设$(E,\mathcal {E})$是波兰空间, $\mathcal {E}$是$E$上的Borel $\sigma$代数.令$R_{+}:=[0,\infty),Z_{+}:=\{0,1,2,\cdots\},$如果没有特别说明, 本文总是设$q$对$(q(x),q(x,A))$是正则的 (全稳、保守且q过程唯一), 且$q(x)>0,$所对应的跳过程$X=\{X_{t}:t\in R_{+}\}$是完全可分、轨道右连续且具有强马氏性, 转移概率函数为$\{P(t,x,A):t\in R_{+},x\in E,A\in \mathcal {E}\}$ (相应半群是$\{P^{t}\}$).我们对具有相同转移概率函数的跳过程不加区分, 所以也称${P(t,x,A)}$是跳过程.

设$P=\{P_{ij}:i,j\in G\}$是可数集$G$上的转移阵, $\{Y_{n}:n\in Z_{+}\}$是以$P$为转移概率的马氏链, 若$\forall i,j \in G$, 有$i\leftrightarrow j$ (即存在$n>0,m>0$满足$P^{n}_{ij}>0,P^{m}_{ji}>0$), 则称马氏链$\{Y_{n}:n\in Z_{+}\}$是不可约的.对于不可约马氏链$\{Y_{n}:n\in Z_{+}\}$, 从任一个状态$i$出发经过有限时间能够到达任一个状态$j.$设$\{X_{n}:n\in Z_{+}\}$是一般状态空间$(E,\mathcal{E})$上的马氏链, $\forall A\in \mathcal{E}$, 令$\gamma_{A}:=\inf\{n\geq 1,X_{n}\in A\}$.对于一般状态空间马氏链, 不能定义与“$\leftrightarrow$”类似的概念, 因此在文[1]中, 给出了一般状态空间马氏链$\varphi$-不可约性的定义 (即存在$\mathcal{E}$上的$\sigma$-有限测度$\varphi$, 当$\varphi(A)>0$时, 对$\forall x\in E,$有$P_{x}(\gamma_{A}<\infty)>0$).一般状态空间马氏链的不可约性, 从直观上讲就是, 任一个状态到达“比较大的集合”的概率都是正的.

设$\nu_{G}$是可数集$G$上的计数测度, 则$G$上的不可约马氏链$\{Y_{n}:n\in Z_{+}\}$是$\nu_{G}$-不可约的.事实上, 对任意的非空子集$B\subset G,$都有$\nu_{G}(B)>0,$由可数状态空间马氏链不可约的定义可知, 对$\forall i\in G,$都有$P_{i}(\gamma_{B}<\infty)>0$.

本文主要研究一般状态空间跳过程的$\varphi$-不可约性, 得到与离散时间一般状态空间马氏链类似的结果.我们先给出一些记号, 令$J_{0}:\equiv 0,$

$J_{n}:=\inf\{t>J_{n-1},X_{t}\neq X_{J_{n-1}}\}, n\geq 1, $

$J_{n}$表示跳过程$X=\{X_{t}:t\in R_{+}\}$第$n$次跳跃时刻.对任一个可测集$A$, 令

$\sigma_{A}:=\inf\{t\geq 0,X_{t}\in A\}, \tau_{A}:=\inf\{t\geq J_{1},X_{t}\in A\}, \eta_{A}:=\int_{0}^{\infty}I_{\{X_{t}\in A\}}dt.$

定义1.1 称跳过程$X=\{X_{t},t\in R_{+}\}$是$\varphi$-不可约的, 若存在$\mathcal{E}$上的$\sigma$-有限测度$\varphi,$满足当$\varphi(A)>0$时, 有$P_{x}(\tau_{A}<\infty)>0, \forall x\in E.$

本文的主要结果是

定理1.2 设跳过程$X=\{X_{t}:t\in R_{+}\}$是$\nu$-不可约的, 令

$\psi(A):=\int_{E} \nu(dx)\int_{0}^{\infty}P(t,x,A)e^{-t}dt,$

(1.1)

则

(1) 跳过程$X=\{X_{t}:t\in R_{+}\}$是$\psi$-不可约的.

