文中我们采用值分布论及复动力系统中的标准符号详见文献[1-5].用$\sigma(f)$和$\mu(f)$分别表示$f(z)$的增长级和下级, 另外, $f$在点$a$的亏量定义为

$\delta(a, f)=\liminf\limits_{r\rightarrow{+\infty}}\frac{m(r, \frac{1}{f-a})}{T(r, f)} =1-\limsup\limits_{r\rightarrow{+\infty}}\frac{N(r, \frac{1}{f-a})}{T(r, f)}.$

如果$a=\infty$, 则用$m(r, f), N(r, f)$分别替代$m\big(r, \dfrac{1}{f-a}\big)$和$N\big(r, \dfrac{1}{f-a}\big)$.如果$\delta(a, f)>0$, 则称$a$为$f(z)$的亏值.

假设$f$是亚纯函数, $f^n, n\in \mathbb{N}$表示$f$的第$n$次迭代, 即$f^1=f, \cdots, f^n=f\circ(f^{n-1})$.集合

$F(f)=\{z\in \widehat{\mathbb{C}}:\{f^n\}\mbox{在}z\mbox{的某个邻域内有定义且正规}\}$

称为$f$的Fatou集, 而$J(f)= \widehat{\mathbb{C}}\setminus F(f)$则称为$f$的Julia集.显然$F(f)$是开集, $J(f)$是非空闭集.

设$0<\alpha<\beta<2\pi$, 记$\Omega(\alpha, \beta)=\{z\in\mathbb{C}:\alpha<\arg z<\beta\}$.给定$\theta\in[0, 2\pi)$, 如果对任意$\epsilon>0$, 集合$\Omega(\theta-\epsilon, \theta+\epsilon)\cap J(f)$都是无界的, 则称$\arg z=\theta$是$J(f)$的径向分布.定义

$\Delta(f)=\{\theta\in[0, 2\pi):\arg z=\theta \mbox{是}J(f)\mbox{的径向分布}\}.$

显然$\Delta(f)$是闭集且可测, 用mes$ \Delta(f)$表示$\Delta(f)$的线性测度. Baker在文[6]中首先指出:如果$f$是超越整函数, 则$J(f)$不可能位于有限多条从原点出发的射线上.当$f(z)$是下级小于无穷的超越整函数时, 乔建永^[7]进一步地证明了:如果$\mu(f)<\dfrac{1}{2}$, 则mes$\Delta(f)=2\pi$; 如果$\mu(f)\ge \dfrac{1}{2}$, 则mes$\Delta(f)\ge\dfrac{\pi}{\mu(f)}$.郑建华等人^[8]考虑了当$f$是亚纯函数的情形, 在一定条件下得到了$\Delta(f)$测度的下界.自然的问题是:如果函数的下级是无穷, 其Julia集的径向分布是怎样的情况？黄志刚、王珺^[9]得到了一类具有无穷下级的整函数的Julia集的径向分布, 他们考虑方程

$f^{(n)}+A_{n-1}f^{(n-1)}+\cdots+A_1f'+A_0f=0$

(1)

的整函数解, 得到

定理A 假设$A_i(z)(i=0, 1, \cdots, n-1)$是下级$\mu(A_i)<\infty$的整函数, 其中$A_0$是超越的且当$r\rightarrow\infty$时, $m(r, A_i)=o(m(r, A_0))(i=1, 2, \cdots, n-1)$.则方程(1.1) 的每一个非平凡解$f$都满足$\rm{mes}\Delta(f)\ge\min\Bigg\{2\pi, \dfrac{\pi}{\mu(A_0)}\Bigg\}$.

可知在定理A的条件下, 方程的每个非平凡解都具有无穷下级.本文继续讨论上述问题, 考虑一类具有无穷下级的亚纯函数的Julia集的径向分布.事实上, 我们得到

定理1.1 假设$A_i(z)(i=0, 1, \cdots, n-1)$是下级为无穷的亚纯函数, 其中$A_0$是超越的且以$\infty$为亏值, 即$\delta(\infty, A_0)>0$, 且当$r\rightarrow\infty$时$m(r, A_i)=o(m(r, A_0)) (i=1, 2, \cdots, n-1)$.如果$f(z)(\not\equiv0)$是方程(1.1) 的亚纯解, 且$J(f)$有一个无界分支, 则$\rm{mes}\Delta(f)\ge\min\Bigg\{2\pi, \dfrac{4}{\mu(A_0)}\arcsin\sqrt{\dfrac{\delta(\infty, A_0)}{2}}\Bigg\}.$

