令 $D$为 $\mathbb{C}^n$上的圆型域, 即对任 $z\in D$和 $\theta\in\mathbb R$, 均有 $e^{i\theta}z\in D$. $D$为星形域, 即对任 $z\in D$和 $|\lambda|<1$, 均有 $\lambda z\in D$.设 $\mathcal{X}$为 $D$上具有旋转不变的半模 $\|\cdot\|_{\mathcal{X}}$的空间, 对任 $f\in \mathcal{X}, \, \delta>0$, $r\in \mathbb{N}$, $f$的 $r$阶光滑模定义为

$ \begin{equation} \omega_r(\delta, f, \mathcal{X}):=\sup\limits_{0 < h\leq\delta} \left\|\Delta_h^r f(z)\right\|_{\mathcal{X}}=\sup\limits_{0 < h\leq\delta} \left\|\overrightarrow{\Delta}_h^r f(z)\right\|_{\mathcal{X}}, \end{equation} $

(1.1)

这里中心差分 $\Delta_h^r $与向前差分 $\overrightarrow{\Delta}_h^r $为

$ \Delta_h^r f(z)=\overrightarrow{\Delta}_h^r f(ze^{-\frac{r}{2}hi})=\Delta_h(\Delta_h^{r-1} f(z))=\sum\limits_{j=0}^r(-1)^{j}{r \choose j}f(e^{i(\frac{r}{2}-j)h}z). $

$H(D)$表示 $D$上全纯函数全体.易知对任 $f\in H(D)$, 都存在齐次多项式展开^[1]

$ \begin{equation} f(z)=\sum\limits_{j=0}^{\infty}F_j(z), \end{equation} $

(1.2)

其中 $F_{j}(z)$为 $j$次齐次多项式且级数在 $D$上紧收敛. $f$在 $z$点的 $\alpha$阶径向导数^[2]为

$ \mathcal R^{\alpha} f(z)=\sum\limits_{j=0}^{\infty}j^{\alpha} F_j(z), \, \, \, \alpha\geq 0. $

在 $\mathbb C^n$中的星型圆形域 $D$上引入 $f$的径向导数定义新的 $\alpha \in \mathbb R^+$阶K -泛函

$ \begin{equation} K_{\alpha}(f, t^{\alpha};\mathcal X):=\inf\limits_{\mathcal R^{\alpha}g\in \mathcal X}\{||f-g||_{\mathcal X}+t^{\alpha}||\mathcal R^{\alpha}g||_{\mathcal X}\}, \end{equation} $

(1.3)

其中 $f\in \mathcal{X}$.

在逼近论中, 光滑模是研究函数中心逼近正逆定理的基本工具, 而在很多逼近问题中, K -泛函^[3]起到很重要作用, 它们都表示了函数的一些本质的逼近特性.故研究K -泛函和光滑模相互关系成为函数逼近论的主要问题之一.

Ditzian等获得了在 $L_p([-\pi, \pi])$空间中光滑模和K -泛函的等价性^[4]:

定理A  对 $f\in L_p([-\pi, \pi])$, $0 < p\leq \infty$, 有

$ \omega_r(f, t)_p\simeq K_r(f, t^r):= \inf\limits_{T\in \mathcal T_n=[1/t]}(||f-T||_p +n^{-r}||T^{r}||_p), $

其中 $\mathcal T_n$为 $n$次三角多项式全体.

其后等价性推广至实球面调和函数空间上^{[5, 6]}, 分别采用球面Beltrami-Laplace算子和微分-差分算子(即Dunkl算子)来定义K -泛函和光滑模, 更多亦可参看著作[7].本文主要目的是研究在多复变星形圆型域 $D$上新的Hardy型空间上的相应结果.

