在子流形几何中, 关于2 -调和子流形的研究是一个热门课题.按Eells和Lemaire ^[1]的设想, 姜国英研究了Riemann流形间的2 -调和的等距映射, 得出2 -调和的等距映射的充要条件^[2], 并进一步研究了Euclid空间中2 -调和等距浸入, 得到的一些不存在性定理^[3].伪黎曼流形在物理和数学上都具有重要的研究价值, 欧阳崇珍^[4]研究了伪黎曼空间型的2 -调和类空子流形, 给出2 -调和等距浸入的几个等价条件和2 -调和超曲面是极大的几个充分条件.孙弘安^[5]和钟定兴继续研究了伪黎曼空间型的2 -调和类空子流形, 给出这类子流形是全测地的一些充分条件.局部对称伪黎曼流形是伪黎曼空间型的推广, 宋卫东^[6]和江桔丽研究了局部对称伪黎曼流形中的2 -调和类空子流形, 得出一个积分不等式和一个Pinching定理.独力^[7]和张娟研究了伪黎曼空间型中的2 -调和类空子流形, 主要给出以下定理.

定理A  设 $M^n$是伪黎曼空间型 $N^{n+p}_{p}(c)(c\geq0)$中的伪脐2 -调和类空子流形, 则 $M^n$是极大的.

本文研究了一般伪黎曼流形中的2 -调和类空子流形, 推广了定理A, 得到以下几个结果.

定理1.1  设 $N^{n+p}_{p}$是 $n+p$维伪黎曼流形, 其截面曲率 $K_N$满足 $0<\delta\leq K_N\leq 1$, $M^n$是 $N^{n+p}_{p}$中2 -调和类空子流形, 若 $M^n$是伪脐的, 则 $M^n$是极大的.

推论1.1  设 $N^{n+p}_{p}$是 $n+p$维伪黎曼流形, 其截面曲率 $K_N$满足 $0<\delta\leq K_N\leq 1$, $M^n$是 $N^{n+p}_{p}$中 $n$维伪脐2 -调和类空子流形, 则 $M^n$是紧致的且其数量曲率 $R\geq n(n-1)\delta$, 等号成立当且仅当 $M^n$是全测地的.

定理1.2  设 $N^{n+p}_{p}$是 $n+p$维伪黎曼流形, 其截面曲率 $K_N$满足 $0<\delta\leq K_N\leq 1$, $M^n$是 $N^{n+p}_{p}$中2 -调和类空子流形, 若 $M^n$具有平行平均曲率向量, 则 $M^n$是极大的.

定理1.3  设 $N^{n+p}_{p}$是 $n+p$维伪黎曼流形, 其截面曲率 $K_N$满足 $0<\delta\leq K_N\leq 1$, $M^n$是 $N^{n+p}_{p}$中2 -调和类空子流形, 若 $M^n$是紧致的, 则 $M^n$是极大的.

定理1.4  设 $N^{n+p}_{p}$是 $n+p$维伪黎曼流形, 其截面曲率 $K_N$满足 $0<\delta\leq K_N\leq 1$, 若 $M^n$是 $N^{n+p}_{p}$中紧致的 $n$维2 -调和类空子流形, 则成立如下的积分公式

$ 0\geq \int_{M^n}\{\frac{1}{p}S^2+n\delta S-\frac{2}{3}(1-\delta)(p-1)\sqrt{n-1}S -\frac{1}{72}(26n-15)n(n-1)p(1-\delta)^2\}^*1, $

其中 $S$是 $M^n$第二基本形式模长平方.

