有关Fuzzy邻域概念最初提法可见Chang ^[1]的结果, 文中给出了Fuzzy集的Fuzzy邻域概念, 但并未涉及点的Fuzzy邻域, 这对于深入研究Fuzzy拓扑学理论是不够的.因此, 许多学者进一步探讨了这个问题, 其中最具代表性的是Warren ^[2], 蒲保明和刘应明^[3]及吴从炘等^[4]关于点的Fuzzy邻域概念的研究, 应该说Warren给出的是分明点的Fuzzy邻域(简称$W$-邻域), 蒲保明和刘应明给出了以分明点为特例的Fuzzy点的一种邻域(简称$Q$ -邻域), 吴从炘则融合了Chang的邻域概念, 引进了蒲保明和刘应明意义下的Fuzzy点的Fuzzy邻域(简称$N$ -邻域).目前使用较为广泛的是$W$ -邻域及$Q$ -邻域, 它们很好地刻画了Fuzzy拓扑学中的一系列问题, 如收敛性, 分离性, 紧性等等^[5-7].然而在研究一些问题, 如Mackey收敛在Fuzzy拓扑线性空间中的理论推广时, 这两种定义都不能很好地使用.相反的, $N$ -邻域因其本身具有分明拓扑学理论中邻域的特点, 就比较匹配.于是, 在此背景下, 探讨$N$ -邻域以及它与$W$ -邻域, $Q$ -邻域之间的关系对于Fuzzy拓扑学及Fuzzy分析学相关理论的深入研究是必要的.同时, 关于Fuzzy拓扑线性空间中的Fuzzy有界集的研究, 迄今为止有两种定义, 一种是吴从炘, 方锦暄利用$Q$ -邻域定义的Fuzzy有界集^[8], 一种是Katsaras利用$W$ -邻域定义的Fuzzy有界集^[9], 而在研究Mackey收敛在Fuzzy拓扑线性空间中的理论推广时, 这两种定义也不好用.

鉴于以上分析, 本文首先探讨$N$ -邻域与$W$ -邻域, $Q$ -邻域定义间的关系, 结果表明在一定条件下, 这三种邻域等价; 其次, 利用$N$ -邻域构造了$N$-Fuzzy有界集, 并证明出它与前两种Fuzzy有界集保持等价关系, 于是, 此三种定义下的大部分结论都是融汇贯通的.作为新构造的Fuzzy有界集, 在本文的最后部分, 我们给出了$N$-Fuzzy有界集的一些性质.

全文, $X$表示数域$\mathbb{K}$上的线性空间, $I^{X}$表示$X$上Fuzzy集全体, $r^{*}$表示$X$上隶属函数取常值$r$的Fuzzy集, $Pt(I^{X})$表示$X$上Fuzzy点的全体. Fuzzy拓扑空间的定义沿用Lowen ^[10]的定义. Fuzzy拓扑线性空间的定义延用Katsaras ^[11]的定义.

接下来, 我们将Warren意义下的Fuzzy邻域称为$W$ -邻域:

定义2.1 设$(X, \mathscr{T})$是Fuzzy拓扑空间, $x\in X$. Fuzzy集$U\in I^{X}$称为$x$的$W$ -邻域当且仅当存在$G\in \mathscr{T}$使得$G\subset U$, 且$G(x)=U(x)＞0$.

$x$的所有$W$ -邻域的全体称为该点的$W$ -邻域系, 记作$\mathscr{N}_W (x)$.将Katsaras以Warren意义下的Fuzzy邻域为基础构造的Fuzzy邻域基称为$W$ -邻域基.

定义2.2 设$(X, \mathscr{T})$是Fuzzy拓扑空间, $x\in X$.设$\mathfrak{B}_x$为$x$的若干$W$ -邻域所形成的集族, 若对每个$A\in \mathscr{N}_W (x)$及$\alpha\in [0, A(x))$, 存在$U\in \mathfrak{B}_x$使得$U\subset A$, 且$U(x) > \alpha$, 则称$\mathfrak{B}_x$为$x$的$W$-邻域基.

将蒲保明和刘应明意义下的Fuzzy邻域称为$Q$-邻域, Fuzzy邻域基称为$Q$-邻域基.

定义2.3 设$(X, \mathscr{T})$是Fuzzy拓扑空间, $x_{\lambda}\in Pt(I^{X})$. Fuzzy集$U\in I^{X}$称为$x_{\lambda}$的$Q$ -邻域当且仅当存在$G\in \mathscr{T}$使得$x_{\lambda} \widetilde{\in} G\subset U$.

