 12$ 且 $a_1a_2\cdots a_n>\lambda$. 易知, 存在序列 $\{\delta_n\}_{n\ge 0}$ 满足 $ \delta_n\le (1-a_n)\delta_{n-1}$ 且单调递减趋于0.

分别构造 $g(x),h(x)$ 如下:

$\begin{eqnarray*} &&g(x)=\left\{\begin{array}{cc}\delta_n,&{\textrm{若}}\;\delta_n\le x<\delta_{n-1},\\ 0,&{\textrm{若}}\;x=0,\end{array}\right.\\ &&h(x)=\left\{\begin{array}{cc}\delta_{n-1},&{\textrm{若}}\;b_n\le x<\delta_{n-1},\\{\textrm{连接}}(\delta_n,\delta_n), (b_n,\delta_{n-1})\textrm{的线段}, &{\textrm{若}}\;\delta_n\le x<b_n,\\ 0,&{\textrm{若}}\;x=0, \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

其中 $b_n=\frac{\delta_n+\delta_{n-1}}{2}(n\in {\mathbb N}_+)$. 易证 $g,h$ 均为纲函数.

由于

$\begin{equation*} 0\le \lim\limits_{n\to \infty}\frac{g(b_n)}{h(b_n)}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\delta_n}{\delta_{n-1}}\le \liminf\limits_{n\to\infty}(1-a_n)=0, \end{equation*}$

因此$g,h$ 不等价.

接下来我们构造紧度量空间 $(\rho,X)$ 使得 $H^{\rho,g}$ 与 $H^{\rho,h}$ 对 $(\rho,X)$ 等价.

令 $k_n=\left[\frac{\delta_{n-1}}{\delta_n}\right],n\in {\mathbb N}_+$, 此处 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数, 从而

$\begin{equation}\label{1} k_n \ge \left[\frac 1{1-a_n}\right]\ge 2,k_1k_2\cdots k_n\le \frac{\delta_0}{\delta_n} \end{equation}$

(3.1)

且

$\begin{equation}\label{2} k_1k_2\cdots k_n\ge \left(\frac{\delta_0}{\delta_1}-1\right)\left(\frac{\delta_1}{\delta_2}-1\right)\cdots \left(\frac{\delta_{n-1}}{\delta_n}-1\right)\ge \frac{a_1a_2\cdots a_n\delta_0}{\delta_n}\ge\frac{\lambda \delta_0}{\delta_n}. \end{equation}$

(3.2)

令 $F_0=[0,1]$, 构造 $F_0$ 的子集 $X$ 如下: 首先, 从 $F_0$ 中选择 $k_1$ 个互不相交的正长度闭子区间, 令 $F_1$ 表示这些闭子区间的并. 对 $F_1$ 的每个区间, 从中选择 $k_2$ 个互不相交的正长度闭子区间, 将这些 $k_1k_2$ 个区间的并记为 $F_2$. 继续这一过程得到序列 $F_0\supseteq F_1\supseteq\cdots\supseteq F_n\cdots$, 令 $ X=\cap_{n=1}^\infty F_n{\textrm{.}} $ 称 $F_n$ 的每个子区间为一个 $n$ 阶基本区间.

$\forall x,y\in X,x\ne y$, 用 $n(x,y)$ 表示同时包含 $x,y$ 的基本区间的最高阶数. 定义 $X$ 上的度量如下:

$\begin{equation*} \rho(x,y)=\left\{\begin{array}{cc}0,&{\textrm{若}}\;x=y,\\ \delta_{n(x,y)},&{\textrm{若}}\;x\ne y.\end{array}\right. \end{equation*}$

首先证明, $(\rho,X)$ 是紧度量空间.

