李超代数是在李代数基础上发展起来的一个代数学的分支.由于基域的特征数不同, 李超代数分为非模李超代数与模李超代数.目前, 非模李超代数 (即特征零域上的李超代数) 的研究已经取得了丰富的成果, 尤其是Kac的分类工作, Kac完成了有限维单李超代数及无限维单的线性紧致李超代数的分类^{[2, 3]}.模李超代数 (即素特征域上的李超代数) 的研究起步较晚 (早期文献见[4, 5]), 但近年来也取得了相当丰硕的研究成果.我们知道, Cartan型模李代数在有限维单模李代数的分类中占有重要地位^[6], 因此Cartan型模李超代数也将在有限维单模李超代数的分类中起到重要作用. 1997年, 张永正教授构造了四族有限维Cartan型单模李超代数$W, S, H, K$(相应于特征零的情形), 并讨论了它们的单性与限制性^[7].此后, 开始了对Cartan型单模李超代数的深入研究, 如导子超代数、滤过、自同构群等等^[8-11].刘文德教授于2004年发现了一族新的有限维Cartan型单模李超代数$HO$ ^[12].文献[13]研究了有限维Cartan型单模李超代数$KO$.可见, 有限维Cartan型单模李超代数的分类将不会是平凡的. 2009年S. Bouarroudj给出了具有不可分解Cartan矩阵的模李超代数的分类, 发现了11类新的例外单模李超代数^[14].目前, 有限维Cartan型单模李超代数的分类仍是重要而公开的问题. 2009年, 张永正教授利用截头多项式代数与Grassmann超代数做张量积, 得到了一族新的有限维单模李超代数$\Omega$, 即$\Omega$-型模李超代数, 给出了其导子超代数, 证明了其与已知的Cartan型模李超代数都不同构^[1].文献[15]讨论了$\Omega$-型模李超代数的滤过不变性.

李超代数的偶部可以看作是李代数, 并在李超代数结构的研究中起重要作用. Cartan型模李超代数$W$, $S$, 接触李超代数$K$及奇Hamiltonian李超代数的偶部导子的研究已经完成^[16-19].对于$\Omega$-型模李超代数$\Omega=\Omega_{\bar{0}}\bigoplus \Omega_{\bar{1}}$, 在伴随表示下可以把$\Omega_{\bar{1}}$看作是$\Omega_{\bar{0}}$-模, 进而可以研究偶部到奇部的导子.本文将确定$\Omega$-型模李超代数的偶部到奇部的具有负$\mathbb Z$-次数的导子.

本节中的定义及结果来自文献[1].本文总设$\mathbb F$是特征数$p>3$的域, 并且$\mathbb F$不等于它的素域$\Pi$.设$\mathbb{E} =\{ z_1, \cdots ,z_m \}$是$\mathbb F $中有限子集, 且$\mathbb{E}$在$\Pi $上是线性无关的.设由$ \mathbb{E}$生成的$\mathbb F $的加法子群$ H$不包含1.设$\mathbb N$与$\mathbb N_0$分别是自然数集与非负整数集.设$n\in\mathbb N $, $r=2n+2$.令$\mu_1$, $\cdots$, $\mu_{r-1} \in\mathbb F$, 且满足: $\mu_1=0$, $\mu_j+\mu_{n+j} =1$, $j=2,\cdots,n+1$.置$M=\{1,\cdots,r-1\}$, 令$s_i\in\mathbb N_0,$ $i=1,\cdots,r-1 $.我们定义截头多项式代数

$A=\mathbb{F}[x_{10},x_{11},\cdots,x_{1s_1},\cdots,x_{r-10},x_{r-11},\cdots ,x_{r-1s_{r-1}},y_1,\cdots,y_m]$

使得

$ x_{ij}^p=0,\,\forall\, i\in M, \,j=0,1,\cdots,s_i;\, \, y_i^p=1,\, i=1,\cdots,m .$

