本文讨论了如下非齐次椭圆方程问题

$\left\{\begin{array}{l} \Delta u+u^p+u^q+f(x)=0,\ \ \ \ x\in \mathbb{R},\\ u>0,\end{array} \right.$

(1.1)

其中$ \displaystyle\Delta=\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}$ 表示拉普拉斯算子; $p>q>1,\ n\in N$ 且$n\geq 3$; $f\in C(\mathbb{R})$, $f\geq 0$ 且 $f\not \equiv 0$.

为了叙述方便, 我们首先引入以下记号

$m_p=\frac{2}{p-1},\ \ \ \ m_q=\frac{2}{q-1}.$

(1.2)

关于非齐次偏微分方程, 在文献[1, 2]中, Bae、Ni 和 Bernard 先后讨论了

$\left\{\begin{array}{l} \Delta u+u^p+f(x)=0,\ \ \ \ x\in \mathbb{R},\\ u>0\end{array} \right.$

解存在的必要条件和充分条件. 在此基础上, 很多数学家进行了更加深入的研究, 得到了解的更多性质, 参见文献[2, 4, 5]等. 关于方程(1.2) 的齐次方程, 有很多很好的结果, 参见文献[3, 6--10]等. 尤其重要的结果是当$p$充分大时, 正解在无穷远处的衰减指数为$-m_p$, 即在无穷远处, $u(|x|)\sim |x|^{-m_p}$. 在文献[2]中, 作者运用上下解方法得到了在无穷远处衰减指数为$-m_p$ (慢速衰减)和$-(n-2)$ (快速衰减)的两种正解的存在性.

在文献[11]中, 我们讨论方程(1.1)正解存在的充要条件. 本文中, 我们不仅讨论方程(1.1)在无穷远处衰减指数为$-(n-2)$ 的快速衰减正解的存在性. 我们还将证明介于快速衰减和慢速衰减之间的一类正解的存在性. 我们的主要定理为:

定理 1.1 如果$n/(n-2)<q$且$f(x)\leq C_1/|x|^{2+n}$, 则方程(1.1)有解且满足如下不等式

$0\leq u(x)\leq \frac{\theta_1}{(1+|x|^2)^{(n-2)/2}},\ \ \ \ x\in \mathbb{R}, $

(3.3)

其中$\theta_1$为方程$-n(n-2)+pt^{p-1}+qt^{q-1}=0$ 在$(0,+\infty)$ 上的唯一解, $C_1=n(n-2)\theta_1-\theta_1^p-\theta_1^q$.

定理 1.2 如果$n/(n-2)<q$且$f(x)\leq C_2/|x|^{\tau}$, $2+m_q<\tau<n$, 则方程(1.1)有解且满足如下不等式

$0\leq u(x)\leq \frac{\theta_2}{(1+|x|^2)^{(\tau-2)/2}},\ \ \ \ x\in \mathbb{R}, $

其中$\theta_2$ 为方程$-(\tau-2)(n-\tau)+pt^{p-1}+qt^{q-1}=0$在$(0,+\infty)$上的唯一解

$C_2=(\tau-2)(n-\tau)\theta_2-\theta_2^p-\theta_2^q.$

注 由定理1.1和定理1.2, 如果非齐次项$f$满足一定的衰减条件, 则方程(1.1)会有快速衰减正解、慢速衰减正解和介于快速衰减和慢速衰减之间的正解.

定义 2.1  如果$u\in C(\mathbb{R})$,

$\bar{u}=\frac{1}{\omega_n r^n}\int_{|x|=r}u(x)dS ,\ \ \ \ r>0$

称为$u$的球面平均, 其中$\omega_n$是$\mathbb{R}$中单位球的面积, $dS$是表面测度.

引理 2.2 假设$n/(n-2)<q$. 则在无穷远处, 方程(1.1)的任何解的球面平均$\bar{u}$满足如下的估计不等式

$\frac{C_3}{r^{n-2}}\leq\bar{u}\leq \frac{C_4}{人^{m_q}},$

其中$C_3>0,C_4>0$.

注 用标准的方法可以证明引理2.2.证明省略.

定义 2.3 如果$f$是$\mathbb{R}$上的局部hölder连续函数,

$N(x)=c_n\int_{\mathbb{R}}\frac{f(y)}{|x-y|^{n-2}}dy$

称为$f$的牛顿位势, 其中$c_n=[(n-2)\omega_n]^{-1}$, $\omega_n$是$\mathbb{R}$ 中单位球的面积.