设 $d(x,y)$ 为欧氏空间 $\mathbb R$ 上的通常度量. 由于 $(d,X)$ 是紧度量空间, 故由引理 2.1 的必要性知对任意 $X$ 中的序列 $\{x_n\}$, 存在 $\{x_n\}$ 的子列 $\{x_{n_k}\}$ 和 $x_0\in X$, 使得 $d(x_{n_k},x_0)\to 0$. 对充分大 $m\in {\mathbb N}_+$, 存在 $k_m\in {\mathbb N}_+$, 使得 $x_{n_{k_m}}$ 与 $x_0$ 同属于某 $m$ 阶基本区间, 从而 $n(x_{n_{k_m}},x_0)\ge m$, 故 $\rho(x_{n_{k_m}},x_0)\le\delta_m$. 令 $m\to +\infty$ 得 $\rho(x_{n_{k_m}},x_0)\to 0$, 再由引理 2.1 的充分性知 $(\rho,X)$ 是紧度量空间.

其次证明, 在度量 $\rho$ 下, 对 $\forall K\subseteq X$, 有 $H^{\rho,g}(K)=H^{\rho,h}(K)$. 假定 $\cup U_i\supseteq K$ 且满足 $0<|U_i|_\rho<\delta_{0}$. 对任一固定 $i$, 取 $n_i$ 为满足 $\delta_{n_i}\le |U_i|_\rho<\delta_{n_i-1}$ 的唯一正整数, 由 $\rho$ 的定义可知 $|U_i|_\rho=\delta_{n_i}$. 再由 $\forall n\in {\mathbb N}_+,g(\delta_n)=h(\delta_n)$ 可得

$\begin{equation*} H^{\rho,g}(K)=\lim\limits_{\delta\to 0}\inf \sum\limits_ig(|U_i|_\rho)=\lim\limits_{\delta\to 0}\inf \sum\limits_ih(|U_i|_\rho)=H^{\rho,h}(K). \end{equation*}$

故 $H^{\rho,g}$ 与 $H^{\rho,h}$ 对于紧度量空间 $(\rho,X)$ 等价.

注 1 在反例 3.1 中, 我们有 $0<H^{\rho,g}(X)=H^{\rho,h}(X)<+\infty$.

设 $n\ge 1$, $I$ 是一 $n$ 阶基本区间, 则对 $\forall x,y\in I,n(x,y)\ge n$, 当 $x,y$ 分别为 $I$ 的两端点时等号成立, 从而 $|I|_\rho=\delta_n$, 故所有的 $n$ 阶基本区间构成 $X$ 关于度量 $\rho$ 的一个 $\delta_n$ 覆盖. 由 (3.1) 式可知

$\begin{equation*}H^{\rho,g}_{\delta_n}(X)\le k_1k_2\cdots k_ng(\delta_n)= k_1k_2\cdots k_n\delta_n\le \delta_0. \end{equation*}$

令 $n\to +\infty$, 得到

$\begin{equation}\label{3} H^{\rho,g}(X)\le \delta_0<\infty. \end{equation}$

(3.3)

另一方面, 设 $\mu$ 是 $X$ 上满足对任一 $n$ 阶基本区间 $I_n,\mu(I_n)=\frac 1{k_1k_2\cdots k_n}$ 的唯一 Borel 概率测度. 设 $U\subseteq X$ 且满足 $0<|U|_\rho<\delta_{0}$. 取 $n$ 为满足 $\delta_n\le |U|_\rho<\delta_{n-1}$ 的唯一正整数. 由 $\rho$ 的定义可知 $|U|_\rho=\delta_n$, 因此存在一个 $n$ 阶基本区间 $I_n$ 使得 $U\subseteq I_n$. 由 (3.2)式得

$\begin{equation*} \mu(U)\le \mu(I_n)=\frac 1{k_1k_2\cdots k_n}\le \frac{g(|U|_\rho)}{\lambda \delta_0}. \end{equation*}$

由 Frostman 引理, 可知 $0<\lambda \delta_0\le H^{\rho,g}(X)$, 联系 (3.3) 式知

$\begin{equation*} 0<\lambda \delta_0\le H^{\rho,g}(X)\le \delta_0<+\infty. \end{equation*}$

事实上, 在反例 3.1 的基础上稍作修改, 可以得到另一反例, 满足 $H^{\rho,g}(X)=H^{\rho,h}(X)=0$.

