在许多实际问题中, 例如物理、化学、气象、地质及生物等领域会遇到大量的非线性奇异摄动问题.近年来, 关于对流扩散奇异摄动问题和一维奇异摄动问题, 已有了较多的研究成果, 如文献[1, 3]等.而相对来说, 二维奇异摄动问题方面的研究成果较少.如文献[4]考虑了一类椭圆型奇异摄动问题, 证明了该问题的解可分解为四部分, 并给出了每部分解的导数界.文献[5]和文献[6]在层适应网格上, 运用有限元方法分析二维奇异摄动问题, 给出了数值解的误差界.另外, 文献[7]考虑了一类含两个小参数的二维问题, 给出了解的一种分解形式.

我们考虑一类椭圆型奇异摄动对流扩散问题:

$ \begin{equation}\label{4.1} \left\{ \begin{aligned} &Lu:=-\varepsilon (\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2u}{\partial y^2})+b_1(x, y)\frac{\partial u}{\partial x}+b_2(x, y)\frac{\partial u}{\partial y}+c(x, y)u\\& \hspace{0.25in}=f(x, y), \ \ \ (x, y)\in \Omega=(0, 1)^2, \\&u|_\Gamma=g(x, y), \ \ \ \Gamma=\partial\Omega, \end{aligned} \right.\end{equation} $

(1.1)

其中 $\varepsilon$是一个常数, 满足 $0<\varepsilon\ll 1$.系数 $b_1$、 $b_2$、 $c$、 $f$充分光滑, 且存在常数 $\beta_1$、 $\beta_2$使得 $b_1(x, y)\geq2\beta_1> 0$, $b_2(x, y)\geq2\beta_2> 0$, $c(x, y)\geq 0$.

对于问题(1.1) 的一种特殊形式, 文献[5]用有限元方法得到的数值解非一致收敛于真解.而我们构造了问题(1.1) 的差分格式, 在Bakhvalov-Shishkin网格(简称B-S网格, 见文献[2])上分析问题, 通过构造网格函数并利用比较定理(见文献[1])等证明了数值解一致一阶收敛于真解.最后, 我们通过数值实验验证了理论结果.文中 $C$在不同处可代表不同的常数.

设 $N$为整数, 我们首先在网格 $W_{N, N}=\{(x_i, y_j)|0=x_0<x_1<\cdot\cdot\cdot<x_N=1, ~0=y_0<y_1<\cdots<y_N=1 \}$上考虑问题(1.1).

记 $h_{x, i}=x_i-x_{i-1}, ~\hbar_{x, i}=(h_{x, i}+h_{x, i+1})/2, $ $h_{y, j}=y_j-y_{j-1}, ~\hbar_{y, j}=(h_{y, j}+h_{y, j+1})/2, $对任意函数 $v(x, y)$定义

$ \begin{eqnarray*}&& D_xv_{ij}=\frac{v_{ij}-v_{i-1, j}}{h_{x, i}}, ~ \delta^2_{xx}v_{ij}=\frac{D_xv_{i+1, j}-D_xv_{ij}}{\hbar_{x, i}}, \\ && D_yv_{ij}=\frac{v_{ij}-v_{i, j-1}}{h_{y, j}}, ~ \delta^2_{yy}v_{ij}=\frac{D_yv_{i, j+1}-D_yv_{ij}}{\hbar_{y, j}}, \end{eqnarray*} $

其中 $v_{ij}=v(x_i, y_j)$.则可构造问题(1.1) 的差分格式如下:

$ \begin{equation}\label{4.6}\left\{ \begin{aligned}&L^{N, N}u_{ij}^{N, N}:=-\varepsilon (\delta^2_{xx}u_{ij}^{N, N} +\delta^2_{yy}u_{ij}^{N, N})+b_{1, ij}D_xu_{ij}^{N, N}+b_{2, ij}D_yu_{ij}^{N, N} +c_{ij}u_{ij}^{N, N}\\&\hspace{0.52in}\ \ \ =f_{ij}~~(1\leq i\leq N-1, 1\leq j\leq N-1), \\&u_{0j}^{N, N}=g_{0j}, ~ u_{Nj}^{N, N}=g_{Nj}, ~u_{i0}^{N, N}=g_{i0}, ~ u_{iN}^{N, N}=g_{iN}, \end{aligned} \right.\end{equation} $

(2.1)

其中 $b_{1, ij}={b_1}(x_i, y_j), ~b_{2, ij}={b_2}(x_i, y_j), ~ c_{ij}=c(x_i, y_j), ~f_{ij}=f(x_i, y_j), ~g_{ij}=g(x_i, y_j)$.我们将差分格式(2.1) 求得的解 $u_{ij}^{N, N}$作为问题(1.1) 的数值解.

