广义度量空间理论在一般拓扑学的研究中占据重要位置^[1].而映射又是处理广义度量空间问题的重要手段之一.本文在刘川等讨论了具有$\aleph_{0}$-弱基^[2]的空间的基础上讨论了$\aleph_{0}$-$sn$-度量空间, 并得到了关于$\aleph_{0}$-$sn$-度量空间及$\aleph_{0}$-$sn$-弱第一可数空间的一些刻画^[3].该空间是$\aleph_{0}$-弱第一可数空间的推广, 该推广很好的建立了$\aleph_{0}$-弱基与$cs^*$-网之间的联系.从$\aleph_{0}$-$sn$-网的定义中不难看出当$n=1$时, $\aleph_{0}$-$sn$-网就是$sn$-网, 同时作者也在文[3]中给出了例子说明$\aleph_{0}$-$sn$-网不是$sn$-网.作者在文[3]中给出了$\aleph_{0}$-$sn$-网的相关刻画, 在文[4]中给出了关于$\aleph_{0}$-$sn$-度量空间的等价刻画.本文将对该空间与度量空间之间的关系做进一步的刻画.

本文所述空间均为正则$T_{1}$的, 所有映射都是连续到上的. $N$表示自然数, 对本文中没有提及的概念和术语请参考参考文献[5-8].首先回忆一些定义.

定义1 设$f:X \rightarrow Y$是一个映射. $f$称为序列商映射^[9], 若对$Y$中的收敛序列$\{y_{n}\}$, 则存在$X$中收敛于序列$\{x_{n}\}$, 使得每一$x_{n}\in f^{-1}(y_{n_{k}})$.

定义2 空间$X$的子集族$\mathcal{B}$称为$X$的一个$\aleph_{0}$-弱基^[2], 如果${\mathcal{B}}=\bigcup\{{\mathcal{B}}_x(n): x \in X\ , n\in N\}$满足:

(1) 对每一个$x \in X,n \in N,{B_x}(n)$对有限交封闭并且$x \in \cap {B_x}(n)$;

(2) $U$是空间$X$的开集当且仅当对任意的$x \in X, n \in N$, 存在$B_{x}(n) \in {\mathcal{B}}_{x}(n)$使得$B_{x}(n) \subset U.$

定义3 ${\mathcal {P}}$是空间$X$的集族, ${\mathcal {P}}$称为$X$的$k$-网^[10], 如果对$X$的紧集$K \subset U \in \tau,$则存在有限集${\mathcal {P'}}\subset{\mathcal {P}},$使得$K \subset \cup {\mathcal {P'}} \subset U$.

定义4 空间$X$的子集族$\mathcal{B}$称为$X$的$\aleph_{0}$-$sn$-网, 如果${\mathcal{B}}=\bigcup\{{\mathcal{B}}_x(n): x \in X\ , n\in N\}$满足:

(1) 对每一个$x \in X, n \in N, {\mathcal{B}}_{x}(n)$对有限交封闭并且$x \in \cap {\mathcal{B}}_{x}(n);$

(2) $L$是空间$X$的收敛于$x\not\in L$的序列, 则存在$L$的子序列$L'$及$n_{0}\in N$对任意的$B_{x}(n_{0},m)$$\in$ ${\mathcal{B}}_{x}(n_{0})$使得$L'$终留于$B_{x}(n_{0})$.

类比Sirois-Dumais ^[11]的定义, 我们定义$X$称为$\aleph_{0}$-$sn$-弱第一可数空间, 若空间$X$有一个$\aleph_{0}$-$sn$-网${\mathcal{B}}=\bigcup\{{\mathcal{B}}_x(n): x \in X\ , n\in N\}$, 对任意的$x \in X, n \in N, {\mathcal{B}}_{x}(n)$是可数的.

空间$X$称为$\aleph_{0}$-$sn$-度量空间, 若空间$X$有$\sigma$-局部有限$\aleph_{0}$-$sn$-网.

若对每一个$n \in N$有${\mathcal{B}}_{x}(n) = {\mathcal{B}}_{x}(1),$有$sn $-网的定义知${\mathcal{B}}$是$sn$-网.

在文[3]中我们证明了空间$X$具有点可数$\aleph_{0}$-$sn$-网当且仅当它是度量空间的可数到一、序列商映像.在文[4]中我们讨论了$\aleph_{0}$-$sn$-网与可分度量空间之间的关系, 我们还讨论了$\aleph_{0}$-$sn$-度量空间与$\aleph_{0}$-$sn$-若第一可数空间、$\aleph_{0}$-空间及$\aleph$-空间之间的关系.本文中我们将在文[3]的基础上讨论更加一般性的问题并给出它们之间的一些刻画.

定义2.1^[1] 映射$f:X \rightarrow Y$称为有可数边界, 若对任意的$y \in Y, \partial f^{-1}(y)$是可数集.