(2) 对任意其它测度$\varphi,$跳过程$X=\{X_{t}:t\in R_{+}\}$是$\varphi$-不可约的$\Leftrightarrow \varphi\ll\psi$ ($\varphi$关于$\psi$绝对连续).

(3) 若$\psi(A)=0,$则$\psi\{x\in E:P_{x}(\tau_{A}<\infty)>0\}=0.$

注1.3 不妨假设$\nu $是概率测度, 则上面定义的$\psi$也是概率测度.满足定理1.2中条件 (1) 和 (2) 的概率测度称为最大不可约测度.以后我们假设$\psi $是最大不可约概率测度, 跳过程$X=\{X_{t}:t\in R_{+}\}$是$\psi$-不可约的.从条件 (2) 可知, 最大不可约概率测度是等价的.令$ {\mathcal{E}}^{+}:=\{A\in {\mathcal{E}}: \psi(A)> 0 \}$, 则${\mathcal{E}}^{+}$是唯一的.

定理1.4 若集合$C\in \mathcal{E}$且$\sup\limits_{x\in C}E_{x}[\tau_{C}]<\infty,$则$C\in {\mathcal{E}}^{+}.$

注1.5 离散时间马氏链也有类似的结论, 见文献[1]的命题4.2.2和命题8.3.1.

我们首先给出一些定义和记号, 定义$\sigma$-代数流${\mathcal{F}}_{t}:=\sigma(X_{s},s\leq t),t\geq 0, {\mathcal{F}}_{\infty}:=\sigma(X_{s},s\geq 0),$设$\tau$是相对于$\{{\mathcal{F}}_{t}\}$的停时, $\tau$以前的$\sigma$-代数定义为${\mathcal{F}}_{\tau}:=\{\Lambda\in {\mathcal{F}}_{\infty}:\Lambda\cap \{\omega:\tau(\omega)\leq t\}\in {\mathcal{F}}_{t},\forall t\in R_{+}\}.$用${_{r}}{\mathcal {E}}_{+}$表示$E$上的非负实值$\mathcal {E}$-可测函数的集合, ${\mathcal {L}}_{+}$和${\mathcal {\overline{L}}}_{+}$分别表示$\mathcal {E}$上的有限和$\sigma$-有限测度的集合. $\forall f\in {_{r}}{\mathcal {E}}_{+}$及$\mu\in {\mathcal {\overline{L}}}_{+}$,

$P^{t}f(x):=\int_{E}P(t,x,dy)f(y), \mu P^{t}(A):=\int_{E}\mu(dx)P(t,x,A), x\in E,A\in \mathcal {E}.$

定义2.1 ^[2] 称$\{P(t,x,A):t\in R_{+},x\in E,A\in \mathcal {E}\}$是跳过程的转移函数, 若下面的条件成立

(1) $\forall t\in R_{+},A\in \mathcal {E}$, $P(t ,\cdot , A)\in {_{r}}{\mathcal {E}}_{+}$;

(2) $\forall t\in R_{+},x\in E$, $P(t ,x,\cdot )\in \mathcal{{\mathcal {L}}}_{+}$, 且$P(t,x,E)\leq 1$;

(3) $(C-K\mbox{方程}) \forall t,s\in R_{+},x\in E,A\in \mathcal {E}$, 有

$P(t+s ,x,A )=\int_{E} P(t ,x,dy )P(s ,y,A ); $

(4) $(\mbox{连续性条件}) \forall x\in E,A\in \mathcal {E}$, 有

$\lim\limits_{t\rightarrow0} P(t,x,A)=P(0,x,A)=\delta(x,A), $

其中$\delta(x,A)$表示集合$A$的示性函数, 也记为$I_{A}(x)$.

引理2.2 ^[2] 令$\mathcal{R}:= \{A\in \mathcal {E}:\lim\limits_{t\rightarrow0}\sup\limits_{x\in A}[1-P(t,x,\{x\})]=0\}$, 则有

(1) $\forall x\in E$, 极限

$q(x):=\lim\limits_{t\rightarrow0}\frac{1-P(t,x,\{x\})}{t}=\sup\limits_{t>0}\frac{1-P(t,x,\{x\})}{t}$

存在且$q(\cdot )\in {_{r}}{\mathcal {E}}_{+}$.

