本文讨论如下的Stokes型积分-微分方程^[1]:

$\begin{equation}\left\{\begin{array}{ll} u_t-\bigtriangleup u-\displaystyle\int_0^t \bigtriangleup {u(x, \tau)}d\tau+\nabla p=f(X, t), \ \ \ \ &(X, t)\in{\Omega\times(0, T]}, \\ {\rm div} u=0, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &(X, t)\in{\Omega\times(0, T]}, \\ u(X, t)=0, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &(X, t)\in{\partial{\Omega}\times(0, T]}, \\ u(X, 0)=0, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &X\in \Omega, \end{array}\right.\end{equation}$

(1.1)

这里$u=(u_1, u_2)$是流体速度, $p$为压力, $f=(f_1, f_2)$是体积力密度.

Stokes问题是流体力学中的一个非常重要的问题, 关于Stokes问题的有限元研究已经有很多结果^[2-6].但是对Stokes型积分微-分方程的研究并不多见, 主要原因是该方程包含积分项, 而对于积分项的处理比较困难.为了求它的近似解, 文[1, 7]利用Ritz-Volterra投影在正则网格下讨论了问题(1.1) 的Galerkin近似, 论证了近似解的存在唯一性, 并分别导出速度$u$和压力$p$近似解的最优阶$L^2$ -模误差估计.文[8]在各向异性网格下研究了该方程的Bernadi-Raugel混合元逼近, 给出了半离散格式下的收敛性分析.同时通过高精度分析技巧和适当的插值后处理技术导出了关于速度$u$的超逼近和整体超收敛结果.文[9]首先利用积分恒等式技巧给出了关于压力$p$在$L^2$ -模意义下$O(h^2)$阶估计, 这比以往文献中的收敛结果高一阶.同时, 通过构造适当的插值后处理算子得到了整体超收敛结果.文[10]将一个Crouzeix-Raviart型非协调三角形元应用于此类方程, 而文[11]又将其推广至质量集中的情形, 但它们都需要利用一个所谓辅助空间的技巧, 这使得证明过程比较复杂.

本文的目的是利用文[12]中的思路来研究Stokes型积分-微分问题的$Q_2-P_1$混合有限元方法, 得到了流体速度$u$在$L^2(0, T;H^1)$意义下的最优误差估计, 这比通常的误差估计高一阶; 尤其是对于压力$p$, 得到的结果与以往结果相比, 去掉了因子$t^{-\frac{1}{2}}$, 保证了解具有更好的稳定性.同时通过一些新的方法和技巧导出了超逼近性质, 进而通过插值后处理方法得到了比以往结果高一阶的整体超收敛性质.

令$V=(H_0^1(\Omega))^2, P=L_0^2(\Omega)=\{q, q\in L^2(\Omega), \displaystyle\int_\Omega qdxdy=0\}$.则相应于(1.1) 的变分问题为:求$(u, p)\in L^2(0, T;V)\times L^2(0, T;P)$, 满足

$\begin{equation}\left\{\begin{array}{ll} (u_t, v)+a(u, v)+\displaystyle\int_0^t a(u, v)d\tau-(p, {\rm div} v)=(f, v)\ \ \ \ \forall v\in V, \\ (q, {\rm div} u)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \forall q\in P, \\ u(X, 0)=0, \end{array}\right.\end{equation}$

(2.1)

其中$a(u, v)=\displaystyle\int_\Omega \nabla u\nabla vdxdy, (f, v)=\displaystyle\int_\Omega fvdxdy$.

为简单起见, 设$\Omega$是$R^2$中一个有界矩形区域, 其边界$\partial\Omega$分别平行于$x$轴或$y$轴. $J_h$是$\Omega$的一个正则剖分, $\forall K\in {J_h}$, 记$K$的中心点为$(x_K, y_K)$, 两条边长分别为$2h_x, 2h_y$, 其顶点分别为$a_1=(x_K-h_x, y_K-h_y), a_2=(x_K+h_x, y_K-h_y), a_3=(x_K+h_x, y_K+h_y), a_4=(x_K-h_x, y_K+h_y)$, $l_1=\overline{a_1a_2}$, $l_2=\overline{a_2a_3}$, $l_3=\overline{a_3a_4}$及$l_4=\overline{a_4a_1}$分别为其四条边.