引理2.2^[3] 在拓扑空间$X$中下述条件等价:

(1) $X$是$\aleph_{0}$-$sn$-度量空间;

(2) $X$有$\sigma$-离散的$\aleph_{0}$-$sn$-网;

(3) $X$有$\sigma$-局部有限的$\aleph_{0}$-$sn$-网;

(4) $X$是$\aleph_{0}$-$sn$-弱第一可数的$\aleph$-空间. %这是引理内容.

引理2.3^[3] 令${\mathcal {P}}$是空间$X$的$\sigma$-遗传闭包保持子集族, 若${\mathcal {P}}$是$cs^{*}$-网, 则${\mathcal {P}}$是空间$X$的$k$-网.

引理2.4^[12] 设$f:X\rightarrow Y$, 若$Y$是序列空间且$f$是序列商映射, 则$f$是商映射.

引理2.5 拓扑空间$X$是$\aleph_{0}$-$sn$-弱第一可数空间当且仅当它是度量空间的序列商映像且对任意的$x\in X$, $\partial f^{-1}(x)$是可数集

证 设拓扑空间$X$是$\aleph_{0}$-$sn$-弱第一可数空间.

令${\mathcal{B}}=\bigcup\{{\mathcal{B}}_x(n): x \in X\ , n\in N\}$是空间$X$ $\aleph_0$-$sn$-网.对每一个$x\in X$, $n \in N $, ${\mathcal{B}}_x(n)$是可数集, 不妨设${\mathcal{B}}_x(n)$=$\{B_x(n,m):m \in N\}$.令$Y_x(n)$是拓扑空间$X$中除了点$x$外其它点都是开集构成的集合, 因此$Y_x(n)$有邻域基$\{B_x(n,m):m \in N\}$, 进而$Y_x(n)$是度量空间 (例如很容易证明下面度量空间的拓扑和$Y_x(n)$的拓扑是一致的.

当$m$是使得$y$ $\in$ $B_x(n,m)$成立的最小整数时, 定义$d(y,x)=1/m$; 当$y_1\neq x$且$y_2 \neq x$时, 定义$d(y_1,y_2) = d(y_1,x) +d(y_2,x)).$

我们定义空间$Y$是互不相交的$Y_x(n)$的全体构成的集合, 则$Y$是可数度量空间.令$f$是$Y$到$X$的自然映射 (即把每一个点映为自身), 容易证明$f$是连续映射, 我们采用文[3]定理2.4的方法证明$f$是序列商映射.因为当$n$跑遍所有的自然数$N$时, $\partial f^{-1}(x)$是由每一个$Y_{x}(n)$中的点$x$构成的, 所以$\partial f^{-1}(x)$是可数集.

反之, 令$f:M \longrightarrow X $是序列商映射且对任意的$ x\in X, \partial f^{-1}(x)$是可数集.由于$M $是度量空间.取$\partial f^{-1}(x)= \{x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots\}.$取$\{C_x(n,m):m \in N\}$是点$x_n$的邻域基.取$ B_x(n,m)= f(C_x(n,m)),$令${\mathcal {B}}_x(n)=\cup \{B_x(n,m):m \in N\},$我们可以采用文[4]中定理1的证明方法证明${\mathcal {B}}= \cup \{{\mathcal {B}}_x(n): x \in X, n \in N\}$是$\aleph_0-sn $-网, 并且${\mathcal {B}}_x(n)= \cup \{B_x(n,m):m \in N\}$是可数集.

同样利用引理2.5的方法, 我们不难证明:

引理2.6 拓扑空间$X$是$\aleph_{0}$-$sn$-弱第一可数空间当且仅当它是度量空间的序列商映像且对任意的$x\in X$, $\partial f^{-1}(x)$是$\sigma$-紧集.

定理2.7 在序列空间$X$中下述条件等价:

(1) 空间$X$是$\aleph_{0}$-$sn$-度量空间;

(2) 存在从度量空间$M$到$X$可数对一、序列商、$\sigma$映射$f$;

(3) 存在从度量空间$M$到$X$可数对一、序列商、$\sigma$映射$f$使得对任意的$x\in X$, $\partial f^{-1}(x)$是$\sigma$-紧.

证 $(1)\Rightarrow(2)$令${\mathcal{P}}=\bigcup\{{\mathcal{P}}_x(n): x \in X\ , n\in N\}$是空间$X$的$\sigma$-局部有限的$\aleph_0$-$sn$-网.对每一个$m\in N$, ${\mathcal{P}}_x(n)$=$\{P_x(n,m):m\in N\}$有$P_x(n,m+1)\subset P_x(n,m)$.对每一个$n\in N$, 记${\mathcal{P}}=\bigcup\{{\mathcal{P}}_i: i\in N\}$, 其中对每一个$i\in N$, ${\mathcal{P}}_i$是局部有限集且${\mathcal{P}}_i \subset {\mathcal{P}}_{i+1}.$对每一个$x \in X,$选择$i(x,n,m)\in N$使得$P_x(n,m)\in {\mathcal{P}}_{i(x,n,m)}$且$i(x,n,m) < i(x,n,m+1). $当$i < i(x,n,1)$时, 取$B_x(n,m)=X; $当$i(x,n,m) \leq i < i(x,n,m+1)$时, 取