本文采用下面的指标约定:

$ 1\leq A, B, C, \cdots\leq n+p, \ 1\leq i, j, k, \cdots\leq n, \ n+1\leq \alpha, \beta, \gamma, \cdots\leq n+p, $

且重复指标在相应指标范围内求和.在 $N^{n+p}_{p}$上选取局部伪黎曼正交标架场 $e_1, \cdots, e_{n+p}$, 使得限制在 $M^n$上, $e_1, \cdots, e_{n}$是 $M^n$的切标架场, $e_{n+1}, \cdots, e_{n+p}$是 $M^n$的法标架场.设 $\omega_1, \cdots, \omega_{n+p}$是所选标架场的对偶标架场, 则 $N^{n+p}_{p}$上的伪黎曼度量为 $d\bar{s}^2=\sum_{i}\omega^2_{i}-\sum_{\alpha}\omega^2_{\alpha}$.记 $h=\sum_{\alpha}h^{\alpha}_{ij}\omega_{i}\otimes\omega_{j}\otimes e_{\alpha}$是 $M^n$的第二基本形式, $\overrightarrow{H}=\frac{1}{n}\sum_{\alpha}(\sum_{i}h^{\alpha}_{ii})e_{\alpha}$是 $M^n$的平均曲率向量, 则 $M^n$的第二基本形式模长平方 $S$和平均曲率 $H$的平方分别为

$ \begin{eqnarray} S=\sum\limits_{\alpha ij}(h^{\alpha}_{ij})^2, H^2=\frac{1}{n^2}\sum\limits_{\alpha }(\sum\limits_{i}h^\alpha_{ii})^2.\end{eqnarray} $

(2.1)

$M^n$的Gauss-Codazzi-Ricci方程为

$ \begin{eqnarray} R_{ijkl}=K_{ijkl}-\sum\limits_{\alpha}(h^\alpha_{ik}h^\alpha_{jl}- h^\alpha_{il}h^\alpha_{jk}), \end{eqnarray} $

(2.2)

$\begin{eqnarray} h^{\alpha}_{ijk}-h^{\alpha}_{ikj}=-K_{\alpha ijk}, \end{eqnarray} $

(2.3)

$\begin{eqnarray} R_{\alpha\beta kl} =K_{\alpha\beta kl}+\sum\limits_{m}(h^{\alpha}_{km}h^{\beta}_{ml}-h^{\alpha}_{lm}h^{\beta}_{km}), \end{eqnarray} $

(2.4)

其中 $R_{ijkl}, R_{\alpha\beta kl}$是 $M^n$的曲率张量和法曲率张量, $h^{\alpha}_{ijk}$是 $h^{\alpha}_{ij}$的共变导数, $K_{ijkl}, K_{\alpha ijk}, K_{\alpha\beta kl}$是 $N^{n+p}_{p}$的曲率张量. $M^n$上沿 $e_i$方向的Ricci曲率Ric $(e_i)$为

$ \begin{eqnarray} {\hbox{Ric}}(e_i)=\sum\limits_{j}K_{ijij}-\sum\limits_{\alpha}(\sum\limits_{j}h^{\alpha}_{jj})h^{\alpha}_{ii}+\sum\limits_{\alpha j} (h^{\alpha}_{ij})^2.\end{eqnarray} $

(2.5)

定义 $h^{\alpha}_{ij}$的Laplacian为 $\vartriangle h^{\alpha}_{ij}=\sum\limits_{k}h^{\alpha}_{ijkk}$, 其中 $h^{\alpha}_{ijkk}$表示 $h^{\alpha}_{ij}$的二阶共变导数, 根据以上知识, 通过计算得

$ \begin{eqnarray} \vartriangle h^{\alpha}_{ij}=\sum\limits_{k}(h^{\alpha}_{kkij}-K_{\alpha kikj}-K_{\alpha ijkk})+ \sum\limits_{mk}h^{\alpha}_{km}R_{mijk}+\sum\limits_{mk}h^{\alpha}_{mi}R_{mkjk}+ \sum\limits_{\beta k}h^{\beta}_{ki}R_{\alpha\beta jk}.\end{eqnarray} $

(2.6)

引理2.1^[4]   $M^n$是 $N^{n+p}_{p}$中2 -调和类空子流形的充要条件是

$ \left\{\begin{array}{ll} \sum\limits_{\alpha jk}(-2h^{\alpha}_{jjk}h^{\alpha}_{ik} -h^{\alpha}_{jj}h^{\alpha}_{kik}+h^{\alpha}_{jj}K_{\alpha kki})=0, \forall i, \\ \sum\limits_{jk}h^{\alpha}_{jjkk}+\sum\limits_{\beta jkm}h^{\beta}_{jj}h^{\beta}_{mk}h^{\alpha}_{mk} +\sum\limits_{\beta jk}h^{\beta}_{jj}K_{\alpha kk\beta}=0, \ \forall \alpha. \end{array}\right. $