(2) $\forall x\notin A\in \mathcal{R}$, 极限

$q(x,A):=\lim\limits_{t\rightarrow0}\frac{P(t,x,A)}{t}$

存在, 且$q(x,A)\leq q(x)$.

(3) 定义$q(x,A)=q(x,A\backslash\{x\}),x\in E,A\in \mathcal {R}$, 则对每个$x,q(x,\cdot)$是$\mathcal{R}$上的有限测度，且对每个$A\in \mathcal{R}$, $ q(\cdot,A) \in {_{r}}{\mathcal {E}_{+} } .$

引理2.3 ^[2] 假设存在$\{E_{n}\}_{n=1}^{\infty}\subset \mathcal{R},$满足$\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}E_{n}=E,$则对每个$x\in E,q(x,\cdot)$能够唯一延拓到$\mathcal {E}$, 而且对每个$A\in \mathcal {E}$, $q(\cdot,A)\in {_{r}}{\mathcal {E}}_{+}$.

由引理2.2和引理2.3, 我们引入下面的定义.

定义2.4 ^[2] 称$(q(x),q(x,A))(x\in E,A\in \mathcal {E})$是一个$q$对, 若

(1) $\forall x\in E$, $ q(x,\cdot) $是$\mathcal {E}$上的一个测度, $q(x,\{x\})=0,q(x,E)\leq q(x)$;

(2) $\forall A\in \mathcal {E}$, $q(\cdot)$和$q(\cdot,A)$是$\mathcal {E}$-可测函数.

若$\forall x\in E,\mbox{都有}q(x)<\infty $, 则称$q$对是全稳的.若$ \forall x\in E,\mbox{都有}q(x)=q(x,E) $, 则称$q$对是保守的.

定义2.5 ^[2] 称跳过程$\{P(t,x,A):t\in R_{+},x\in E,A\in \mathcal {E}\}$是带有$q$对$(q(x),q(x,A))$的$q$过程, 若$\forall x\in E, A\in \mathcal{R}$, 有

$\lim\limits_{t\rightarrow0} \frac{P(t,x,A)-\delta(x,A)}{t}=q(x,A)-q(x)\delta(x,A). $

引理2.6 ^[2] 对于一个给定的$q$对, 则向后方程

$P(t,x,A)=\int_{0}^{t}e^{-q(x)(t-s)}\int q(x,dy)P(s,y,A)ds+\delta(x,A)e^{-q(x)t}$

的最小解$P^{\min}(t,x,A)$是一个$q$过程, 而且对任意的$q$过程$P(t,x,A)$, 都有

$P(t,x,A)\geq P^{\min}(t,x,A), t\geq 0,x\in E,A\in \mathcal{E}.$

引理2.7 ^[2] 设$P(t,x,A)$是$(E,\mathcal {E})$上的跳过程, 则$\forall x\in E,A\in \mathcal {E},$有$P(\cdot,x,A)=0$或者$P(\cdot,x,A)>0$.

记

$\Pi(x,dy):=\frac{q(x,dy)}{q(x)},$

则$\Pi(x,dy)$是一个概率核, 它确定的离散时间马氏链称为嵌入过程 (或跳跃链).令

${\Pi}^{0}=I, {\Pi}^{n+1}=\Pi{\Pi}^{n}.$

引理2.8 ^[2] 设$(q(x),q(x,A))$是保守$q$对, 则

$\int_{0}^{\infty}P^{\min}(t,x,A)dt=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\int_{A}\Pi^{n}(x,dy)\frac{1}{q(y)}, x\in E,A\in \mathcal {E}, $

其中$P^{\min}(t,x,A)$是$(q(x),q(x,A))$确定的最小$q$过程.

定义2.9 称集合$A\in \mathcal{E}$是跳过程$X=\{X_{t}:t\in R_{+}\}$的吸收集, 若$\forall x\in A,$都有$P(t,x,A)=1, \forall t\in R_{+}.$

引理2.10 若集合$A$是跳跃链的吸收集, 则$A$也是跳过程的吸收集.

