关于Dirichlet级数
的增长性和值分布的研究, 文[1-3]中已经取得了一系列的结果.余家荣先生在文献[4]中首先对Laplace-Stieltjes变换的值分布的研究作了一些奠定性的工作, 得到了三种不同的收敛横坐标和Valiron-Knopp-Bohr公式, 并定义了全平面上收敛的Laplace-Stieltjes变换的最大模, 最大项和增长级等, 得到了类似Dirichlet级数的性质.最近, 关于Laplace-Stieltjes变换的研究, 已经有一些完美的结果[4-9].但关于全平面上零级Laplace-Stieltjes变换的研究还不是很多.本文定义了它的级, 并对全平面上的一类零级Laplace-Stieltjes变换的增长性进行了研究, 得到了关于它们的增长性和正规增长性的充要条件.对于文中采用的记号除特别说明外均与文献[4]中的保持一致.
设Laplace-Stieltjes变换
(为了表述方便, 后面简称为$L-S$变换), 其中$\alpha(y)$是对于$y\geq0$有定义的实值或复值函数, 而且它在任何闭区间$[0,X](0<X<+\infty)$上是有界变差的.取序列$\{\lambda_n\}$, 满足
还假设$L-S$变换 (2.1) 满足
其中
由文[4]中的一致收敛横坐标公式可知$L-S$变换 (2.1) 的一致收敛横坐标是$-\infty$.因此$L-S$变换 (2.1) 在全平面上收敛.
定义2.1 $L-S$变换 (2.1) 的最大模、最大项、最大项指标和增长级可以分别定义为
这里$\log^{+}x=\max\{0,\log x\}$, 当$\tau_u=0$时称$L-S$变换 (2.1) 为零级的.
当$L-S$变换 (2.1) 满足 (2.2), (2.3), (2.4) 式时, 在$oxy$直角坐标平面上作点列$\{P_{n}=(\lambda_{n},-\log A_n^*)\}_{n=1}^{\infty}$, 任取$\sigma>0$, 过点$P_{n}=(\lambda_{n},-\log A_n^*)$, 作斜率是$\sigma$的直线
该直线的纵截距为$y=-\log A_n^*-\lambda_{n}\sigma$, 即
故对任意固定的$\sigma>0$, $L(\sigma)$与$x$轴的交点越低, 对应项的正对数值越大.因此过最大项指标$\lambda_{n(\sigma)}$决定的点$P_{\lambda_{n(\sigma)}}=(\lambda_{\lambda_{n(\sigma)}},-\log A_{\lambda_{n(\sigma)}}^*)$, 斜率为$\sigma$的直线下方不会有集合$\{P_{n}=(\lambda_{n},-\log A_n^*)\}_{n=1}^{\infty}$中的点.记所有最大项指标的集合为$W(F)=\{\lambda_{n(\sigma)}|\sigma\in(-\infty,+\infty)\}.$记最大项指标所决定的点集
依次连接$H(F)$中的点, 则可得到一个Newton多边形$\pi(F)$.
注意最大项指标$\lambda_{n(\sigma)}$是单调上升左连续的阶梯函数.记$\lambda_{n(\sigma)}$的所有间断点为$\{\sigma_{k}\}_{k=1}^{\infty}$, 它满足
我们称$(2.5)$式中的$\{\lambda_{N_{k}}\}_{k=1}^{\infty}$为最大项指标序列.对应的$(\lambda_{N_{k}},-\log A_{{N_k}}^* )$是Newton多边形$\pi(F)$的顶点. $\sigma_{k}$对$ {k}$是严格单调上升的.将不在Newton多边形$\pi(F)$边上的点$P_{n}$, 垂直下移至多边形的边上, 记为$\ P^{c}_{n}=(\lambda_n,-\log {A}^{c^*}_{n})$.若$P_n$是$\pi(F)$的顶点或在其边上, 则$P_n$与$P^{c}_n$重合.
定义
则$L-S$变换$F(s)$和级数${F}^{c}(s)$有相等的最大项及最大项指标$N(\sigma,F)$.
