1960年, Barlow和Hunter^[1]首先提出了一类基于失效率的最小维修模型, 并给出相应的维修策略.随后, Brown和Proschan在文献[10]中介绍了一类不完全维修模型, 并得到了相应维修策略.文献[11, 12]提出了一类基于几何过程的维修模型, 并分别研究了关于工作时间和失效次数的两种维修策略.对于带几何过程的预防维修策略, 已有较多研究, 如文献[3, 6-9]等.文献[3]基于系统失效次数 $N_1$研究了一带几何过程的预防维修策略, 假定预防维修修旧如新、失效维修修旧非新, 得到了其最优策略 $N_1^{*}$, 同时证明了有预防维修的最优策略 $N_1^{*}$是优于无预防维修的最优策略 $N^{*}$.紧接着, Wang和Zhang ^[8]研究了一带几何过程的两参数预防维修策略 $(L, N)$, $L$是相邻两预防维修的固定时间间隔, $N$是系统预防维修次数的上限, 假定预防维修修旧非新, 服从几何过程, 得到了相应平均费用表达式, 并通过一实例给出了最优维修策略 $(L, N)^*$.

对于单部件可修系统, 文献[2, 3, 8]都假定系统每隔固定时间进行预防维修.但在实际情况中常常需要考虑系统的可靠度, 即在工作过程中, 系统何时进行预防维修以可靠度下降到某个恰当值 $R$(称为基准可靠度)为依据, 因此相邻两次预防维修时间间隔不相同, 是逐渐缩短的.对于此类基于可靠度的预防维修策略, 只有较少结果, 如Wang和Zhang ^[9]在文献[3]的基础上研究了一类基于 $R$和 $N_1$(失效次数)的修旧如新的预防维修策略.事实上, 更多的预防维修是修旧非新的.由于修旧非新, 失效率呈现锯齿状, 其总趋势逐渐增大, 即系统的可靠度总趋势逐渐减小, 故障会越来越频繁, 因此需要对总的预防维修次数设定一个上限 $N$.本文在文献[8]的基础上研究了一类修旧非新的两参数预防维修策略 $(R, N)$, 并通过一实例说明本文的维修策略比文献[8]中的维修策略更优.

为了得到维修策略的相关可靠性指标及平均费用的表达式, 我们先给出相应的数学记号及模型假设.

定义2.1^{[4, 5]}  令 $\{X_n, \ n=1, 2, \cdots\}$是一列相互独立的非负随机变量, 其分布函数为 $F_n(t)=F(a^{n-1}t), \ a>0, \ n=1, 2, \cdots$, 则称 $\{X_n, \ n=1, 2, \cdots\}$是一几何过程.

若 $0<a<1$, 则称 $\{X_n, \ n=1, 2, \cdots\}$是随机递增, 即 $X_n<X_{n+1}, \ n=1, 2, \cdots$; $a>1$, 则称 $\{X_n, \ n=1, 2, \cdots\}$是随机递减, 即 $X_n>X_{n+1}, \ n=1, 2, \cdots$.特别地, $a=1$, 则 $\{X_n, \ n=1, 2, \cdots\}$是一更新过程.

定义2.2^[9]  令 $T_1$为系统开始工作到第一次更换的时间间隔, $T_n(n\geq2)$为第 $n-1$次更换与第 $n$次更换之间的时间间隔, 两个连续更换的时间间隔称为一个更新周期.

假设1  系统开始工作时是全新的, 系统采用预防维修和失效维修相结合的混合维修策略. $R$是系统预防维修的基准可靠度, 即在系统工作过程中, 当系统的可靠度降至 $R$时, 系统立即停止工作并进行预防维修, 且预防维修修旧非新.系统预防维修次数上限为 $N$, 即到第 $N+1$次预防维修时间时系统仍未失效, 则不再进行预防维修而用新系统将其更换; 若系统在 $N+1$次预防维修前已经失效, 则在失效时刻立即进行系统更换, 此时会产生失效损失.

假设2  系统第 $n-1$次预防维修后的工作时间为 $X_n$, 第 $n$次预防维修的时间为 $Y_n$.预防维修修旧非新, 服从几何过程, $X_n, Y_n, n=1, 2, \cdots$是独立的, 其分布函数分别为

$ \begin{eqnarray*} &&F_n(t)=F(a^{n-1}t), a\geq1, n=1, 2, \cdots;\\ &&G_n(t)=G(b^{n-1}t), 0<b\leq1, n=1, 2, \cdots. \end{eqnarray*} $

假设3  系统第 $n-1$次与第 $n$次预防维修的时间间隔为 $L_n$, 刚开始工作到第一次预防维修的时间间隔为 $L_1$; $c, c_w, c_p, \eta$分别为系统更换费用、单位时间工作报酬、单位时间预防维修费用、系统失效时的损失费用.