证 设集合$A$是跳跃链的吸收集, 则$\forall x\in A,$有$\Pi(x,A)=\frac{q(x,A)}{q(x)}=1.$由$q$对是保守的, 所以$\Pi(x,A^{c})=\frac{q(x,A^{c})}{q(x)}=0.$对$\forall x\in A$, 有

$ \int_{A^{c}}\Pi^{0}(x,dy)\frac{1}{q(y)}=0, \int_{A^{c}}\Pi(x,dy)\frac{1}{q(y)}=0,\\ \int_{A^{c}}\Pi^{2}(x,dy)\frac{1}{q(y)}=\int_{A^{c}}\int_{E}\Pi(x,dz)\Pi(z,dy)\frac{1}{q(y)} =\int_{A^{c}}\int_{A}\Pi(x,dz)\Pi(z,dy)\frac{1}{q(y)}\\ =\int_{A}\Pi(x,dz)\int_{A^{c}}\Pi(z,dy)\frac{1}{q(y)}=0. $

可以归纳地证明, $\forall x\in A, n\in Z_{+},$都有

$\int_{A^{c}}\Pi^{n}(x,dy)\frac{1}{q(y)}=0.$

由引理2.8, $\forall x\in A,$有

$\int_{0}^{\infty}P(t,x,A^{c})dt=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\int_{A^{c}}\Pi^{n}(x,dy)\frac{1}{q(y)}=0.$

由引理2.7, $\forall x\in A,$有$P(t,x,A^{c})=0,\forall t\in R_{+}$, 即$P(t,x,A)=1,\forall t\in R_{+},$所以$A$是跳过程$\{X_{t}:t\in R_{+}\}$的吸收集.引理证毕.

引理2.11 ^[1] 下列条件等价:

(1) 马氏链$\{X_{n},n\in Z_{+}\}$是$\varphi$-不可约的.

(2) 当$\varphi(A)>0$时, $\forall x\in E, \sum\limits_{n=1}^{\infty}P^{n}(x,A)>0.$

(3) 当$\varphi(A)>0$时, $\forall x\in E, \exists n,$使得$P^{n}(x,A)>0.$

(4) 当$\varphi(A)>0$时, $\forall x\in E, \sum\limits_{n=0}^{\infty}P^{n}(x,A)2^{-(n+1)}>0$.

引理2.12 对于正则$q$对确定的跳过程$X=\{X_{t},t\in R_{+}\}$, 下列条件等价:

(1) 跳过程$X=\{X_{t},t\in R_{+}\}$是$\varphi$-不可约的.

(2) 当$\varphi(A)>0$时, $\forall x\in E,\exists$ (等价地, $\forall $) $t> 0$, 有$P(t,x,A)>0.$

(3) 当$\varphi(A)>0$时, $\forall x\in E,$有

$E_{x}[\eta_{A}]=E_{x}[\int_{0}^{\infty}I_{\{X_{t}\in A\}}dt]=\int_{0}^{\infty}P(t,x,A)dt>0.$

(4) 当$\varphi(A)>0$时, $\forall x\in E,$有

$\int_{0}^{\infty}P(t,x,A)e^{-t}dt>0. $

证 类似于文[1]中的命题4.2.1可证.

定理1.2的证明 (1) 设$\psi(A)>0,$分两种情况进行讨论.

若$\nu(A)>0$, 由$\{X_{t}:t\in R_{+}\}$是$\nu$-不可约的, 有

$E_{x}[\eta_{A}]>0, \forall x\in E.$

(3.1)

若$\nu(A)=0$, 令$B:=\{x\in E:E_{x}[\eta_{A}]>0\}$.此时

$\psi(A)=\int_{A^{c}} \nu(dx)\int_{0}^{\infty}P(t,x,A)e^{-t}dt>0.$

等价地有

$\int_{A^{c}} \nu(dx)\int_{0}^{\infty}P(t,x,A)dt=\int_{A^{c}} \nu(dx)E_{x}[\eta_{A}]>0.$

所以$\nu(B)>0.$由$\{X_{t}:t\in R_{+}\}$是$\nu$-不可约的, 则$\forall x\in E, \mbox{都有}E_{x}[\eta_{B}]>0,$所以存在$t>0$, 使得$P(t,x,B)>0.$

由C-K方程, $\forall x\in E,$有

$ E_{x}[\eta_{A}]=\int_{0}^{\infty}P(s,x,A)ds\geq \int_{0}^{\infty}P(s+t,x,A)ds\geq \int_{0}^{\infty}\int_{B}P(t,x,dy)P(s,y,A)ds\nonumber\\ \geq\int_{B}P(t,x,dy)\int_{0}^{\infty}P(s,y,A)ds=\int_{B}P(t,x,dy)E_{y}[\eta_{A}]>0.$

(3.2)

由 (3.1), (3.2) 式可知, 跳过程$\{X_{t}:t\in R_{+}\}$是$\psi$-不可约的.