由文献[4]和文献[5], 我们有以下引理.

引理2.1  设系数 $b_1$、 $b_2$、 $f$满足一定的光滑性条件, 则问题(1.1) 的解可以分解为 $u=E+E_1+E_2+E_3$, 且有

$ \begin{eqnarray*}&& \left|\frac{\partial^{i+j}E}{\partial x^i\partial y^j}\right|\leq C, ~~ \left|\frac{\partial^{i+j}E_1}{\partial x^i\partial y^j}\right|\leq C\varepsilon^{-i}e^{-\beta_1 (1-x)/\varepsilon}, \\ && \left|\frac{\partial^{i+j}E_2}{\partial x^i\partial y^j}\right|\leq C\varepsilon^{-j}e^{-\beta_2 (1-y)/\varepsilon}, ~~ \left|\frac{\partial^{i+j}E_3}{\partial x^i\partial y^j}\right|\leq C\varepsilon^{-(i+j)}e^{-(\beta_1 (1-x)+\beta_2 (1-y))/\varepsilon}, \end{eqnarray*} $

其中 $0\leq i\leq 2, ~0\leq j\leq 2$, 并且对所有的 $(x, y)\in\Omega$, 有

$ \begin{eqnarray*}&& \left|LE_1(x, y)\right|\leq C\varepsilon e^{-\beta_1 (1-x)/\varepsilon}, \\ && \left|LE_2(x, y)\right|\leq C\varepsilon e^{-\beta_2 (1-y)/\varepsilon}, \left|LE_3(x, y)\right|\leq C\varepsilon e^{-(\beta_1 (1-x)+\beta_2 (1-y))/\varepsilon}.\end{eqnarray*} $

引理2.2  设 $u$的三阶偏导存在, 则

$ \begin{eqnarray*}&& |(L^{N, N}u)_{ij}-(Lu)_{ij}| \leq C(\varepsilon \int_{x_{i-1}}^{x_{i+1}} \left|\frac{\partial^3u(x, y_j)}{\partial x^3}\right|dx\\&& +\int_{x_{i-1}}^{x_{i}}\left|\frac{\partial^2u(x, y_j)}{\partial x^2}\right|dx+\varepsilon \int_{y_{j-1}}^{y_{j+1}} \left|\frac{\partial^3u(x_i, y)}{\partial y^3}\right|dy +\int_{y_{j-1}}^{y_{j}}\left|\frac{\partial^2u(x_i, y)}{\partial y^2}\right|dy).\end{eqnarray*} $

证  由定义, 有

$ \begin{eqnarray*} (L^{N, N}u)_{ij}-(Lu)_{ij}&=&[-\varepsilon (\delta^2_{xx}u_{ij} +\delta^2_{yy}u_{ij})+b_{1, ij}D_xu_{ij}+b_{2, ij}D_yu_{ij} +c_{ij}u_{ij}]\\&&-[-\varepsilon (\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2u}{\partial y^2})+b_1(x, y)\frac{\partial u}{\partial x}+b_2(x, y)\frac{\partial u}{\partial y}+c(x, y)u]_{ij} \\&=&-\varepsilon(\delta^2_{xx}u_{ij}-(\frac{\partial^2u}{\partial x^2})_{ij}) +b_{1, ij}(D_xu_{ij}-(\frac{\partial u}{\partial x})_{ij})\\&&- \varepsilon(\delta^2_{yy}u_{ij}-(\frac{\partial^2u}{\partial y^2})_{ij}) +b_{2, ij}(D_yu_{ij}-(\frac{\partial u}{\partial y})_{ij}), \end{eqnarray*} $

再由文献[1]引理2易知结论成立.证毕.

