20世纪80年代初, Cogburn等人开始研究随机环境中马氏链的一般理论, 在遍历理论和中心极限定理等领域中取得一系列丰富的理论成果^[1-3].本文讨论随机环境中马氏链函数加权和的强收敛性, 并给出随机环境中马氏链函数强收敛性成立的一系列充分条件, 最后也进一步给出了马氏环境中马氏链函数强收敛性的部分结论.

除特别说明, 本文沿用文献[1-3]中的记号和术语.设$(\Omega, {\mathcal{F}}, P)$是一概率空间, $(X, {\mathcal{A}})$和$(\Theta, {\mathcal{B}})$均为任意可测空间, ${\vec \xi}=\{\xi_i:n=0, 1, 2, \cdots\}$和${\vec X}=\{X_n:n=0, 1, 2, \cdots\}$分别是$(\Omega, {\mathcal{F}}, P)$上取值于$\Theta$和$X$的随机序列, $\{P(\theta):\theta\in\Theta\}$是$(X, {\mathcal{A}})$上的一族转移函数, 且假设对任意$A\in\mathcal{A}, P(\cdot;\cdot, A)$关于$\mathcal{B}\times \mathcal{A}$可测的. $K(\cdot, \cdot)$是$(\Theta, \mathcal{B})$上的转移函数, 且假设对任意$B\in\mathcal{B}, K(\cdot, B)$关于$\mathcal{B}$可测的.对任意序列${\vec\eta}=\{\eta_n:n=0, 1, 2, \cdots\}$, 记$\vec{\eta}^r_k=\{\eta_n:k\le n\le r\}, 0\le k\le r\le \infty.$

定义 如果对任意$A\in{\mathcal{A}}, n\ge 0$有

$\begin{equation}\label{0} P(X_0 \in A|\vec {\xi})=P(X_0 \in A|\xi_0), P(X_{n+1} \in A|{\vec{X}_0^n}, {\vec{\xi}})=P(\xi_n ; X_n, A), \end{equation}$

(1.1)

则称$\vec X$为随机环境$\vec {\xi}$中的马氏链, 称$\vec {\xi}$为随机环境序列.若$\vec {\xi}$是一马氏序列, 则称$\vec X$为马氏环境$\vec {\xi}$中的马氏链.

引理1^[5] 设$\vec{X}$为随机环境$\vec{\xi}$中的马氏链, 则$\{(X_n, \vec{\xi}^\infty_n):n\ge0\}$是马氏链.

引理2^[7] $\vec{\xi}$是一步转移概率为$K(\theta, B)$的马氏链, $\vec{X}$为随机环境$\vec{\xi}$中的马氏链的充分必要条件是双链$\{(X_n, \xi_n):n\ge0\}$是一步转移概率为$Q(x, \theta;A\times B)=K(\theta, B)P(\theta;x, A)$的马氏链.

引理3^[4] 设$\{s_n, n\ge 1\}, $ $\{t_n, n\ge 1\}$为非负数列.则对任意$n\ge 1, s_n\le t_n, $有

$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}|u_n|^{s_n}<+\infty \Rightarrow \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}|u_n|^{t_n}<+\infty.$

设下文中出现的$M$均表示正常数, 且在不同地方取不同的值, 并约定$(X_{-k}\equiv0, Y_{-k}\equiv0, \forall k\ge1).$

定理 设$\{(X_n, Y_n):n\ge 0\}$是$(\Omega, {\mathcal{F}}, P)$上取值于$X\times Y$上的马氏序列, $\{f_n:n\ge 0\}$是$(X, \mathcal{A})$可测函数列, 对正常数序列$a_n, n\ge0, $满足$a_n\uparrow +\infty$, 当$p\in[1, 2)$时, 若有

$\sum\limits_{m=0}^{\infty }{E}{{\varphi }_{m}}(|{{f}_{m}}({{X}_{m}})|/a_{m}^{1/p})＜+\infty, $

(2.1)

这里$\varphi_n(x)$是偶函数序列, 在$(0, +\infty)$内取正值, 且$\forall n\ge0$, 存在$\lambda>0$使得下述条件之一成立:

(a) $\varphi_n(x)$在$(0, +\infty)$内不减, 当$0<x\leq1$, $\varphi_n(x)\ge\lambda x^\theta (0<\theta\leq1)$, 且

$E(f_n(X_n)|X_{n-k}, Y_{n-k})=0, (k\ge1).$

(b) $\varphi_n(x)\ge\left\{ \begin{array}{ll} \lambda x^\alpha(0<\alpha\leq2),&0<x\leq1, \\ \lambda x^\beta(\beta\ge1),&x>1, \end{array} \right. $

则$\forall k\ge1$, 有

$\begin{equation}\label{2} \sum\limits_{m} \frac{f_m(X_m)-E(f_m(X_m)|X_{m-k}, Y_{m-k})}{a_m^{1/p}} \mbox{a.s. 收敛}, \end{equation}$

(2.2)

及

$\begin{equation}\label{3} \lim\limits_{n\to\infty}a_n^{-1/p}\sum\limits_{m=0}^{n}(f_m(X_m)-E(f_m(X_m)|X_{m-k}, Y_{m-k}))=0 \mbox{a.s.}. \end{equation}$

(2.3)

证 先考虑$k=1$的情况.记

$\begin{eqnarray*} &&A_m=\frac{f_m(X_m)I_{\{|f_m(X_m)|\ge{a_m^{1/p}}\}}}{a_m^{1/p}};B_m=\frac{E(f_m(X_m)I_{\{|f_m|\ge{a_m^{1/p}}\}}|X_{m-1}, Y_{m-1})}{a_m^{1/p}};\\ &&C_m=\frac{f_m(X_m)I_{\{|f_m(X_m)|<a_m^{1/p}\}}-E(f_m(X_m)I_{\{|f_m(X_m)|<a_m^{1/p}\}}|X_{m-1}, Y_{m-1})}{a_m^{1/p}}.\end{eqnarray*}$

则要证明$\displaystyle\sum_{m}\frac{f_m(X_m)-E(f_m(X_m)|X_{m-1}, Y_{m-1})}{a_m^{1/p}}$ a.s.收敛, 只需分别证明$\displaystyle\sum_{m}{A_m}$, $\displaystyle\sum_{m}{B_m} $和$\displaystyle\sum_{m}{C_m} $是a.s.收敛的.

首先证明$\displaystyle\sum_{m}{A_m}$收敛.

条件(a)下, $\varphi_m(x)$在$(0, +\infty)$内不减, $\varphi_m (1)\ge\lambda$, 可知

$\begin{equation*} \begin{split} &\sum\limits_{m=0}^{\infty}P(|f_m(X_m)|\ge a_m^{1/p})=\sum\limits_{m=0}^{\infty}EI_{\{|f_m(X_m)|\ge a_m^{1/p}\}}\\ \leq&M\sum\limits_{m=0}^\infty E\varphi_m\left(\frac{|f_m(X_m)|}{a_m^{1/p}}\right)I_{\{|f_m(X_m)|\ge a_m^{1/p}\}}\leq M\sum\limits_{m=0}^\infty E\varphi_m\left(\frac{|f_m(X_m)|}{a_m^{1/p}}\right)<+\infty; \end{split} \end{equation*}$

条件(b)下, 当$|f_m(X_m)|\ge a_m^{1/p}$时, 由$\varphi_m(x)\ge\lambda x^\beta (\beta\ge1), (x>1)$, 可知

$\begin{equation*} \begin{split} &\sum\limits_{m=0}^{\infty}P(|f_m(X_m)|\ge a_m^{1/p})=\sum\limits_{m=0}^{\infty}EI_{\{|f_m(X_m)|\ge a_m^{1/p}\}}\\ \leq&\sum\limits_{m=0}^\infty E\frac{|f_m(X_m)|^\beta}{a_m^{\beta/p}}I_{\{|f_m(X_m)|\ge a_m^{1/p}\}} \leq M\sum\limits_{m=0}^\infty E\varphi_m\left(\frac{|f_m(X_m)|}{a_m^{1/p}}\right)<+\infty, \end{split} \end{equation*}$