考虑$J_h$上混合元$Q_2-P_1$元空间$V_h\times P_h$, 其定义为^[5]:

$\begin{equation}\begin{array}{lll} V_h=\{v\in (H^1(\Omega))^2;v|_K\in(Q_2(K))^2, v|_{\partial\Omega}=0, \forall K\in J_h\}, \\ P_h=\{p\in L^2(\Omega);p|_K\in P_1(K), \displaystyle\int_\Omega pdxdy=0, \forall K\in J_h\}, \end{array}\end{equation}$

(2.2)

这里$V_h \times P_h\subset V\times P$.

那么相应式(2.1) 的有限元离散格式为:求$(u_h, p_h)\in L^2(0, T;V_h)\times L^2(0, T;P_h)$, 满足

$\begin{equation}\left\{\begin{array}{ll} (\displaystyle\frac{\partial u_h}{\partial t}, v_h)+a(u_h, v_h) +\displaystyle\int_0^t a(u_h, v_h)d\tau-(p_h, {\rm div} v_h)=(f, v_h), \ \ \ \ \forall v_h\in V_h, \\ (q_h, {\rm div} u_h)=0, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \forall q_h\in P_h, \\ u_h(0)=0. \end{array}\right.\end{equation}$

(2.3)

易知$a(\cdot, \cdot)$在$V_h\times V_h$满足强制性, 即存在正常数$\alpha$, 使得

$\begin{equation}\begin{array}{lll} a(v, v)\leq \alpha\|v\|_1^2, \ \ \ \ \forall v\in V_h. \end{array}\end{equation}$

(2.4)

文[13-14]已经证明了$(V_h, P_h)$满足LBB条件, 即存在与$h$无关的正常数$\beta>0$使得

$\begin{equation}\begin{array}{lll} \mathop {\sup }\limits_{w_h\in V_h}\displaystyle\frac{(q_h, {\rm div} w_h)}{\|w_h\|_1\|q_h\|_0}\geq \beta>0, \ \ \ \ \forall q_h\in P_h. \end{array}\end{equation}$

(2.5)

根据文献[15]中第一章引理4.1, 可证明问题(2.3) 的解$(u_h, p_h)\in L^2(0, T;V_h)\times L^2(0, T;P_h)$存在唯一.

在一般单元$K$上定义如下的插值算子, 设$u\in L^2(0, T;(H^2(\Omega))^2), $ $p\in L^2(0, T;L^2(\Omega))$, 则$u^I=(u_1^I, u^I_2)\in L^2(0, T;V_h), p_h\in L^2(0, T;P_h)$满足以下条件:

$\left\{ \begin{align} & {{u}^{I}}({{a}_{i}})=u({{a}_{i}}), \ \ \ \ \ \ \ \ i=1, 2, 3, 4, \\ & \int_{{{l}_{i}}}{{{u}^{I}}}ds=\int_{{{l}_{i}}}{uds}, \ \ \ \ \ \ \ \ i=1, 2, 3, 4, \\ & \int_{K}{{{u}^{I}}}dxdy=\int_{K}{udxdy}, \\ \end{align} \right.$

(2.6)

$\int_{K}{(p-{{p}^{I}})}qds=0, \ \ \ \ \forall q\in {{P}_{1}}(K).$

(2.7)

为了得出最优误差估计, 先给出如下引理.

引理3.1^[16]  令$\omega=u-u^I, \gamma=p-p^I$, 则当$ u\in L^2(0, T;(H^4(\Omega))^2)$时,

$\begin{eqnarray}\begin{array}{lll} (\nabla \omega, \nabla v)=O(h^3)|u|_4|v|_1, \ \ \ \ \ \forall v\in V_h, \end{array}\end{eqnarray} $

(3.1)

$\begin{eqnarray}\begin{array}{lll} ({\rm div}\omega, q)=O(h^3)|u|_4\|q\|_0, \ \ \ \ \ \forall q\in P_h, \end{array}\end{eqnarray} $

