本文所考虑的群均为有限群, 所有概念和符号均是标准的(可参看文献[1]).在有限群的性质和结构的研究中, 算术结构是一个群的最基本的数学特征之一.因此从群本身固有的数量信息来描述、刻画群的结构一直是群论研究的主流课题, 涉及群的各种问题和性质, 有着广泛的发展空间和应用背景.

近几年, 有限群概率方面的应用越来越受关注.在研究中, 最重要的一个方面是有限群$G$的子群交换度与有限群结构之间的密切联系. 1979年D. J. Rusin介绍了有限群$G$的交换度^[2]的概念, 记$d(G)=\frac{1}{|G|^{2}}|(x, y)\in G\times G|~xy=yx|$, 并得到如果$1>d(G)>\frac{1}{2}$, 则$d(G)\in\{\frac{1}{2}(1+\frac{1}{4^{n}})|n\in N, n\geq 1\}$.之后, P. Lescot又做了进一步的研究^{[3, 4]}, 得到一些有趣的结果.最近, M. T$\breve{a}$rn$\breve{a}$uceanu于2009年介绍了子群的交换度^[5]的概念, 记$sd(G)=\frac{1}{|L(G)|^{2}}|\{(H, K)\in L(G)^{2}|HK\in L(G)\}|$, 并讨论其对群结构的影响, 得到了一些有意义的结论.本文将继续讨论这一问题.

接下来, 我们给出几个在文中用到的记号(见文^[5]). $L(G)$表示群$G$的子群格; $\pi(G)$表示$G$的阶的素因子; $|\pi(G)|$表示$G$的阶的素因子的个数.对于群$G$的任一子群$H$, 群$G$中所有与$H$可交换的子群的集合记为$C(H)$, 即$C(H)=\{K\in L(G)|~HK=KH\}$.从而$sd(G)=\frac{1}{|L(G)|^{2}}\sum\limits_{H\in L(G)}|C(H)|$.为计算方便, 定义函数$f: L(G)^{2}\longrightarrow \{0, 1\}$

$ f(H, K)=\left\{ \begin{aligned} 1 &, HK=KH, \\ 0 &, HK\neq KH, \end{aligned} \right.$ $\forall H, K\in L(G). $

易知对$\forall H\in L(G)$, $|C(H)|=\sum\limits_{K\in L(G)}f(H, K)$.于是$sd(G)=\frac{1}{|L(G)|^{2}}\sum\limits_{H, K\in L(G)}f(H, K)$.

引理2.1^[5]  设$G$是有限群, $N$是$G$的一个正规子群, 则

$ sd(G)\geq \frac{1}{|L(G)|^{2}}[(|L(N)|+|L(G/N)|-1)^{2}+(sd(N)-1)|L(N)|^{2}+(sd(G/N)-1)|L(G/N)|^{2}]. $

引理2.2^[6]  设$G$是有限群, $|G| = {p^n}$, 若$s_1(G)=1$, 其中$s_1(G)$为群$G$中$p$阶子群的个数.则

(1) 对$p>2$, $G$是循环群.

(2) 对$p=2$, $G$是循环群或广义四元数群.

引理2.3^[6]  设$G$是有限群, $|G|=p^{n}$, $1 < m < n$, 若$s_m(G)=1$, 其中$s_m(G)$为群$G$中$p^{m}$阶子群的个数, 则$G$为循环群.

定理3.1  设$G$是有限群, $N$是$G$的非平凡正规子群, 则

$ sd(G)=\frac{1}{|L(G)|^{2}}[(|L(N)|+|L(G/N)|-1)^{2}+(sd(N)-1)|L(N)|^{2}+(sd(G/N)-1)|L(G/N)|^{2}] $

的充分必要条件是$G$是$p^{n}$阶群, 其中$p$为素数, $n\geq 2$为整数且当$p>2$, $G$是循环群; 当$p=2$, $G$是循环群或广义四元数群.