设 $N$为偶数, $\tau_1 =\sigma \varepsilon\ln N/\beta_1$, $\tau_2 =\sigma \varepsilon\ln N/\beta_2$, 其中 $\sigma$为与 $\varepsilon$和 $N$无关的正常数, 且 $\sigma\geq1$.我们将区域 $\Omega$分解为四个子区域 $\Omega=\Omega_{11} \cup\Omega_{12}\cup\Omega_{21}\cup\Omega_{22}$, 其中

$ \begin{eqnarray*}&& \Omega_{11}=[0, 1-\tau_1]\times[0, 1-\tau_2], ~\Omega_{12}=[0, 1-\tau_1]\times[1-\tau_2, 1], \\ && \Omega_{21}=[1-\tau_1, 1]\times[0, 1-\tau_2], ~\Omega_{12}=[1-\tau_1, 1]\times[1-\tau_2, 1].\end{eqnarray*} $

我们将一维的B-S网格(见文献[2])扩展到二维, 网格生成函数为

$ \begin{equation} x(\xi)=\left\{ \begin{array}{l} 2(1-\dfrac{\sigma\varepsilon}{\beta_1}\ln N)\xi, \ &\xi\in [0, 1/2], \\ 1+\dfrac{\varepsilon }{\beta_1}\ln[1-2(1-N^{-\sigma})(1-\xi)], \ ~~~&\xi\in [1/2, 1], \end{array} \right.\label{bs2_x}\end{equation} $

(2.2)

$\begin{equation} y(\xi)=\left\{ \begin{array}{l} 2(1-\dfrac{\sigma\varepsilon}{\beta_2}\ln N)\xi, \ &\xi&\in [0, 1/2], \\ 1+\dfrac{\varepsilon }{\beta_2}\ln[1-2(1-N^{-\sigma})(1-\xi)], \ ~~~&\xi&\in [1/2, 1]. \end{array} \right.\label{bs2_y}\end{equation} $

(2.3)

由网格生成函数, 得到以下的网格分布:

$ \begin{equation} x_i=\left\{ \begin{array}{l} 2(1-\dfrac{\sigma\varepsilon}{\beta_1}\ln N)\dfrac{i}{N}, &\ i=0, 1, \cdot\cdot\cdot, N/2, \\ 1+\dfrac{\varepsilon }{\beta_1}\ln[1-2(1-N^{-\sigma})(1-\dfrac{i}{N})], &\ i=N/2+1, \cdots, N, \end{array} \right.\label{4.8}\end{equation} $

(2.4)

$ \begin{equation} y_j=\left\{ \begin{array}{l} 2(1-\dfrac{\sigma\varepsilon}{\beta_2}\ln N)\dfrac{j}{N}, \ &j=0, 1, \cdot\cdot\cdot, N/2, \\ 1+\dfrac{\varepsilon }{\beta_2}\ln[1-2(1-N^{-\sigma})(1-\dfrac{j}{N})], \ &j=N/2+1, \cdot\cdot\cdot, N. \end{array} \right.\label{4.9}\end{equation} $

(2.5)

引理2.3  当 $i=1, 2, \cdot\cdot\cdot, N/2$时, $h_{x, i}\leq 2N^{-1}, ~h_{x, \frac{N}{2}+i}\leq \dfrac{2\varepsilon}{i\beta_1}\leq CN^{-1}$.当 $j=1, 2, \cdot\cdot\cdot, N/2$时, $h_{y, j}\leq 2N^{-1}, ~h_{y, \frac{N}{2}+j}\leq \dfrac{2\varepsilon}{j\beta_2}\leq CN^{-1}$.

证  由文献[2]引理1即得.

引理2.4  定义网格函数 $S_{ij}=\hat{S}_i\bar{S}_j$, 其中 $\hat{S}_0=\bar{S}_0=1$, $\hat{S}_i=\prod\limits_{k=1}^{i}(1+\dfrac{\beta_1 h_{x, k}}{\varepsilon}), ~i=1, 2, \cdot\cdot\cdot, N$, $\bar{S}_j=\prod\limits_{k=1}^{j}(1+\dfrac{\beta_2 h_{y, k}}{\varepsilon}), ~j=1, 2, \cdot\cdot\cdot, N, $则

$ \begin{eqnarray} L^{N, N}\hat{S}_i\geq \dfrac{C}{\varepsilon}\hat{S}_{i-1}, ~~i=1, 2, \cdots, N; ~~~L^{N, N}\bar{S}_j\geq \dfrac{C}{\varepsilon}\bar{S}_{j-1}, ~~j=1, 2, \cdots, N; \label{j}\end{eqnarray} $

(2.6)

$ \begin{eqnarray}L^{N, N}S_{ij}\geq \dfrac{C}{\varepsilon^2}S_{i-1, j-1}, ~~ ~i=1, 2, \cdot\cdot\cdot, N, ~j=1, 2, \cdots, N.\label{ij}\end{eqnarray} $

(2.7)

证  由文献[1]引理5, 易知(2.6) 式成立.