因此, 无论是在条件(a)还是在条件(b)下, 都有$\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}P(|f_m(X_m)|\ge a_m^{1/p})<+\infty$.由Borel-Cantelli引理知$P(\displaystyle\bigcap_{k=0}^{\infty}\bigcup_{m=k}^{\infty}\{|f_m(X_m)|\ge a_m^{1/p}\})=0$, 从而有

$P(\displaystyle\bigcap\limits_{k=0}^{\infty}\bigcup\limits_{m=k}^{\infty}\{f_m(X_m)\neq f_m(X_m)I_{\{|f_m(X_m)|\}<a_m^{1/p}}\})=0.$

即除去一个概率为零的集外$\displaystyle\sum_{m}\frac{f_m(X_m)}{a_m^{1/p}}$与$\displaystyle\sum_{m}\frac{f_m(X_m)}{a_m^{1/p}}I_{\{|f_m(X_m)|<a_m^{1/p}\}}$同敛散, 从而可知$\displaystyle\sum\limits_{m}{A_m} $a.s.收敛.

下面来证明$\displaystyle\sum\limits_{m}{B_m} $a.s.收敛.

当满足条件(a)时, 由$E(f_m(X_m)|X_{m-1}, Y_{m-1})=0$知

$|E(\frac{f_m(X_m)}{a_m^{1/p}}I_{\{|f_m(X_m)|\ge a_m^{1/p}\}}|X_{m-1}, Y_{m-1})|=|E(\frac{f_m(X_m)}{a_m^{1/p}}I_{\{|f_m(X_m)|< a_m^{1/p}\}}|X_{m-1}, Y_{m-1})|, $

而$0<\theta\leq1$, 故有

$\begin{equation}\label{4} \begin{split} &E(\sum\limits_{m=0}^{\infty}|E(\frac{f_m(X_m)}{a_m^{1/p}} I_{\{|f_m(X_m)|\ge a_m^{1/p}\}}|X_{m-1}, Y_{m-1})|)\\ =&E(\sum\limits_{m=0}^{\infty}|E(\frac{f_m(X_m)}{a_m^{1/p}} I_{\{|f_m(X_m)|< a_m^{1/p}\}}|X_{m-1}, Y_{m-1})|) \leq\sum\limits_{m=0}^{\infty}E(\frac{|f_m(X_m)|}{a_m^{1/p}} I_{\{|f_m(X_m)|< a_m^{1/p}\}})\\ \leq&\sum\limits_{m=0}^{\infty}E(\frac{|f_m(X_m)|^\theta}{a_m^{\theta/p}} I_{\{|f_m(X_m)|< a_m^{1/p}\}}) \leq M\sum\limits_{m=0}^{\infty}E\varphi_m\left(\frac{|f_m(X_m)|}{a_m^{1/p}}\right)<+\infty; \end{split} \end{equation}$

(2.4)

而在条件(b)下

$\begin{equation*} \begin{split} &E(\sum\limits_{m=0}^{\infty}|E(\frac{f_m(X_m)}{a_m^{1/p}}I_{\{f_m(X_m)\ge a_m^{1/p}\}}|X_{m-1}, Y_{m-1})|) \leq\sum\limits_{m=0}^{\infty}E(\frac{|f_m(X_m)|}{a_m^{1/p}}I_{\{|f_m(X_m)|\ge a_m^{1/p}\}})\\ \leq&\sum\limits_{m=0}^{\infty}E(\frac{|f_m(X_m)|^\beta}{a_m^{\beta/p}}I_{\{|f_m(X_m)|\ge a_m^{1/p}\}}) \leq M\sum\limits_{m=0}^{\infty}E\varphi_m\left(\frac{|f_m(X_m)|}{a_m^{1/p}}\right)<+\infty, \end{split} \end{equation*}$

故无论是在条件(a)还是在条件(b)下, 都有$\displaystyle\sum_{m}B_m $a.s.收敛.

下面证明$\sum\limits_{m}{C_m}$收敛.