$x_{\lambda}$的所有$Q$ -邻域的全体称为该点的$Q$ -邻域系, 记作$\mathscr{N}_Q (x_{\lambda})$.

定义2.4 设$(X, \mathscr{T})$是Fuzzy拓扑空间, $x_{\lambda}\in Pt(I^{X})$.设${\mathscr U}_{x_{\lambda}}$为$x_{\lambda}$的若干$Q$ -邻域所形成的集族, 若对任何$A\in \mathscr{N}_Q (x_{\lambda})$, 存在$U\in {\mathscr U}_{x_{\lambda}}$使得$U\subset A$, 则称${\mathscr U}_{x_{\lambda}}$为$x_{\lambda}$的$Q$ -邻域基.

将吴从炘意义下的Fuzzy邻域称为$N$ -邻域, Fuzzy邻域基称为$N$ -邻域基.

定义2.5 设$(X, \mathscr{T})$是Fuzzy拓扑空间, $x_{\lambda}\in Pt(I^{X})$. Fuzzy集$U\in I^{X}$称为$x_{\lambda}$的$N$ -邻域当且仅当存在$G\in \mathscr{T}$使得$x_{\lambda}\in G\subset U$.

$x_{\lambda}$的所有$N$ -邻域的全体称为该点的$N$ -邻域系, 记作$\mathscr{N}_N (x_{\lambda})$.

定义2.6 设$(X, \mathscr{T})$是Fuzzy拓扑空间, $x_{\lambda}\in Pt(I^{X})$. $\mathfrak{N}_{x_{\lambda}}$为$x_{\lambda}$的若干$N$ -邻域所形成的集族, 若对任何$A\in \mathscr{N}_N (x_{\lambda})$, 存在$U\in {\mathfrak{N}}_{x_{\lambda}}$使$U\subset A$, 则称$\mathfrak{N}_{x_{\lambda}}$为$x_{\lambda}$的$N$ -邻域基.

引理3.1^[4] 设$(X, \mathscr{T})$是Fuzzy拓扑空间, 则对任何固定的$r\in (0, 1]$, $U$是$x_{r}$的$N$ -邻域当且仅当对任意$\lambda \in (1-r, 1]$, $U$是$x_{\lambda}$的$Q$ -邻域.

事实上, 通过进一步研究, 我们可以得到如下结论:

引理3.2 设$(X, \mathscr{T})$是Fuzzy拓扑空间, $U\in I^{X}$, 对任意$r\in (0, U(x)]$, $U$是$x_{r}$的$N$ -邻域当且仅当对任意$\lambda \in (1-U(x), 1]$, $U$是$x_{\lambda}$的$Q$ -邻域.

证 必要性 $\forall r\in (0, U(x)]$, $U$是$x_{r}$的$N$ -邻域, 则存在$G_r \in \mathscr{T}$, 使得$x_{r}\in G_r\subset U$, 故$x_{r}\in \bigcup_{r\in (0, U(x)]}G_r\subset U$, 注意到$\bigcup_{r\in (0, U(x)]}G_r\in \mathscr{T}$, 且

$(\bigcup\limits_{r\in (0, U(x)]}G_r)(x)=\sup\limits_{r\in (0, U(x)]}G_r(x)\geq \sup\limits_{r\in (0, U(x)]}r=U(x), $

于是对任意$\lambda \in (1-U(x), 1]$, 有

$x_{\lambda}\widetilde{\in} \bigcup\limits_{r\in (0, U(x)]}G_r\subset U, $

故$U$是$x_{\lambda}$的$Q$ -邻域.

充分性 对任意$r\in (0, U(x)]$, 显然$(1-r, 1]\subset (1-U(x), 1]$, 则对任意$\lambda \in (1-r, 1]$, 有$\lambda \in (1-U(x), 1]$, 由条件知, $U$是$x_{\lambda}$的$Q$ -邻域, 由引理3.1, $U$是$x_{r}$的$N$ -邻域.

引理3.3^[12] 设$(X, \mathscr{T})$是Fuzzy拓扑空间, $U\in I^{X}$, $x\in X$, 则$U$是$x$的$W$ -邻域当且仅当对任意$\lambda \in (1-U(x), 1]$, $U$是$x_{\lambda}$的$Q$ -邻域.