对任意$i\in M$, 令$\pi_i=p^{s_i+1}-1 $.设$k\in\mathbb N_0$, $0\leq k_i \leq \pi_i$, 则$k$可唯一地表示为$p$-adic的形式: $ k_i=\sum\limits_{v=0}^{s_i}\varepsilon_v (k_i) p^v$，其中$ 0\leq \varepsilon_v (k_i) <p $.定义$x_i^{k_i}=\prod\limits_{v=0}^{s_i} x_{iv}^{\varepsilon_v (k_i)}$.设$ Q=\{ (k_1,\cdots,k_{r-1})\mid\,0\leq k_i\leq \pi_i, \, i\in M \}$.若$ k =(k_1,\cdots,k_{r-1}) \in Q $, 则令$ x^{k}=x_1^{k_1}\cdots x_{r-1}^{k_{r-1}}$.约定$ x_i^{k_i}=0$, 若$ k_i<0$或$k_i>\pi_i,\,i\in M.$若$ 0\leq k_i,k_i'\leq\pi_i$, 易见

$\label{eq:02} x_i^{k_i} x_i^{k_i'}=x_i^{k_i+k_i'}\neq 0 \Leftrightarrow \varepsilon_v (k_i)+\varepsilon_v(k_i')< p,\,\,v=0,1,\cdots,s_i. $

任取$\lambda \in H$, 可设$\lambda=\sum\limits_{i=1}^m \lambda_i z_i $, 其中$ 0\leq \lambda_i< p.$定义$y^\lambda =y_1^{\lambda_1} \cdots y_m^{\lambda_m} $.设$q\in\mathbb N $, 且$q>1$.令$\Lambda (q)$是具有变元$ \xi_{r+1},\cdots,\xi_{r+q}$的Grassmann超代数.置$\tilde{\Omega}:=A\otimes \Lambda(q)$.设${\mathbb Z}_2=\{\bar{0},\bar{1}\}$是整数模2的剩余类环, 则$A$的平凡的${\mathbb Z}_2$-阶化与$\Lambda(q)$的自然的${\mathbb Z}_2$-阶化诱导了$\tilde{\Omega}$的一个${\mathbb Z}_2$-阶化, 使得$\tilde{\Omega}$是一个结合超代数.若$f\in A, g\in \Lambda (q)$, 则将$\tilde{\Omega}$中的元素$f \otimes g$简记为$fg$.对$k\in \{1,\cdots,q \}$, 定义

$\mathbb B_k=\{\langle i_1,i_2,\cdots,i_k\rangle\mid r+1\leq i_1<i_2< \cdots <i_k\leq r+q\}.$

令$\mathbb B(q)=\bigcup\limits _{k=0}^q\mathbb B_k$, 其中$\mathbb B_0=\emptyset $.若$u=\langle i_1,\cdots,i_k\rangle\in\mathbb B_k$, 则令$|u | =k, \{ u\}=\{i_1,\cdots,i_k\}$与$\xi^u=\xi_{i_1}\cdots\xi_ {i_k}$.约定$|\emptyset|=0 $与$\xi ^{\emptyset} =1 $.则$\{x^{k}y^\lambda \xi^u \mid k \in Q, \lambda \in H,u\in\mathbb B(q)\}$是$\tilde{\Omega}$的一个$\mathbb F$-基底.若$|x|$出现本文的某个表达式中, 则约定$x$是$\mathbb Z_2$-齐次元素, $|x|$是$x$的$\mathbb Z_2$-次数.

设$s=r+q$, $T=\{r+1,\cdots,s \}$.若$i\in M$, 则定义$\tilde{i}=\bar{0}\in \mathbb Z_2$.若$i\in T$, 则定义$ \tilde{i}=\bar{1}\in \mathbb Z_2$.

若$2\leq i\leq n+1$, 则令$i'=i+n$与$[i]=1$; 若$n+2\leq i\leq r-1$, 则令$i'=i-n$与$[i]=-1$; 若$i\in T$, 则令$i'=i$与$[i]=1$.