记${\mathcal{B}}_m=\sigma({\vec X}_0^m, {\vec Y}_0^m)$, 由$\{(X_m, Y_m):m\ge0\}$的马氏性, 易知$(C_m, {\mathcal{B}}_m)$为鞅差序列, 从而$\forall i\neq j$, 有$EC_i C_j =0$, 则

$\begin{equation}\label{5} \begin{split} &E|\sum\limits_{k=m}^{n}C_k|^2=\sum\limits_{k=m}^{n}EC_k^2\\ =&\sum\limits_{k=m}^{n}E\left(\frac{f_k^2 (X_k)}{a_k^{2/p}}I_{\{|f_k(X_k)|<a_k^{1/p}\}}+E^2 (\frac{f_k (X_k)}{a_k^{1/p}}I_{\{|f_k(X_k)|<a_k\}}|X_{k-1}, Y_{k-1})\right. \\ &\left.-2\frac{f_k (X_k)}{a_k^{1/p}}I_{\{|f_k(X_k)|<a_k^{1/p}\}}E (\frac{f_k (X_k)}{a_k^{1/p}}I_{\{|f_k(X_k)|<a_k^{1/p}\}}|X_{k-1}, Y_{k-1})\right)\\ \leq&M\sum\limits_{k=m}^{n}E(\frac{|f_k(X_k)|^2}{a_k^{2/p}}I_{\{|f_k(X_k)|<a_k^{1/p}\}}). \end{split} \end{equation}$

(2.5)

在条件(a)下,

$\begin{equation*} \begin{split} &E\left(|\sum\limits_{k=m}^{n}C_k|^2\right)\leq M\sum\limits_{k=m}^{n}E\left(\frac{|f_k(X_k)|^2}{a_k^{2/p}}I_{\{|f_k(X_k)|<a_k^{1/p}\}}\right)\\ \leq&M\sum\limits_{k=m}^{n}E\left(\frac{|f_k(X_k)|^{\theta}}{a_k^{\theta/p}}I_{\{|f_k(X_k)|<a_k^{1/p}\}}\right) \leq M\sum\limits_{k=m}^{n}E\varphi_k\left(\frac{|f_k(X_k)|}{a_k^{1/p}}\right); \end{split} \end{equation*}$

在条件(b)下,

$\begin{equation*} \begin{split} &E\left(|\sum\limits_{k=m}^{n}C_k|^2\right)\leq M\sum\limits_{k=m}^{n}E\left(\frac{|f_k(X_k)|^2}{a_k^{2/p}}I_{\{|f_k(X_k)|<a_k^{1/p}\}}\right)\\ \leq&M\sum\limits_{k=m}^{n}E\left(\frac{|f_k(X_k)|^{\alpha}}{a_k^{\alpha/p}}I_{\{|f_k(X_k)|<a_k^{1/p}\}}\right) \leq M\sum\limits_{k=m}^{n}E\varphi_k\left(\frac{|f_k(X_k)|}{a_k^{1/p}}\right), \end{split} \end{equation*}$

从而由(2.1) 式知, 无论条件(a)还是(b)下都有$\displaystyle\sum_{k=0}^{n}C_k$是$L^2$收敛, 又因为$\{C_m, {\mathcal{B}}_m\}$是鞅差序列, 从而$\displaystyle\sum_{k}C_k$ a.s.收敛, 所以$\displaystyle\sum_{m}\frac{f_m(X_m)-E(f_m(X_m)|X_{m-1}, Y_{m-1})}{a_m^{1/p}} $a.s.收敛.再由Kronecker引理可知

$\begin{equation*} \lim\limits_{n\to\infty}a_n^{-1/p}\sum\limits_{m=0}^{n}(f_m(X_m)-E(f_m(X_m)|X_{m-1}, Y_{m-1}))=0 \text{a.s.}, \end{equation*}$

即对$k=1$的情形, (2.2) 式和(2.3) 式均成立.

下面考虑$k>1$的情形.