证  “$\Rightarrow$”设$A_1=\{H\in L(G)|~N\subseteq H\}$, $A_2=\{H\in L(G)|~H\subset N\}$.则易计算

$ \sum\limits_{H, K \in {A_1}} f (H, K){\rm{\ }} = {\rm{\ }}sd(G/N)|L(G/N){|^2}, \\ \sum\limits_{H, K \in {A_2}} f (H, K){\rm{\ }} = {\rm{\ }}\sum\limits_{H, K \in {A_2} \cup \{ N\} } f (H, K) - 2\sum\limits_{H \in {A_2} \cup \{ N\} } f (H, N) + 1 \\ =sd(N)|L(N){|^2} - 2|L(N)| + 1, \\ 2\sum\limits_{H \in {A_1}} {\sum\limits_{K \in {A_2}} f } (H, K){\rm{\ }} = {\rm{\ }}2|{A_1}||{A_2}| = 2|L(G/N)|(|L(N)| - 1), $

于是

$ \frac{1}{{|L(G){|^2}}}\sum\limits_{H, K \in {A_1} \cup {A_2}} f (H, K)\\ =\frac{1}{{|L(G){|^2}}}(\sum\limits_{H, K \in {A_1}} f (H, K) + \sum\limits_{H, K \in {A_2}} f (H, K) + 2\sum\limits_{H \in {A_1}} {\sum\limits_{K \in {A_2}} f } (H, K)\\ =\frac{1}{|L(G)|^{2}}[(|L(N)|+|L(G/N)|-1)^{2}+(sd(N)-1)|L(N)|^{2}+(sd(G/N)-1)|L(G/N)|^{2}]. $

又由题设条件知

$ sd(G)=\frac{1}{|L(G)|^{2}}\sum\limits_{H, K\in L(G)}f(H, K)\\ =\frac{1}{|L(G)|^{2}}[(|L(N)|+|L(G/N)|-1)^{2}+(sd(N)-1)|L(N)|^{2}+(sd(G/N)-1)|L(G/N)|^{2}], $

从而$A_1\cup A_2=L(G)$.于是对$G$的任意子群$H$, 有$N\leq H$或者$H < N$.

下面分三步来证明定理的必要性.

(1)$\pi(N)=\pi(G)$.

假设$\pi(N)\neq\pi(G)$, 则$\pi(N)\subset\pi(G)$, 于是存在素数$p_m$, 使得$p_m\in\pi(G)$, 而$p_m\not\in\pi(N)$.令$H$为$G$的Sylow $p_m$-子群, 则$|H|$不整除$|N|$, 且$|N|$不整除$|H|$.从而$N\nleq H$且$H\nless N$, 矛盾.故假设不成立.因此(1) 成立.

(2)$|\pi(G)|=1$.

假设$\pi(G)\neq 1$.令$|G|=p_{1}^{\alpha_1}p_{2}^{\alpha_2}\cdots p_{t}^{\alpha_t}$, 其中$p_i$是素数, $\alpha_i$是正整数($i=1, 2, \cdots, t$), 则$t>1$.由(1) 知, $|N|=p_{1}^{\beta_1}p_{2}^{\beta_2}\cdots p_{t}^{\beta_t}$, 其中$1\leq \beta_i\leq\alpha_i$且$t>1$.因为$N$是$G$的非平凡正规子群, 从而$|G|>|N|$, 于是存在$j\in\{1, 2, \cdots, t\}$, 使得$\alpha_j>\beta_j$.令$H$为$G$的Sylow $p_j$-子群, 则$|H|=p_{j}^{\alpha_j}$.若$H < N$, 则$|H|$整除$|N|$, 于是$\alpha_j\leq\beta_j$, 矛盾.若$N\leq H$, 则~$|N|$整除$|H|$, 故$|\pi(N)|\leq|\pi(H)|=1$, 从而~$|\pi(N)|=1$, 即$t=1$, 矛盾.所以$|\pi(G)|=1$.

(3) 必要性的证明.