下面我们给出$f$的牛顿位势的一些结论.

引理 2.4 [7] 如果在无穷远处$f\leq C|x|^{l},C>0,l>-2$, 则在无穷远处,

$ N(x)\leq \left\{\begin{array}{l} C|x|^{2-n},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ l<-n,\\ C|x|^{2-n}\log|x|, \ \ \ \ \ l=-n,\\ C|x|^{2+l}, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -n<l<-2.\\ \end{array} \right.$

引理 2.5 [7] 如果在无穷远处$f\geq C|x|^{l},C>0,l>-2$, 则在无穷远处,

$ N(x)\geq \left\{\begin{array}{l} C|x|^{2-n},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ l<-n,\\ C|x|^{2-n}\log|x|, \ \ \ \ \ l=-n,\\ C|x|^{2+l}, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -n<l<-2.\\ \end{array} \right.$

引理2.5和2.5中的各个$C$是互不相同的, 我们采用了同一记号.

定理 3.1  方程(1.1)的解满足下面的不等式

$u(x)\geq N(x).$

定理3.1可由文献[2]中定理2类似的方法证明, 我们省略其证明.

定理1.1的证明 记

$\begin{eqnarray}w(r)&=&\frac{\xi}{(1+r^2)^{\alpha}},\ \ \ \ r\geq0,\\ Sw&=&w''+\frac{n-1}{r}w'+w^p+w^q,\end{eqnarray}$

$\xi>0$ 和 $\alpha>0$将在后面的证明中给出. 把(3.1)式带入(3.2)式中直接计算得到

$ Sw =\frac{4r^2\alpha(\alpha+1)\xi}{(1+r^2)^{\alpha+2}}-\frac{2\alpha n \xi}{(1+r^2)^{\alpha+1}}+ \frac{\xi^{p}}{(1+r^2)^{\alpha p}}+\frac{\xi^{q}}{(1+r^2)^{\alpha q}}. $

取$\alpha=\frac{n-2}{2}$, 运用上下解原理, 要使$Sw\leq0$ 成立, 必须$\alpha q\geq(n+2)/2$, 即

$q\geq\frac{n+2}{n-2}.$

在式(3.3)的限制下, 有

$ Sw = \frac{-n(n-2)\xi}{(1+r^2)^{(n+2)/2}}+\frac{\xi^p}{(1+r^2)^{\alpha p}}+\frac{\xi^q}{(1+r^2)^{\alpha q}} \leq \frac{-n(n-2) \xi+\xi^p +\xi^q }{(1+r^2)^{(n+2)/2}}.$

(3.4)

考虑函数

$h_1(t)=-n(n-2)t+t^q+t^p,$

很显然$h_1(0)=0$; 对充分小的$\varepsilon>0$, 有$h_1(\varepsilon)<0$，而且

$h_1''(t)=p(p-1)t^{p-2}+q(q-1)t^{q-2}>0,\ \ \ \ t>0.$

从而函数

$h_1'(t)=0$

在$(0,+\infty)$上有唯一解, 记为$\xi_1$ (即定理1.2中的$\theta_1$). 故存在唯一的$\xi_1$使下式成立:

$p\xi_1^{p-1}+q\xi_1^{q-1}=n(n-2),$

而且$h_1(\xi_1)$为$h_1(t)$在$(0,+\infty)$上的最小值, $h_1(\xi_1)<0$. 因此

$Sw\leq \frac{h_1(\xi_1)}{(1+r^2)^{(n+2)/2}}.$

如果

$0\leq f\leq -\frac{h_1(\xi_1)}{(1+r^2)^{(n+2)/2}}, $

则$w$是方程(1.1)的一个上解. 既然$f\geq 0$, 显然$0$是方程(1.1)的下解. 由上下解原理, 方程(1.1)存在一个解满足

$0\leq u\leq w,\ \ \ \ x\in\mathbb{R}.$

由极值原理, $u>0$. 定理证毕.

推论 3.2 如果条件和定理1.1相同, 而且$N(x)\leq \theta_1(1+|x|^2)^{(-2+n)/2}$, 则方程(1.1)有解满足

$N(x)\leq u(x)\leq \frac{\theta_1}{(1+|x|^2)^{(n-2)/2}},\ \ \ \ x\in\mathbb{R}. $

也就是说, 如果对某个较小的常数$C_5>0$, 在无穷远处有$f(x)\geq C_5/|x|^{2+n}$, 则方程(1.1)有在无穷远处衰减指数为$-(n-2)$的解.