由引理3.2及引理3.3可以得到

定理3.4 设$(X, \mathscr{T})$是Fuzzy拓扑空间, $U\in I^{X}$, $U$是$x$的$W$ -邻域当且仅当对任意$r\in (0, U(x)]$, $U$是$x_{r}$的$N$ -邻域.

此表明$N$ -邻域与$Q$ -邻域, $W$ -邻域定义间相互等价.

在文[9]中, Katsaras利用$W$ -邻域给出如下Fuzzy有界集:

定义4.1  Fuzzy拓扑线性空间$(X, \mathscr{T})$中的Fuzzy集$B$称为有界的, 若它可以被$\theta$的任意$W$ -邻域所吸收, 即对$\theta$的任一$W$ -邻域$U$, 若$U(\theta)＞0$且对每个$r<U(\theta)$, 存在$t^{'}＞0$, 使得$(t^{'}B)\bigcap r^{*}\subset U$.

注意到定义4.1在文[9]中的(0, 1], 且对$t^{'}＞0$, $(t^{'}B)\bigcap r^{*}\subset U\Longleftrightarrow B\bigcap r^{*}\subset (1/t^{'})U$.因此为便于研究, 本文中我们将使用如下等价定义:

定义4.2 设$(X, \mathscr{T})$是Fuzzy拓扑线性空间, $B\in I^{X}$, 若对$\theta$的任意$W$ -邻域$U$及任意$0<r<U(\theta)$, 存在$t＞0$使得$B\bigcap r^{*}\subset tU$, 则称$B$为Fuzzy有界集.

将定义4.2中的Fuzzy有界集称为$W$-Fuzzy有界集.

定义4.3^[8] 设$(X, \mathscr{T})$是Fuzzy拓扑线性空间, $B\in I^{X}$, 若对$\theta_\lambda$的任一$Q$ -邻域, 存在$t＞0$及$r\in (1-\lambda, 1]$使得$B\bigcap r^{*}\subset tU$, 则称$B$为$Q-\lambda$-Fuzzy有界集; 若对每个$\lambda\in (0, 1]$, $B$是$Q-\lambda$-Fuzzy有界, 则称$B$为$Q$-Fuzzy有界集.

将吴,方^[8]利用$Q$ -邻域定义的Fuzzy有界集, 也即定义4.3中的Fuzzy有界集称为$Q$-Fuzzy有界集.

以下利用$N$ -邻域定义$N$-Fuzzy有界集:

定义4.4 设$(X, \mathscr{T})$是Fuzzy拓扑线性空间, $B\in I^{X}$, 若对$\theta_r$的任一$N$ -邻域及任意$0<\alpha<r$, 存在$t＞0$, 使得$B\bigcap \alpha^{*}\subset tU$, 则称$B$为$N-r$-有界集; 若对每个$r\in (0, 1]$, $B$恒$N-r$-Fuzzy有界, 则称$B$为$N$-Fuzzy有界集.

接下来, 将讨论$N$-Fuzzy有界集与$W$-Fuzzy有界集, $Q$-Fuzzy有界集三者之间的关系.

引理4.5^[12] 设$(X, \mathscr{T})$是Fuzzy拓扑空间, $x\in X$, $\mathfrak{B}_x\subseteq I^{X}$, 则$\mathfrak{B}_x$是$x$的$W$ -邻域基当且仅当对任意$A\in \mathfrak{B}_x$, $A(x)＞0$, 且对每个$\lambda\in (0, 1]$, ${\mathscr U}_{x_{\lambda}}=\{A: A\in \mathfrak{B}_x, A(x)>1-\lambda\}$是$x_{\lambda}$的$Q$ -邻域基.

定理4.6 设$(X, \mathscr{T})$是Fuzzy拓扑线性空间, $B\in I^{X}$, $B$是$W$-Fuzzy有界集当且仅当对每个$\lambda\in (0, 1]$, $B$是$Q-\lambda$-Fuzzy有界的.