推论1.1 假设$A_i(z) (i=0, 1, \cdots, n-1)$是满足$\sigma(A_i)<\mu(A_0)<\infty(i=1, 2, \cdots, n-1)$的亚纯函数, 且$ \delta(\infty, A_0)>0$.如果$f(z)(\not\equiv0)$是方程(1.1) 的亚纯解, 且$J(f)$有一个无界分支, 则

${\rm mes}\Delta(f)\ge\min\Bigg\{2\pi, \dfrac{4}{\mu(A_0)}\arcsin\sqrt{\dfrac{\delta(\infty, A_0)}{2}}\Bigg\}.$

注因为$A_0$是超越亚纯函数且以无穷为亏值, 所以$\lim\limits_{r\rightarrow\infty}\dfrac{m(r, A_0)}{\log r}=\infty.$由对数导数引理及方程(1.1) 可得

$m(r, A_0)\le \sum\limits_{i=1}^{n}m\big(r, \dfrac{f^{(i)}}{f}\big)+\sum\limits_{i=1}^{n-1}m(r, A_i)+o(1)= O\big(\log T(r, f)+\log r\big)+o\big(m(r, A_0)\big).$

至多除去一个线性测度为有限的集合, 由此可见方程(1.1) 的每一个亚纯解的下级都为无穷.

定理1.2 假设$A_i(z) (i=0, 1, \cdots, n-1)$是有限级的亚纯函数, 且$ \delta(\infty, A_0)>0, \sigma(A_i)<\sigma(A_0) (i=1, 2, \cdots, n-1)$.则存在闭区间$I\subset[0, 2\pi)$, 使得对方程(1.1) 的任意非零亚纯解$f$, 只要$J(f)$有一个无界分支, 都有$I\subset\Delta(f)$且mes$ I\ge\min\Bigg\{2\pi, \dfrac{\pi}{\sigma(A_0)}\Bigg\}$.

首先介绍两个集合的概念.

假设$B(z_n, r_n)$是复平面上以$z_n$为中心, $r_n$为半径的开圆盘.若$\lim \limits_{n \rightarrow {+\infty}}{z_n}={+\infty}$且$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{r_n}$有限, 则称$\bigcup \limits_{n=1}^{\infty}{B(z_n, r_n)}$是一个R-集（见文[10]).显然, 集合$\{r=|z|:z\in\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}{B(z_n, r_n)}\}$是有限测度集.

如果一个开集在$\widehat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup\{\infty\} $至少有三个边界点, 则称这个开集为双曲集.假设$W$是$\mathbb{C}$中的一个双曲开集, 对任意$a\in\widehat{\mathbb{C}}\setminus W$, 定义$ C_W(a)=\inf\limits_{z\in w}\{\lambda_w(z)|z-a|\}, $其中$\lambda_W(z)$表示$W$上的双曲度量.如果$W$的每一个分支都是单连通的, 则$C_W(a)\ge\dfrac{1}{2}$.

接下来我们再回顾一下角域上Nevanlinna特征函数的一些概念(见文[11,12]).为简单起见, 我们用$\overline\Omega(\alpha, \beta)$表示$\Omega(\alpha, \beta)$的闭包, 并记

$\Omega(r, \alpha, \beta)=\{z|z\in\Omega(\alpha, \beta), |z|<r\}, \Omega^*(r, \alpha, \beta)=\{z|z\in\Omega(\alpha, \beta), |z|\ge r\}.$

假设$g(z)$是角域$\overline\Omega(\alpha, \beta)$上的亚纯函数, 其中$0<\beta-\alpha\le2\pi$, $\omega=\dfrac{\pi}{\beta-\alpha}$.定义

