关于Diophantus方程

${x^2} + D = 4{p^n}, n \in {Z_ + }, $

(1.1)

设$D{\rm{ > }}0$且是适合$p\not|D$的奇数, 此时方程(1.1) 是一类基本而重要的广义Ramanujan-Nagell方程.对于该类方程已经有不少研究工作, 但主要是通过讨论虚二次域类数的可除性来解决其解数问题; 此外, 邬毅^[1]和张丽平^[2]在虚二次域中分别证明了Ramanujan-Nagell方程$x^2 + 11 = 4y^5$仅有整数解$(x, y)=(\pm 31, 3)$和$x^2 + 7 = 4y^3$仅有整数解$(x, y)=(5, 2)$.

当$D{\rm{ < }}0$时, 乐茂华^[3]对于一般的$D$和$p$仅证明了当$D\ne4p^r-1$, 其中$r$是正整数时, 必有其解数$N(D, p) \leqslant 2$, 而该方程在实二次域中的一般解法却尚未给出.作为代数数论中的重要组成部分, 二次域及二次域中的算术基本定理对研究该类方程的整数解有着重要作用.对某些$D{\rm{ < }}0$, 其二次域$Q(\sqrt D )$是实Euclid域, 因此在这些二次代数整数环$\tilde Q(\sqrt D)$中算术基本定理仍然成立, 我们可以建立和$Z$中同样的整除理论去求解这些Diophantus方程.为了利用二次域中的重要理论、二次代数整数环$\tilde Q(\sqrt D)$中算术基本定理来研究Diophantus方程在实二次域中整数解的问题, 我们先引入$Z[i]$中的整除理论, 它是在唯一分解整环中的性质的一个直接推广.

引理1.1 ^[4] 设$F$是一个二次域, 那么一定存在一个无平方因数的有理整数$D\ne0, 1$, 使得$F = Q(\sqrt D )$.

定义1.1 ^[4] 假定$D$满足引理1.1中的所说条件(对这样的$D$一定有$D \equiv 1, 2$或3(mode4)).当$D{\rm{ > }}0$时, 称$Q(\sqrt D )$是实二次域; 当$D{\rm{ < }}0$时, 称为虚二次域.

定义1.2 ^[4] 设$\omega _1, \omega _2\in\tilde Q(\sqrt D)$是$Q(\sqrt D)$的一组基, 如果任意的$\theta\in\tilde Q(\sqrt D)$必可表为$\theta=u\omega _1 +v\omega _2$, 其中$u, v \in Z$, 则称$\omega _1, \omega _2$是$Q(\sqrt D)$的一组整基, 它也称为是$\tilde Q(\sqrt D)$的一组基.

引理1.2 ^[4] $\alpha \in A_2$(全体$Q$上的2次代数数组成的集合)的充要条件是

$ \alpha = r + s\sqrt D, $

其中$r, s \in Q$, $s \ne 0$以及$D \ne 0$是无平方因子的有理整数; $\alpha \in \widetilde{A_2 }$ (全体$Q$上的2次代数整数组成的集合)的充要条件是除以上所说的外还要满足

$2r \in Z, {r^2} - D{s^2} \in Z.$

引理1.3 ^[4] 设$D$满足引理1.2的条件, 及

$\omega = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt D, D = 2, 3(\, \bmod \, 4), }\\ {\frac{{ - 1 + \sqrt D }}{2}, D = 1(\, \bmod \, 4), } \end{array}} \right.$

那么$\alpha$是二次代数整数的充要条件是它可以表为

$\alpha = m + n\omega, m, n \in Z, n \ne 0.$

(1.2)

定理1.1 ^[4] 当$D{\rm{ > }}1$时, 对每个$D$必有无穷多个形如式(1.2) 的单位, 具体的说:

(1) 当$D = 2, 3(\bmod 4)$时, 由$\pm (m_0 + n_0 \omega )^k = \pm (m_0 + n_0 \sqrt D )^k$($k = \pm 1, \pm 2, \cdots$)给出所有这种单位数, 其中$m_0, n_0$是Pell方程$m^2 - n^2 = \pm 1$($m, n \in Z$且$n \ne 0$)的最小正解;

(2) 当$D = 1(\bmod 4)$时, 由$\pm (m_0 + n_0 \omega )^k = \pm ((m_0 - n_0 /2) + n_0 \sqrt D /2)^k$ ($k = \pm 1, \pm 2, \cdots$)给出所有这种单位数, 其中$x_0 = 2m_0 - n_0, y_0=n_0$是Pell方程$x^2 - Dy^2 = \pm 4$($x, y \in Z$)的最小正解. $m_0 + n_0 \omega$称为相应于$D$的二次基本单位数.

定理1.2 ^[4] 设$M$是唯一分解环, 正整数$k\geqslant 2$, 以及$\alpha, \beta \in M$, $(\alpha, \beta)=\overline 1$, 那么若$\alpha\beta=\gamma ^k$, $\gamma\in M$, 则有$\alpha=\varepsilon _1\mu ^k$, $\beta=\varepsilon _2\nu ^k$, $\mu, \nu \in M$, 其中$\varepsilon _1, \varepsilon _2$是$M$中的单位, 且$\varepsilon _1\varepsilon _2=\varepsilon ^k$, $\varepsilon$为单位.

下面证明Diophantus方程

$\begin{equation} x^2+D=4y^5, x, y\in Z. \end{equation}$

(2.1)

当$D=-13$时, 仅有整数解$(\pm 3, -1)$; 当$D=-17$时, 无整数解.