取 $g,h,X$ 同反例 3.1, 定义 $\displaystyle \rho(x,y)=\left\{\begin{array}{cc}0,&{\textrm{若}}\;x=y,\\ \delta_{{n}(x,y)+1},&{\textrm{若}}\;x\ne y,\end{array}\right.$ 同注1 可知所有 $n$ 阶基本区间构成 $X$ 关于度量 $\rho$ 的一个 $\delta_{n+1}$ 覆盖, 从而由(3.1)式

$\begin{equation*} H^{\rho,g}_{\delta_{n+1}}(X)\le k_1k_2\cdots k_ng(\delta_{n+1})\le \frac{\delta_0}{\delta_n}g(\delta_{n+1})=\frac{\delta_0}{\delta_n}\delta_{n+1}\le \delta_0(1-a_{n+1})\to 0(n\to \infty). \end{equation*}$

再由反例 3.1 的证明知 $H^{\rho,g}(X)=H^{\rho,h}(X)=0$.

注 2 反例 3.1 中的 $g$ 不满足加倍条件, 因为由

$\displaystyle\delta_{n+1}\le (1-a_{n+1})\delta_{n}<\frac{\delta_{n}}2, $

知

$\displaystyle\frac {g(\delta_n)}{g(\delta_n/2)} =\frac{\delta_n}{\delta_{n+1}}\ge \frac 1{1-a_{n+1}}\to +\infty (n \to \infty).$

注 3 从反例 3.1 的证明可以看出: 若存在 $0<c_1\le c_2<+\infty$ 和单调递减趋于 $0$ 的数列 $\delta_n$ 满足 $c_1g(\delta_n)\le h(\delta_n)\le c_2g(\delta_n)$, 则可构造紧度量空间 $(\rho,X)$, 使得 $H^{\rho,g}$ 与 $H^{\rho,h}$ 对 $(\rho,X)$ 等价.

反例 3.2 存在满足加倍条件的纲函数 $g$ 和两不等价度量空间 $(\rho_1,X)$ 与 $(\rho_2,X)$, 使得 $H^{\rho_1,g}$ 与 $H^{\rho_2,g}$ 等价.

构造: 定义 $[0,\frac 12]$ 上的函数

$\begin{equation*} g(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac 1{2},&x=\frac 12,\\ \frac 1{2^n}x^{\frac 1{2^n}},&\frac{1}{2^{2^{n+1}}}\le x<\frac 1{2^{2^n}},n\in{{\mathbb N}_+}\cup\{0\},\\ 0,&x=0.\end{array}\right. \end{equation*}$

易知 $g(x)$ 是连续纲函数且 $g(x)$ 满足

$\begin{equation}\label{g}\textrm{当}\,x<\frac 14\,{\textrm{时}},\,g(\sqrt x)=2g(x). \end{equation}$

(3.4)

以下验证 $g(x)$满足加倍条件:

(1) 若对某 $n\in{\mathbb N}_+$,

$\displaystyle \frac 1{2^{2^{n+1}}}\le x<\frac 1{2^{2^n+1}},$

则

$\displaystyle \frac 1{2^{2^{n+1}-1}}\le 2x<\frac 1{2^{2^n}},$

故

$\displaystyle g(2x)=\frac 1{2^n}(2x)^{\frac 1{2^n}}<\frac 1{2^{n+1}}=\frac 2{2^{n+2}}\le 2g(x).$

(2) 若对某 $n\in {\mathbb N}_+$,

$\displaystyle \frac 1{2^{2^{n}+1}}\le x<\frac 1{2^{2^n}},$

则

$\displaystyle \frac 1{2^{2^{n}}}\le 2x<\frac 1{2^{2^n-1}},$

故

$\displaystyle g(2x)=\frac 1{2^{n-1}}(2x)^{\frac 1{2^{n-1}}}<\frac 1{2^{n-1}}\left(\frac 1{2^{2^{n}-1}}\right)^{\frac 1{2^{n-1}}}=\frac 1{2^{n+1}} \cdot 2^{\frac 1{2^{n-1}}}\le 4g(x).$

综合 (1) (2) 知, $g(x)$ 满足加倍条件.

