就三维流形的构作而言, 到目前为止, 已有许多颇为有效的方法, 如利用Heeggard图式, Dehn手术以及纽结理论等, 近年来应用双曲几何的方法来讨论三维流形也逐渐形成趋势, 成为研究三维流形不可或缺的重要方法(见文献[1-3]）.

在对曲面进行分类过程中, 许多好的曲面如球面, 环面, Klein瓶等都可用一矩形面片经过边的两两叠合而得到, 这启发我们想到能否对空间中的体经过类似的线叠合和面叠合而得到三维流形.

本文试图对体的一种简单模型——棱形六面体, 经过面面、线线叠合得到的多面体进行研究, 这种叠合的种类共476种.在文献[4]中, 有关于该情况下判断多面体是否是流形以及如何计算其基本群的方法.

在文献[5]中, 可见到关于经四面体叠合的多面体的基本群的结论, 但计算方法却没有给出, 本人曾对这个模型进行了详尽计算, 得到了与之相同的结论（见文献[6]）, 而在此基础上对另一种模型的研究, 则是本文的主要内容.

引理2.1^[4]  设 $M$是由成对地叠合一个多面体的面而成的复合形, 则 $M$是流形的充要条件是它的示性数为0.

注  叠合时若有公共棱, 则定向的棱与它的定向的反向不能相互叠合, 因为此时其中间点找不到与之叠合的其它点, 这样叠合而成的多面体不是流形.

引理2.2^[4]   $M$的一个单纯剖分有 $a^{i}$个 $i$维单纯形, 则 $M$的示性数为

$ N=a^{0}-a^{1}+a^{2}-a^{3}. $

基本群的计算  如图 1, 给定复合形 $M$, 用 $a_{1}, a_{2}, \cdots$表示 $M$上的定向棱, $O$表示闭棱道的起点, $P_{1}, \, P_{2}, \, \cdots$表示 $M$上棱的顶点.用如下方法求出一组母元和关系, 进而确定其基本群.

① 由 $O$到 $M$的每一个顶点连接固定的棱道, 称为属于该点的辅助道路.属于 $O$点的辅助道路就只有 $O$这一点.

② 相对于每一个定向棱 $a_{i}$, 恰有一条从 $O$点起始的闭道 $A_{i}$:从 $O$起始, 沿着辅助道路到 $a_{i}$的起点, 再沿着 $a_{i}$到 $a_{i}$的终点, 然后沿着终点的逆辅助道路回到 $O$.用 $\varphi(a_{\nu})=A_{i}$表示上述过程.则这些 $A_{1}, A_{2}, \cdots$表示所有的棱道类, 它们恰好构成复合形 $M$的一组母元.

③ 每一条从 $O$起始的闭棱道 $\omega$能表示为上述棱道类的组合乘积.若 $\omega=F(a_{i})=a_{l}^{\varepsilon_{l}}a_{m}^{\varepsilon_{m}}\cdots a_{z}^{\varepsilon_{z}}$表示成一条棱道( $\varepsilon$表示方向), 那么 $W=F(A_{i})=A_{l}^{\varepsilon_{l}}A_{m}^{\varepsilon_{m}}\cdots A_{z}^{\varepsilon_{z}}$一定与 $\omega$同伦.于是, 将 $A_{i}=\varphi(a_{\nu})$中的棱 $a_{\nu}$用它的闭棱道 $A_{\nu}$代替, 即有 $A_{i}=\varphi(A_{\nu)}$, 它确定一个关系.

④ 若 $a_{l}^{\varepsilon_{l}}a_{m}^{\varepsilon_{m}}\cdots{a_{z}^{\varepsilon_{z}}}$是面的边缘道, 则 $A_{l}^{\varepsilon_{l}}A_{m}^{\varepsilon_{m}}\cdots A_{z}^{\varepsilon_{z}}$就与 $O$同伦, 所以

$ A_{l}^{\varepsilon_{l}}A_{m}^{\varepsilon_{m}}\cdots A_{z}^{\varepsilon_{z}}=1. $

根据上面的关系可以得到 $M$的基本群.

以下回到本文讨论的重点:如图 2, 给定棱形六面体, 经两两对折后变成一复合形 $M$, 将讨论:

1) $M$是否为流形;

2) 若 $M$是流形, 其基本群为何者.

规定, 前面上下面分别为①②, 后右侧上下面分别为③④, 后左侧上下面分别为⑤⑥, 再规定, 顶点1, 2, 3, 4, 5如图 2, 各条棱 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{7}, a_{8}, a_{9}$也如图 2.

叠合后几何体 $M$的零维Betti数恰为顶点的个数, 以下简写为“0维”, 一维Betti数为叠合后边的个数, 简写为“1维”, 二维Betti数位叠合后面的个数, 简写为“2维”, 三维Betti数位复合形的个数1, 记为“3维”.