$B_x(n,m)=P_x(n,m),\\ {\mathcal{B}}_x(n)=\{B_x(n,i):i\in N\},\\ {\mathcal{B}}=\bigcup\{{\mathcal{B}}_x(n): x \in X\ , n\in N\},$

则对每一个$x \in X,n \in N$, 及$i\in N, {\mathcal{B}}$是空间$X$的$\aleph_0-sn$-网满足$B_x(n,i+1) \subset B_x(n,i)$且$ B_x(n,i) \in {\mathcal{P}}_i.$

再记${\mathcal{P}}_i$=$\{{B}_\alpha: \alpha \in I_i\}$.对每一个$i\in N$, 赋予$ I_i$离散拓扑, 根据文[5]拓扑空间中的两个子集族$\{{R}_n: n \in N\}$和$\{{Q}_m: n \in N\}$称为共尾的, 若对每一个$i\in N$, 存在$n_0\in N$及$m_0\in N$使得$R_{n_0+i}= Q_{n_0+i}.$令$ M=\{\alpha=(\alpha_{i})\in \prod\limits_{i\in N} I_{i}: $存在$x_{\alpha}\in X,n\in N$使得$\{B_{\alpha_{i}}:i\in N\}$共尾于$ \mathcal {B}_{x_{\alpha}}(n)$且$\{B_{\alpha_{i}}:i\in N\} $是$ x_\alpha\} $的网.定义$f:M \rightarrow X$如下$f(\alpha_i)=x_\alpha.$因为对每一个$n\in N,{\mathcal{B}}_x(n)$是点$x$的网, 则不难验证$f$定义合理且$f$是到上映射, 容易验证$M$是度量空间且$f$是连续的.因为每一个${\mathcal{P}}_i$是局部有限的, 故$f$是可数对一映射.

对每一个$i \in N$, $\alpha_i\in I_i$, 令$D(\alpha_1,\alpha_2,\cdot\cdot\cdot,\alpha_n)=\{\beta=(\beta_{i})\in M :\beta_i\in\alpha_i,i\leq n\}$和${\mathcal{D}}=\{D(\alpha_1,\alpha_2,\cdot\cdot\cdot,\alpha_n): \alpha_i \in I_i,i\leq n,n \in N\}$, 则容易证明${\mathcal{D}}$是空间$M$的基且$f(D(\alpha_1,\alpha_2,\cdot\cdot\cdot,\alpha_n))=\cap B_\alpha$.

我们将证明$f$是序列商映射.

令$\mathcal {B}=\cup\{\mathcal {B}_x(n):x\in X, n\in N\}$是$\aleph_{0}$-$sn$-网. $L$是$X$中收敛到点$x\not\in L$的序列.则对任意的$m\in N$, 存在$L$的子列$L'$及$n_{0}\in N$使得$L'$终留于$B_x(n_{0},m)$.对每一个$i\in N$取$\alpha_{i}\in I_{i}$使得$B_{\alpha_{i}}=B_x(n_{0},i)$.令$\alpha=(\alpha_{i})$, 则$\alpha\in M$.对每一个$k\in N$, 令$n_{k}=\min\{m\in N:x_{k}\not\in B_x(n_{0},m)\}$.按如下的方式定义$z_{k}=(\beta_{i}(k))\in \prod\limits_{i\in N} I_{i}$当$i<n_{k}$, 取$\beta_{i}(k)\in I_{i}$使得$B_{\beta_i(k)}=B_x(n_{0},i)$; 否则取$\beta_{i}(k)\in I_{i}$使得$B_{\beta_i(k)}=B_{x_{k}}(1,i-n_{k}+1)$.则$\{B_{\beta_{i}}(k):i\in N\}$共尾于$\mathcal {B}_{x_{k}}(1)$, 从而$z_{k}\in M$且$f(z_{k})=x_{k}$, 也就是说, 对每一个$i\in N$存在$k_{0}\in N$, 对任意的$k\geq k_{0}$有$x_{k}\in B_x(n_{0},i)$因为$L'$终留于$B_x(n_{0},i)$.当$k\geq k_{0}$及$i<n_{k}$, 由$n_{k}$的定义, 有$\beta_{i}(k)=\alpha_{i}$, 也就是说在离散空间$I_{i}$中$\{B_{\beta_{i}}(k):i\in N\}$收敛于$\alpha_{i}$, 因此$z_{k}$在$M$收敛于$\alpha$.因此, $f$是序列商映射.

$(2) \Rightarrow (3)$显然成立.

$(3) \Rightarrow (1)$由引理2.6知$X$是$\aleph_{0}$-$sn$-若第一可数空间, 又因为$X$是序列空间, 故由引理2.5知$f$是商映射, 因为度量空间的商、$\sigma$-像是$\aleph$-空间^[14], 再有引理2.2知$X$是$\aleph_{0}$-$sn$-度量空间.