证 由定理1.1和定理3.1, 很容易得到(3.4)式. 由$f(x)\geq C_5/|x|^{2+n}$和引理2.5, 我们可以得到, 存在$\theta_1>C_6>0$ 使得在无穷远处有下面的不等式成立:

$N(x)\geq \frac{C_6}{|x|^{n-2}}.$

(3.5)

故方程(1.1)的解在无穷远处的衰减指数为$-(n-2)$.

定理1.2的证明 同定理1.1的证明一样, 取

$\begin{eqnarray*}w(r)&=&\frac{\xi}{(1+r^2)^{\alpha}},\ \ \ \ r\geq0,\\ Sw&=&w''+\frac{n-1}{r}w'+w^p+w^q,\end{eqnarray*}$

$\xi>0$ 和 $\alpha>0$将在后面的证明中给出. 直接计算得到

$\begin{array}[c]{rl} Sw&= \frac{4r^2\alpha(\alpha+1)\xi}{(1+r^2)^{\alpha+2}}-\frac{2\alpha n \xi}{(1+r^2)^{\alpha+1}}+ \frac{\xi^{p}}{(1+r^2)^{\alpha p}}+\frac{\xi^{q}}{(1+r^2)^{\alpha q}}\\ &\leq -\frac{2\alpha n \xi[1-2(\alpha+1)/n]}{(1+r^2)^{\alpha+1}}+ \frac{\xi^{p}}{(1+r^2)^{\alpha p}}+\frac{\xi^{q}}{(1+r^2)^{\alpha q}}. \end{array}$

运用上下解原理, 我们知道要让$Sw\leq 0$, 必须 $\alpha q\geq \alpha+1\ \ \mbox{且} \ \ 1-2(\alpha+1)/n>0,$ 即 $ \frac{1}{q-1}\leq \alpha < \frac{n-2}{2}.$ 取$ \alpha=\frac{\tau-2}{2},\ 2+m_q\leq\tau < n,$

$Sw\leq \frac{-(\tau-2)(n-\tau)\xi+\xi^p+\xi^q}{(1+r^2)^{\tau/2}}.$

考虑函数 $h_2(t)=-(\tau-2)(n-\tau)t+t^q+t^p,$ 很显然, $h_2(0)=0$; 对充分小的$\varepsilon>0$, 有$h_2(\varepsilon)<0$. 而且

$h_2''(t)=p(p-1)t^{p-2}+q(q-1)t^{q-2}>0,\ \ \ \ t>0.$

从而函数 $h_2'(t)=0$ 在$(0,+\infty)$上有唯一解, 记为$\xi_2$(即定理1.2中的$\theta_2$). 故存在唯一的$\xi_2\in(0,+\infty)$使下式成立:

$p\xi_2^{p-1}+q\xi_2^{q-1}=(\tau-2)(n-\tau),$

而且$h_2(\xi_2)$为$h_2(t)$在$(0,+\infty)$上的最小值, $h_2(\xi_2)<0$ . 因此 $Sw\leq \frac{h_2(\xi_2)}{(1+r^2)^{\tau/2}}.$ 如果

$0\leq f\leq -\frac{h_2(\xi_2)}{(1+r^2)^{\tau/2}}, $

则$w$是方程(1.1)的一个上解. 既然$f\geq 0$, 显然$0$是方程(1.1)的下解. 由上下解原理, 方程(1.1)存在一个解满足 $0\leq u\leq w,\ \ \ \ x\in\mathbb{R}.$ 由极值原理, $u>0$. 定理证毕.

推论 3.3 如果条件和定理1.2相同, 而且$N(x)\leq \theta_2(1+|x|^2)^{(-2+\tau)/2}$, 则方程(1.1)有解满足

$N(x)\leq u(x)\leq \frac{\theta_2}{(1+|x|^2)^{(\tau-2)/2}},\ \ \ \ x\in\mathbb{R}. $

也就是说, 如果对某个较小的常数$C_7>0$, 在无穷远处有$f(x)\geq C_7/|x|^{\tau}$, 则方程(1.1)有在无穷远处衰减指数为$-(\tau-2)$的解.

证 由定理1.3和定理3.1, 很容易得到(3.5)式. 由$f(x)\geq C_7/|x|^{\tau}$和引理2.5, 我们可以得到, 存在$\theta_2>C_8>0$ 使得在无穷远处有下面的不等式成立:

$N(x)\geq \frac{C_8}{|x|^{\tau-2}}.$

故方程(1.1)的解在无穷远处的衰减指数为$-(\tau-2)$.