现将六个面两两对折, 使得顶点与顶点重合, 边线与边线重合, 这时中间的面将相应重合, 如①② 对折, 有五种折法, 分别表示为

$ \left( {{\rm{123}}} \right) \sim \left( {{\rm{523}}} \right),\left( {{\rm{123}}} \right) \sim \left( {{\rm{235}}} \right),\left( {{\rm{123}}} \right) \sim \left( {{\rm{352}}} \right),\left( {{\rm{123}}} \right) \sim \left( {{\rm{253}}} \right),\left( {{\rm{123}}} \right) \sim \left( {{\rm{325}}} \right). $

其它面的表示类似, 这样经过相互组合, 并排除可能重合的情形, 棱形六面体经过两两叠合后, 可以得到476种情形, 作者通过繁复详细的计算, 对这些情形进行了详细研究.

定理2.3  棱形六面体经两两面叠合, 可以得到476种多面体, 其中有409种不是流形, 在流形情形时, 其基本群包括 $1, Z, Z_{2}, Z_{3}, Z_{5}, Z_{7}, Z_{8}$以及5类只能用关系表示的群.

总体而言, 从折法上看, 可以分成五类情况:分别为折法一, ①② 对折, ③④ 对折, ⑤⑥ 对折; 折法二, ①② 对折, ③⑥ 对折, ④⑤ 对折; 折法三, ①② 对折, ③⑤ 对折, ④⑥ 对折; 折法四, ①④ 对折, ③⑥ 对折, ⑤② 对折; 折法五, ①③ 对折, ④⑥ 对折, ⑤② 对折.

限于篇幅, 本文无法对476种情形一一阐述, 仅将上述5种折法中的典型情形各举一个例, 并把得到的结果以表格的形式给出(见表 1-5).

•折法一、①② 对折, ③④ 对折, ⑤⑥ 对折

例1   ①② 折 $(123)\sim{(523)}$, ③④ 折 $(134)\sim{(534)}$, ⑤⑥ 折 $(142)\sim{(542)}$,

$ \begin{array}{lcccrc} (123)\sim{(523)}\ \ \ \ a_{1}=a_{7}\ \ \ \ a_{2}=a_{2}\ \ \ \ a_{3}=a_{8}\\ (134)\sim{(534)}\ \ \ \ a_{3}=a_{8}\ \ \ \ a_{5}=a_{5}\ \ \ \ a_{4}=-a_{9}\ \ \ \ \ {\hbox{ dim}}\ 0=4, \ \ \ \ {\hbox{ dim}}\ 1=6\\ (142)\sim{(542)}\ \ \ \ a_{4}=-a_{9}\ \ \ a_{6}=a_{6}\ \ \ a_{1}=a_{7}\ \ \ \ \ {\hbox{ dim}}\ 2=3, \ \ \ \ {\hbox{ dim}}\ 3=1\\ 4+3=6+1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 复合形M是流形. \end{array} $

以下求 $M$的基本群:

Ⅰ取1做闭道的起点, 做到2, 3, 4的辅助道路 $a_{1}, a_{3}^{-1}, a_{4}$,

$ \left.\begin{array}{ccc} a_{1}=-a_{7}& a_{2}=a_{2}& a_{3}=a_{8}\\ a_{3}=a_{8}& a_{5}=a_{5}& a_{4}=-a_{9}\\ a_{4}=-a_{9}& a_{6}=a_{6}& a_{1}=a_{7} \end{array} \right\}\Longrightarrow{a_{1}=a_{7}, a_{3}=a_{8}, a_{2}=a_{2},a_{5}=a_{5} a_{4}=-a_{9}, a_{6}=a_{6}}, $

于是 $A_{1}=a_{1}a_{1}^{-1}$, $A_{2}=a_{1}a_{2}a_{3}, A_{3}=a_{3}^{-1}, A_{4}=a_{4}^{-1}, A_{5}=a_{3}^{-1}a_{5}a_{4}^{-1}, A_{6}=a_{1}a_{6}a_{4}^{-1}$, 得到 $a_{1}=a_{2}=a_{3}=a_{4}=a_{5}=a_{6}=1$.

Ⅱ $a_{1}a_{2}a_{3}=1, a_{3}a_{4}a_{5}^{-1}=1, a_{1}a_{6}a_{4 }^{-1}=1 $, 有 $\pi_{1}(M)=1$.