设$e_i=(\delta_{i1},\cdots,\delta_{i{r-1}}),i=1,\cdots,{r-1}.$定义$D_j\in {\mathbb End}(\tilde{\Omega}),$ $j\in T$, 使得$D_j(x^{k}y^\lambda\xi^u)=\frac{\partial}{\partial \xi_j}.$易见$ D_j$是$\tilde{\Omega} $的奇导子.定义$D_i\in{\mathbb End}(\tilde{\Omega}), $ $i\in M, $使得$D_i(x^{k}y^\lambda\xi^u)=k_i^*x^{k-e_i}y^\lambda\xi^u, $其中$k_i^* $为$\varepsilon_0(k_i),\varepsilon_1(k_i),\cdots,\varepsilon_{s_i}(k_i)$的第一个非零元.易见$D_i$是$ \tilde{\Omega}$的偶导子.设$M_1=\{2,3,\cdots,r-1\}.$令

$\bar{\partial}=I-\sum\limits_{j \in {M_1}} {{\mu _j}} {x_{j{\kern 1pt} 0}}\frac{\partial }{{\partial {x_{j{\kern 1pt} 0}}}}-\sum\limits_{j=1}^m z_j y_j\frac{\partial}{\partial y_j} -2^{-1}\sum\limits_{j\in T}\xi_j\frac{\partial}{\partial \xi_j},$

这里$I$是$\tilde{\Omega}$的恒等变换.在$\tilde{\Omega}$中定义双线性[, ]运算, 使得对任意$f\in h(\tilde{\Omega}),g\in \tilde{\Omega}$, 有

$\label{eq:04} [f,g]=D_1(f)\bar{\partial}(g)-\bar{\partial}(f)D_1(g) +\sum\limits_{i\in M_1\cup T}[ i ](-1)^{\tilde{i}|f|}D_i(f)D_{i'}(g). $

容易证明, 关于上式定义的[, ]运算, $\tilde{\Omega}$是一个单李超代数, 且当$2n+4-q\not\equiv 0\,(\mathrm{mod} p)$时, $\lambda+2^{-1}q-n-2\neq 0$.以下总假设$2n+4-q\not\equiv 0\,(\mathrm{mod} p)$, 并记$\tilde{\Omega}$为$\Omega$.

令$x_i=x_i^{1}=x_{i0}, \forall\, i\in M$.置$\pi=(\pi_1,\cdots,\pi_{r-1}),$ $\omega=\langle r+1,\cdots,s\rangle$.设$i\in \mathbb{Z}$, 令

$ \Omega_i={\langle}x^k y^\eta\xi^u\mid\sum\limits_{i\in M_1}k_i+2k_1+|u|-2=i{\rangle}, $

则$\Omega=\bigoplus_{i=-2}^{i=\tau}\Omega_i$是$\mathbb{Z}$-阶化李超代数, 其中$\tau=\sum\limits_{i\in M_1} \pi_i+2\pi_1+q-2.$

下面将给出$\Omega$-型模李超代数的偶部生成元集.令

$ \mathbb B^{0}=\{\langle i_1,i_2,\cdots,i_k\rangle\mid r+1\leq i_1<i_2< \cdots <i_k\leq r+q,\,k=2l,l\in \mathbb{N}_{0}\}, \\ \mathbb B^{1}=\{\langle i_1,i_2,\cdots,i_k\rangle\mid r+1\leq i_1<i_2< \cdots <i_k\leq r+q,\,k=2l,l\in \mathbb{N}\}.$

易见$\Omega_{\bar{0}}:=\mathrm{span}_{\mathbb{F}}\big\{x^{k}y^\lambda\xi^u\mid {k\in Q},\,\lambda\in H,\,{u\in \mathbb{B}^{0}}\}$.

命题2.1 设

$ R_1:=\{x_{i}x_{j'}x_{j}y^\lambda\mid {i,j,j'\in M_{1}},\,\lambda\in H\},\\ R_2:= \{x_{i}\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda\mid {i\in M},{d,h\in T},\,\lambda\in H\},\\ R_3: =\{x_i^{k_i}y^\lambda\mid {0\leq k_i\leq \pi_i,\,{i\in M}},\,\lambda\in H\},$

则$R_1\bigcup R_2\bigcup R_3$生成$\Omega_{\bar{0}}$.