$A_{\alpha, \beta}(r, g)=\dfrac{\omega}{\pi}\int_1^r\Big(\dfrac{1}{t^\omega}- \dfrac{t^\omega}{r^{2\omega}}\Big)\{\log^+|g(te^{i\alpha})|+\log^+|g(te^{i\beta})|\}\dfrac{dt}{t}, \\ B_{\alpha, \beta}(r, g)=\dfrac{2\omega}{\pi r^{\omega}}\int_\alpha^\beta\log^+|g(re^{i\theta})|\sin \omega(\theta-\alpha)d\theta, \\ C_{\alpha, \beta}(r,g)=2\sum\limits_{1<|b_n|<r}\Big(\dfrac{1}{|b_n|^\omega}-\dfrac{|b_n|^\omega}{r^{2\omega}}\Big)\sin\omega(\beta_n-\alpha), \\ S_{\alpha, \beta}(r, g)=A_{\alpha, \beta}(r, g)+B_{\alpha, \beta}(r, g)+C_{\alpha, \beta}(r, g),$

其中$ b_n=|b_n|e^{i\beta_n}$是$g(z)$在$\overline\Omega(\alpha, \beta)$中的极点（计算重数）. $S_{\alpha, \beta}(r, g)$称为$g(z)$在角域$\Omega(\alpha, \beta)$中的Nevanlinna特征函数, $C_{\alpha, \beta}(r, g)$称为$g(z)$在角域$\Omega(\alpha, \beta)$上极点的计数函数(重级极点按重数计).此时函数$g(z)$在角域$\Omega(\alpha, \beta)$上的级定义为

$\sigma_{\alpha, \beta}(g)=\limsup\limits_{r\rightarrow\infty}\dfrac{\log{S_{\alpha, \beta}(r, g)}}{\log r}.$

引理2.1^[12] 设$f(z)(\not\equiv) 0$是下级$\mu(f)<\infty$的超越亚纯函数, 且$0<\lambda(f)\le\infty$.则对任意正数$\sigma (\mu(f)\le\sigma\le\lambda(f))$及任意有限测度集$H$, 存在序列$\{r_n\}$, 使得

(ⅰ) $r_n\not\in H, \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{r_n}{n}=\infty;$

(ⅱ) $\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}{\dfrac{\log T(r_n, f)}{\log r_n}}\ge\sigma;$

(ⅲ) $T(r, f)<(1+o(1))\big(2r/r_n\big)^\sigma T(r_n/2, f), r\in[r_n/n, nr_n];$

(ⅳ) $t^{-(\sigma-\epsilon_n)}T(t, f)\le2^{\sigma+1}r_n^{-(\sigma-\epsilon_n)}T(r_n, f), 1\le t\le nr_n, \epsilon_n=\big(\log n\big)^{-2}.$

注意到引理2.1中的$r_n$是不属于$H$的级为$\sigma$的Pólya极限点序列.

引理2.2^[13] 假设$f(z)$是$\sigma(f)>0, \mu(f)<\infty$的超越亚纯函数, 且以$a\in\widehat{\mathbb{C}}$为亏值, 则对任意级为$\sigma (\sigma>0, (\mu(f)\le\sigma\le\lambda(f))$的Pólya极限点序列$\{r_n\}$和任意正函数$\gamma(r)\rightarrow 0 (r\rightarrow\infty)$有

$\liminf\limits_{r_n\rightarrow\infty} {\hbox{mes}} D_\gamma(r_n, a)\ge\min\{2\pi, \frac{4}{\sigma}\arcsin\sqrt{\frac{\delta(a, f)}{2}}\},$

其中

$D_\gamma(r, a)=\{\theta\in[-\pi, \pi):\log^+\frac{1}{|f(re^{i\theta})-a|}>\gamma(r)T(r, f)\}, a\in\mathbb{C};\\ D_\gamma(r, \infty)=\{\theta\in[-\pi, \pi):\log^+|f(re^{i\theta})|>\gamma(r)T(r, f)\}.$

引理2.3^[8] 假设$f(z)$在角域$\Omega^*(r_0, \theta_1, \theta_2)$内解析, $U$是双曲区域, $f:\Omega^*\rightarrow U$.如果存在点$a\in\partial U\setminus\{\infty\}$使得$C_U(a)>0$.则存在常数$d>0$使得对充分小的$\epsilon>0$, 有

$|f(z)|=O(|z|^d), z\rightarrow\infty, z\in\Omega^*(r_0, \theta_1+\epsilon, \theta_2-\epsilon).$