证 由于当$D=-13$, $-17$时, $Q\left({\sqrt {-D}}\right)$皆为实Euclid域^[5], 我们则可以在$\tilde Q\left({\sqrt {-D}}\right)$中来讨论Diophantus方程(2.1).此时, Diophantus方程(2.1) 可以化为

$\begin{equation} \ (\frac{{x + \sqrt {-D}}}{2})(\frac{{x - \sqrt {-D}}}{2}) = y^5. \end{equation}$

(2.2)

在实二次域$Q\left({\sqrt {-D}}\right)$中, 由定义1.2可知1和$\omega = (-1+\sqrt {-D})/2$是一组整基.不妨设

$ \delta = (\frac{{x + \sqrt {-D} }}{2}, \frac{{x - \sqrt {-D} }}{2}). $

显然, $\delta|x$, $\delta|\sqrt{-D}$, 由于$\sqrt{-D}$是素数, 则有$\delta=1$或$\sqrt{-D}$.但$\delta=\sqrt{-D}$显然不可能, 因为此时必有${-D}|x$, 而这样的$x$显然不是方程(2.2) 的解, 因此$\delta=1$, 故$(x+\sqrt{-D})/2$与$(x-\sqrt{-D})/2$互素, 从而有

$\begin{equation} \frac{{x + \sqrt{-D}}}{2} = \left( {\frac{{a + b\sqrt{-D}}}{2}} \right)^5, \end{equation}$

(2.3)

即

$ 2^4 (x + \sqrt {-D} ) = (a + b\sqrt {-D} )^5. $

当$D=-13$, $-17$时, 分别有

$\begin{equation} \ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {2^4 x = a(a^4 + 130a^2 b^2 + 845b^4 )}, \\ {2^4 = b(5a^4 + 130a^2 b^2 + 169b^4 )}, \\ \end{array}} \right. \end{equation}$

(2.4)

以及

$\begin{equation} \ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {2^4 x = a(a^4 + 170a^2 b^2 + 1445b^4 )}, \\ {2^4 = b(5a^4 + 170a^2 b^2 + 289b^4 )}. \\ \end{array}} \right. \end{equation}$

(2.5)

由(2.4) 式可得$b = \pm 1$或$ \pm 2^k $, 其中$k = 1, 2, 3, 4$.

① 若$b=1$, 则有$5a^4 + 130a^2 -153 = 0$, 显然方程没有整数解;

② 若$b=-1$, 则有$a^4 + 26a^2 +57 = 0$, 此时方程也无整数解;

③ 若$b=\pm 2^k$, 左$2^4 \equiv 2^4 (\bmod 2^5 )$, 右$b(5a^4 + 130a^2 b^2 + 169b^4 ) \equiv 0 (\bmod 2^5 )$, 矛盾.

从而Diophantus方程(2.1) 在形如(2.3) 式的分解下无整数解.同理可证(2.5) 式.

另一方面, 因为$Q\left({\sqrt{-D}}\right)$是实二次域, 且$D=-13$, $-17$时都有${-D}\equiv1(\bmod4)$, 由其单位数的形式, 不妨令$y=(a+b\sqrt{-D})/2$, 其中$a, b \in Z$.由定理1.1得, $D$的单位数为

$ \varepsilon = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} \pm (2 + \omega )^n, D = - 13, \\ \pm (5 + 2\omega )^n, D = - 17, \\ \end{array}} \right., n = 1, 2, 3, \cdots. $

再由定理1.2, Diophantus方程(2.2) 另有分解形式如下

$\begin{equation} \frac{{x + \sqrt{-D}}}{2} = \varepsilon^n \left( {\frac{{a + b\sqrt{-D}}}{2}} \right)^5, n=\pm 1, \pm 2, \cdots. \end{equation}$

(2.6)

当$D=-17$, $n=1$时, 有

$ 2^4 (x + \sqrt {17} ) = \pm (4 + \sqrt {17} )(a + b\sqrt {17} )^5, $

即

$\begin{equation} \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {4a^5 + 680a^3 b^2 + 5780ab^4 + 85a^4 b + 2890a^2 b^3 + 4913b^5 = \pm 2^4 x}, \\ {a^5 + 20a^4 b + 680a^2b^3 + 170a^3b^2 + 1445ab^4 + 1156b^5 = \pm 2^4}. \\ \end{array}} \right. \end{equation}$

(2.7)

(2.7) 式无整数解.采用Maple程序结合赋值法可得:当$n$取不等于1的其他整数的时候, (2.7) 式仍然无整数解, 故当$D=-17$时Diophantus方程(2.2) 无整数解.

当$D=-13$, $n=1$时, 有

$ 2^5 (x + \sqrt {13} ) = \pm (3 + \sqrt {13} )(a + b\sqrt {13} )^5, $

即

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {3a^5 + 390a^3 b^2 + 2535ab^4 + 65a^4 b + 1690a^2 b^3 + 2197b^5 = \pm 2^5 x}, \\ {15a^4 b + 390a^2 b^3 + 507b^5 + a^5 + 130a^3 b^2 + 845ab^4 = \pm 2^5}, \\ \end{array}} \right. $

解得有$a=\pm2, b=0$, 进而有$(x, y)=(\pm 3, -1)$.

由于当$D{\rm{ < }}0$且$D\ne4p^r-1$(其中$r$是正整数)时, Diophantus方程(2.1) 的解数$N(D, p) \leqslant 2$^[3], 从而当$D=-13$时Diophantus方程(2.1) 仅有整数解$(\pm 3, -1)$, 证毕.