证 设由$R_1\bigcup R_2\bigcup R_3$生成的子代数为$L$.对于$\forall\,i\in M_{1},\,d,h,t,v,z\in T,\lambda\in H$, 有

$ x_i^{\pi_i-1}\xi_{t}\xi_{v}y^\lambda=-[ i ][x_i^{\pi_i},x_{i'}\xi_{t}\xi_{v}y^\lambda]\in L, \\ x_i^{\pi_i}\xi_{t}\xi_{v}y^\lambda=-[x_i^{\pi_i-1}\xi_{t}\xi_{d},x_{i}\xi_{d}\xi_{v}y^\lambda]\in L, \\ x_i^{\pi_i-1}\xi_{d}\xi_{h}\xi_{t}\xi_{v}y^\lambda=[x_{i'}\xi_{d}\xi_{h}, x_i^{\pi_i}\xi_{t}\xi_{v}y^\lambda]\in L, $

并且有

$x_i^{\pi_i}\xi_{d}\xi_{h}\xi_{t}\xi_{v}y^\lambda=-[x_{i}\xi_{z}\xi_{d}, x_i^{\pi_i-1}\xi_{z}\xi_{h}\xi_{t}\xi_{v}y^\lambda]\in L.$

(2.1)

利用归纳法容易证明$ x_i^{\pi_i}y^\lambda\xi^u\in L,$ $\forall\,i\in M_{1},\,\lambda\in H,\,u\in \mathbb{B}^{1}.$进而, 对于$\forall\,i\in M_1,\,d,h,t\in T$, 得到

$x_1^{\pi_1}\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda=(\lambda-1)^{-1}[x_1^{\pi_1}y^\lambda,x_1\xi_{d}\xi_{h}]\in L, \\ x_1^{\pi_1}x_i^{\pi_i}\xi_{h}\xi_{t}y^\lambda=[x_1^{\pi_1}\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda, x_i^{\pi_i}\xi_{d}\xi_{t}]\in L,\nonumber\\ x_1^{\pi_1}x_2^{\pi_2}x_i^{\pi_i}\xi_{t}\xi_{d}y^\lambda=[x_1^{\pi_1}x_i^{\pi_i}\xi_{h}\xi_{t}y^\lambda, x_2^{\pi_2}\xi_{h}\xi_{d}]\in L. \nonumber$

(2.2)

同样用归纳法可以证明$x^{\pi}y^\lambda\xi^u\in L,\,\forall\,\lambda\in H,\,u\in \mathbb{B}_{2}.$ $\forall\,i\in M_{1},\,d,h,t,v,z\in T$, 由 (2.1) 和 (2.2) 式, 有

$ x_1^{\pi_1}x_i^{\pi_i}\xi_{h}\xi_{z}\xi_{v}\xi_{t}y^\lambda=[x_1^{\pi_1}\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda, x_i^{\pi_i}\xi_{d}\xi_{z}\xi_{v}\xi_{t}]\in L, \\ x_1^{\pi_1}x_i^{\pi_i}x_2^{\pi_2}\xi_{z}\xi_{v}\xi_{t}\xi_{d}y^\lambda=[x_1^{\pi_1}x_i^{\pi_i}\xi_{h}\xi_{z}\xi_{v}\xi_{t}y^\lambda, x_2^{\pi_2}\xi_{h}\xi_{d}]\in L. $

以此类推, 可以得到$ x^{\pi}y^\lambda\xi^u\in L,\,\forall\,\lambda\in H,\,u\in \mathbb{B}_4.$进一步, 可以得到$ x^{\pi}y^\lambda\xi^u\in L,\,\forall\,\lambda\in H,\,u\in \mathbb{B}^{1}.$

下面将证明$ x^{\pi}y^\lambda\in L,\,\forall\,\lambda\in H.$由于$4[ i ]x_ix_{i'}y^\lambda=[x_i^{2}y^\lambda, x_i'^{2}]\in L,$因此

$-2\lambda x_1x_ix_{i'}y^\lambda=[x_1^{2}, x_ix_{i'}y^\lambda]\in L. $

当$\lambda\neq0$时,

$ 2\lambda (1 + \lambda)x_1x_ix_{i'}y^\lambda=[x_1,[x_1^{2}, x_ix_{i'}y^\lambda]]\in L,\\ 2\lambda x_1x_ix_{i'}=[x_1,[x_1^{2}y^{-\lambda}, x_ix_{i'}y^\lambda]]\in L.$