证 必要性 设$\mathfrak{B}_\theta$是$\theta$的$W$ -邻域基, 由引理4.5知, 对任意$\lambda\in (0, 1]$, ${\mathscr U}_{x_{\lambda}}=\{A: A\in \mathfrak{B}_\theta, A(\theta)>1-\lambda\}$是$\theta_\lambda$的$Q$ -邻域基.于是, 对每个$\theta_\lambda$的$Q$ -邻域$U$, 存在$A\in \mathfrak{B}_\theta$且$A(\theta)>1-\lambda$使得$A\subset U$.注意到$B$是$W$-Fuzzy有界集, 则对任意$r\in (1-\lambda, A(\theta))$, 存在$t＞0$, 使得$B\bigcap r^*\subset tA\subset tU$, 因此$B$是$Q-\lambda$-Fuzzy有界的.

充分性 设$V$是$\theta$的任意$W$ -邻域.对任意$\alpha\in (0, V(\theta))$, 取$\lambda=1-\alpha$, 则有$V(\theta)>1-\lambda$.由引理3.3知, $V$是$\theta_\lambda$的$Q$ -邻域.由于$B$是$Q-\lambda$-Fuzzy有界的, 存在$t＞0$及$r\in (1-\lambda, 1]$, 使得$B\bigcap r^{*}\subset tV$.注意到$\alpha=1-\lambda<r$, 于是我们有$B\bigcap \alpha^{*}\subset tV$, 故$B$是$W$-Fuzzy有界集.

由$W$ -邻域的定义很容易得到

引理4.7 设$(X, \mathscr{T})$是Fuzzy拓扑空间, $U\in I^{X}$, 若$U\in \mathscr{T}$, 且对任意$r\in (0, 1]$, $U(x)\geq r$, 则$U$是$x$的$W$ -邻域.

定理4.8 设$(X, \mathscr{T})$是Fuzzy拓扑线性空间, $B\in I^{X}$, $B$是$W$-Fuzzy有界集当且仅当对每个$r\in (0, 1]$, $B$是$N-r$-Fuzzy有界集.

证 必要性 对每个$r\in (0, 1]$及$\theta_r$的任一$N$ -邻域$U$, 由于$U$是$\theta_r$的$N$ -邻域, 故存在$G\in \mathscr{T}$, 使得$\theta_r\in G\subset U$.由引理4.7知, $G$是$\theta$的$W$ -邻域.又由于$B$是$W$-Fuzzy有界集, 故由定义4.2可知, 对每个满足$0<\alpha<r\leq G(\theta)$的$\alpha$, 存在$t＞0$, 使得$B\bigcap \alpha^*\subset tG\subset tU$, 此表明$B$是$N-r$-Fuzzy有界集.

充分性 设$V$是$\theta$的任意$W$ -邻域.对任意$\alpha\in (0, V(\theta))$, 由$V(\theta)>\alpha$知, 存在$\alpha< r < V(\theta)$, 由定理3.4知, $V$是$\theta_r$的$N$ -邻域, 由于$B$是$N-r$-Fuzzy有界集, 故存在$t＞0$使得$B\bigcap \alpha^{*}\subset tV$, 于是$B$是$W$-Fuzzy有界集.

因此, 我们有如下结论:

定理4.9 设$(X, \mathscr{T})$是Fuzzy拓扑线性空间, $B\in I^{X}$, $B$是$N$-Fuzzy有界集当且仅当$B$是$Q$-Fuzzy有界集.

由此可以看出三种Fuzzy有界集之间是等价的.

应该说, $N$ -邻域与$N$-Fuzzy有界集对于研究Fuzzy拓扑线性空间的相关理论是非常方便的.接下来, 我们给出$N$-Fuzzy有界集的性质.

引理5.1^[13] 设$(X, \mathscr{T})$是Fuzzy拓扑线性空间, 对任意$r\in (0, 1]$, 均存在$\theta_r$的均衡的$N$ -邻域基$\mathfrak{N}_{\theta_r}$ ($\mathfrak{N}_{\theta_r}$为$\theta_r$的均衡$N$ -邻域基是指对任意$\theta_r$的$N$ -邻域$U$, 存在$W\in \mathfrak{N}_{\theta_r}$, 使得$W\subset U$, 且$W$满足对任何$k\in \mathbb{K}$, $|k|\leq 1$, 有$kW\subset W$); 且对任意$U\in \mathfrak{N}_{\theta_r}$, 存在$W\in \mathfrak{N}_{\theta_r}$使得$W+W\subset U$.