由差分定义知, $D_x\hat{S}_i=\dfrac{\beta_1}{\varepsilon}\hat{S}_{i-1}$, $\delta^2_{xx}\hat{S}_i=\dfrac{\beta_1^2h_{x, i}}{\varepsilon^2\hbar_{x, i}}\hat{S}_{i-1}$, 从而必然存在常数 $0<\rho_1<1$, 使得 $\delta^2_{xx}\hat{S}_i \leq\dfrac{2\beta_1^2\rho_1}{\varepsilon^2}\hat{S}_{i-1}$.同理有 $D_y\bar{S}_j=\dfrac{\beta_2}{\varepsilon}\bar{S}_{j-1}$, 且存在常数 $0<\rho_2<1$, 使得 $\delta^2_{yy}\bar{S}_j \leq\dfrac{2\beta_2^2\rho_2}{\varepsilon^2}\bar{S}_{j-1}$.又由 $\hat{S}_i$和 $\bar{S}_j$定义, 有 $\hat{S}_i=\dfrac{C}{\varepsilon}\hat{S}_{i-1}$, $\bar{S}_j=\dfrac{C}{\varepsilon}\bar{S}_{j-1}$.再由条件 $b_1(x, y)\geq2\beta_1> 0$, $b_2(x, y)\geq2\beta_2> 0$, $c(x, y)\geq 0$和算子 $L^{N, N}$定义有

$ \begin{eqnarray*} L^{N, N}S_{ij}&\geq&-\varepsilon(\bar{S}_j\dfrac{2\beta_1^2\rho_1}{\varepsilon^2}\hat{S}_{i-1} +\hat{S}_i\dfrac{2\beta_2^2\rho_2}{\varepsilon^2}\bar{S}_{j-1}) +2\beta_1\bar{S}_j\dfrac{\beta_1}{\varepsilon}\hat{S}_{i-1} +2\beta_2\hat{S}_i\dfrac{\beta_2}{\varepsilon}\bar{S}_{j-1} \\ &\geq&\dfrac{C}{\varepsilon^2}S_{i-1, j-1}~~(i=1, 2, \cdots, N, ~j=1, 2, \cdots, N). \end{eqnarray*} $

证毕.

本节我们将证明差分格式(2.1) 在网格(2.4)-(2.5) 上求得的数值解一致一阶收敛于真解.由引理2.1知, 问题(1.1) 的解可以分解为四部分.同样, 差分格式(2.1) 的解也可以分为相应的四部分, 则有 $u^{N, N}_{ij}=E^{N, N}_{ij}+E_{1, ij}^{N, N}+E_{2, ij}^{N, N}+E_{3, ij}^{N, N}$, 并且

$ \begin{eqnarray}L^{N, N}E^{N, N}_{ij}=(LE)_{ij}, ~L^{N, N}E_{1, ij}^{N, N}=(LE_1)_{ij}, \label{4.50}\end{eqnarray} $

(3.1)

$ \begin{eqnarray} L^{N, N}E_{2, ij}^{N, N}=(LE_2)_{ij}, ~L^{N, N}E_{3, ij}^{N, N}=(LE_3)_{ij}, \label{4.51}\end{eqnarray} $

(3.2)

这里 $E^{N, N}_{ij}$、 $E_{1, ij}^{N, N}$、 $E_{2, ij}^{N, N}$、 $E_{3, ij}^{N, N}$分别与 $E$、 $E_1$、 $E_2$、 $E_3$具有相同的边界条件.易知

$ \begin{eqnarray}|u(x_i, y_j)-u^{N, N}_{ij}|&\leq&|E(x_i, y_j)-E^{N, N}_{ij}| +|E_1(x_i, y_j)-E_{1, ij}^{N, N}|\nonumber\\&&+|{E_2}(x_i, y_j)-E_{2, ij}^{N, N}| +|{E_3}(x_i, y_j)-E_{3, ij}^{N, N}|. \label{4.52}\end{eqnarray} $

(3.3)

下面我们分别估计这四部分的误差.