从而, 得到$x_1x_ix_{i'}y^\lambda \in L.$由于$ x_2^{\pi_2}x_1y^\lambda=-[2][x_2^{\pi_2}y^\lambda, x_1x_2x_{2'}]\in L$, 于是有

$(\lambda-\mu_{2}-2)x_1^{\pi_1}x_2^{\pi_2}y^\lambda=[x_1^{\pi_1}y^\lambda, x_2^{\pi_2}x_1]\in L.$

若$\lambda-\mu_{2}-2\not\equiv 0\,(\mathrm{mod} p)$, 那么有$x_1^{\pi_1}x_2^{\pi_2}y^\lambda\in L.$ $\forall\,i,j\in M_{1}$, 有

$6x_ix_{i'}x_iy^\lambda=[i'][x_{i'}^2y^\lambda,x_i^3]\in L,\\ 2x_ix_{i'}x_jx_{j'}y^\lambda=[i'][x_ix_{i'}x_iy^\lambda,x_{i'}x_jx_{j'}]\in L,\\ x_1^{\pi_1}x_2^{\pi_2}x_3x_{3'}y^\lambda=[2][x_1^{\pi_1}x_2^{\pi_2}y^\lambda, x_2x_{2'}x_3x_{3'}]\in L,\\ x_1^{\pi_1}x_2^{\pi_2}x_3^{\pi_3}y^\lambda=-[3][x_3^{\pi_3}y^\lambda,x_1^{\pi_1}x_2^{\pi_2}x_3x_{3'}]\in L,\\ x_1^{\pi_1}x_2^{\pi_2}x_3^{\pi_3}x_4x_{4'}y^\lambda=[3][x_1^{\pi_1}x_2^{\pi_2}x_3^{\pi_3}y^\lambda,x_3x_{3'}x_4x_{4'}]\in L,\\ x_1^{\pi_1}x_2^{\pi_2}x_3^{\pi_3}x_4^{\pi_4}y^\lambda=-[4][x_4^{\pi_4}y^\lambda,x_1^{\pi_1}x_2^{\pi_2}x_3^{\pi_3}x_4x_{4'}]\in L.$

如此做下去, 可以得到$x^{\pi}y^\lambda\in L$.设$\lambda-\mu_{2}-2\equiv 0\,(\mathrm{mod} p)$.直接计算可知

$x_1x_3^{\pi_3}y^\lambda=[3][x_3^{\pi_3}y^\lambda,x_1x_3x_{3'}]\in L.$

同理$x_1x_{3'}^{\pi_{3'}}y^\lambda\in L.$于是

$[x_1x_3^{\pi_3}y^\lambda,x_{3'}^{\pi_{3'}}]=(1+\mu_{3'})x_3^{\pi_3}x_{3'}^{\pi_{3'}}y^\lambda+[3]x_1x_3^{\pi_3-1}x_{3'}^{\pi_{3'}-1}y^\lambda\in L.$

(2.3)

因为$x_3^{\pi_3-1}x_{3'}^{\pi_{3'}-1}y^\lambda=[3][x_3^{\pi_3}y^\lambda,x_{3'}^{\pi_{3'}}]\in L$, 所以$6x_1x_3^{\pi_3-1}x_{3'}^{\pi_{3'}-1}y^\lambda=[x_1^2y^\lambda,x_3^{\pi_3-1}x_{3'}^{\pi_{3'}-1}]\in L$.由式 (2.3), 可以知道$(1+\mu_{3'})x_3^{\pi_3}x_{3'}^{\pi_{3'}}y^\lambda\in L$.于是, 若$1+\mu_{3'}\not\equiv 0\,(\mathrm{mod} p)$, 则$x_3^{\pi_3}x_{3'}^{\pi_{3'}}y^\lambda\in L$.若$1+\mu_{3'}\equiv 0\,(\mathrm{mod} p)$, 则$1+\mu_{3}\not\equiv 0\,(\mathrm{mod} p)$.将 (2.3) 式中的$3$换成$3'$, 同样得到$(1+\mu_{3})x_3^{\pi_3}x_{3'}^{\pi_{3'}}y^\lambda\in L$.因此$x_3^{\pi_3}x_{3'}^{\pi_{3'}}y^\lambda\in L$.进而有