设 $\rho_1(x,y)$ 为 $[0,1]$ 上的通常欧氏度量. 令 $\displaystyle\rho_2(x,y)=\sqrt{\rho_1(x,y)}$, 易证 $\rho_2(x,y)$ 也为 $[0,1]$ 上的度量.

由于当 $\displaystyle\frac{1}{2^{2^{n+1}}}\le x<\frac 1{2^{2^n}}$ 时,

$\displaystyle g(x)=\frac 1{2^n}x^{\frac 1{2^n}}\ge \frac{1}{2^{n+2}},$

从而

$\displaystyle \frac{g(x)}{x}\ge \frac{1/2^{n+2}}{1/2^{2^n}}=2^{2^n-n-2}\to +\infty (n \to \infty).$

故 $\forall M>0,\exists \delta_0>0,\forall 0<x<\delta_0$, 有 $g(x)>Mx$, 从而

$\begin{eqnarray*} H^{\rho_1,g}([0,\frac 12])=\lim\limits_{\delta\to0}\inf\limits_{\tiny{\begin{array}{c} \cup U_i\supseteq [0,\frac 12]\\ |U_i|\le \delta\end{array}}}\sum g(|U_i| )\ge M\lim\limits_{\delta\to0}\inf\limits_{\tiny{\begin{array}{c} \cup U_i\supseteq [0,\frac 12]\\ |U_i|\le \delta\end{array}}}\sum |U_i| =MH^1([0,\frac 12])=\frac M2, \end{eqnarray*}$

故 $H^{\rho_1,g}([0,\frac 12])=+\infty$.

由引理 2.2, 存在 $[0,\frac 12]$ 的紧子集 $X$, 满足 $0<H^{\rho_1,g}(X)<+\infty$. 由 $X$ 紧知 $X$ 有至多有限个孤立点. 由于去掉这些点不影响测度和紧性, 可假设 $X$ 无孤立点.

显然, $(\rho_1,X),(\rho_2,X)$ 均为紧度量空间, 下证 $\rho_1$ 与 $\rho_2$ 不等价. 若 $\rho_1,\rho_2$ 等价, 则存在 $c>0$, 使得 $\forall x,y\in X,\rho_2(x,y)\le c\rho_1(x,y)$. 由于 $X$ 无孤立点, 故对任意 $n\in {{\mathbb N}_+}$, 可选取 $x_n, y_n\in X (x_n\neq y_n)$ 使得 $\displaystyle \rho_1(x_n,y_n)\to 0$, 从而 $\displaystyle c\ge 1/{\sqrt{\rho_1(x_n,y_n)}}$, 令 $n\to +\infty$, 矛盾.

以下证明: $\forall K\subseteq X$, 有 $H^{\rho_2,g}(K)=2H^{\rho_1,g}(K)$.

$\forall U\subseteq X$, 当 $|U|_{\rho_1}$ 充分小时, 由 $\rho_1,\rho_2$ 的定义和 (3.4) 式可知

$g(|U|_{\rho_2})=g(\sqrt{|U|_{\rho_1}})=2g(|U|_{\rho_1}),$

从而对任意充分小 $\delta>0,\{U_i\}$ 是 $K$ 关于 $\rho_2$ 的一个 $\delta$ 覆盖等价于 $\{U_i\}$ 是 $K$ 关于 $\rho_1$ 的一个 $\delta^2$ 覆盖, 故

$\begin{equation*} H^{\rho_2,g}(K)=\lim\limits_{\delta\to0}\inf\sum\limits_{0<|U_i|_{\rho_2}\le \delta}g(|U_i|_{\rho_2})=2\lim\limits_{\delta\to0}\inf\sum\limits_{0<|U_i|_{\rho_1}\le \delta^2}g(|U_i|_{\rho_1}) =2H^{\rho_1,g}(K), \end{equation*}$

从而 $H^{\rho_1,g}$ 与 $H^{\rho_2,g}$ 等价.