定理3.1  光滑部分 $E$误差满足

$ \begin{equation}|E(x_i, y_j)-E^{N, N}_{ij}|\leq CN^{-1}, ~(x_i, y_j)\in\Omega.\label{4.21}\end{equation} $

(3.4)

证  由引理2.1和引理2.2, 有

$ \begin{eqnarray*}|L^{N, N}(E(x_i, y_j)-E^{N, N}_{ij})|&=&|(L^{N, N})E(x_i, y_j)-(L E)_{ij})|\\ &\leq&C[\varepsilon(h_{x, i}+h_{x, i+1}+h_{y, j}+h_{y, j+1})+h_{x, i}+h_{y, j}]\\ &\leq&C H, \end{eqnarray*} $

其中 $H=\max\{\max\limits_i h_{x, i}, \max\limits_j h_{y, j}\}$.

取 $q_i=\dfrac{C H}{2\beta_1}x_i$, 则有 $|L^{N, N}(E(x_i, y_j)-E^{N, N}_{ij})|\leq C H\leq L^{N, N}q_i.$由比较定理得 $|E(x_i, y_j)-E^{N, N}_{ij}|\leq q_i\leq C H.$又由引理2.3, 有 $H\leq CN^{-1}$, 从而有 $|E(x_i, y_j)-E^{N, N}_{ij}|\leq C N^{-1}.$证毕.

定理3.2   $E_1$部分误差满足

$ \begin{equation}|E_1(x_i, y_j)-E_{1, ij}^{N, N}|\leq CN^{-1}(1+\varepsilon), ~(x_i, y_j)\in\Omega.\label{4.22}\end{equation} $

(3.5)

证  将区域 $\Omega$分成 $\Omega_{11} \cup\Omega_{12}$和 $\Omega_{21}\cup\Omega_{22}$两部分来证明.首先考虑 $\Omega_{11} \cup\Omega_{12}$部分, 此时 $i=1, 2, \cdots, N/2, ~ j=1, 2, \cdots, N-1$.由(3.1) 式以及引理2.1、引理2.4有

$ \begin{eqnarray*}|L^{N, N}E_{1, ij}^{N, N}|&=&|LE_1(x_i, y_j)|\leq C\varepsilon e^{-\beta_1 (1-x_i)/\varepsilon} \leq C\varepsilon \prod\limits_{k=1}^{N}(1+ \dfrac{\beta_1h_{x, k}}{\varepsilon})^{-1}\hat{S}_i\\ &\leq&C\varepsilon^2\prod\limits_{k=1}^{N}(1+\dfrac{\beta_1 h_{x, k}}{\varepsilon})^{-1}L^{N, N}\hat{S}_{i+1} \leq C\prod\limits_{k=1}^{N}(1+\dfrac{\beta_1 h_{x, k}}{\varepsilon})^{-1}L^{N, N}\hat{S}_{i+1}. \end{eqnarray*} $

由比较定理, 有 $|E_{1, ij}^{N, N}|\leq C\prod\limits_{k=i+2}^{N}(1+\dfrac{\beta_1 h_{x, k}}{\varepsilon})^{-1}.$又由引理2.1, 有

$ |E_1(x_i, y_j)|\leq Ce^{-\beta_1 (1-x_i)/\varepsilon} < C\prod\limits_{k=i+2}^{N}(1+\dfrac{\beta_1 h_{x, k}}{\varepsilon})^{-1}. $

因此, 当 $(x_i, y_j)\in\Omega_{11} \cup\Omega_{12}$时,

$ \begin{equation}|E_1(x_i, y_j)-E_{1, ij}^{N, N}| \leq C\prod\limits_{k=i+2}^{N}(1+\dfrac{\beta_1 h_{x, k}}{\varepsilon})^{-1} \leq C\prod\limits_{k=N/2+2}^{N}(1+\dfrac{\beta_1 h_{x, k}}{\varepsilon})^{-1}.\label{4.24}\end{equation} $

(3.6)