(3.2)

且当$ p\in L^2(0, T;H^3(\Omega)), J_h$为均匀网格时, 有

$\begin{equation}\begin{array}{lll} (\gamma, {\rm div} v)=O(h^3)|p|_3|v|_1, \ \ \ \ \ \forall v\in V_h. \end{array}\end{equation}$

(3.3)

定理3.2  设$(u, p)\in L^2(0, T;V)\times L^2(0, T;P)$和$(u_h, p_h)\in L^2(0, T;V_h)\times L^2(0, T;P_h)$分别为问题(2.1) 和(2.3) 的解, 则当$u\in L^2(0, T;(H^4(\Omega))^2), \ u_t\in L^2(0, T;(H^3(\Omega))^2), \ p\in L^2(0, T;H^3(\Omega))$时, 有

$\parallel u-u_h\parallel_0 \leq Ch^3\Big[|u|_3+\big(\displaystyle\int_0^t(|u|_4^2 +|u_t|_3^2+|p|_3^2)d\tau\big)^{\frac{1}{2}}\Big], $

当$u, u_t\in L^2(0, T;(H^3(\Omega))^2), \ p, p_t\in L^2(0, T;H^2(\Omega))$时, 有

$ |u-u_h|_1 \leq Ch^2\Big(|u|_3^2+|p|_2^2+\displaystyle\int_0^t(|u|_3^2+|u_t|_2^2 +|u_t|_3^2+|p_t|_2^2)d\tau\Big)^{\frac{1}{2}}. $

更进一步, 当$u, u_t\in L^2(0, T;(H^4(\Omega)\bigcap H^1_0(\Omega))^2), \ p, p_t\in L^2(0, T;H^3(\Omega))$时, 有

$|u^I-u_h|_1 \leq Ch^3\Big(|u|_4^2+|p|_3^2+\displaystyle\int_0^t(|u|_4^2+|u_t|_3^2 +|u_t|_4^2+|p_t|_3^2)d\tau\Big)^{\frac{1}{2}}. $

证 令$u-u_h=(u-u^I)+(u^I-u_h)=\eta+\theta$, 由式(2.1) 和(2.3) 得

$\begin{eqnarray}(\theta_t, v_h)+a(\theta, v_h)+\displaystyle\int_0^ta\\ (\theta, v_h)d\tau=-(\eta_t, v_h)-a(\eta, v_h)-\displaystyle\int_0^ta(\eta, v_h)d\tau+(p-p^I, {\rm div}v_h). \end{eqnarray}$

(3.4)

在(3.4) 式中取$v_h=\theta$, 考虑到

$ \begin{equation}\begin{array}{lll} \displaystyle\int_0^ta(\theta(\tau), \theta(t))d\tau\leq \displaystyle\int_0^t|\theta(\tau)|_1|\theta(t)|_1d\tau, \end{array}\end{equation}$

(3.5)

由Young不等式, 插值理论及引理3.1可得

$\begin{eqnarray*} &&\displaystyle\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|\theta\|_0^2+|\theta|_1^2\\ &\leq& \|\eta_t\|_0\|\theta\|_0 +Ch^3|u|_4|\theta|_1+Ch^3\displaystyle\int_0^t|u|_4|\theta|_1d\tau+Ch^3|p|_3|\theta|_1 -\displaystyle\int_0^ta(\theta(\tau), \theta(t))d\tau\\ &\leq& Ch^6(|u_t|_3^2+|u|_4^2+\displaystyle\int_0^t|u|_4^2d\tau+|p|_3^2)+ \|\theta\|_0^2+\displaystyle\frac{1}{4}|\theta|_1^2 +\displaystyle\int_0^t|\theta(\tau)|_1^2d\tau+\displaystyle\frac{1}{4}|\theta|_1^2. \end{eqnarray*}$

即

$\begin{eqnarray} \displaystyle\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|\theta\|_0^2+\displaystyle\frac{1}{2}|\theta|_1^2 \leq Ch^6(|u_t|_3^2+|u|_4^2+\displaystyle\int_0^t|u|_4^2d\tau+|p|_3^2)+ \|\theta\|_0^2+\displaystyle\int_0^t|\theta(\tau)|_1^2d\tau. \end{eqnarray}$