设 $f\in H(D)$, Hardy型函数空间 $\mathcal{A}_{\mu}=\mathcal{A}_{\mu, p}(D)$定义为满足

$ \begin{equation*} ||f||_{\mathcal{A}_{\mu}}:=\sup\limits_{a\in \Gamma} \left\{\int_{D}|f(z)|^{p}d\mu_{a}(z)\right\}^{1/p} < \infty, \quad 0 < p < \infty \end{equation*} $

的函数的全体, 其中 $\Gamma$为任意指标集, $\{\mu_a\}_{a\in\Gamma}$为一族非负 $\sigma$ -有限Borel测度, 其具有旋转不变性且使全体多项式包含于 $\mathcal{A}_{\mu}$.

全纯 $\mathcal A_\mu$空间包含了著名的Hardy空间和Bergman空间^[8].为看清这一点, 考虑在单位多圆柱 $U^n$上, 取 $d\mu_a(rz')\equiv \chi_{r\partial U^n}(z) d\sigma(z')$, $a=r\in (0, 1)$时, ${\mathcal A}_{\mu, p}$ (D)就为Hardy空间 $H^p(U^n)$; 取 $d\mu_a(z)\equiv dV(z)$时, ${\mathcal A}_{\mu, p}$ (D)就为Bergman空间 $L_a^p(U^n)$, 这里 $d\sigma(z')$和 $dV(z)$分别表示 $\partial U^n$和 $U^n$上的Lebesgue测度.

研究 $\mathcal{A}_{\mu}$空间上逼近性质也展示了广义Fock空间 $A_m^p(\mathbb C^n, |z|^m)$上的逼近结果.的确, 广义Fock空间 $A_m^p:= A_m^p(\mathbb C^n, |z|^m)$也为 $\mathcal{A}_{\mu}$空间一特例:即取 $D=\mathbb C^n$和 $d\mu_a (z)=e^{-|z|^m}dV(z)$, 其中 $m>0$, $dV(z)$为 $\mathbb C^n$上Lebesgue测度.

本文首先得到 $\mathcal{A}_{\mu}$空间上的Bernstein不等式, 进而获得K -泛函与光滑模的等价性, 最后得到了K -泛函的Marchaud不等式.这也显示了Hardy空间和Bergman空间及Fock空间上的逼近性质, 即使是在单复变空间上也是崭新结果.

本文中, C表示与 $k$和 $z$无关的正常数, 不同的地方值可能不同.

引理2.1^{[9, 10]}  设 $T_k(\theta)$为任次数至多为 $k$的三角多项式.则对 $0 < p < \infty$, 有

$ \int_0^{2\pi}|T_k^{'}(\theta)|^pd\theta \leq k^p\int_0^{2\pi}|T_k(\theta)|^pd\theta. $

进而我们得到重要的Bernstein不等式.

引理2.2  设 $P_k(z)$为关于 $z\in D$的任次数至多为 $k$的多项式.则

$ ||\mathcal R P_k(z)||_{\mathcal{A}_{\mu}}\leq k||P_k(z)||_{\mathcal{A}_{\mu}}. $

证  由测度的旋转不变性可得

$ \begin{eqnarray*} ||\mathcal R P_k(z)||^p_{\mathcal A_\mu}&=& \sup\limits_{a\in \Gamma}\int_D |\mathcal R P_k(ze^{i\theta})|^p d\mu_a(ze^{i\theta})\\ &=&\sup\limits_{a\in \Gamma}\int_D |\mathcal R P_k(ze^{i\theta})|^p d\mu_a(z). \end{eqnarray*} $

易知

$ \begin{eqnarray} ||\mathcal R P_k(z)||^p_{\mathcal A_\mu}&=& \sup\limits_{a\in \Gamma}\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\int_D |\mathcal R P_k(ze^{i\theta})|^p d\mu_a(z)d\theta\nonumber\\ &=&\frac{1}{2\pi}\sup\limits_{a\in \Gamma}\int_D \int_0^{2\pi}|\mathcal R P_k(ze^{i\theta})|^pd\theta d\mu_a(z). \end{eqnarray} $

(2.1)

记 $g_z(\theta)= P_k(ze^{i\theta})$.注意到 $g_z(\theta)$为关于 $\theta$的次数至多为 $k$的三角多项式, 以及

$ \begin{equation} i\mathcal R P_k(ze^{i\theta})=\frac{\partial}{\partial \theta}(P_k(ze^{i\theta}))=g'_z(\theta). \end{equation} $