引理2.4^[14] 假设$z=re^{i\psi}, r>r_0+1, \alpha\le\psi\le\beta$, $0<\beta-\alpha\le2\pi$, $n(\ge2)$为整数, $g(z)$在角域$\Omega(r_0, \alpha, \beta)$上解析且$\sigma_{\alpha, \beta}(g)\le\infty$.取$\alpha<\alpha_1<\beta_1<\beta$, 则对任意$\epsilon_j\in\Big(0, \dfrac{\beta_j-\alpha_j}{2}\Big)(j=1, 2, \cdots, n-1), $至多除去一个零线性测度集外, 存在仅依赖于$g, \epsilon_1, \cdots, \epsilon_{n-1}$和$\Omega(\alpha_{n-1}, \beta_{n-1})$而与$z$无关的正数$K>0$及$M>0$, 使得

$\left|\frac{g'(z)}{g(z)}\right|\le Kr^M(\sin k(\psi-\alpha))^{-2}, \\ \left|\frac{g^{(n)}(z)}{g(z)}\right|\le Kr^M\Big(\sin k(\psi-\alpha)\prod\limits_{j=1}^{n-1}\sin k_{\epsilon_j}(\psi-\alpha_j)\Big)^{-2}.$

对所有$z\in\Omega(\alpha_{n-1}, \beta_{n-1})$除去一个$R$ -集$D$外成立.其中$\alpha_j=\alpha+\sum\limits_{s=1}^{j-1}\epsilon_s, \beta_j=\beta-\sum\limits_{s=1}^{j-1}\epsilon_s, j=2, 3, \cdots, n-1, $ $k=\dfrac{\pi}{\beta-\alpha}$, $k_{\epsilon_j}=\dfrac{\pi}{\beta_j-\alpha_j}(j=1, 2, \cdots, n-1)$.

引理2.5^[15] 如果$g(z)$是级为$\sigma(g)(0<\sigma(g)<\infty)$的整函数, 则存在角域$\Omega(\theta_1.\theta_2) \Big(\theta_2-\theta_1\ge \min\big(2\pi, \dfrac{\pi}{\sigma(g)}\big)\Big)$, 使得对任意$\theta\in(\theta_1, \theta_2)$, 都有

$\limsup\limits_{r\rightarrow\infty}\dfrac{\log^+\log^+|g(re^{i\theta})|}{\log r}=\sigma(g).$

定理1.1证明 记$\tau=\min\Bigg\{2\pi, \dfrac{4}{\mu(A_0)}\arcsin\sqrt{\dfrac{\delta(\infty, A_0)}{2}}\Bigg\}$, 往证mes$\Delta(f)\ge\tau$.反证, 如果mes$\Delta(f)<\tau$, 则$\zeta=\tau-{\rm mes}\Delta(f)>0$.因为$\Delta(f)$是一个闭集, 所以$S=2\pi\setminus\Delta(f)$是开集, 且$S$至多由可数多个开区间构成.选择区间$I_k=(\alpha_k, \beta_k)(k=1, 2, \cdots, m)$使得$I_k\subset S$且mes$\big(S\setminus\bigcup\limits_{k=1}^m I_k\big)<\dfrac{\zeta}{4}$.

应用引理2.1于$A_0$, 取$\sigma=\mu(A_0)$, 则有级为$\mu(A_0)$的Pólya极限点列$\{r_j\}, r_j\not\in\{\, |z|:z\in H \}$.因为$A_0$是亚纯函数且$\delta(\infty, A_0)>0$, 由引理2.2, 对Pólya极限点列$\{r_j\}$有

$\liminf\limits_{r_j\rightarrow\infty}{\hbox{mes}}(D_\gamma(r_j, \infty))\ge\tau,$

其中函数$\gamma(r)$定义为

$\gamma(r)=\max\Big\{\sqrt{\dfrac{\log r}{m(r, A_0)}}, \sqrt{\dfrac{m(r, A_i)}{m(r, A_0)}}, i=1, 2, \cdots, n-1\Big\},$

由定理1.1条件知, $\gamma(r)>0$且$\lim\limits_{r\rightarrow\infty}\gamma(r)=0$.于是, 对充分大的$j$有mes$(D_\gamma(r_j, \infty))>\tau-\frac{\zeta}{4}.$为方便起见, 下面记$D_\gamma(r_j, \infty)$为$D(r_j)$, 则

${\hbox{mes}}(D(r_j)\cap S)={\hbox{mes}}\Big(D(r_j)\setminus\big(\Delta(f)\cap D(r_j)\big)\Big)\ge {\hbox{mes}}(D(r_j))-{\hbox{mes}}(\Delta(f))>\frac{3\zeta}{4}>0.$