(2) $\Leftarrow $设$\varphi(A)>0,$由$\varphi\ll\psi,$则$\psi(A)>0.$由$\{X_{t}:t\in R_{+}\}$是$\psi$-不可约的, 所以对$\forall x\in E,$有$E_{x}[\eta_{A}]>0.$因此$\{X_{t}:t\in R_{+}\}$是$\varphi$-不可约的.

$\Rightarrow $设$\{X_{t}:t\in R_{+}\}$是$\varphi$-不可约的.若$\varphi(A)>0,$则$\forall x\in E,$有$E_{x}[\eta_{A}]>0,$即$\displaystyle\int_{0}^{\infty}P(t,x,A)dt>0.$等价地有

$\int_{0}^{\infty}P(t,x,A)e^{-t}dt>0, \forall x\in E.$

由$\nu(E)>0,$所以

$\psi(A)=\int_{E}\nu(dx)\int_{0}^{\infty}P(t,x,A)e^{-t}dt>0.$

因此$\varphi\ll\psi$.

(3) 令$D:=\{x\in E:P_{x}(\tau_{A}<\infty)>0\}$, 用反证法, 假设$\psi(D)>0.$由C-K方程及$\psi(A)=0,$ $\forall t\geq 0,$有

$ \int_{E}\psi(dy)P(t,y,A)e^{-t}=\int_{E}\int_{E}\nu(dx)\int_{0}^{\infty}P(s,x,dy)e^{-s}dsP(t,y,A)e^{-t}\\ =\int_{E}\nu(dx)\int_{0}^{\infty}P(s+t,x,A)e^{-(s+t)}ds=\int_{E}\nu(dx)\int_{t}^{\infty}P(u,x,A)e^{-u}du\\ \leq \int_{E}\nu(dx)\int_{0}^{\infty}P(u,x,A)e^{-u}du=\psi(A)=0. $

所以

$\int_{E}\psi(dy)\int_{0}^{\infty}P(t,y,A)e^{-t}dt=0.$

等价地有

$E_{y}[\eta_{A}]=\int_{0}^{\infty}P(t,y,A)dt=0 {\hbox{a.s.}} y[\psi].$

令$N:=\{y\in E:E_{y}[\eta_{A}]>0\}$, 则$\psi(N)=0.$当$y\in A^{c}$时, 若$E_{y}[\eta_{A}]=0,$则有$P_{y}(\tau_{A}<\infty)=0.$由$\psi(D)>0,\psi(N^{c})=1,\psi(A^{c})=1$可知$\psi(D\cap N^{c}\cap A^{c})>0.$取$ y\in D\cap N^{c}\cap A^{c},$由上面的讨论可知, 有$P_{y}(\tau_{A}<\infty)>0$和$P_{y}(\tau_{A}<\infty)=0$同时成立, 这是矛盾的.所以$\psi(D)=\psi\{x\in E:P_{x}(\tau_{A}<\infty)>0\}=0.$定理证毕.

为了证明定理1.4, 我们给出下面的定义及命题.

定义3.1 称集合$A\in \mathcal{E}$是跳过程$X=\{X_{t}:t\in R_{+}\}$的满集, 若$\psi(A^{c})=0$.

命题3.2 设跳过程$X=\{X_{t}:t\in R_{+}\}$是$\psi$-不可约的, 则

(1) 每一个吸收集是满集;

(2) 每个满集包含一个满的吸收子集.