再由引理2.3, 有

$ \begin{eqnarray}\ln [\prod\limits_{k=\frac{N}{2}+2}^{N}(1+\dfrac{\beta_1 h_{x, k}}{\varepsilon})]&=&\sum\limits_{k=\frac{N}{2}+2}^{N}\ln(1+\dfrac{\beta_1 h_{x, k}}{\varepsilon}) \geq \sum\limits_{k=\frac{N}{2}+2}^{N}[\frac{\beta_1 h_{x, k}}{\varepsilon}-\frac{1}{2}(\frac{\beta_1 h_{x, k}}{\varepsilon})^2]\nonumber\\ &\geq&\frac{\beta_1}{\varepsilon}-\frac{1}{2} \sum\limits_{k=\frac{N}{2}+2}^{N}(\frac{2}{k})^2 \geq \sigma \ln N-C.\label{3.53} \end{eqnarray} $

(3.7)

由 $\sigma \geq 1$, 有 $\prod\limits_{k=N/2+2}^{N}(1+\dfrac{\beta_1 h_{x, k}}{\varepsilon})^{-1}\leq CN^{-1}$, 所以

$ \begin{equation}|E_1(x_i, y_j)-E_{1, ij}^{N, N}| \leq CN^{-1}, ~(x_i, y_j)\in\Omega_{11} \cup\Omega_{12}.\label{4.25}\end{equation} $

(3.8)

下面考虑 $\Omega_{21}\cup\Omega_{22}$区域, 此时 $i=N/2+1, \cdots, N-1, ~j=1, 2, \cdots, N-1$.由引理2.1至引理2.4以及网格函数(2.2) 和网格分布(2.4), 有

$ \begin{eqnarray*}& &|L^{N, N}(E_1(x_i, y_j)-E_{1, ij}^{N, N})|\\ &=& |(L^{N, N}){E_1}(x_i, y_j)-(L {E_1})_{ij})| \leq C(\varepsilon^{-2}\int_{x_{i-1}}^{x_{i+1}}e^{-\beta_1 (1-x)/\varepsilon} dx+\int_{y_{j-1}}^{y_{j+1}}e^{-\beta_1 (1-x_i)/\varepsilon}dy)\\ &\leq & C(\varepsilon^{-1}\int_{\xi_{i-1}}^{\xi_{i+1}}e^{-\beta_1 (1-x(\xi))/\varepsilon} d\xi+\int_{y_{j-1}}^{y_{j+1}}e^{-\beta_1 (1-x_i)/\varepsilon}dy)\\& \leq& C\varepsilon^{-1}N^{-1}e^{-\beta_1 (1-x_i)/\varepsilon}+N^{-1}e^{-\beta_1 (1-x_i)/\varepsilon}\\& \leq & CN^{-1}(\varepsilon^{-1}+1)\prod\limits_{k=1}^{N}(1+\dfrac{\beta_1 h_{x, k}}{\varepsilon})^{-1}\hat{S}_i \leq CN^{-1}(1+\varepsilon)\prod\limits_{k=1}^{N}(1+\dfrac{\beta_1 h_{x, k}}{\varepsilon})^{-1}L^{N, N}\hat{S}_{i+1}. \end{eqnarray*} $

由比较定理, 当 $(x_i, y_j)\in\Omega_{21}\cup\Omega_{22}$时有

$ \begin{equation}|E_1(x_i, y_j)-E_{1, ij}^{N, N}|\leq CN^{-1}(1+\varepsilon)\prod\limits_{k=1}^{N}(1+\dfrac{\beta_1 h_{x, k}}{\varepsilon})^{-1}\hat{S}_{i+1}\leq CN^{-1}(1+\varepsilon).\label{4.26}\end{equation} $

(3.9)

因此, 由(3.8) 和(3.9) 式有(3.5) 式成立.证毕.

定理3.3   $E_2$部分误差满足

$ \begin{equation}|E_2(x_i, y_j)-E_{2, ij}^{N, N}|\leq CN^{-1}(1+\varepsilon), ~(x_i, y_j)\in\Omega.\label{4.27}\end{equation} $

(3.10)

证  将区域 $\Omega$分成两部分 $\Omega_{11} \cup\Omega_{21}$和 $\Omega_{12} \cup\Omega_{22}$来证明, 方法与定理3.2证明方法类似.略.