于是对每个$j$有

${\hbox{mes}}\Big(\big(\bigcup\limits_{k=1}^mI_k\big)\cap D(r_j)\Big)={\hbox{mes}}\big(S\cap D(r_j)\big)-{\hbox{mes}}\Big(\big(S\setminus\bigcup\limits_{k=1}^mI_k\big)\cap D(r_j)\Big)\ge \frac{3\zeta}{4}-\frac{\zeta}{4}=\frac{\zeta}{2}.$

从而存在开区间$I=(\alpha, \beta)\subset\bigcup\limits_{k=1}^mI_k\subset S$使得对无穷多个$j$都有

${\hbox{mes}}\big(D(r_j)\cap(\alpha, \beta)\big)>\frac{\zeta}{2m}>0.$

(3.1)

不失一般性, 假设(3.1) 式对所有的$j$都成立, 由$D(r_j)$的定义和(3.1) 式可得

$\begin{array}{*{35}{l}} \int_{{{F}_{j}}}{{{\log }^{+}}}|{{A}_{0}}({{r}_{j}}{{e}^{i\theta }})|d\theta &\ge (\text{mes}(D({{r}_{j}})\cap (\alpha ,\beta ))-4\epsilon )\gamma ({{r}_{j}})m({{r}_{j}},{{A}_{0}}) \\ {}&\ge \frac{\zeta }{4m}\gamma ({{r}_{j}})m({{r}_{j}},{{A}_{0}}), \\ \end{array}$

(3.2)

其中$F_j=D(r_j)\cap(\alpha+2\epsilon, \beta-2\epsilon)$, $0<\epsilon<\min\{\zeta/16m, (\beta_k-\alpha_k)/8, k=1, 2, \cdots, m\}$.

另一方面, 对于角域$\Omega(\alpha_k, \beta_k)$, 当$r$充分大时有

$(\alpha_k, \beta_k)\cap\Delta(f)=\emptyset, \Omega^*(r, \alpha_k, \beta_k)\cap J(f)=\emptyset.$

这就意味着对每个$k=1, 2, \cdots, m$, 存在相应的数$r_k$及$F(f)$的无界Fatou分支$U_k$使得

$\Omega^*(r_k, \alpha_k, \beta_k)\subset U_k.$

故$f$在$\Omega^*(r_k, \alpha_k, \beta_k)$中没有极点, 也不取$J(f)$中的值, 于是我们可以选取$\partial U_k$的一个无界连通分支$\Gamma_k$, 使得映射$f:\Omega^*(r_k, \alpha_k, \beta_k)\rightarrow \mathbb{C}\setminus\Gamma_k$是解析的, 从而对任意$a\in \Gamma_k\setminus\{\infty\}$, 有$C_{\mathbb{C}\setminus \Gamma_k}(a)\ge\dfrac{1}{2}$.在每个$\Omega^*(r_k, \alpha_k, \beta_k)$上应用引理2.3于$f$得存在常数$d>0$, 使得当$z\in\bigcup\limits_{k=1}^m\Omega^*(r_k, \alpha_k+\epsilon, \beta_k-\epsilon)$时, 有$ |f(z)|=O(|z|^d), |z|\rightarrow\infty. $

由$S_{\alpha, \beta}(r, f)$的定义可得$S_{\alpha_k+\epsilon, \beta_k-\epsilon}(r, f)=O(1) (k=1, 2, \cdots, m).$于是由引理2.4, 存在两个正数$M$和$K$, 使得至多除去一个$R$ -集$H$外对所有$z\in\bigcup\limits_{k=1}^m\Omega(\alpha_k+2\epsilon, \beta_k-2\epsilon)$有

$|\dfrac{f^{(s)}(z)}{f(z)}|\le Kr^M (s=1, 2, \cdots, n).$

(3.3)