由假设1易得 $1-F(L_1)=1-F_n(L_n)=R$, 同时由假设2和定义2.1得 $F_n(L_n)=F(a^{n-1}L_n)$.进一步有

$ F(L_1)=F(a^{n-1}L_n), L_n=\frac{L_1}{a^{n-1}}. $

由于 $a\geq1$, 故 $L_n$是关于 $n$的递减函数, 即随着 $n$的增加, 相邻两预防维修的时间间隔将会越来越短, 符合实际.

若定义 $M$为系统失效前已预防维修的次数, 则 $M$为一随机变量, 且有 $M\leq N$.具体而言, $M\leq N$可分三种情况: $M<N$表示系统失效前已预防维修的次数小于 $N$; $M=N^-$表示系统失效前已预防维修的次数等于 $N$, 且在第 $N+1$次预防维修时间之前已失效; $M=N^+$表示系统失效前已预防维修的次数等于 $N$, 且在第 $N+1$次预防维修时间时还未失效.

据此, 通过计算可得一个更新周期(参见定义2.2) 内各靠性指标及平均费用表达式:

(1) 系统不进行预防维修的概率

$ P\{M=0\}=1-R. $

(3.1)

(2) 系统进行 $k$次预防维修的概率

$ P\{M=k\}= \begin{cases} R^k(1-R), &k<N;\\ R^N(1-R), &k=N^-;\\ R^{N+1}, &k=N^+. \end{cases} $

(3.2)

(3) 系统更换前的工作时间

$ T(R, N)= \begin{cases} \frac{a^M-1}{a^M-a^{M-1}}\times L_1+Z_{M+1}, &M<N;\\ \frac{a^N-1}{a^N-a^{N-1}}\times L_1+Z_{N+1}, &M=N^-;\\ \frac{a^{N+1}-1}{a^{N+1}-a^N}\times L_1, &M=N^+, \end{cases} $

(3.3)

其中 $Z_i$是一随机变量, 表示第 $i-1$次预防维修到系统失效(在第 $i-1$次预防维修后到第 $i$次预防维修前系统失效)这一时间间隔, 满足 $E(Z_i)=E(X_i|X_i<L_i)$.

(4) 总预防维修时间

$ S(R, N)= \begin{cases} Y_1+Y_2+\cdots+Y_M, &M<N;\\ Y_1+Y_2+\cdots+Y_N, &M=N^-;\\ Y_1+Y_2+\cdots+Y_N, &M=N^+. \end{cases} $

(3.4)

(5) 总费用函数

$ \begin{align} \Phi(R, N)=&[-c_w(\frac{a^M-1}{a^M-a^{M-1}}\times L_1+Z_{M+1})+c_p\sum\limits_{i=1}^MY_i+\eta]\cdot\chi_{\{M<N\}}\nonumber\\ &+[-c_w(\frac{a^N-1}{a^N-a^{N-1}}\times L_1+Z_{N+1})+c_p\sum\limits_{i=1}^NY_i+\eta]\cdot\chi_{\{M=N^-\}}\nonumber\\ &+[-c_w(\frac{a^{N+1}-1}{a^{N+1}-a^N}\times L_1)+c_p\sum\limits_{i=1}^NY_i]\cdot\chi_{\{M=N^+\}}+c, \end{align} $

(3.5)

其中 $\chi_{\{\cdot\}}$表示适性函数, 即

$ \chi_{\{M<N\}}= \begin{cases} 1, &M<N;\\ 0, &\text{其它}; \end{cases}~~ \chi_{\{M=N^-\}}= \begin{cases} 1, &M=N^-;\\ 0, &\text{其它}; \end{cases}~~ \chi_{\{M=N^+\}}= \begin{cases} 1, &M=N^+;\\ 0, &\text{其它}. \end{cases} $