仿照文献[8]证明, 对于伪黎曼流形, 仍有

引理2.2^[8]  设 $N^{n+p}_{p}$是 $n+p$维伪黎曼流形, 其截面曲率 $K_N$满足 $\delta\leq K_N\leq 1$, 则

(ⅰ) $|K_{ACBC}|\leq \frac{1}{2}(1-\delta), A\neq B;$

(ⅱ) $|K_{ABCD}|\leq \frac{2}{3}(1-\delta), A, B, C, D$互异.

定理1.1的证明  设tr $H_{\alpha}=\sum\limits_{i}h^\alpha_{ii}$, 选取适当的法标架场 $e_{n+1}$, 使得平均曲率向量 $\overrightarrow{H}=He_{n+1}$, 则

$ \begin{eqnarray} {\hbox{tr}}H_{n+1}=nH, {\hbox{tr}}H_{\alpha}=0~~(\alpha\geq n+2).\end{eqnarray} $

(3.1)

由于 $M^n$是2 -调和的, 所以由引理2.1的第二个方程, 当 $\alpha=n+1$时, 得到

$ \sum\limits_{jk}h^{n+1}_{jjkk}+\sum\limits_{ jkm}h^{n+1}_{jj}h^{n+1}_{mk}h^{n+1}_{mk} +\sum\limits_{ jk}h^{n+1}_{jj}K_{n+1 kk n+1}=0. $

进一步由(3.1) 式可得

$ \vartriangle(nH)+nH{\hbox{tr}}H_{n+1}^2+nH\sum\limits_{k}K_{n+1 kk n+1}=0, $

$N^{n+p}_{p}$截面曲率为 $K_N$, 根据截面曲率的定义, 由 $e_{A}, e_{B}$张成的截面曲率 $K_N(e_{A}, e_{B})$为

$ K_N(e_{A}, e_{B})=\frac{K_{ABAB}}{g_{AA}g_{BB}-g_{AB}g_{BA}}, $

所以有

$ \begin{eqnarray*}&& K_N(e_{i}, e_{j})=\frac{K_{ijij}}{g_{ii}g_{jj}-g_{ij}g_{ji}}=K_{ijij}, \\ && K_N(e_{\alpha}, e_{\beta})=\frac{K_{\alpha\beta\alpha\beta}}{g_{\alpha\alpha}g_{\beta\beta} -g_{\alpha\beta}g_{\beta\alpha}}=K_{\alpha\beta\alpha\beta}, \\ && K_N(e_{\alpha}, e_{i})=\frac{K_{\alpha i\alpha i}}{g_{\alpha\alpha}g_{ii}-g_{\alpha i}g_{i\alpha}} =-K_{\alpha i\alpha i}, \end{eqnarray*} $

其中 $g_{\alpha\alpha}=g_{\beta\beta}=-1, g_{ii}=g_{jj}=1, g_{ij}=g_{\alpha\beta}=g_{i\alpha}=0.$由 $N^{n+p}_{p}$截面曲率 $K_N$满足 $0<\delta\leq K_N\leq 1$和 $K_{n+1 kk n+1}=K_N(e_{n+1}, e_{k})$可得

$ \begin{eqnarray} \vartriangle(nH)=-nH({\hbox{tr}}H_{n+1}^2+\sum\limits_{k}K_N(e_{n+1}, e_{k})).\end{eqnarray} $

(3.2)

由 $M^n$上的Codazzi方程可得

$ \begin{eqnarray} h^{\alpha}_{jj}(h^{\alpha}_{kik}-h^{\alpha}_{kki})=-h^{\alpha}_{jj}(K_{\alpha kik}), \end{eqnarray} $

(3.3)

把(3.3) 式代入引理2.1的第一个方程得到

$ \begin{eqnarray} \sum\limits_{\alpha jk}(2h^{\alpha}_{jjk}h^{\alpha}_{ik} +h^{\alpha}_{jj}h^{\alpha}_{kki})=0, \ \forall i, \end{eqnarray} $