(3.6)

对(3.6) 式两端从0到$t$积分, 且$\theta(0)=0$, 则有

$ \|\theta\|_0^2+\displaystyle\int_0^t|\theta(\tau)|_1^2d\tau \leq Ch^6\displaystyle\int_0^t(|u_t|_3^2+|u|_4^2+|p|_3^2)d\tau +\displaystyle\int_0^t(\|\theta\|_0^2+\displaystyle\int_0^\tau|\theta(s)|_1^2ds)d\tau, $

由Gronwall不等式得

$\begin{equation}\begin{array}{lll} \|\theta\|_0^2+\displaystyle\int_0^t|\theta|_1^2d\tau \leq Ch^6\displaystyle\int_0^t(|u_t|_3^2+|u|_4^2+|p|_3^2)d\tau, \end{array}\end{equation}$

(3.7)

从而有

$ \begin{equation}\begin{array}{lll} \|\theta\|_0^2\leq Ch^6\displaystyle\int_0^t(|u_t|_3^2+|u|_4^2+|p|_3^2)d\tau. \end{array}\end{equation}$

(3.8)

再利用三角不等式得

$ \|u-u_h\|_0\leq \|\theta\|_0+\|u-u^I\|_0 \leq Ch^3\Big[|u|_3+\big(\displaystyle\int_0^t(|u_t|_3^2+|u|_4^2+|p|_3^2)d\tau\big)^{\frac{1}{2}}\Big]. $

即定理第一式成立.

另一方面, 在(3.4) 式中取$v_h=\theta_t$, 注意到

$\begin{equation}\begin{array}{lll} \displaystyle\int_0^ta(\theta(\tau), \theta_t(t))d\tau =\displaystyle\frac{d}{dt}\displaystyle\int_0^ta(\theta(\tau), \theta(t))d\tau-|\theta|_1^2, \end{array}\end{equation}$

(3.9)

且由Young不等式得

$\begin{eqnarray} &&\|\theta_t\|_0^2+\displaystyle\frac{1}{2}\frac{d}{dt}|\theta|_1^2 +\displaystyle\frac{d}{dt}\displaystyle\int_0^ta(\theta(\tau), \theta(t))d\tau\nonumber\\ &\leq& \|\eta_t\|_0\|\theta_t\|_0-\displaystyle\frac{d}{dt}a(\eta(t), \theta(t)) +a(\eta_t, \theta(t))-\displaystyle\frac{d}{dt}\displaystyle\int_0^ta(\eta(\tau), \theta(t))d\tau +a(\eta(t), \theta(t))\nonumber\\ &&+\displaystyle\frac{d}{dt}(p-p^I, {\rm div}\theta)-((p-p^I)_t, {\rm div}\theta)+|\theta|_1^2\nonumber\\ &\leq& C|\theta|_1^2+\|\theta_t\|_0^2 +Ch^4(|u_t|_2^2+|u_t|_3^2+|u|_3^2+|p_t|_2^2)\nonumber\\ &&-\displaystyle\frac{d}{dt}a(\eta(t), \theta(t)) -\displaystyle\frac{d}{dt}\displaystyle\int_0^ta(\eta(\tau), \theta(t))d\tau +\displaystyle\frac{d}{dt}(p-p^I, {\rm div}\theta). \end{eqnarray}$

(3.10)

对(3.10) 式两端从0到$t$积分, 并注意到$\theta(0)=0$, 则有

$\begin{eqnarray*} |\theta|_1^2 &\leq& C\displaystyle\int_0^t|\theta|_1^2d\tau+Ch^4\displaystyle\int_0^t(|u_t|_2^2+|u_t|_3^2+|u|_3^2+|p|_2^2)d\tau -a(\eta(t), \theta(t))\\ &&-\displaystyle\int_0^ta(\eta(\tau), \theta(t))d\tau+(p-p^I, {\rm div}\theta) -2\displaystyle\int_0^ta(\theta(\tau), \theta(t))d\tau. \end{eqnarray*}$