由$\{(X_m, Y_m):m\ge 0\}$的马氏性知, $\forall n=1, 2, 3, \cdots, k-1, \{(X_{mk+n}, Y_{mk+m}):m\ge0\}$是马氏链, 结合(2.1)式, 无论是在条件(a)还是条件(b)下都有

$\begin{equation*} \sum\limits_{m=0}^\infty E\varphi_{mk+n}(|f_{mk+n}(X_{mk+n})|/a_{mk+n}^{1/p})<+\infty. \end{equation*}$

因此, $\forall n=1, 2, 3, \cdots, k-1$, 有

$\begin{equation*} \sum\limits_{m} \frac{f_{mk+n}(X_{mk+n})-E(f_{mk+n}(X_{mk+n})|X_{mk+n-k}, Y_{mk+n-k})}{a_{mk+n}^{1/p}} \mbox{a.s. 收敛}, \end{equation*}$

从而

$\begin{equation*} \begin{split} &\sum\limits_{m}\frac{f_m(X_m)-E(f_m(X_m)|X_{m-k}, Y_{m-k})}{a_m^{1/p}}\\ =&\sum\limits_{m}\sum\limits_{n=0}^{k-1}\frac{f_{mk+n}(X_{mk+n})-E(f_{mk+n}(X_{mk+n})|X_{mk+n-k}, Y_{mk+n-k})}{a_{mk+n}^{1/p}}\\ =&\sum\limits_{n=0}^{k-1}\sum\limits_{m}\frac{f_{mk+n}(X_{mk+n})-E(f_{mk+n}(X_{mk+n})|X_{mk+n-k}, Y_{mk+n-k})}{a_{mk+n}^{1/p}} \end{split} \end{equation*}$

a.s.收敛, 亦即(2.2) 式对$k>1$成立, 而由kroncker引理知(2.3) 式对$k>1$成立.

注1  将定理中的条件(a)减弱至新的条件(a)'如下:

(a)' $\varphi_n(x)$在$(0, +\infty)$内不减, 当$0<x\leq1$, $\varphi_n(x)\ge\lambda x^{\gamma_n} (\gamma_n>2)$, 且

$E(f_n(X_n)|X_{n-k}, Y_{n-k})=0, (k\ge1).$

同时将条件(2.1) 加强为

$\begin{equation}\label{6} \sum\limits_{m=0}^\infty [E\varphi_m(|f_m(X_m)|/a_m^{1/p})]^{1/\gamma_m}<+\infty, \end{equation}$

(2.6)

则此时我们仍可以得到定理的结论(2.2) 和(2.3) 式.

事实上, 由引理3可知

$\sum\limits_{m=0}^\infty [E\varphi_m(|f_m(X_m)|/a_m^{1/p})]^{1/\gamma_m}<+\infty \Rightarrow \sum\limits_{m=0}^\infty E\varphi_m(|f_m(X_m)|/a_m^{1/p})<+\infty, $

通过上述讨论, 在条件(a)'下, 只需验证(2.4) 式及$\displaystyle\sum_{k=0}^{n}C_k$是$L^2$收敛即可, 其它类似.利用Jensen不等式, 这两点不难验证.

$\begin{equation*} \begin{split} &E\left(\sum\limits_{m=0}^{\infty}|E(\frac{f_m(X_m)}{a_m^{1/p}} I_{\{|f_m(X_m)|\ge a_m^{1/p}\}}|X_{m-1}, Y_{m-1})|\right)\\ \leq&\sum\limits_{m=0}^{\infty}E\left(\frac{|f_m(X_m)|}{a_m^{1/p}} I_{\{|f_m(X_m)|< a_m^{1/p}\}}\right) \leq\sum\limits_{m=0}^{\infty}\left(E\frac{|f_m(X_m)|^{\gamma_m}}{a_m^{\gamma_m/p}} I_{\{|f_m(X_m)|< a_m^{1/p}\}}\right)^{1/\gamma_m}\\ \leq& M\sum\limits_{m=0}^{\infty}\left[E\varphi_m\left(\frac{|f_m(X_m)|}{a_m^{1/p}}\right)\right]^{1/\gamma_m}<+\infty. \end{split} \end{equation*}$