(6) 系统更换前的工作时间的期望

$ \begin{align*} E[T(R, N)]=&E[E(T(R, N)|M)] =\sum\limits_{k=0}^NE[T(R, N)|M=k]P\{M=k\}\\ =&E[Z_1](1-R)+\sum\limits_{k=1}^{N-1}[\frac{a^k-1}{a^k-a^{k-1}}\cdot L_1 +E(Z_{k+1})]\cdot R^k(1-R)\\ &+[\frac{a^N-1}{a^N-a^{N-1}}\cdot L_1 +E(Z_{N+1})]\cdot R^N(1-R)+ \frac{a^{N+1}-1}{a^{N+1}-a^N}L_1R^{N+1}\\ =&\sum\limits_{k=1}^N[\frac{a^k-1}{a^k-a^{k-1}}\cdot L_1 +\frac{1}{F_{k+1}(L_{k+1})}\int_0^{L_{k+1}}tdF_{k+1}(t)]\cdot R^k(1-R)\\ &+\frac{1}{F(L_1)}\int_0^{L_1}tdF(t)(1-R)+ \frac{a^{N+1}-1}{a^{N+1}-a^N}L_1R^{N+1}\\ =&\sum\limits_{k=1}^N[\frac{a^k-1}{a^k-a^{k-1}}\cdot L_1 +\frac{1}{(1-R)a^k}\int_0^{L_1}tdF(t)]\cdot R^k(1-R)\\ &+\int_0^{L_1}tdF(t)+ \frac{a^{N+1}-1}{a^{N+1}-a^N}L_1R^{N+1}, \end{align*} $

(3.6)

其中

$ E(Z_i)=E(X_i|X_i<L_i)=\frac{1}{F(a^{i-1}L_i)}\int_0^{L_i}tdF_i(t)=\frac{1}{(1-R)a^{i-1}}\int_0^{L_1}tdF(t). $

(7) 总预防维修时间的期望

$ \begin{align*} E[S(R, N)]&=E[E(S(R, N)|M)] =\sum\limits_{k=0}^NE[S(R, N)|M=k]P\{M=k\}\\ &=\sum\limits_{k=1}^{N-1}\sum\limits_{i=1}^kE(Y_i)R^k(1-R)\\ &+\sum\limits_{i=1}^NE(Y_i)P\{M=N^-\} +\sum\limits_{i=1}^NE(Y_i)P\{M=N^+\}\\ &=\sum\limits_{k=1}^NR^k(1-R)\sum\limits_{i=1}^k\frac{\mu}{b^{i-1}}+\sum\limits_{i=1}^N\frac{\mu}{b^{i-1}}R^{N+1}, \end{align*} $

(3.7)

其中 $E(Y_1)=\mu$.

(8) 总费用的期望

$ \begin{eqnarray} E[\Phi(R, N)]&=&E[E(\Phi(R, N)|M)] =\sum\limits_{k=0}^NE[\Phi(R, N)|M=k]P\{M=k\}\nonumber\\&=&\{-c_wE[X_1|X_1<L_1]+E(\eta)\}F(L_1)+c_p\sum\limits_{k=1}^{N-1}\sum\limits_{i=1}^kE(Y_i)R^k(1-R)\nonumber\\ &&+\sum\limits_{k=1}^{N-1}[E(\eta)-c_w(\frac{(a^k-1)L_1}{a^k-a^{k-1}}\\ &&+E(X_{k+1}|X_{k+1}<\frac{L_1}{a^k}))]R^k(1-R)\nonumber\\ &&+[c_p\sum\limits_{i=1}^NE(Y_i)-c_w(\frac{(a^N-1)L_1}{a^N-a^{N-1}} +E(X_{N+1}|X_{N+1}<\frac{L_1}{a^N}))+E(\eta)]\nonumber\\ &&\times R^N(1-R)+[c_p\sum\limits_{k=1}^NE(Y_k)-c_w\frac{(a^{N+1}-1)L_1}{a^{N+1}-a^{N}}]R^{N+1}+c\nonumber\\ &=&-c_w[\sum\limits_{k=1}^N(\frac{a^k-1}{a^k-a^{k-1}}\cdot L_1+\frac{1}{(1-R)a^k}\int_0^{L_1}xdF(x))R^k(1-R)]\nonumber\\ &&-c_w\int_0^{L_1}xdF(x) +E(\eta)F(L_1)+\sum\limits_{k=1}^N(c_p\sum\limits_{i=1}^k\frac{\mu}{b^{i-1}}\\ &&+E(\eta))R^k(1-R)\nonumber\\ &&-c_w\frac{a^{N+1}-1}{a^{N+1}-a^N}L_1\cdot R^{N+1}+c_p\sum\limits_{k=1}^N\frac{\mu}{b^{k-1}}R^{N+1}+c. \end{eqnarray} $

(3.8)

(9) 由更新报酬定理^{[4, 5]}可得系统经长期运行单位时间内的平均费用:

$ \begin{align} C(R, N)&=\frac{E(C_T)}{E(L_T)}\nonumber\\ &=\frac{E[\Phi(R, N)]}{E[T(R, N)]+E[S(R, N)]}\nonumber\\ &=\frac{-c_w\varphi_1+c_p\varphi_2+(E\eta)\varphi_3+c}{\varphi_1+\varphi_2}, \end{align} $

(3.9)

其中 $C_T$表示一个更新周期内的花费, $L_T$表示一个更新周期的长度, $\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3$分别满足下列各式:

$ \begin{align} \varphi_1=&\sum\limits_{k=1}^N(\frac{a^k-1}{a^k-a^{k-1}}\cdot L_1+\frac{1}{(1-R)a^k}\int_0^{L_1}xdF(x))R^k(1-R)\nonumber\\ &+\int_0^{L_1}xdF(x)+\frac{a^{N+1}-1}{a^{N+1}-a^N}\cdot L_1R^{N+1}, \end{align} $

(3.10)

$ \begin{align} \varphi_2=&\sum\limits_{k=1}^N[R^k(1-R)\sum\limits_{i=1}^k\frac{\mu}{b^{i-1}}] +\sum\limits_{i=1}^N\frac{\mu}{b^{i-1}}R^{N+1}, \end{align} $

(3.11)

$ \begin{align} \varphi_3=&F(L_1)+\sum\limits_{k=1}^NR^k(1-R). \end{align} $

(3.12)

我们将在这小节讨论上述维修策略的最优策略, 即寻找(3.9) 式的最小值点.另一方面, 我们注意到(3.9) 式关于 $N$的最小值点是一个整数规划问题, 关于 $R$的最小值点是一个非线性优化问题.因此要获得精确的解析解几乎是不可能的.文中采用图像化的搜索方法, 寻求尽可能准确的数值解, 这也是类似问题通行的解决方案, 详见文献[8, 9].最后, 本文通过一具体例子说明了对应维修策略的确定(即确定相应的 $R$和 $N$)过程, 表明了方法是可行的.

假定 $X_n$服从韦布尔分布, 即

$ \begin{eqnarray} F_n(t)=F(a^{n-1}t)=1-\exp[-(\frac{a^{n-1}t}{\beta})^\alpha]. \end{eqnarray} $

(4.1)

令 $a=1.1, b=0.95, \mu=8, E\eta=10000, c_p=5, c_w=35, c=2000, \beta=1000, \alpha=2$, 代入(3.9)-(3.12) 式得

$ \begin{eqnarray} C(R, N)&=&\frac{-35\varphi_1+5\varphi_2+10000\varphi_3+2000}{\varphi_1+\varphi_2}, \end{eqnarray} $

(4.2)

$ \begin{eqnarray} \varphi_1&=&\int_0^{L_1}e^{-(\frac{t}{1000})^2}dt+ \sum\limits_{k=1}^N\frac{1}{1.1^k}e^{-k(\frac{L}{1000})^2}\int_0^{L_1}e^{-(\frac{t}{1000})^2}dt, \end{eqnarray} $

(4.3)

$ \begin{eqnarray} \varphi_2&=&\sum\limits_{k=1}^N\sum\limits_{i=1}^k\frac{8}{0.95^{i-1}}e^{-k(\frac{L_1}{1000})^2}-\sum\limits_{k=1}^{N-1}\sum\limits_{i=1}^k\frac{8}{0.95^{i-1}}e^{-(k+1)(\frac{L_1}{1000})^2}, \end{eqnarray} $

(4.4)

$ \begin{eqnarray} \varphi_3&=&1+\sum\limits_{k=2}^Ne^{-k(\frac{L_1}{1000})^2} -\sum\limits_{k=1}^Ne^{-(k+1)(\frac{L_1}{1000})^2}. \end{eqnarray} $

(4.5)

通过MATLAB编程与画图, 分别得到了本文预防维修策略 $(R, N)$下的最小费用、最优策略, 具体见图 1、表 1.

本文的最优策略 $(R, N)^*=(0.9440, 5)$, 即最小费用: $C(0.9440, 5)=-28.8001$.

将上述数据代入文献[8]的预防维修策略, 得到了其最优策略为 $(L, N)^*=(210, 4)$, 即最小费用: $C(210, 4)=-28.6648$, 具体如表 2.

由表 2可知在相同数据情况下文献[8]最小费用为 $C(210, 4)=-28.6648$.然而本文最小费用为 $C(0.9440, 5)=-28.8001$, 故本文的维修策略优于文献[8].