由插值理论及(3.5) 式, 类似于(3.6) 式的估计, 利用Young不等式, 上式可化为

$ |\theta|_1^2 \leq Ch^4\big[\displaystyle\int_0^t(|u_t|_2^2+|u_t|_3^2+|u|_3^2+|p_t|_2^2)d\tau+|u|_3^2+|p|_2^2\big] +C\displaystyle\int_0^t|\theta|_1^2d\tau, $

再次利用Gronwall不等式得

$ |\theta|_1^2 \leq Ch^4\big[\displaystyle\int_0^t(|u_t|_2^2+|u_t|_3^2+|u|_3^2+|p_t|_2^2)d\tau+|u|_3^2+|p|_2^2\big]. $

再利用三角不等式, 即可得定理第二式.

类似于定理第二式的证明, 在(3.10) 式中利用引理3.1, 可得定理第三式.

定理3.3 设$(u, p)\in L^2(0, T;V)\times L^2(0, T;P)$和$(u_h, p_h)\in L^2(0, T;V_h)\times L^2(0, T;P_h)$分别为问题(2.1) 和(2.3) 的解, 则当$u, u_t\in L^2(0, T;(H^3(\Omega))^2), \ u_{tt}\in L^2(0, T;(H^2(\Omega))^2), \ p, p_t\in L^2(0, T;H^2(\Omega))$时, 有

$\begin{eqnarray*}\parallel p^I-p_h\parallel_0 &\leq& Ch^2\Big[|p|_2+\big(|u|_3^2+|u_t|_2^2+|u_t|_2^2+|u_t(0)|_2^2+|u_t(0)|_4^2+|p(0)|_3^2\\ &&+\displaystyle\int_0^t(|u|_3^2+|p|_2^2+|u_t|_2^2+|u_t|_3^2+|u_{tt}|_2^2+ +|p_t|_2^2)d\tau\big)^{\frac{1}{2}}\Big]. \end{eqnarray*}$

证  记$e=u-u_h$, 由方程(2.1) 和(2.3) 知$e$满足

$\begin{equation}\begin{array}{lll}(p^I-p_h, {\rm div} v_h)=(e_t, v_h)+(\nabla e, \nabla v_h) +\displaystyle\int_0^t(\nabla e, \nabla v_h)d\tau -(p-p^I, {\rm div} v_h), \ \ \ \ \ \forall v_h\in V_h. \end{array}\end{equation}$

(3.11)

由Young不等式可得$(p^I-p_h, {\rm div}v_h)\leq C\|e_t\|_0\|v_h\|_0+(|e|_1+\displaystyle\int_0^t|e|_1d\tau)|v_h|_1 +Ch^2|p|_2|v_h|_1, $即

$\begin{equation}\begin{array}{lll} (p^I-p_h, {\rm div}v_h)\leq C\big(\|e_t\|_0+|e|_1+\displaystyle\int_0^t|e|_1d\tau +h^2|p|_2\big)|v_h|_1. \end{array}\end{equation}$

(3.12)

由(2.5) 式和(3.12) 式有

$\begin{equation}\begin{array}{lll} \|p^I-p_h\|_0 \leq C\big(\|e_t\|_0+|e|_1+\displaystyle\int_0^t|e|_1d\tau +h^2|p|_2\big). \end{array}\end{equation}$

(3.13)

由定理3.2可知, 只需估计$\|e_t\|_0$.

另一方面, 对(3.4) 两端关于$t$求导得

$\begin{equation}\begin{array}{lll} (\theta_{tt}, v_h)+a(\theta_t, v_h)+a(\theta, v_h) =-(\eta_{tt}, v_h)-a(\eta_t, v_h)-a(\eta, v_h)+((p-p^I)_t, {\rm div}v_h). \end{array}\end{equation}$

(3.14)

在(3.14) 式中取$v_h=\theta_t$, 从而

$ (\theta_{tt}, \theta_t)+a(\theta_t, \theta_t)+a(\theta, \theta_t) =-(\eta_{tt}, \theta_t)-a(\eta_t, \theta_t)-a(\eta, \theta_t)+((p-p^I)_t, {\rm div}\theta_t), $