$ -2x_3^{\pi_3}x_{3'}^{\pi_{3'}}x_2x_{2'}y^\lambda=[x_3^{\pi_3}x_{3'}^{\pi_{3'}},x_1x_2x_{2'}y^\lambda]\in L, \\ x_3^{\pi_3}x_{3'}^{\pi_{3'}}x_{2'}^{\pi_{2'}}y^\lambda=-[2'][x_3^{\pi_3}x_{3'}^{\pi_{3'}}x_2x_{2'}y^\lambda,x_2^{\pi_2}]\in L, \\ x_3^{\pi_3}x_{3'}^{\pi_{3'}}x_{2}^{\pi_{2}}x_1y^\lambda=[2][x_{2}^{\pi_{2}}x_3^{\pi_3}x_{3'}^{\pi_{3'}}y^\lambda,x_1x_2x_{2'}]\in L. $

故$(\lambda-\mu_{2}-3)x_1^{\pi_1}x_2^{\pi_2}x_3^{\pi_3}x_{3'}^{\pi_{3'}}y^\lambda=[x_1^{\pi_1}y^\lambda, x_2^{\pi_2}x_3^{\pi_3}x_{3'}^{\pi_{3'}}x_1]\in L. $显然, $\lambda-\mu_{2}-3\not\equiv 0\,(\mathrm{mod} p)$.类似于$\lambda-\mu_{2}-2\not\equiv 0\,(\mathrm{mod} p)$情形的讨论, 我们可以得到$x^{\pi}y^\lambda\in L.$

注意到$(1-\lambda )x^{\pi-\varepsilon_{1}}y^\lambda\xi^{u}=[y^\lambda, x^{\pi}\xi^{u}]\in L$及$x^{\pi-\varepsilon_{i'}}y^\lambda\xi^{u} =[i][x_iy^\lambda, x^{\pi}\xi^{u}]\in L,$ $\forall\,i\in M_{1},\,\lambda\in H,\,u\in \mathbb{B}^{0}.$

综上所述, 对于任意的$k \in Q,\,\lambda\in H,\,u \in \mathbb{B}^{0},$有$x^ky^\lambda\xi^u \in L.$即$\Omega_{\bar{0}}=L$.

令$G:=\mathrm{span}_{\mathbb{F}}\big\{\xi^u y^\lambda\mid {u\in \mathbb{B}},\,\lambda\in H,\,|\xi^u y^\lambda|=\bar{1}\}.$

引理2.2 设$\phi\in{ \rm{Der}}(\Omega_{\bar{0}},\Omega_{\bar{1}})$, $\phi(\Omega_{-2}\oplus\Omega_{-1})=0$及$[E,\Omega_{-2}\oplus\Omega_{-1}]\subseteq {\rm ker}(\phi),$其中$E\in \Omega_{\bar{0}}.$则有$\phi(E)\in G.$

证 由已知条件$[E,\Omega_{-2}\oplus\Omega_{-1}]\subseteq {\rm ker}(\phi),$就可以得到

$\phi[E,\Omega_{-2}\oplus\Omega_{-1}]=[\phi(E),\Omega_{-2}\oplus\Omega_{-1}]=[\phi(E),\Omega_{-2}]\oplus[\phi(E),\Omega_{-1}]=0.$

(2.4)

由于$\phi\in {\rm Der}(\Omega_{\bar{0}},\Omega_{\bar{1}}) $及$E\in \Omega_{\bar{0}},$故$\phi(E)\in \Omega_{\bar{1}}$.利用 (2.4) 式可知$D_{i}(\phi(E))=0$, $\forall\,i\in M$.从而得到$\phi(E)\in G.$

本节将确定$\Omega$-型模李超代数偶部到奇部的具有负$\mathbb Z$-次数的导子.这里约定: $q>3$并且$q$是偶数.