(3.4)

又 $M^n$是伪脐的, 即

$ \begin{eqnarray} h^{n+1}_{ij}=H\delta_{ij}, \end{eqnarray} $

(3.5)

利用(3.1) 和(3.5) 式代入(3.4) 式, 有

$ \sum\limits_{jk}(2h^{n+1}_{jjk}h^{n+1}_{ik} +h^{n+1}_{jj}h^{n+1}_{kki})=\sum\limits_{jk}(2h^{n+1}_{jjk} H\delta_{ik} +h^{n+1}_{jj}h^{n+1}_{kki})=(n+2)H(nH)_i=0, $

因此有 $H=0$或者 $(nH)_i=0, \forall i $, 进一步由(3.2) 式可得

$ nH({\hbox{tr}}H_{n+1}^2+\sum\limits_{k}K_N(e_{n+1}, e_{k}))= 0, $

又因为tr $H_{n+1}^2\geq0$, $K_N(e_{n+1}, e_{k})>0$, 所以 $H=0$, $M^n$是极大的.

推论1.1的证明  由定理1.1可知 $M^n$是极大的, 再由(2.5) 式可得 $M^n$上沿 $e_i$方向的Ricci曲率Ric $(e_i)$满足

$ \begin{eqnarray}{\rm Ric}(e_i)=\sum\limits_{j}K_{ijij}+\sum\limits_{\alpha j} (h^{\alpha}_{ij})^2\geq (n-1)\delta, \forall i.\end{eqnarray} $

(3.6)

由(3.6) 式可得, $M^n$的Ricci曲率有正的下界.由Bonnet-Myers定理知, $M^n$是紧致的, 另外由(3.6) 式可得 $M^n$数量曲率 $R\geq n(n-1)\delta$, 若 $R= n(n-1)\delta$, 则 $M^n$第二基本形式模长平方 $S=0$, 即 $M^n$是全测地的, 推论1.1得以证明.

定理1.2的证明   $M^n$是 $N^{n+p}_{p}$中具有平行平均曲率向量的2 -调和类空子流形, 即 $\sum\limits_{i}h^{\alpha}_{iik}=0$.进一步由(3.2) 式可得

$ nH({\hbox{tr}}H_{n+1}^2+\sum\limits_{k}K_N(e_{n+1}, e_{k}))=0, $

所以 $H=0$, $M^n$是极大的.

定理1.3的证明   $M^n$是 $N^{n+p}_{p}$中紧致的 $n$维2 -调和类空子流形, 由(3.2) 式可得

$ \vartriangle(nH)=-nH({\hbox{tr}}H_{n+1}^2+\sum\limits_{k}K_N(e_{n+1}, e_{k}))\leq 0. $

由于 $M^n$是紧致的, 由Hopf引理得

$ -nH({\hbox{tr}}H_{n+1}^2+\sum\limits_{k}K_N(e_{n+1}, e_{k}))= 0, $

所以 $H=0$, $M^n$是极大的.

定理1.4的证明   $M^n$是 $N^{n+p}_{p}$中紧致的 $n$维2 -调和类空子流形, 由定理1.3可得 $M^n$是极大的.进一步由(2.6) 式, 通过计算可得

$ \begin{eqnarray} \frac{1}{2}\vartriangle S &=& \sum\limits_{\alpha ijk} (h^{\alpha}_{ijk})^2+ \sum\limits_{\alpha ij }h^{\alpha}_{ij}\vartriangle h^{\alpha}_{ij}\nonumber\\ &=&\sum\limits_{\alpha ijk} (h^{\alpha}_{ijk})^2 -\sum\limits_{\alpha ijk}h^{\alpha}_{ij}(K_{\alpha kikj}+K_{\alpha ijkk}) +\\ & &\sum\limits_{\alpha \beta ijk}K_{\alpha\beta ik}h^{\alpha}_{ij}h^{\beta}_{kj} +\sum\limits_{\alpha\beta}[{\hbox{tr}}(H_{\alpha}H_{\beta})]^2\nonumber\\ & &+\sum\limits_{\alpha ijkm}h^{\alpha}_{ij}(h^{\alpha}_{mj}K_{mkik}+ h^{\alpha}_{mk}K_{mijk}) +2\sum\limits_{\alpha\beta}[{\hbox{tr}}(H_{\alpha}^2H_{\beta}^2) -{\hbox{tr}}(H_{\alpha}H_{\beta})^2]. \end{eqnarray} $