引理2.1[5] 在以上规定下, 存在正整数$M$, 使得当$k\geq M$时有
1) $T_k=\frac{-\log A_{{N_k}}^*}{\lambda_{{N}_k}}>0$, 对$k$是严格单调上升的;
2) $\frac{-\log A_{{N}_k}^*+\log A_{{N}_{k-1}}^*}{\lambda_{{N}_{k}}-\lambda_{{N}_{k-1}}}>\frac{-\log A_{{N}_k}^*}{\lambda_{{N}_k}}.$
引理2.2[6] 设$L-S$变换 (2.1) 满足 (2.2), (2.3) 和 (2.4) 式, 则有
引理2.3[4, 6] 设$L-S$变换 (2.1) 满足 (2.2), (2.3) 和 (2.4) 式, 则对于任意的$\varepsilon\in(0,1)$和充分大的$\sigma$有
其中$C$是常数.
引理2.4 设$L-S$变换 (2.1) 满足 (2.2), (2.3) 和 (2.4) 式, 则有
1) $\overline{\lim\limits_{\sigma\to\infty}}\frac{\log \log M_u(\sigma,F)}{\log \sigma}=\rho\Leftrightarrow\overline{\lim\limits_{\sigma\to\infty}}\frac{\log \log \mu(\sigma,F)}{\log \sigma}=\rho\Leftrightarrow\overline{\lim\limits_{\sigma\to\infty}}\frac{\log N(\sigma,F)}{\log \sigma}=\rho-1 (\rho>1).$
2) $\mathop{\underline {\lim}}\limits_{\sigma\to \infty}\frac{\log \log M_u(\sigma,F)}{\log \sigma}=\tau\Leftrightarrow\mathop{\underline {\lim}}\limits_{\sigma\to \infty}\frac{\log \log \mu(\sigma,F)}{\log \sigma}=\tau\Leftrightarrow\mathop{\underline {\lim}}\limits_{\sigma\to \infty}\frac{\log N(\sigma,F)}{\log \sigma}=\tau-1 (\tau>1).$
证 1) 由引理2.3易得
下证
设$\overline{\lim\limits_{\sigma\to\infty}}\frac{\log N(\sigma,F)}{\log \sigma}=\rho-1$, 则$\forall\varepsilon\in(0,\rho)$, 当$\sigma$充分大时, 有$N(\sigma,F)<{\sigma}^{\rho-1+\varepsilon},$从而
不妨设$\sigma_{1}>0,$于是
由$\varepsilon$的任意性知
另一方面由$N(\sigma,F)$的单调性可得
取对数, 再同除以$\log \sigma$, 整理可得
1) 得证.
2) 由引理$2.3$易得
设$\mathop{\underline {\lim}}\limits_{\sigma\to \infty}\frac{\log N(\sigma,F)}{\log \sigma}=\tau-1,$则$\forall\varepsilon\in(0,\tau),$当$\sigma$充分大时, 有$N(\sigma,F)>{\sigma}^{\tau-1-\varepsilon},$从而
从而$\mathop{\underline {\lim}}\limits_{\sigma\to \infty}\frac{\log \log \mu(\sigma,F)}{\log \sigma}\geq\tau-\varepsilon.$由$\varepsilon$的任意性知$\mathop{\underline {\lim}}\limits_{\sigma\to \infty}\frac{\log \log \mu(\sigma,F)}{\log \sigma}\geq\tau.$另一方面由$N(\sigma,F)$的单调性可得
不妨设$\sigma_{1}>0$, 由上式两边取对数, 同除以$\log \sigma$, 再同取下极限可得
至此, 引理$2.4$得证.
定理3.1 设$L-S$变换 (2.1) 满足条件 (2.2), (2.3), (2.4) 式, 则
其中最大值是对所有上升的正整数${n_k}$取的, 且最大值可以在最大项指标序列$\{\lambda_{N_{k}}\}$上达到.