引理3.1 设$\phi\in {\rm Der}_{-1}(\Omega_{\bar{0}},\Omega_{\bar{1}})$且$\phi(\Omega_0)=0$, 则$\phi=0$.

证 利用命题2.1, 首先证明$\phi(x_i\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda)=0,$ $\forall\,i\in M,\,d,h\in T,\,\lambda\in H.$

$\forall\,i\in M_{1},$有$[x_i\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda,x_1]=(\lambda+\mu_i)x_i\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda$.故

$ [\phi(x_i\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda),x_1]=\phi[x_i\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda,x_1]=(\lambda+\mu_i)\phi(x_i\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda). $

又由于$\phi(x_i\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda)\in \Omega_{\bar{1}}$且$\phi(x_i\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda)$的$\mathbb{Z}$-次数为0, 则可设

$\phi(x_i\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda)= \sum\limits_{ i\in M_1,d\in T,\lambda\in H}\alpha_{id\lambda}x_i\xi_{d}y^\lambda, \alpha_{id\lambda}\in \mathbb{F}.$

从而

$ [\phi(x_i\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda),x_1]= \sum\limits_{ i\in M_1,d\in T,\lambda\in H}\alpha_{id\lambda}[x_i\xi_{d}y^\lambda,x_1]=(\lambda+\mu_i-2^{-1})\phi(x_i\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda). $

由此可以得到$\phi(x_i\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda)=0,$ $\forall\,i\in M_{1}.$同理, $\phi(x_ix_jx_{j'}y^\lambda)=0,$ $\forall\,i,\,j\in M_1,\,\lambda\in H$.

现在证明$\phi(x_1\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda)=0,$ $\forall\,d,\,h\in T,\,\lambda\in H.$因为$\phi(x_1\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda)\in \Omega_{\bar{1}}$且$\phi(x_1\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda)$的$\mathbb{Z}$-次数为1, 故可设

$ \phi(x_1\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda)= \sum\limits_{z\in T,\lambda\in H}\alpha_{z\lambda}x_1\xi_{z}y^\lambda+\sum\limits_{i,j\in M_{1},f\in T,\lambda\in H}\beta_{ijf\lambda}x_ix_j\xi_{f}y^\lambda +\sum\limits_{g,v,t\in T,\lambda\in H}\gamma_{gvt\lambda}\xi_{g}\xi_{v}\xi_{t}y^\lambda, $

这里$\alpha_{z\lambda},\,\beta_{ijf\lambda},\,\gamma_{gvt\lambda}\in \mathbb{F}$.进而,

$\ [\phi(x_1\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda),\xi_{d}\xi_{h}]\\ =\sum\limits_{z\in T,\lambda\in H}\alpha_{z\lambda}[x_1\xi_{z}y^\lambda,\xi_{d}\xi_{h}]+ \sum\limits_{i,j\in M_{1},f\in T,\lambda\in H}\beta_{ijf\lambda}[x_ix_j\xi_{f}y^\lambda,\xi_{d}\xi_{h}]\\ + \sum\limits_{g,v,t\in T,\lambda\in H}\gamma_{gvt\lambda} [\xi_{g}\xi_{v}\xi_{t}y^\lambda,\xi_{d}\xi_{h}]\\ =-\sum\limits_{\lambda\in H}\alpha_{d\lambda}x_1\xi_{h}y^\lambda+\sum\limits_{\lambda\in H}\alpha_{h\lambda}x_1\xi_{d}y^\lambda -\sum\limits_{i,j\in M_{1},\lambda\in H}\beta_{ijd\lambda}x_ix_j\xi_{h}y^\lambda +\sum\limits_{i,j\in M_{1},\lambda\in H}\beta_{ijh\lambda}x_ix_j\xi_{d}y^\lambda\\ -\sum\limits_{v,t\in T\backslash\{d,\,h\},\lambda\in H}\gamma_{dvt\lambda}\xi_{h}\xi_{v}\xi_{t}y^\lambda+\sum\limits_{v,t\in T\backslash\{d,\,h\},\lambda\in H}\gamma_{hvt\lambda}\xi_{d}\xi_{v}\xi_{t}y^\lambda. $