另一方面, 由(2.5)式知

$\begin{equation*} \begin{split} E|\sum\limits_{k=m}^{n}C_k|^2 \leq&M\sum\limits_{k=m}^{n}E\left(\frac{|f_k(X_k)|^2}{a_k^{2/p}}I_{\{|f_k(X_k)|<a_k^{1/p}\}}\right) \leq M\sum\limits_{k=m}^{n}E\left(\frac{|f_k(X_k)|}{a_k^{1/p}}I_{\{|f_k(X_k)|<a_k^{1/p}\}}\right)\\ \leq&M\sum\limits_{k=m}^{n}\left(E\frac{|f_k(X_k)|^{\gamma_k}}{a_k^{{\gamma_k}/p}}I_{\{|f_k(X_k)|<a_k^{1/p}\}}\right)^{1/\gamma_k} \leq M\sum\limits_{k=m}^{n}\left[E\varphi_k\left(\frac{|f_k(X_k)|}{a_k^{1/p}}\right)\right]^{1/\gamma_k}, \end{split} \end{equation*}$

结合(2.6) 式, 从而$\displaystyle\sum_{k=0}^{n}C_k$是$L^2$收敛.故在此种改进的条件下, 前文中定理的结论(2.2) 和(2.3) 式仍成立.

作为定理的应用, 当$\varphi_n(x)$取特殊函数的时候, 可以得到不同形式的若干推论(以下推论仅针对$p=1$的情况).

推论1  设$\{(X_n, Y_n):n\ge 0\}$是$(\Omega, {\mathcal{F}}, P)$上取值于$X\times Y$上的马氏序列, $\{f_n:n\ge 0\}$是$(X, \mathcal{A})$可测函数列, 对正常数序列$\{a_n;n\ge0\}, $满足$a_n\uparrow +\infty.$ $\{g_n(x);n\ge0\}$为偶函数序列, 在$(0, +\infty)$内取正值, 对任意$n\ge0$, 若下列条件之一成立:

(c) $g_n(x), \frac{x}{g_n(x)}$在$(0, +\infty)$内不减, 且$E(f_n(X_n)|X_{n-k}, Y_{n-k})=0 (k\ge1)$;

(d) $\frac{g_n(x)}{x}, \frac{x^2}{g_n(x)}$在$(0, +\infty)$内不减,

且同时满足

$\begin{equation*} \sum\limits_{m=0}^\infty E\left(\frac{g_m(|f_m(X_m)|)}{g_m(a_m)}\right)<+\infty, \end{equation*}$

则$\forall k\ge1$, 有

$\begin{equation}\label{7} \sum\limits_{m} \frac{f_m(X_m)-E(f_m(X_m)|X_{m-k}, Y_{m-k})}{a_m} \mbox{a.s. 收敛} \end{equation}$

(2.7)

及

$\begin{equation}\label{8} \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}\sum\limits_{m=0}^{n}(f_m(X_m)-E(f_m(X_m)|X_{m-k}, Y_{m-k}))=0 \mbox{a.s.}, \end{equation}$

(2.8)

这里约定$(X_{-k}\equiv0, Y_{-k}\equiv0, \forall k\ge1).$

证 $\forall x\in(0, +\infty)$, 取$\varphi_n(y)=\frac{g_n(xy)}{g_n(x)}, y\in\mathbf{R}$, 则$\varphi_n(y)$在$(0, +\infty)$内为取正值的偶函数, 且

$\varphi_n\left(\frac{|f_n(X_n)|}{a_n}\right)=\frac{g_n(|f_n(X_n)|)}{g_n(a_n)}.$

不难验证在条件(c)、(d)下, $\varphi_n(y)$是分别满足定理中的条件(a)和(b)的, 由定理的结论知, 命题得证.

注2  推论1是对文献[5]中定理1的推广, 增添了$g_n(x)$的另一个可选条件(c), 从而也扩展了文献[5]中推论1和推论2的条件范围.