证 先证明
由条件$\forall\varepsilon\epsilon(0,\tau-1)$, 当$k$充分大时, 有$\frac{\log \lambda_{{N}_{k}}} {\log \log (A_{{N_{k+1}}}^*)^{-1}-\log \lambda_{{N}_{k+1}}}\geq\tau-1-\varepsilon,$即
于是$\forall\sigma$有
取$\sigma_{k}$满足$\sigma_{k}=2\lambda_{N_{k}}^{\frac{1}{\tau-1-\varepsilon}},$当$\sigma$充分大时, 存在$k$使得$\sigma\epsilon[\sigma_{k},\sigma_{k+1}),$
故有$\mathop{\underline {\lim}}\limits_{\sigma\to \infty}\frac{\log \log \mu (\sigma,F)}{\log \sigma}\geq\tau-\varepsilon.$由$\varepsilon$的任意性知$\mathop{\underline {\lim}}\limits_{\sigma\to \infty}\frac{\log \log \mu (\sigma,F)}{\log \sigma}\geq\tau.$
再证明
由引理2.4知, 若$\mathop{\underline {\lim}}\limits_{\sigma\to \infty}\frac{\log \log \mu (\sigma,F)}{\log \sigma}=\tau$, 则有
设$\{\lambda_{N_k}\}=\{N(\sigma,F),\sigma>0\}$为最大项指标集合, 它随$k$单调上升, 且有
对任意充分大的$\sigma>0,\exists k$使得$\sigma\in[\sigma_{k-1},\sigma_{k}),$此时$N(\sigma,F)=\lambda_{N_{k-1}},$故有
因此, $\forall\varepsilon\in(0,\tau-1),$存在正整数$p$, 使当$\sigma_k\geq\sigma_p$时, 有
由引理2.1得$\frac{-\log A_{{N}_k}^*}{\lambda_{{N}_k}}\leq {\lambda_{N_{k-1}}}^{\frac{1}{\tau-1-\varepsilon}}.$于是有
结合引理2.4知定理3.1成立.
定理3.2 设$L-S$变换 (2.1) 满足条件 (2.2), (2.3), (2.4) 式, 则有
证 先证
由条件$\forall\varepsilon>0$, 当$\sigma$充分大时, 有$\frac{\log \log \mu (\sigma,F)}{\log \sigma}<\rho+\varepsilon.$故有$\log A_{n}^* e^{\lambda_{n}\sigma}\leq\log \mu(\sigma,F)<\sigma^{\rho+\varepsilon},$从而$\log A_{n}^*\leq\sigma^{\rho+\varepsilon}-\lambda_{n}\sigma.$令$\sigma=(\frac{\lambda_{n}}{\rho+\varepsilon})^{\frac{1}{\rho+\varepsilon-1}},$则有
所以
从而有
由条件对$\forall\varepsilon>0$, 对任意充分大的$k$及任意充分大的$\sigma$有
从而有$\log A_{{N}_{k}}^*e^{\lambda_{{N}_{k}}\sigma}\leq -\lambda_{{N}_{k}}^{\frac{\rho+\varepsilon}{\rho-1+\varepsilon}}+\lambda_{{N}_{k}}\sigma.$取充分大的$k$和$\sigma$使得$\sigma=\frac{\rho+\varepsilon}{\rho+\varepsilon-1}\lambda_{N_{k}}^{\frac{1}{\rho+\varepsilon-1}}$则有
于是$\log \mu(\sigma,F)\leq c\sigma^{\rho+\varepsilon},$从而有
结合引理2.4知定理3.2成立.
定理3.3 设$L-S$变换 (2.1) 满足条件 (2.2), (2.3), (2.4) 式, 则下列条件等价:
1) $L-S$变换 (2.1) 的正规增长级为$\rho$, 即
2) $L-S$变换 (2.1) 满足
i) $\overline{\lim\limits_{\sigma\rightarrow\infty}}\frac{\log \log M_u(\sigma,F)}{\log \sigma }=\rho;$
ii) 存在上升的正整数列$\{n_k\}$, 使
3) $\overline{\lim\limits_{k\rightarrow\infty}}\frac{\log \lambda_{{N}_{k}}}{\log \log (A_{N_k}^{*})^{-1}-\log \lambda_{N_{k}}} =\mathop {\underline {\lim}}\limits_{k\to\infty}\frac{\log \lambda_{{N}_{k}}}{\log \log (A_{N_{k+1}}^{*})^{-1}-\log \lambda_{N_{k+1}}}=\rho-1,$其中$\{\lambda_{N_k}\}$是最大项指标序列.
证 先证1) 与2) 等价.
设2) 成立, 则由ii),
从而$\mathop{\underline {\lim}}\limits_{k\rightarrow\infty}\frac{\log \lambda_{n_{k}}}{\log \log (A_{n_{k+1}}^{*})^{-1}-\log \lambda_{n_{k+1}}}=\rho-1$, 故
由定理3.1知
结合i) 就得到1).
反之, 若1) 成立, 则说明
从而可知i) 成立, 由定理3.1与定理3.2对最大项指标序列$\{\lambda_{N_k}\}$, 有
这说明对最大项指标序列ii) 的前一等式成立.注意到上式在第二个等号右边, 上面的下极限和下面的上极限相等, 这可以看出ii) 的后一等式成立.最后由定理3.1及定理3.2可看出1) 与3) 等价.综上所述知定理3.3成立.