(2.2)

由(2.1), (2.2) 式和引理2.1, 可得

$ \begin{eqnarray*} ||\mathcal R P_k(z)||^p_{\mathcal A_\mu}&=&\frac{1}{2\pi}\sup\limits_{a\in \Gamma}\int_D \int_0^{2\pi}|g'_z(\theta)|^pd\theta d\mu_a(z)\\ &\leq& \frac{k^p}{2\pi}\sup\limits_{a\in \Gamma}\int_D \int_0^{2\pi}|g_z(\theta)|^pd\theta d\mu_a(z)\\ &\leq&\frac{k^p}{2\pi}\int_0^{2\pi}\sup\limits_{a\in \Gamma}\int_D |P_k(ze^{i\theta})|^p d\mu_a(z)d\theta\\ &=&k^p ||P_k(z)||^p_{\mathcal A_\mu}. \end{eqnarray*} $

引理得证.

引理2.3^[11]  若 $g(z)\in H^p(U)$, $0 < p < 1$和 $r\in \mathbb N$, 则

$ \int_0^{2\pi}|\overrightarrow{\Delta}_{h, \theta}^r g(e^{i\theta})|^pd\theta\leq C h^{rp}\int_0^{2\pi}\left|\frac{\partial^r }{\partial \theta^r}(g(e^{i\theta}))\right|^pd\theta, $

其中 $\overrightarrow{\Delta}_{h, \theta}^r g(e^{i\theta})=\sum\limits_{j=0}^r(-1)^{r-j}\binom{r}{j}g(e^{i(\theta+jh)})$和 $C$为仅依赖 $p$, $r$的常数.

引理2.4  设 $f(z)\in \mathcal{A}_{\mu}$, $r\in \mathbb N$, 则 $ \omega_r(t, f, \mathcal{A}_{\mu})\leq C t^r||\mathcal R^rf(z)||_{\mathcal{A}_{\mu}}. $

证  对 $p$分情况讨论.

(ⅰ)当 $p\geq 1$时, 可得

$ \begin{eqnarray*} \triangle^r_h f(z)&=&\int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}\cdots \int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} \frac{\partial ^r }{\partial \theta_r\cdots \partial \theta_1}(f(ze^{i(\theta_1+\cdots+\theta_r)}))d\theta_1\cdots d\theta_r\\ &=&\int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}\cdots \int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} i^r \mathcal R^r f(ze^{i(\theta_1+\cdots+\theta_r)})d\theta_1\cdots d\theta_r. \end{eqnarray*} $

所以由Minkowski不等式, 有

$ \begin{eqnarray*} ||\triangle^r_h f(z)||_{\mathcal A_\mu}&=& \sup\limits_{a\in \Gamma}\left(\int_D\left|\int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}\cdots \int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} i^r \mathcal R^r f(ze^{i(\theta_1+\cdots+\theta_r)})d\theta_1\cdots d\theta_r \right|^p\right)^{\frac{1}{p}}\\ &\leq& \int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}\cdots \int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}\left(\sup\limits_{a\in \Gamma}\int_D|\mathcal R^r f(ze^{i(\theta_1+\cdots+\theta_r)})|^p\right)^{\frac{1}{p}}d\theta_1\cdots d\theta_r\\ &=& h^r ||\mathcal R^r f(z)||_{\mathcal A_\mu}. \end{eqnarray*} $

(ⅱ)当 $0<p<1$时.同理于(2.1) 式证明, 可得

$ \begin{equation} ||\triangle^r_h f(z)||^p_{\mathcal A_\mu}=||\overrightarrow{\triangle}^r_h f(z)||^p_{\mathcal A_\mu}= \frac{1}{2\pi}\sup\limits_{a\in \Gamma}\int_D \int_0^{2\pi}|\overrightarrow{\triangle}^r_h f(ze^{i\theta})|^pd\theta d\mu_a(z). \end{equation} $

(2.3)