其余情形见表 1:

•折法二、①② 对折, ③⑥ 对折, ④⑤ 对折

例2   ①② 折 $(123)\sim{(523)}$, ③④ 折 $(134)\sim{}(425)$, ⑤⑥ 折 $(142)\sim{}(453)$,

$ \begin{array}{lcccrc} (123)\sim{(523)}\ \ a_{1}=a_{7}\ \ a_{2}=a_{2}\ \ a_{3}=a_{8}\\ (134)\sim{(425)}\ \ a_{3}=-a_{6}\ \ a_{5}=-a_{7}\ \ a_{4}=a_{9}\ \ \ \ \ {\hbox{ dim}}\ 0=2, \ \ {\hbox{ dim}}\ 1=4\\ (142)\sim{(453)}\ \ a_{4}=a_{9}\ \ a_{6}=a_{8}\ \ a_{1}=-a_{5}\ \ \ \ \ {\hbox{ dim}}\ 2=3, \ \ {\hbox{ dim}}\ 3=1\\ 2+3=4+1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 复合形M是流形. \end{array} $

以下求 $M$的基本群:

Ⅰ取1做闭道的起点, 做到2的辅助道路 $a_{1}$,

$ \left.\begin{array}{ccc} a_{1}=-a_{7}& a_{2}=a_{2}& a_{3}=a_{8}\\ a_{3}=-a_{6}& a_{5}=-a_{7}& a_{4}=a_{9}\\ a_{4}=a_{9}& a_{6}=a_{8}& a_{1}=-a_{5} \end{array} \right\}\\\Longrightarrow{a_{1}=a_{7}=-a_{5}, a_{3}=a_{8}=a_{6}=-a_{3} a_{2}=a_{2}, a_{4}=a_{9}}, $

于是 $A_{1}=a_{1}a_{1}^{-1}=1$, $A_{2}=a_{1}a_{2}, A_{3}=a_{3}, A_{4}=a_{4}, a_{3}^{2}=1$.

Ⅱ $a_{1}a_{2}a_{3}=1, a_{3}a_{4}a_{5}^{-1}=1\Rightarrow a_{3}a_{4}=1, a_{1}a_{6}a_{4}^{-1}=1\Rightarrow a_{3}a_{4}=1, a_{3}^{2}=1$, 有 $\pi_{1}(M)=Z_{2}$.

其余情形见表 2:

•折法三、①② 对折, ③⑤ 对折, ④⑥ 对折

例3   ①② 折 $(123)\sim{}(523)$, ③⑤ 折 $(314)\sim{}(214)$, ④⑥ 折 $(254)\sim{}(543)$,

$ \begin{array}{lcccrc} (123)\sim{(523)}\ \ a_{1}=a_{7}\ \ a_{2}=a_{2}\ \ a_{3}=a_{8}\\ (314)\sim{(214)}\ \ a_{3}=-a_{1}\ \ a_{4}=a_{4}\ \ a_{5}=a_{6}\ \ \ \ \ {\hbox{ dim}}\ 0=1, \ \ {\hbox{ dim}}\ 1=3\\ (254)\sim{(543)}\ \ a_{7}=a_{9}\ \ a_{9}=a_{5}\ \ a_{6}=-a_{8}\ \ \ \ \ {\hbox{ dim}}\ 2=3, \ \ {\hbox{ dim}}\ 3=1\\ 1+3=3+1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 复合形M是流形. \end{array} $

以下求 $M$的基本群:

Ⅰ取1做闭道的起点, 且只有一个顶点,

$ \left.\begin{array}{ccc} a_{1}=a_{7}& a_{2}=a_{2}& a_{3}=a_{8}\\ a_{3}=-a_{1}& a_{4}=a_{4}& a_{5}=a_{6}\\ a_{7}=a_{9}& a_{9}=a_{5}& a_{6}=-a_{8} \end{array} \right\}\\\Longrightarrow{a_{1}=a_{7}=a_{9}=a_{5}=a_{6}=-a_{8}=-a_{3} a_{2}=a_{2}, a_{4}=a_{4}}, $

得到 $A_{1}=a_{1}, A_{2}=a_{2}, A_{4}=a_{4}$.

Ⅱ $a_{1}a_{2}a_{3}=1\Rightarrow a_{2}=1, a_{3}a_{4}a_{5}^{-1}=1\Rightarrow a_{1}^{2}=a_{4}, a_{5}a_{9}a_{8 }^{-1}=1\Rightarrow a_{1}^{3}=1 $, 有 $\pi_{1}(M)=Z_{3}$.