定理3.4   $E_3$部分误差满足

$ \begin{equation}|E_3(x_i, y_j)-E_{3, ij}^{N, N}|\leq CN^{-1}(1+\varepsilon), ~(x_i, y_j)\in\Omega.\label{4.28}\end{equation} $

(3.11)

证  同样的, 我们将区域 $\Omega$分成 $\Omega_{11} \cup\Omega_{12}$和 $\Omega_{21}\cup\Omega_{22}$两部分来证明.首先考虑 $\Omega_{11} \cup\Omega_{12}$部分, 此时 $i=1, 2, \cdot\cdot\cdot, N/2, ~ j=1, 2, \cdot\cdot\cdot, N-1$.由(3.2) 式、引理2.1、引理2.4以及定理3.2证明过程有

$ \begin{eqnarray*}|L^{N, N}E_{3, ij}^{N, N}|&=&|LE_3(x_i, y_j)| \leq C\varepsilon e^{-(\beta_1 (1-x_i)+\beta_2 (1-y_j))/\varepsilon}\\& \leq &C\varepsilon e^{-\beta_1 (1-x_i)/\varepsilon} \leq C\prod\limits_{k=1}^{N}(1+\dfrac{\beta_1 h_{x, k}}{\varepsilon})^{-1}L^{N, N}\hat{S}_i. \end{eqnarray*} $

由比较定理, 有 $|E_{3, ij}^{N, N}|\leq C\prod\limits_{k=i+1}^{N}(1+\dfrac{\beta_1 h_{x, k}}{\varepsilon})^{-1}.$又由引理2.1, 有

$ |E_3(x_i, y_j)|\leq Ce^{-(\beta_1 (1-x_i)+\beta_2 (1-y_j))/\varepsilon}\nonumber\leq C e^{-\beta_1 (1-x_i)/\varepsilon}\nonumber\leq C\prod\limits_{k=i+1}^{N}(1+\dfrac{\beta_1 h_{x, k}}{\varepsilon})^{-1}. $

因此当 $(x_i, y_j)\in\Omega_{11} \cup\Omega_{12}$时, 由定理3.2证明过程有

$ \begin{equation}|E_3(x_i, y_j)-E_{3, ij}^{N, N}|\leq |E_3(x_i, y_j)|+|E_{3, ij}^{N, N}| \leq C\prod\limits_{k=i+1}^{N}(1+\dfrac{\beta_1 h_{x, k}}{\varepsilon})^{-1} \leq CN^{-1}.\label{4.32}\end{equation} $

(3.12)

下面考虑 $\Omega_{21}\cup\Omega_{22}$区域, 此时 $i=N/2+1, \cdot\cdot\cdot, N-1, ~j=1, 2, \cdot\cdot\cdot, N-1$.由引理2.1至引理2.4以及网格函数(2.2) 和网格分布(2.4), 有

$ \begin{eqnarray*}&&|L^{N, N}(E_3(x_i, y_j)-E_{3, ij}^{N, N})|\\ &=&|(L^{N, N}){E_3}(x_i, y_j)-(L {E_3})_{ij})|\\&\leq& C(\varepsilon^{-2}\int_{x_{i-1}}^{x_{i+1}}e^{-\beta_1 (1-x)/\varepsilon} e^{-\beta_2 (1-y_j)/\varepsilon}dx+\varepsilon^{-2}\int_{y_{j-1}}^{y_{j+1}}e^{-\beta_1 (1-x_i)/\varepsilon} e^{-\beta_2 (1-y)/\varepsilon}dy)\\ &\leq& C(\varepsilon^{-1}\int_{\xi_{i-1}}^{\xi_{i+1}}e^{-\beta_1 (1-x(\xi))/\varepsilon} e^{-\beta_2 (1-y_j)/\varepsilon}d\xi+\varepsilon^{-2}\int_{y_{j-1}}^{y_{j+1}}e^{-\beta_1 (1-x_i)/\varepsilon} e^{-\beta_2 (1-y)/\varepsilon}dy)\\ &\leq&C\varepsilon^{-2}N^{-1}(\varepsilon+1)e^{-\beta_1 (1-x_i)/\varepsilon}e^{-\beta_2 (1-y_j)/\varepsilon}\\ &\leq&C\varepsilon^{-2}N^{-1}(\varepsilon+1)\prod\limits_{k=1}^{N}[(1+\dfrac{\beta_1 h_{x, k}}{\varepsilon})^{-1}(1+\dfrac{\beta_2 h_{y, k}}{\varepsilon})^{-1}]S_{ij}\\&\leq& CN^{-1}(1+\varepsilon)\prod\limits_{k=1}^{N}[(1+\dfrac{\beta_1 h_{x, k}}{\varepsilon})^{-1}(1+\dfrac{\beta_2 h_{y, k}}{\varepsilon})^{-1}]L^{N, N}S_{i+1, j+1}. \end{eqnarray*} $