利用Young不等式, 插值理论等, 上式可变为

$\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|\theta_t\|_0^2+|\theta_t|_1^2+\frac{1}{2}\frac{d}{dt}|\theta|_1^2 &\leq& \|\eta_{tt}\|_0\|\theta_t\|_0+Ch^2(|u_t|_3+|u|_3+|p_t|_2)|\theta_t|_1\nonumber\\ &\leq& Ch^4(|u_{tt}|_2^2+|u_t|_3^2+|u|_3^2+|p_t|_2^2)+|\theta_t|_1^2+\|\theta_t\|_0^2, \end{eqnarray}$

(3.15)

对(3.15) 式两边同时从$0$到$t$积分, 且注意到$\theta(0)=0$, 有

$\|\theta_t\|_0^2+|\theta|_1^2 \leq Ch^4\displaystyle\int_0^t\\ (|u_{tt}|_2^2+|u_t|_3^2+|u|_3^2+|p_t|_2^2)d\tau +C\displaystyle\int_0^t(\|\theta_t\|_0^2+|\theta|_1^2)d\tau+\|\theta_t(0)\|_0^2, $

利用Gronwall不等式, 上式变为

$\begin{equation}\begin{array}{lll} \|\theta_t\|_0^2+|\theta|_1^2 \leq Ch^4\displaystyle\int_0^t(|u_{tt}|_2^2+|u_t|_3^2+|u|_3^2+|p_t|_2^2)d\tau+\|\theta_t(0)\|_0^2. \end{array}\end{equation}$

(3.16)

下面估计$\|\theta_t(0)\|_0^2$.在(3.4) 式中取$v_h=\theta_t$, 且$t=0$, 利用插值理论, 引理3.1, 逆不等式及Young不等式得

$\begin{eqnarray*}\begin{array}{lll} \|\theta_t(0)\|_0^2&=&(\theta_t(0), \theta_t(0))+a(\theta(0), \theta_t(0)) +\displaystyle\int_0^ta(\theta(0), \theta_t(0))d\tau\\ &=&-(\eta_t(0), \theta_t(0))-a(\eta(0), \theta_t(0))+((p-p^I)(0), {\rm div}\theta_t(0))\\ &\leq& Ch^2|u_t(0)|_2\|\theta_t(0)\|_0 +Ch^3|u_t(0)|_4|\theta_t(0)|_1+Ch^3|p(0)|_3|\theta_t(0)|_1\\ &\leq& Ch^4|u_t(0)|_2^2+\displaystyle\frac{1}{4}\|\theta_t(0)\|_0^2 +Ch^2|u_t(0)|_4|\theta_t(0)|_0+Ch^2|p(0)|_3|\theta_t(0)|_0\\ &\leq& Ch^4(|u_t(0)|_2^2+|u_t(0)|_4^2+|p(0)|_3^2)|+\displaystyle\frac{3}{4}\|\theta_t(0)\|_0^2, \end{array}\end{eqnarray*}$

即

$\begin{equation}\begin{array}{lll} \|\theta_t(0)\|_0^2&\leq& Ch^4(|u_t(0)|_2^2+|u_t(0)|_4^2+|p(0)|_3^2). \end{array}\end{equation}$

(3.17)

结合式(3.16), (3.17), 利用三角不等式得到

$\begin{equation}\begin{array}{lll} \|e_t\|_0^2 \leq Ch^4\big(|u_t|_2^2+|u_t(0)|_2^2+|u_t(0)|_4^2+|p(0)|_3^2+ \displaystyle\int_0^t(|u_{tt}|_2^2+|u_t|_3^2+|u|_3^2+|p_t|_2^2)d\tau\big). \end{array}\end{equation}$

(3.18)

由定理3.2, (3.13) 式和(3.18) 式即得$\parallel p^I-p_h\parallel_0 \leq Ch^2\Big[|p|_2+\big(A+\displaystyle\int_0^t B d\tau\big)^{\frac{1}{2}}\Big], $其中

$\begin{eqnarray*} &&A=|u|_3^2+|u_t|_2^2+|u_t|_2^2+|u_t(0)|_2^2+|u_t(0)|_4^2+|p(0)|_3^2, \\ &&B=|u|_3^2+|p|_2^2+|u_t|_2^2+|u_t|_3^2+|u_{tt}|_2^2+|p_t|_2^2. \end{eqnarray*}$

定理得证.