推论1'  设$\{(X_n, Y_n):n\ge 0\}$是$(\Omega, {\mathcal{F}}, P)$上取值于$X\times Y$上的马氏序列, $\{f_n:n\ge 0\}$是$(X, \mathcal{A})$可测函数列, 对正常数序列$\{a_n;n\ge0\}, $满足$a_n\uparrow +\infty.$ $\{g_n(x);n\ge0\}$为偶函数序列, 在$(0, +\infty)$内取正值, 满足对任意$n\ge0$, $g_n(x)$和$\frac{x^{\gamma_n}}{g_n(x)}$在$(0, +\infty)$内不减, 其中$\gamma_n>2$, 且$E(f_n(X_n)|X_{n-k}, Y_{n-k})=0 (k\ge1)$.若

$\begin{equation*} \sum\limits_{m=0}^\infty\left( E\frac{g_m(|f_m(X_m)|)}{g_m(a_m)}\right)^{1/\gamma_m}<+\infty, \end{equation*}$

则(2.7) 和(2.8) 式成立.

证 由注1, 结合推论1的讨论, 命题得证.

特别地, 在推论1中, 取$g_n(x)=|x|^r, r\in(0, 2]$, 即可得到如下结论.

推论2  设$\{(X_n, Y_n):n\ge 0\}$是$(\Omega, {\mathcal{F}}, P)$上取值于$X\times Y$上的马氏序列, $\{f_n:n\ge 0\}$是$(X, \mathcal{A})$可测函数列, 对正常数序列$\{a_n;n\ge0\}, $满足$a_n\uparrow +\infty.$若

$\displaystyle\sum\limits_{m=0}^{+\infty}a_m^{-r}E|f_m(X_m)|^r<+\infty, r\in(0, 2], $

且当$r\in(0, 1]$时, $\forall n\ge0, $

$E(f_n(X_n)|X_{n-k}, Y_{n-k})=0 (k\ge1).$

则(2.7)、(2.8) 两式成立.

证 注意到, 当取$g_n(x)=|x|^r, r\in(0, 2]$时, $\varphi_n(x)=|x|^r$, 结合注1及推论1的讨论, 再由前文引理的结论, 命题得证.

推论3  设$\{(X_n, Y_n):n\ge 0\}$是$(\Omega, {\mathcal{F}}, P)$上取值于$X\times Y$上的马氏序列, $\{f_n:n\ge 0\}$是$(X, \mathcal{A})$可测函数列, $0\leq a_n \uparrow \infty$, 若$\forall k\ge1$满足下列条件之一:

(e) $\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} E\left(\frac{|f_m(X_m)|^r}{{a_m}^r+{|f_m(X_m)|}^r}\right)<{\infty} (0<r<1)$, 且$E(f_m(X_m)|X_{m-k}, Y_{m-k})=0;$

(f) $\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}E\left(\frac{|f_m(X_m)|^r}{a_{m}|f_m(X_m)|^{r-1}+a_{m}^r}\right)<\infty (1\leq r\leq2)$,

则(2.7) 和(2.8) 式成立.

证 当(e)成立时, 取$\varphi_n(x)=\frac{|x|^r}{1+|x|^r}, 0<r<1$; 当(f)成立时, 取$\psi_n(x)=\frac{|x|^r}{1+|x|^{r-1}}, 1\le r\le 2$.则$\forall n\ge 0, \varphi_n(x)$和$\psi_n(x)$均为偶函数, 且在$(0, +\infty]$内不减, 取正值.并且可以验证:当$x>1$时,

$\psi_n(x)\ge x/2;$

当$0<x\le 1$时,

$\varphi_n(x)\ge x^r/2 (0<r<1), \psi_n(x)\ge x^r/2 (1\le r\le 2).$

由定理可知, 命题成立.

下面, 我们利用上文的结论推导随机环境下马氏链函数加权和的极限定理, 及马氏环境下马氏链函数加权和的相关极限结论.