令 $g_z(e^{i\theta})=f(ze^{i\theta})$.易知

$ \begin{eqnarray*} \overrightarrow{\triangle}^r_h f(ze^{i\theta})&=&\sum\limits_{j=0}^r (-1)^{j}\binom{r}{j}f(ze^{i(\theta+jh)}) =\overrightarrow{\triangle}^r_{h, \theta}g_z(e^{i\theta}). \end{eqnarray*} $

利用(2.3) 式, 引理2.1和(2.2) 式, 得

$ \begin{eqnarray*} ||\triangle^r_h f(z)||^p_{\mathcal A_\mu}&=&\frac{1}{2\pi}\sup\limits_{a\in \Gamma}\int_D \int_0^{2\pi}|\overrightarrow{\triangle}^r_{h, \theta}g_z(e^{i\theta})|^pd\theta d\mu_a(z)\\ &\leq& C\frac{1}{2\pi}\sup\limits_{a\in \Gamma}\int_D h^{rp}\int_0^{2\pi}\left|\frac{\partial^r }{\partial \theta^r}(g_z(e^{i\theta}))\right|^pd\theta d\mu_a(z)\\ &=&Ch^{rp}\frac{1}{2\pi}\sup\limits_{a\in \Gamma}\int_D \int_0^{2\pi}\left|\mathcal R^r f(ze^{i\theta})\right|^pd\theta d\mu_a(z)\\ &\leq &Ch^{rp}||\mathcal R^r f(z)||^p_{\mathcal A_\mu}. \end{eqnarray*} $

综合(ⅰ)和(ⅱ), 得

$ ||\Delta_h^r f(z)||_{\mathcal{A}_{\mu}}\leq C h^r||\mathcal R^rf(z)||_{\mathcal{A}_{\mu}}. $

对上式两端取 $\sup_{0<h\leq t}$, 引理得证.

定理2.5  设 $f\in \mathcal A_\mu$, $0 < p < \infty$, $0 < t\leq 1$, $r\in \mathbb N$.则 $ \omega_r(t, f, \mathcal A_\mu)\simeq K(f, t^r;\mathcal A_\mu). $

证  任取 $g\in H(D)$且满足 $\mathcal R^r g\in \mathcal A_\mu$, 由引理2.4可知

$ \begin{eqnarray*} \omega_r(t, f, \mathcal A_\mu)&\leq& C(\omega_r(t, f-g, \mathcal A_\mu)+\omega_r(t, g, \mathcal A_\mu))\\ &\leq& C\{||f-g||_{\mathcal A_\mu}+t^{r}||\mathcal R^r g||_{\mathcal A_\mu}\}. \end{eqnarray*} $

故 $\omega_r(t, f, \mathcal A_\mu)\leq C K(t^r, f, \mathcal A_\mu).$

接下来证 $K(t^r, f, \mathcal A_\mu)\leq C \omega_r(t, f, \mathcal A_\mu).$

取 $k=[\frac{1}{t}]$, 即 $k\leq \frac{1}{t} < k+1$.由Jackson定理^[8], 易知存在并可构造出具体 $k$次多项式 $P_k(z)$, 有 $||f(z)-P_k(z)||_{\mathcal A_\mu}\leq C \omega_r(k^{-1}, f, \mathcal A_\mu).$

直接计算, 易得中心差分的性质^[12]:

$ \begin{eqnarray*} && \Delta^r_hx^k=0, \quad k < r;\\ &&\Delta^r_hx^r=r!h^r;\\ && \sum\limits_{j=0}^r \binom{r}{j}(-1)^j(\frac{r}{2}-j)^{r+2l-1}=0, \, \, \, \forall l\in \mathbb N;\\ && \Delta_h^lf(x_0)=h^lf^{(l)}(\xi), \end{eqnarray*} $

其中 $\min(x_0-\frac{lh}{2}, \cdots, x_0+\frac{lh}{2} ) < \xi < \max(x_0-\frac{lh}{2}, \cdots, x_0+\frac{lh}{2} )$.