证 (1) 设$A$是跳过程$X=\{X_{t}:t\in R_{+}\}$的吸收集, 则$P(t,x,A^{c})=0, \forall t\in R_{+},x\in A.$反证法, 若$\psi(A^{c})>0,$由$X=\{X_{t}:t\in R_{+}\}$是$\psi$-不可约的, 以及引理2.12可知

$P(t,x,A^{c})>0, \forall t> 0, x\in E.$

这与$P(t,x,A^c)=0, \forall t\in R_{+},x\in A,$矛盾.因此$\psi(A^{c})=0$, 即$A$是满集.

(2) 设$A$是$X=\{X_{t}:t\in R_{+}\}$的满集, 则$\psi(A^{c})=0$.令

$B:=\{y\in E:\int_{0}^{\infty}P(t,y,A^{c})dt=0\}.$

则$B\subset A$ (这是因为若$y\in A^{c}$, 则$P(0,y,A^{c})=1,$由$P(t,x,A)$关于$t$是连续的, 以及引理2.7可知$P(t,y,A^{c})>0, \forall t\in R_{+},$因此$\displaystyle\int_{0}^{\infty}P(t,y,A^{c})dt>0,$所以$y\in B^{c}$).

令$C:=\{y\in E:P_{y}(\tau_{A^{c}}<\infty)=0\}$, 下面证明$B=C$.

若$ y\in B,$由$B$的定义, 有$\displaystyle\int_{0}^{\infty}P(t,y,A^{c})dt=0.$由$B\subset A$及引理2.7可知, $\forall t\in R_{+},$有$P(t,y,A^{c})=0$, 所以$P_{y}(\tau_{A^{c}}=\infty)=1,$即$y\in C. $因此$B\subset C.$

若$ y\in C,$由$C$的定义, 有$P_{y}(\tau_{A^{c}}<\infty)=0,$则$\exists t>0,$使得$P(t,y,A^{c})=0.$由引理2.7, $\forall t>0,$有$P(t,y,A^{c})=0,$所以$\displaystyle\int_{0}^{\infty}P(t,x,A^{c})dt=0,$即$y\in B.$因此$C\subset B.$

由$\psi(A^{c})=0$及定理1.2(3), 有$\psi\{y:P_{y}(\tau_{A^{c}}<\infty)>0\}=0$, 所以$\psi(C)=\psi\{y:P_{y}(\tau_{A^{c}}<\infty)=0\}=1$.由$B=C$可知, $B$是一个满集.

下证$B$是一个吸收集.反证法, 若$\exists x\in B, s>0,$满足$P(s,x,B^{c})>0.$由C-K方程, 有

$ 0=\int_{0}^{\infty}P(t,x,A^{c})dt\geq \int_{0}^{\infty}P(s+t,x,A^{c})dt=\int_{0}^{\infty}\int_{E}P(s,x,dy)P(t,y,A^{c})dt\\ \geq\int_{B^{c}}P(s,x,dy)\int_{0}^{\infty}P(t,y,A^{c})dt, $

由$B$的定义及$P(s,x,B^{c})>0$可知$\displaystyle\int_{B^{c}}P(s,x,dy)\displaystyle\int_{0}^{\infty}P(t,y,A^{c})dt>0,$矛盾.因此$\forall s\geq 0,x\in B,$有$P(s,x,B^{c})=0,$即$B$是一个吸收集.

定理1.4的证明 设$\sup\limits_{x\in C}E_{x}[\tau_{C}]<\infty,$则$\forall x\in C,$都有$P_{x}(\tau_{C}<\infty)=1.$令

$C^{\infty}:=\{x\in E: P_{x}(\tau_{C}<\infty)=1\},$

则$C\subset C^{\infty}.$

下面证明$C^{\infty}$是跳过程的吸收集.用$\theta$表示通常的漂移算子, 注意到在$\{J_{1}<\infty\}$的条件下, $I_{\{\tau_{A}<\infty\}}=I_{\{J_{1}+\theta^{J_{1}}\sigma_{A}<\infty\}}=I_{\{\theta^{J_{1}}\sigma_{A}<\infty\}}=\theta^{J_{1}}I_{\{\sigma_{A}<\infty\}},$由强马氏性, 有