据此, 我们有如下性质:

定理5.2 设$(X, \mathscr{T})$是Fuzzy拓扑线性空间, $A, B\in I^{X}$, 且$A, B$均是$N-r$-Fuzzy有界集, 则

(ⅰ) $A$的任何子集是$N-r$-Fuzzy有界集;

(ⅱ) $A\cup B$是$N-r$-Fuzzy有界集;

(ⅲ) $A+B, kA(k\in \mathbb{K}, k\neq 0)$也是$N-r$-Fuzzy有界集.

证  (ⅰ)设$G\subset A$, 往证$G$是$N-r$-Fuzzy有界集.对$\theta_r$的任一$N$ -邻域及任意$0<\alpha<r$, 由于$A$是$N-r$-Fuzzy有界集, 故存在$t＞0$, 使$A\bigcap \alpha^{*}\subset tU$, 显然有$G\bigcap \alpha^{*}\subset tU$, 故$G$是$N-r$-Fuzzy有界集.

(ⅱ)对$\theta_r$的任一$N$ -邻域及任意$0<\alpha<r$, 由引理5.1, 不妨设$U$是均衡的, 则由$A, B$均是$N-r$-Fuzzy有界集知, 存在$t_1＞0, t_2＞0$使得

$A\cap \alpha^{*}\subset t_1 U, B\cap \alpha^{*}\subset t_2 U, $

取$t=\max \{t_1, t_2\}＞0$, 则

$(A\cup B)\cap \alpha^{*} \subset (t_1 U \cup t_2 U) \subset tU, $

故$A\cup B$是$N-r$-Fuzzy有界集.

(ⅲ)对$\theta_r$的任一$N$ -邻域及任意$0<\alpha<r$, 由引理5.1, 存在$\theta_r$的均衡邻域$V$, 使得$V+V \subset U$, 由于$A, B$是$N-r$-Fuzzy有界集, 故存在$t_1＞0, t_2＞0$使得$A\bigcap \alpha^{*}\subset t_1 V, B\bigcap \alpha^{*}\subset t_2 V$, 取$t=\max \{t_1, t_2\}＞0$, 故

$(A\cap \alpha^{*})+ ( B\cap \alpha^{*}) = (A+B)\cap \alpha^{*}\subset t_1 V+t_2 V \subset tV+ tV \subset tU, $

于是$A+B$是$N-r$-Fuzzy有界集.

$kA(k\in \mathbb{K}, k\neq 0)$是$N-r$-Fuzzy有界集易证.

为便于研究, 我们给出Zadeh关于从模糊集到模糊集的映射, 也即扩张原理.

定义5.3^{[4, 14]} 设$X, Y$是两个非空普通集合, 设有映射$f: X\rightarrow Y$, 则由该映射可以诱导出如下映射, 记为$\widetilde{f}$

$\widetilde{f}: I^X\rightarrow I^Y, A\longmapsto \widetilde{f}(A), $

其中,

$\widetilde{f}(A)= \left\{\begin{array}{ll} \bigvee_{f(x)=y}A(x), y\in f(X), \\ 0, y\overline{\in}f(X). \end{array}\right.$

以下$f$是从$X$到$Y$的映射均指定义5.3中的$\widetilde{f}: I^X\rightarrow I^Y$.

定义5.4 设$X, Y$是Fuzzy拓扑线性空间, $f$是从$X$到$Y$的映射, 若$f$将$X$中的任一$N$-Fuzzy有界集映成$Y$中的$N$-Fuzzy有界集, 则称$f$是$N$-Fuzzy有界的.

定义5.5^[4] 设$(X, T), (Y, S)$是Fuzzy拓扑线性空间, $f$是从$X$到$Y$的映射, 若对$X$中的任一Fuzzy点$x_r$及$Y$中Fuzzy点$f(x_r)$的任何$N$ -邻域$V$, 有$x_r$的邻域$U$, 使得$f(U)\subset V$, 则称$f$是$N$-Fuzzy连续的.

以下这些结论都是易证的, 在此就不再赘述.

定理5.6 设$f$是从$X$到$Y$的映射, 又设$r\in (0, 1]$, $A$是$X$中的任一$N$-Fuzzy有界集, 则对$X$和$Y$上取常值$r$的Fuzzy集${r^{*}}_X$及${r^{*}}_Y$, 有$f(A\cap {r^{*}}_X)=f(A)\cap {r^{*}}_Y$.

由定理5.6易证:

定理5.7 设$X, Y$是Fuzzy拓扑线性空间, $f$是从$X$到$Y$的线性和$N$-Fuzzy连续映射, 则$f$是$N$-Fuzzy有界的.