记 $P_{k, r\zeta}(e^{i\theta})=P_k(z)=P_k(r\zeta e^{i\theta})$, 其中 $z=r\zeta e^{i\theta}$, $\zeta \in \partial D$. $P_{k, r\zeta}(e^{i\theta})$可看作关于 $\theta$的 $k$次三角多项式.由Taylor展开及上述中心差分性质可得

$ \begin{eqnarray} \triangle^r_h P_k(z)&=& \sum\limits_{j=0}^r \binom{r}{j}(-1)^j P_k(ze^{i(\frac{r}{2}-j)h})\nonumber\\ &=& \sum\limits_{j=0}^r \binom{r}{j}(-1)^j P_{k, r\zeta}(e^{i(\theta+(\frac{r}{2}-j)h)})\nonumber\\ &=&\sum\limits_{l=r}^{\infty}\sum\limits_{j=0}^r \binom{r}{j}(-1)^j (\frac{r}{2}-j)^l \frac{h^l}{l!}\frac{\partial^l}{\partial \theta^l}(P_{k, r\zeta}(e^{i\theta}))\nonumber\\ &=&h^r i^r \mathcal R^r P_k(z)+\sum\limits_{l=r+1}^\infty \eta(r, l)^{l-r}\frac{h^l}{(l-r)!}i^l \mathcal R^l P_k(z), \end{eqnarray} $

(2.4)

其中 $-\frac{r}{2} < \eta(r, l) < \frac{r}{2}$和当 $l-r$为奇的非负整数时, $\eta(r, l)=0$.

再由Bernstein不等式(即引理2.2) $||\mathcal R P_k(z)||_{\mathcal A_\mu}\leq k||P_k(z)||_{\mathcal A_\mu}$, 可知

$ \begin{equation} ||\mathcal R^l P_k(z)||_{\mathcal A_\mu}\leq k^{l-r}||\mathcal R^{r} P_k(z)||_{\mathcal A_\mu}. \end{equation} $

(2.5)

取 $s=\min\{1, p\}$, 对于 $|h| < \frac{C}{k}\leq \frac{1}{k}$, 其中常数 $C=C(r, s)$与 $k$无关.故由(2.4) 和(2.5) 式得

$ \begin{eqnarray} && -||\triangle^r_h P_k||^s_{\mathcal A_\mu}+h^{rs}||\mathcal R^r P_k||^s_{\mathcal A_\mu}\leq||\triangle^r_h P_K-h^ri^r\mathcal R^r P_k||^s_{\mathcal A_\mu}\nonumber\\ &\leq &h^{rs}||\mathcal R^r P_k||^s_{\mathcal A_\mu}\sum\limits_{l=1}^\infty\frac{h^{(r+2l)s}k^{2s}}{((2l)!)^s} \leq \frac{1}{2}h^{rs}||\mathcal R^r P_k||^s_{\mathcal A_\mu}. \end{eqnarray} $

(2.6)

故对 $t\leq \frac{1}{k}$, 可得

$ \begin{eqnarray*} \omega^s_r(t, P_k, \mathcal A_\mu)&\leq& \omega^s_r(t, P_k-f, \mathcal A_\mu)+\omega^s_r(t, f, \mathcal A_\mu)\\ &\leq& 2^{rs}||P_k-f||^s_{\mathcal A_\mu}+\omega^s_r(\frac{1}{k}, f, \mathcal A_\mu) \leq C(p, r)\omega^s_r(\frac{1}{k}, f, \mathcal A_\mu). \end{eqnarray*} $

由(2.6) 式可得

$ \begin{equation} h^{rs}||\mathcal R^r P_k||^s_{\mathcal A_\mu}\leq 2||\triangle^r_h P_k||^s_{\mathcal A_\mu}\leq 2C\omega^s_r(\frac{1}{k}, f, \mathcal A_\mu). \end{equation} $

(2.7)