$P_{x}(\tau_{A}<\infty)=P_{x}(X_{J_{1}}\in A,\tau_{A}<\infty)+P_{x}(X_{J_{1}}\in A^{c},\tau_{A}<\infty)\nonumber\\ =P_{x}(X_{J_{1}}\in A,J_{1}=\tau_{A}<\infty)+E_{x}[I_{\{X_{J_{1}}\in A^{c}\}}I_{\{\tau_{A}<\infty\}}]\nonumber\\ =P_{x}(X_{J_{1}}\in A)+E_{x}[I_{\{X_{J_{1}}\in A^{c}\}}E[\theta^{J_{1}}I_{\{\sigma_{A}<\infty\}}|{\mathcal{F}}_{J_{1}}]]\nonumber\\ =\frac{q(x,A)}{q(x)}+E_{x}[I_{\{X_{J_{1}}\in A^{c}\}}E_{X_{J_{1}}}[I_{\{\sigma_{A}<\infty\}}]]\nonumber\\ =\frac{q(x,A)}{q(x)}+\int_{A^{c}}\frac{q(x,dy)}{q(x)}P_{y}(\tau_{A}<\infty).$

(3.3)

反证法, 假设$\exists x\in C^{\infty},$使得$\Pi(x,(C^{\infty})^{c})=\frac{q(x,(C^{\infty})^{c})}{q(x)}>0,$由 (3.3) 式及$C\subset C^{\infty}$, 有

$ 1=P_{x}(\tau_{C}<\infty)=\frac{q(x,C)}{q(x)}+\int_{C^{c}\cap C^{\infty}}\frac{q(x,dy)}{q(x)}P_{y}(\tau_{C}<\infty)+ \int_{C^{c}\cap (C^{\infty})^{c}}\frac{q(x,dy)}{q(x)}P_{y}(\tau_{C}<\infty)\\ =\frac{q(x,C)}{q(x)}+\frac{q(x,C^{c}\cap C^{\infty})}{q(x)}+\int_{(C^{\infty})^{c}}\frac{q(x,dy)}{q(x)}P_{y}(\tau_{C}<\infty)\\ <\frac{q(x,C)}{q(x)}+\frac{q(x,C^{c}\cap C^{\infty})}{q(x)}+\frac{q(x,(C^{\infty})^{c})}{q(x)}=1, $

矛盾, 所以$\forall x\in C^{\infty},$都有$\frac{q(x,(C^{\infty})^{c})}{q(x)}=0,$即$\Pi(x,C^{\infty})=\frac{q(x,C^{\infty})}{q(x)}=1,$所以$C^{\infty}$是跳跃链的吸收集, 由引理2.10可知, $C^{\infty}$也是跳过程的吸收集, 因此$C^{\infty}$是满集, 即$\psi\{x\in E: P_{x}(\tau_{C}<\infty)=1\}=1.$由定理1.2 (3) 可知$\psi(C)>0$, 即$C\in {\mathcal{E}}^{+}.$定理证毕.

下面几个命题讨论了跳过程、跳跃链、骨架链和预解链的$\varphi$-不可约的等价性.

命题4.1 跳过程$P(t,x,A)$是$\varphi$-不可约的$\Leftrightarrow$跳跃链$\Pi(x,A)$是$\varphi$-不可约的.

证 $\Leftarrow$设跳跃链$\Pi(x,A)$是$\varphi$-不可约的, 则当$\varphi(A)>0$时, 存在$n$, 使得$\forall x\in E,$都有$\Pi^{n}(x,A)>0.$由$q(x)<\infty, \forall x\in E,$有$\frac{1}{q(x)}>0, \forall x\in E,$因此$\displaystyle\int_{A}\Pi^{n}(x,dy)\frac{1}{q(y)}>0.$由引理2.8, 有

$\int_{0}^{\infty}P(t,x,A)dt=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\int_{A}\Pi^{k}(x,dy)\frac{1}{q(y)}\geq \int_{A}\Pi^{n}(x,dy)\frac{1}{q(y)}>0.$

所以跳过程$P(t,x,A)$是$\varphi$-不可约的.