注 文[9]讨论了Stokes型积分-微分方程Bernadi-Raugel混合元的超收敛分析, 利用本定理的证明方法, 可以有类似的结论.另一方面, 对比文[1, 7-9], 本文的估计去掉了$t^{-\frac{1}{2}}$, 从而改善了这些研究中相应的结果.

为了进行超收敛分析, 我们首先将$J_h$中相邻的四个小单元合并成一个大单元, 即$\tau=\sum\limits_{i=1}^4K_i$, $\tau\in J_{2h}$,$K_i\in J_h$.在$\tau$上定义插值后处理算子$I_{2h}, J_{2h}$对任意的$(\omega, p) \in (L^2(0, T;C(\tau))^2\times L^2(0, T;L(\tau)^2), (I_{2h}\omega, J_{2h}p)\in L^2(0, T;(Q_4(\tau))^2)\times L^2(0, T;P_2(\tau))$满足

$\begin{eqnarray*} &&\left\{\begin{array}{lll} I_{2h}\omega(a_i)=\omega(a_i), \ \ \ \ \ \ \ \ i=1, 2, \cdots, 9, \\ \displaystyle\int_{l_i}(I_{2h}\omega-\omega)ds=0, \ \ \ \ \ \ i=1, 2, \cdots, 12, \\ \displaystyle\int_{K_i}(I_{2h}\omega-\omega)dxdy=0, \ \ \ \ \ \ i=1, 2, 3, 4, \end{array}\right.\\ &&\left\{\begin{array}{lll} \displaystyle\int_{K_i}(J_{2h}p-p)dxdy=0, \ \ \ \ \ \ i=1, 2, 3, 4, \\ \displaystyle\int_{K_i}(J_{2h}p-p)xdxdy=\displaystyle\int_{K_i}(J_{2h}p-p)ydxdy=0, \ \ \ \ \ \ i=1, 2, 3, 4, \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

这里$K_i, l_i, a_i$分别为小单元及它们的边和顶点.则文[17]中证明了下面的引理

引理4.1 对任意$u\in L^2(0, T;(H^4(\Omega))^2)$, 插值算子$I_{2h}$满足

$\begin{eqnarray}&&\left.\begin{array}{ll} I_{2h}u^I=I_{2h}u, \end{array}\right.\end{eqnarray}$

(4.1)

$\begin{eqnarray} &&\left.\begin{array}{ll} \parallel I_{2h}u-u\parallel_1\leq Ch^3|u|_4, \end{array}\right.\end{eqnarray}$

(4.2)

$\begin{eqnarray} &&\left.\begin{array}{ll} \parallel I_{2h}v\parallel_1\leq C\parallel v\parallel_1, \ \ \ \ \forall v\in V_h. \end{array}\right.\end{eqnarray}$

(4.3)

定理4.2 如果$(u, p)\in L^2(0, T;(H^4(\Omega)\bigcap H_0^1(\Omega))^2)\times L^2(0, T;H^3(\Omega))$, 有如下的整体超收敛结果

$ \parallel{I_{2h}u_h-u}\parallel_1+\parallel{J_{2h}p_h-p}\parallel_0 \leq Ch^3(|u|_4+|p|_3).$

证 由于

$ \parallel{I_{2h}u_h-u}\parallel_1\leq \parallel{I_{2h}u_h-I_{2h}u}\parallel_1 +\parallel{I_{2h}u-u}\parallel_1, $

由引理4.1得

$\begin{eqnarray*}\parallel{I_{2h}u_h-u}\parallel_1 &\leq& \parallel{I_{2h}u_h-I_{2h}u^I}\parallel_1+\parallel{I_{2h}u-u}\parallel_1\\ &=&\parallel I_{2h}(u_h-u^I)\parallel_1+\parallel{I_{2h}u-u}\parallel_1 \leq Ch^3(|u|_4+|p|_3), \end{eqnarray*}$

定理得证.