其余情形见表 3:

•折法四、①④ 对折, ③⑥ 对折, ⑤② 对折

例4   ①② 折 $(123)\sim{}(345)$, ③④ 折 $(134)\sim{}(245)$, ⑤⑥ 折 $(142)\sim{}(253)$,

$ \begin{array}{lcccrc} (123)\sim{(345)}\ \ a_{1}=a_{5}\ \ a_{2}=a_{9}\ \ a_{3}=-a_{8}\\ (134)\sim{(534)}\ \ a_{3}=-a_{6}\ \ a_{5}=a_{9}\ \ a_{4}=-a_{7}\ \ \ \ \ {\hbox{ dim}}\ 0=1, \ \ {\hbox{ dim}}\ 1=3\\ (142)\sim{(542)}\ \ a_{4}=-a_{7}\ \ a_{6}=a_{8}\ \ a_{1}=a_{2}\ \ \ \ \ {\hbox{ dim}}\ 2=3, \ \ {\hbox{ dim}}\ 3=1\\ 1+3=3+1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 复合形M是流形. \end{array} $

以下求 $M$的基本群:

Ⅰ取1做闭道的起点, 做到2, 3, 4的辅助道路 $a_{1}, a_{3}^{-1}, a_{4}$,

$ \left.\begin{array}{ccc} a_{1}=a_{5}& a_{2}=a_{9}& a_{3}=-a_{8}\\ a_{3}=-a_{6}& a_{5}=a_{9}& a_{4}=-a_{7}\\ a_{4}=-a_{7}& a_{6}=a_{8}& a_{1}=a_{2} \end{array} \right\}\\\Longrightarrow{a_{1}=a_{5}=a_{9}=a_{2}, a_{3}=-a_{8}=-a_{6} a_{4}=-a_{7}}, $

得到 $A_{1}=a_{1}, A_{3}=a_{3}, A_{4}=a_{4}$.

Ⅱ $a_{1}a_{2}a_{3}=1, a_{3}a_{4}a_{5}^{-1}=1\Rightarrow a_{3}a_{4}=a_{1}, a_{1}a_{6}a_{4 }^{-1}=1\Rightarrow a_{1}a_{3}^{-1}a_{4}^{-1}=1 $, 有

$ \pi_{1}(M)=\{a_{3}, a_{4}|a_{4}^{2}a_{3}^{3}=1\}. $

其余情形见表 4:

•折法五、①③ 对折, ④⑥ 对折, ⑤② 对折

例5   ①② 折 $(123)\sim{}(431)$, ③④ 折 $(524)\sim{}(345)$, ⑤⑥ 折 $(523)\sim{}(214)$,

$ \begin{array}{lcccrc} (123)\sim{(431)}\ \ a_{1}=-a_{5}\ \ a_{2}=a_{3}\ \ a_{3}=a_{4}\\ (524)\sim{(345)}\ \ a_{7}=a_{5}\ \ a_{6}=a_{9}\ \ a_{9}=-a_{8}\ \ \ \ \ {\hbox{ dim}}\ 0=1, \ \ {\hbox{ dim}}\ 1=3\\ (523)\sim{(214)}\ \ a_{7}=-a_{1}\ \ a_{2}=a_{4}\ \ a_{8}=-a_{6}\ \ \ {\hbox{ dim}}\ 2=3, \ \ {\hbox{ dim}}\ 3=1\\ 1+3=3+1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 复合形M是流形. \end{array} $

以下求 $M$的基本群:

Ⅰ取1做闭道的起点, 做到2, 3, 4的辅助道路 $a_{1}, a_{3}^{-1}, a_{4}$,

$ \left.\begin{array}{ccc} a_{1}=-a_{5}& a_{2}=a_{3}& a_{3}=a_{4}\\ a_{7}=a_{5}& a_{6}=a_{9}& a_{9}=-a_{8}\\ a_{7}=-a_{1}& a_{2}=a_{4}& a_{8}=-a_{6} \end{array} \right\}\\\Longrightarrow{a_{1}=-a_{5}=-a_{7}, a_{2}=a_{3}=a_{4}, a_{6}=a_{9}=-a_{8}}, $

得到 $A_{1}=a_{1}, A_{2}=a_{2}, A_{6}=a_{6}$.

Ⅱ $a_{1}a_{2}a_{3}=1\Rightarrow a_{1}a_{2}^{2}=1, a_{7}a_{6}a_{9}=1\Rightarrow a_{1}=a_{6}^{2}, a_{7}a_{2}a_{8}=1\Rightarrow a_{2}=a_{1}a_{6} $, 有

$ \pi_{1}(M)=Z_8. $

其余情形见表 5:

总之, 将本节所得各结论综合, 棱形六面体经过两两面叠合后, 在同胚的意义下, 总计476种叠法中, 可以得到为数不多的几种情形, 其基本群包括 $1, Z, Z_{2}, Z_{3}, Z_{5}, Z_{7}, Z_{8}$以及只能用关系表示的群, 详细的结果见表 6:

注  在只能用关系表示基本群的五类情形中, 其中有两类基本群为 $\pi_{1}(M)=\{a, b|a^{2}b=1\}, $一类基本群为 $\pi_{1}(M)=\{a, b|ab^{3}=1\}$, 一类基本群为 $\pi_{1}(M)=\{a, b|a^{2}b^{2}=1\}$, 还有一类基本群为 $\pi_{1}(M)=\{a, b|a^{2}b^{3}=1\}$.