由比较定理, 当 $(x_i, y_j)\in\Omega_{21}\cup\Omega_{22}$时有

$ \begin{eqnarray}|E_3(x_i, y_j)-E_{3, ij}^{N, N}|&\leq& CN^{-1} (1+\varepsilon)\prod\limits_{k=1}^{N}[(1+\dfrac{\beta_1 h_{x, k}}{\varepsilon})^{-1}(1+\dfrac{\beta_2 h_{y, k}}{\varepsilon})^{-1}]S_{i+1, j+1}\nonumber\\&\leq& CN^{-1}(1+\varepsilon).\label{4.33}\end{eqnarray} $

(3.13)

因此由(3.12) 和(3.13) 式有(3.11) 式成立.证毕.

定理3.5  设 $u$是问题(1.1) 的解, $u^{N, N}_{ij}$是差分格式(2.1) 在网格(2.4)-(2.5) 上求得的数值解, 则有 $|u(x_i, y_j)-u^{N, N}_{ij}|\leq CN^{-1}(1+\varepsilon), ~(x_i, y_j)\in\Omega.$

证  由(3.3) 和定理3.1至定理3.4结论即得.证毕.

定理3.6  设 $u$是问题(1.1) 的解, $u^{N, N}_{ij}$是差分格式(2.1) 在网格(2.4)-(2.5) 上求得的数值解, 则 $u^{N, N}_{ij}$一致一阶收敛于 $u$, 且有 $|u(x_i, y_j)-u^{N, N}_{ij}|\leq CN^{-1}, ~(x_i, y_j)\in\Omega.$

证  由定理3.5结论以及 $\varepsilon\ll 1$即得.证毕.

推论3.1  若我们在网格 $\overline{W}_{N, M}=\{(x_i, y_j)|0=x_0<x_1<\cdot\cdot\cdot<x_N=1, ~0=y_0<y_1<\cdot\cdot\cdot<y_M=1 \}$上考虑问题(1.1), 其中 $x_i$和 $y_j$类似(2.4) 和(2.5) 定义, 算子 $L^{N, M}$由(2.1) 所定义的 $L^{N, N}$作相应改变, $u^{N, M}_{ij}$为 $L^{N, M}u^{N, M}_{ij}=f_{ij}, \ \ \ 1\leq i\leq N-1, ~ 1\leq j\leq M-1$的解, 则类似的有收敛性估计

$ |u(x_i, y_j)-u^{N, M}_{ij}|\leq C(N^{-1}+M^{-1}), ~(x_i, y_j)\in\Omega. $

我们用下面的算例来验证结论的正确性和方法的可行性.

例1

$ \begin{equation}\left\{ \begin{aligned} &-\varepsilon \triangle u+\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}=f(x, y), \\ &u|_\Gamma=g(x, y), ~~ \Gamma=\partial\Omega, \end{aligned} \right.\label{4.66}\end{equation} $

(4.1)

这里我们取 $f(x, y)$和 $g(x, y)$为满足解为 $u(x, y)=\frac{e^{\frac{x-1}{\varepsilon}}+e^{\frac{y-1}{\varepsilon}} -2e^{-\frac{1}{\varepsilon}}}{1-e^{-\frac{1}{\varepsilon}}}+\sin(x+y)$的函数.

对于算例(4.1), 我们在网格(2.4)-(2.5) 上按照(2.1) 式构造迎风差分格式, 网格函数中我们取 $\sigma=1, ~\beta_1=\beta_2=0.5$, 求出问题的数值解. 表 1和表 2列出了数值解与真解的最大误差和离散的 $l_2$误差.我们分别计算了当 $\varepsilon=10^{-4}, 10^{-5}, 10^{-7}, ~N=64, 128, 256$时的最大误差和离散的 $l_2$误差.

表中 $r$表示收敛率, 由 $r=\log_2(e_N/e_{2N})$计算得出, 这里 $e_N$和 $e_{2N}$分别对应于网格剖分数为 $N\times N$和 $2N\times2N$时的误差.由表中数据可看出, 当 $\varepsilon$极小时, 差分格式(2.1) 求得的数值解一致一阶收敛于真解, 结果非常稳定, 与定理3.6的结论一致.