由(2) 可设$|G|=p^{n}$, 其中$p$为素数, $n$为自然数.由于$N$是$G$的非平凡正规子群, 则$n\geq 2$.现在令$|N|=p^{\alpha}$, 其中$\alpha$为正整数, $1\leq\alpha < n$.假设$H$是$G$的任意$p^{\alpha}$阶子群, 则$|N|=|H|$.因为$N\leq H$或者$H < N$, 所以$H=N$.故群$G$的$p^{\alpha}$阶子群只有一个, 即$s_{\alpha}(G)=1$.由引理2和引理3知, $G$是$p^{n}$阶群, 其中$p$为素数, $n\geq 2$为整数且当$p>2$, $G$是循环群; 当$p=2$, $G$是循环群或广义四元数群.

“$\Leftarrow$”当$G$是$p^{n}$阶的循环群, 其中$p$为素数, $n\geq 2$的整数, 易知$sd(G)=sd(N)=sd(G/N)=1$, $|L(N)|=\log_{p}^{|N|}+1$且$|L(G/N)|=\log_{p}^{|G/N|}+1$.当$G$是$2^{n}$阶的广义四元数群时, 取$N=Z(G)$, 则同样有

$ sd(G)=sd(N)=sd(G/N)=1, |L(N)|=\log_{p}^{|N|}+1 $

且$|L(G/N)|=\log_{p}^{|G/N|}+1$, 代入可得

$ sd(G)=\frac{1}{|L(G)|^{2}}[(|L(N)|+|L(G/N)|-1)^{2}+(sd(N)-1)|L(N)|^{2}+(sd(G/N)-1)|L(G/N)|^{2}]. $

综上, 定理得证.

注  特别地, 当$N$是$G$的平凡正规子群时, 等式

$ sd(G)=\frac{1}{|L(G)|^{2}}[(|L(N)|+|L(G/N)|-1)^{2}+(sd(N)-1)|L(N)|^{2}+(sd(G/N)-1)|L(G/N)|^{2}] $

恒成立.

由定理3.1及注, 易得推论3.2及推论3.3.

推论3.2  若群$G$不是循环$p$-群及$2^{n}$阶的广义四元数群, $N$是$G$的非平凡正规子群, 那么

$ sd(G)>\frac{1}{|L(G)|^{2}}[(|L(N)|+|L(G/N)|-1)^{2}+(sd(N)-1)|L(N)|^{2}+(sd(G/N)-1)|L(G/N)|^{2}]. $

推论3.3  设$G$为有限群.则对$G$的任意正规子群$N$,

$ sd(G)=\frac{1}{|L(G)|^{2}}[(|L(N)|+|L(G/N)|-1)^{2}+(sd(N)-1)|L(N)|^{2}+(sd(G/N)-1)|L(G/N)|^{2}] $

都成立的充分必要条件是$G$或者是单群或者是$p^{n}$阶的循环群或者是$2^{n}$阶的广义四元数群, 其中$p$为素数, $n\geq 2$为整数.

推论3.4  设$G$是$p^{k}$阶群, 且$G$有循环的极大子群.若$sd(G)=(\frac{k+1}{|L(G)|})^{2}$, $k\geq 1$, 则$G$是循环$p$-群或者是$2^{n}$阶的广义四元数群.

证  $k=1$时, 显然$G$是循环$p$-群.不妨设$k>1$, $N$是$G$的循环的极大子群, 则$|N|=p^{k-1}$且$G/N$是$p$阶循环群.所以$L(N)=k$, $L(G/N)=2$, $sd(N)$, $sd(G/N)=1$.从而由题设条件知

$ sd(G)=(\frac{k+1}{|L(G)|})^{2}\\ =\frac{1}{|L(G)|^{2}}[(|L(N)|+|L(G/N)|-1)^{2}+(sd(N)-1)|L(N)|^{2}+(sd(G/N)-1)|L(G/N)|^{2}]. $

根据定理3.1的必要性知$G$是循环$p$-群或者是$2^{n}$阶的广义四元数群.