则通过(2.7) 式及Jackson定理可推出

$ \begin{eqnarray*} && K(t^r, f, \mathcal A_\mu)\leq ||f-P_k||_{\mathcal A_\mu}+t^r||\mathcal R^r P_k||_{\mathcal A_\mu}\\ &\leq& ||f-P_k||_{\mathcal A_\mu}+k^{-r}||\mathcal R^r P_k||_{\mathcal A_\mu} \leq C(\omega_r(\frac{1}{k}, f, \mathcal A_\mu)+|h|^r||\mathcal R^r P_k||_{\mathcal A_\mu})\\ &\leq& C\omega_r(\frac{1}{k}, f, \mathcal A_\mu) \leq C\omega_r(t, f, \mathcal A_\mu). \end{eqnarray*} $

故 $K(t^r, f, \mathcal A_\mu)\simeq \omega_r(t, f, \mathcal A_\mu).$

Riesz型线性算子 $L_{k, r}f:=\sum\limits_{j=1}^r (-1)^{j+1}\binom{r}{j}R^j_{k, \alpha}f, $其中Riesz算子

$ \begin{equation} R_{k, \alpha}(f, z):=\sum\limits_{j=0}^k \left(1-\left(\frac{j}{k}\right)^{\alpha}\right)F_j(z), \ \alpha>0. \end{equation} $

(3.1)

定理3.1  对任 $f\in \mathcal A_\mu$, 有

$ K(f, t^{r\alpha};\mathcal A_\mu)\leq Ct^{r\alpha}\left(\int_t^1\frac{K(f, u^{(r+1)\alpha};\mathcal A_\mu)}{u^{r\alpha+1}}du\right). $

证  记 $j=[1/t]$, $0<t< 1$.则

$ \begin{eqnarray} K(f, t^{r\alpha};\mathcal A_\mu)&\leq& ||f-L_{j, r+1}f||_{\mathcal A_\mu}+t^{r\alpha}||\mathcal R^{\alpha}(L_{j, r+1}f)||_{\mathcal A_\mu}\nonumber\\ &\leq& C K(f, j^{-\alpha(r+1)};\mathcal A_\mu)+t^{r\alpha}||\mathcal R^{\alpha}(L_{j, r+1}f)||_{\mathcal A_\mu}. \end{eqnarray} $

(3.2)

取 $k$满足 $2^k\leq j<2^{k+1}$.令

$ L_{j, r+1}f=L_{j, r+1}f-L_{2^k, r+1}f+\sum\limits_{l=1}^k(L_{2^l, r+1}f-L_{2^{l-1}, r+1}f)+L_{1, r+1}. $

易得 $L_{1, r+1}f=C$, 和 $\mathcal R^\alpha (L_{1, r+1}f)=0$及

$ ||L_{2^l, r+1}f-L_{2^{l-1}, r+1}f||_{\mathcal A_\mu}\leq C K(f, 2^{-\alpha(r+1)(l-1)};\mathcal A_\mu). $

再由Bernstein不等式(即引理2.2), (3.2) 式可得

$ \begin{eqnarray*} K(f, t^{r\alpha};\mathcal A_\mu)&\leq& C K(f, j^{-\alpha(r+1)};\mathcal A_\mu)+t^{r\alpha}\sum\limits_{l=0}^{k-1}C2^{\alpha lr} K(f, 2^{-\alpha(r+1)l};\mathcal A_\mu)\\ &&+Ct^{r\alpha}j^{r\alpha}K(f, 2^{-\alpha(r+1)k};\mathcal A_\mu). \end{eqnarray*} $

最后利用 $K(f, u;\mathcal A_\mu)$和 $u^\alpha$的单调性, 可得所需结果.

因Fock空间 $A_m^p$为 $\mathcal{A}_{\mu}$空间特例, 故由定理2.5和定理3.1, 易知

推论3.2  对任 $ f\in A_m^p$和 $r, k \in \mathbb{N}$, $\alpha>0$, 有

$ \begin{eqnarray*} \omega_r(t, f, A_m^p)&\simeq& K(f, t^r;A_m^p);\\ K(f, t^{r\alpha};A_m^p)&\leq& Ct^{r\alpha}\left(\int_t^1\frac{K(f, u^{(r+1)\alpha};A_m^p)}{u^{r\alpha+1}}du\right).\end{eqnarray*} $