$\Rightarrow$设跳过程$P(t,x,A)$是$\varphi$-不可约的, 则当$\varphi(A)>0$时, $\forall x\in E,$都有$\displaystyle\int_{0}^{\infty}P(t,x,A)dt>0.$由引理2.8, 有

$\sum\limits_{k=0}^{\infty}\int_{A}\Pi^{k}(x,dy)\frac{1}{q(y)}=\displaystyle\int_{0}^{\infty}P(t,x,A)dt>0.$

所以$\exists n$使得

$\int_{A}\Pi^{n}(x,dy)\frac{1}{q(y)}>0, \forall x\in E.$

因此$\Pi^{n}(x,A)>0, \forall x\in E.$由引理2.11可知, 跳跃链$\Pi(x,A)$是$\varphi$-不可约的.命题证毕.

命题4.2 跳过程$P(t,x,A)$是$\varphi$-不可约的$\Leftrightarrow$ $h$-骨架链$\{X_{nh},n\in Z_{+} \}$是$\varphi$-不可约的.

证 $\Leftarrow$设$h$-骨架链$\{X_{nh},n\in Z_{+} \}$的$m$-步转移概率函数为

$P_{h}^{m}(x,A):=P(mh,x,A),m\geq 1.$

由$h$-骨架链$\{X_{nh},n\in Z_{+} \}$是$\varphi$-不可约的, 则当$\varphi(A)>0$时, $\forall x\in E, \exists m\geq 1,$使得$P_{h}^{m}(x,A):=P(mh,x,A)>0.$由引理2.12可知, 跳过程$P(t,x,A)$是$\varphi$-不可约的.

$\Rightarrow$设跳过程$P(t,x,A)$是$\varphi$-不可约的, 则当$\varphi(A)>0$时, $\forall x\in E, \forall t>0,$有$P(t,x,A)>0.$更有$P_{h}^{m}(x,A):=P(mh,x,A)>0,$由引理2.11可知, $h$-骨架链$\{X_{nh},n\in Z_{+} \}$是$\varphi$-不可约的.命题证毕.

记

$R(x,A):=\int_{0}^{\infty}e^{-t}P(t,x,A)dt, x\in E, A\in \mathcal{E},$

为$P(t,x,A)$的一阶预解核, 以$R(x,A)$为一步转移概率的马氏链称为$P(t,x,A)$的预解链.

命题4.3 跳过程$P(t,x,A)$是$\varphi$-不可约的$\Leftrightarrow$预解链$R(x,A)$是$\varphi$-不可约的.

证  $\Leftarrow$设预解链$R(x,A)$是$\varphi$-不可约的, 则当$\varphi(A)>0$时, $\forall x\in E, \exists n\geq 1,$使得$R^{n}(x,A)>0.$由C-K方程, 有

$ R^{2}(x,A)=\int_{E}R(x,dy)R(y,A)=\int_{E}\int_{0}^{\infty}e^{-t_{1}}P(t_{1},x,dy)dt_{1}\int_{0}^{\infty}e^{-t_{2}}P(t_{2},y,A)dt_{2}\\ =\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-(t_{1}+t_{2})}\int_{E}P(t_{1},x,dy)P(t_{2},y,A)dt_{1}dt_{2}\\ =\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-(t_{1}+t_{2})}P(t_{1}+t_{2},x,A)dt_{1}dt_{2}. $

可以归纳地证明

$R^{n}(x,A)=\underbrace{\int_{0}^{\infty}\cdots \int_{0}^{\infty}}_{n}e^{-\sum\limits_{i=1}^{n}t_{i}}P(\sum\limits_{i=1}^{n}t_{i},x,A)dt_{1}\cdots dt_{n}.$

由$\forall x\in E,R^{n}(x,A)>0,$所以存在$m_{1},\cdots,m_{n}$使得

$P(\sum\limits_{i=1}^{n}m_{i},x,A)>0, \forall x\in E.$

由引理2.12可知, 跳过程$P(t,x,A)$是$\varphi$-不可约的.

$\Rightarrow$设跳过程$P(t,x,A)$是$\varphi$-不可约的, 则当$\varphi(A)>0$时, 有

$P(t,x,A)>0, \forall t>0, x\in E.$

等价地有

$R(x,A):=\int_{0}^{\infty}e^{-t}P(t,x,A)dt>0, \forall x\in E.$

由引理2.11可知, 预解链$R(x,A)$是$\varphi$-不可约的.