(3.7)

下面估计(3.7) 式中的各项下界, 首先由于(tr $(H_{\alpha}H_{\beta}))_{p\times p}$是实对称矩阵, 故可选取法标架场 ${e_{\alpha}}$, 使之对角化, 即

$ \begin{eqnarray} \sum\limits_{\alpha\beta}[{\hbox{tr}}(H_{\alpha}H_{\beta})]^2=\sum\limits_{\alpha}({\hbox{tr}}H_{\alpha}^2)^2\geq \frac{1}{p}S^2, \end{eqnarray} $

(3.8)

参照文献[6]可得

$ \begin{eqnarray}\sum\limits_{\alpha \beta ijk}K_{\alpha\beta ik}h^{\alpha}_{ij}h^{\beta}_{kj} \geq-\frac{2}{3}(1-\delta)(p-1)\sqrt{n-1}S, \end{eqnarray} $

(3.9)

$ \begin{eqnarray} \sum\limits_{\alpha ijkm}h^{\alpha}_{ij}(h^{\alpha}_{mj}K_{mkik}+h^{\alpha}_{mk}K_{mijk}) \geq n\delta S, \end{eqnarray} $

(3.10)

$ \begin{eqnarray}2\sum\limits_{\alpha\beta}[{\hbox{tr}}(H_{\alpha}^2H_{\beta}^2) -{\hbox{tr}}(H_{\alpha}H_{\beta})^2]\geq0.\end{eqnarray} $

(3.11)

参照文献[9], 设div $\omega=\sum\limits_{ijk\alpha}\triangledown_{k}(h_{ik}^{\alpha}K_{\alpha jij} +h_{ij}^{\alpha}K_{\alpha ijk}), $于是有

$ \begin{eqnarray} & &\sum\limits_{\alpha ijk} (h^{\alpha}_{ijk})^2 -\sum\limits_{\alpha ijk}h^{\alpha}_{ij}(K_{\alpha kikj} +K_{\alpha ijkk})\nonumber\\ &=& \sum\limits_{\alpha ijk} (h^{\alpha}_{ijk})^2 +\sum\limits_{\alpha ijk}(h^{\alpha}_{ikk}K_{\alpha jij} +h^{\alpha}_{ijk}K_{\alpha ijk})-{\hbox{div}}\omega\nonumber\\ &=&\sum\limits_{\alpha ijk}(h^{\alpha}_{ijk}+\frac{1}{2}K_{\alpha ijk})^2 -\sum\limits_{\alpha ijk}\frac{1}{4}(K_{\alpha ijk})^2+\sum\limits_{\alpha ijk}h^{\alpha}_{ikk}K_{\alpha jij}-{\hbox{div}}\omega\nonumber\\ &\geq& -\sum\limits_{\alpha ijk}\frac{1}{4}(K_{\alpha ijk})^2+\sum\limits_{\alpha ijk}h^{\alpha}_{ikk}K_{\alpha jij}-{\hbox{div}}\omega\nonumber\\ &\geq& -\frac{1}{8}(1-\delta)^2p(n-1)n-\frac{1}{9}(1-\delta)^2pn(n-1)(n-2)-\\ & &\frac{1}{4}(1-\delta)^2pn(n-1)^2-{\hbox{div}}\omega.\nonumber\\ \end{eqnarray} $

(3.12)

把(3.8)-(3.12) 式代入(3.7) 式, 结合Green散度定理和Stokes定理得到

$ 0\geq \int_{M^n}\{\frac{1}{p}S^2+n\delta S-\frac{2}{3}(1-\delta)(p-1)\sqrt{n-1}S -\frac{1}{72}(26n-15)n(n-1)p(1-\delta)^2\}^*1. $