推论4  设$\vec{X}$为随机环境$\vec{\xi}$中的马氏链, $\{f_n:n\ge 0\}$是$(X, \mathcal{A})$可测函数列, 对正常数序列$a_n, n\ge0$, 满足$a_n\uparrow +\infty$, 且当$p\in[1, 2)$时满足条件(2.1).偶函数序列$\varphi_n(x)$在$(0, +\infty)$内取正值, 且$\forall n\ge0$, 存在$\lambda>0$, 使得$\varphi_n(x)$满足定理中(a)、(b)条件之一, 则$\forall k\ge1$, 有

$\begin{equation}\label{9} \sum\limits_{m} \frac{f_m(X_m)-E(f_m(X_m)|X_{m-k}, \vec{\xi}_{m-k}^\infty)}{a_m^{1/p}} \mbox{a.s. 收敛}, \end{equation}$

(2.9)

及

$\begin{equation}\label{10} \lim\limits_{n\to\infty}a_n^{-1/p}\sum\limits_{m=0}^{n}(f_m(X_m)-E(f_m(X_m)|X_{m-k}, \vec{\xi}_{m-k}^\infty))=0 \mbox{a.s.}. \end{equation}$

(2.10)

证 由引理1知$\{(X_n, \vec{\xi}^\infty_n):n\ge0\}$是马氏链, 从而由定理知(2.9)和(2.10)式均成立.

推论5  在推论4的条件下, 有\begin{equation}\label{11} \sum_{m} \frac{f_m(X_m)-E(f_m(X_m)|X_{m-1}, \xi_{m-1})}{a_m^{1/p}} \mbox{a.s.收敛} \end{equation}及\begin{equation}\label{12} \lim_{n\to\infty}a_n^{-1/p}\sum_{m=0}^{n}(f_m(X_m)-E(f_m(X_m)|X_{m-1}, \xi_{m-1}))=0 \mbox{a.s.}. \end{equation}

证 由(1.1) 式知, $\forall A\in\mathcal{A}$, 有

$\begin{equation*} P(X_{m} \in A|{\vec{X}_0^{m-1}}, {\vec{\xi}_0^\infty})=P(\xi_{m-1} ; X_{m-1}, A)\in\sigma(X_{m-1}, \xi_{m-1}), \end{equation*}$

从而由单调类定理知$E(f_m(X_m)|\vec{X}_0^{m-1};\vec{\xi}_0^\infty)\in\sigma(X_{m-1}, \xi_{m-1})$, 继而有

$E(f_m(X_m)|\vec{X}_0^{m-1};\vec{\xi}_0^\infty)=E(f_m(X_m)|X_{m-1}, \xi_{m-1}).$

由条件数学期望的平滑性不难推得$E(f_m(X_m)|X_{m-1}, \vec{\xi}_{m-1}^\infty)=E(f_m(X_m)|X_{m-1}, \xi_{m-1}).$从而由推论4知(2.11)、(2.12) 式成立.

推论6  设$\vec{\xi}$是一步转移概率为$K(\theta, B)$的马氏链, $\vec{X}$为马氏环境$\vec{\xi}$中的马氏链, $\{f_n:n\ge 0\}$是$(X, \mathcal{A})$可测函数列, 对正常数序列$a_n, n\ge0$, 满足$a_n\uparrow +\infty$, 且当$p\in[1, 2)$时满足条件(2.1).偶函数序列$\varphi_n(x)$在$(0, +\infty)$内取正值, 且$\forall n\ge0$, 存在$\lambda>0$, 使得$\varphi_n(x)$满足定理中(a)、(b)条件之一, 则$\forall k\ge1$, 有

$\begin{equation*} \sum\limits_{m} \frac{f_m(X_m)-E(f_m(X_m)|X_{m-k}, \xi_{m-k})}{a_m^{1/p}} \mbox{a.s. 收敛} \end{equation*}$

及

$\begin{equation*} \lim\limits_{n\to\infty}a_n^{-1/p}\sum\limits_{m=0}^{n}(f_m(X_m)-E(f_m(X_m)|X_{m-k}, \xi_{m-k}))=0 \mbox{a.s.}. \end{equation*}$

证 由引理2知$\{(X_n, \xi_n):n\ge0\}$是马氏链, 从而根据定理结论可知推论6成立.

注意, 由前文讨论可知, 推论4、5、6关于随机环境中马氏链的结论在推论1、2、3的条件下仍成立, 这里不再重复叙述.