联合方程(1.1) 和(3.3) 式可得

$\begin{array}{*{35}{l}} \int_{{{F}_{j}}}{{{\log }^{+}}}|{{A}_{0}}({{r}_{j}}{{e}^{i\theta }})|d\theta &\le \int_{{{F}_{j}}}{(}\sum\limits_{s=1}^{n}{{{\log }^{+}}}|\frac{{{f}^{(s)}}(r{{e}^{i\theta }})}{f(r{{e}^{i\theta }})}|+\sum\limits_{k=1}^{n-1}{{{\log }^{+}}}|{{A}_{k}}(r{{e}^{i\theta }})|)d\theta +O(1) \\ {}&=\int_{{{F}_{j}}}{(}\sum\limits_{k=1}^{n-1}{{{\log }^{+}}}|{{A}_{k}}(r{{e}^{i\theta }})|)d\theta +O(\log {{r}_{j}}) \\ {}&\le\sum\limits_{k=1}^{n-1}{m}({{r}_{j}},{{A}_{k}})+O(\log {{r}_{j}})\le {{C}_{0}}{{\gamma }^{2}}({{r}_{j}})m({{r}_{j}},{{A}_{0}}), \\ \end{array}$

其中$C_0>0$.

比较(3.2), (3.4) 两式有定理1.1得证. $ \frac{\zeta}{4m}\gamma(r_j)m(r_j, A_0)\le C_0\gamma^2(r_j)m(r_j, A_0). $当$j\rightarrow\infty$时, $\gamma(r_j)\rightarrow 0$, 这是一个矛盾.

定理1.2证明 假设$A_0(z)=\dfrac{H(z)}{\Pi(z)}$, 其中$H(z)$是超越整函数, $\Pi(z)$是$A_0(z)$的极点的典型乘积, 则$ \sigma(H)=\sigma(A_0). $因为$\delta(\infty, A_0)=1-\limsup\limits_{r\rightarrow\infty}\dfrac{N(r, A_0)}{T(r, A_0)}>0$, 所以

$\limsup\limits_{r\rightarrow\infty}\dfrac{\log T(r, \Pi)}{\log r}=\limsup\limits_{r\rightarrow\infty}\dfrac{\log m(r, \Pi)}{\log r}=\limsup\limits_{r\rightarrow\infty}\dfrac{\log N(r, A_0)}{\log r}=\lambda<\sigma(A_0).$

因为$H(z)$是级为$\sigma(A_0)$的超越整函数, 由引理2.5, 存在区间

$(a, b), b-a\ge\min\big(2\pi, \dfrac{\pi}{\sigma(A_0)}\big)$

使得对任意$\theta\in(a, b)$有

$\limsup\limits_{r\rightarrow\infty}\dfrac{\log^+\log^+|H(re^{i\theta})|}{\log r}=\sigma(A_0)\triangleq\sigma.$

(3.4)

下面证明$[a, b]\subset\Delta(f)$.否则, 若$[a, b]\not\subset\Delta(f)$, 则$(a, b)\setminus\Delta(f)$是有界开集, 从而必有$(\alpha, \beta)\subset(a, b)$使得$\Omega^*(R, \alpha, \beta)\subset F(f)(R>0).$设$\arg z=\theta_0\in(\alpha, \beta), $则对充分小的$\epsilon>0$, 有

$\log|\Pi(re^{i\theta_0})|<r^{\lambda+\epsilon},$

(3.5)

联合(3.4), (3.5) 两式知, 存在点列$\{z_j\}\subset\Omega^*(R, \alpha, \beta)$, 使得

$\begin{split} \log|A_0(r_je^{i\theta_0})|&=\log\Big|\dfrac{H(r_je^{i\theta_0})}{\Pi(r_je^{i\theta_0})}\Big|=\log|H(r_je^{i\theta_0})|-\log|\Pi(r_je^{i\theta_0})|\\ &>r_j^{\sigma-\epsilon}-r_j^{\lambda+\epsilon}=r_j^{\sigma-\epsilon'} (\epsilon'>0).\end{split}$

(3.6)

而另一方面, 类似于定理1.1的证明, 由(1.1) 和(3.3) 式及定理1.2的条件得在$\Omega^*(R, \alpha, \beta)$内

$\begin{align*} \log|A_0(re^{i\theta})|&\le\sum\limits_{s=1}^{n}\log^+\Big|\dfrac{f^{(s)(re^{i\theta})}}{f(re^{i\theta})}\Big|+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\log^+|A_i(re^{i\theta})|+O(1)\\ &=\sum\limits_{k=1}^{n-1}\log^+|A_k(re^{i\theta})|+O(\log r)\le r^{\sigma-\epsilon} (r\rightarrow\infty). \end{align*}$

这与(3.6) 式矛盾.所以$[a, b]\subset\Delta(f)$.定理1.3得证.