又因为$[x_1\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda,\xi_{d}\xi_{h}]=0$, 所以$[\phi(x_1\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda),\xi_{d}\xi_{h}]=0$.通过上式表明

$ \alpha_{d\lambda}=\alpha_{h\lambda}=0,\,\beta_{ijd\lambda}=\beta_{ijh\lambda}=0,\, \gamma_{dvt\lambda}=\gamma_{hvt\lambda}=0. $

由于$[x_1\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda,\xi_{c}\xi_{e}]=0$, 进而可以得到$[\phi(x_1\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda),\xi_{c}\xi_{e}]=0$, 其中$d,h,c,e\in T$且彼此互不相同.类似的, 有

$\ [\phi(x_1\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda),\xi_{c}\xi_{e}]\\ =\sum\limits_{z\in T,\lambda\in H}\alpha_{z\lambda}[x_1\xi_{z}y^\lambda,\xi_{c}\xi_{e}]+ \sum\limits_{i,j\in M_{1},f\in T,\lambda\in H}\beta_{ijf\lambda}[x_ix_j\xi_{f}y^\lambda,\xi_{c}\xi_{e}]\\ +\sum\limits_{g,v,t\in T,\lambda\in H}\gamma_{gvt\lambda} [\xi_{g}\xi_{v}\xi_{t}y^\lambda,\xi_{c}\xi_{e}]\\ =-\sum\limits_{\lambda\in H}\alpha_{c\lambda}x_1\xi_{e}y^\lambda+\sum\limits_{\lambda\in H}\alpha_{e\lambda}x_1\xi_{c}y^\lambda -\sum\limits_{i,j\in M_{1},\lambda\in H}\beta_{ijc\lambda}x_ix_j\xi_{e}y^\lambda +\sum\limits_{i,j\in M_{1},\lambda\in H}\beta_{ije\lambda}x_ix_j\xi_{c}y^\lambda\\ -\sum\limits_{v,t\in T\backslash\{c,\,e\},\lambda\in H}\gamma_{cvt\lambda}\xi_{e}\xi_{v}\xi_{t}y^\lambda+\sum\limits_{v,t\in T\backslash\{c,\,e\},\lambda\in H}\gamma_{evt\lambda}\xi_{c}\xi_{v}\xi_{t}y^\lambda. $

故$ \alpha_{c\lambda}=\alpha_{e\lambda}=0,\,\beta_{ijc\lambda}=\beta_{ije\lambda}=0,\, \gamma_{cvt\lambda}=\gamma_{evt\lambda}=0. $以此类推, 可以得到

$\ \sum\limits_{z\in T,\lambda\in H}\alpha_{z\lambda}=\sum\limits_{i,j\in M_{1},f\in T,\lambda\in H}\beta_{ijf\lambda} =\sum\limits_{g,v,t\in T,\lambda\in H}\gamma_{gvt\lambda}=0. $

进而, 最终可以得到$\phi(x_1\xi_d\xi_hy^\lambda)=0$.

下面将证明$\phi(x_i^{k_i}y^\lambda)=0$, $\forall\,i\in M,$ $0\leq k_i \leq\pi_i,\, \lambda\in H.$

(ⅰ) 设$i\in M_{1}$.我们利用数学归纳法. $k_i=0$时显然成立.由于$[x_i^{k_i}y^\lambda,y^\lambda]=0$及$\phi(\Omega_{-2})=0$, 有$\phi[x_i^{k_i}y^\lambda,\Omega_{-2}]=0.$显然$[x_i^{k_i}y^\lambda,x_j]=[i]\delta_{i'j}k_i^*x_i^{k_i-1}y^\lambda,$ $\forall\,i,j\in M_{1},\, \lambda\in H.$将$\phi$作用上式, 并由归纳假设知$\phi[x_i^{k_i}y^\lambda,\Omega_{-1}]=0.$则由引理2.2, 可知$\phi(x_i^{k_i}y^\lambda)\in G_{k_i-3}.$又由于$k_i-3\geq0$, 于是可设

$\phi(x_i^{k_i}y^\lambda)= \sum\limits_{u\in \mathbb{B}_{a}(a\geq3),\lambda\in H}\theta_{u\lambda}\xi^{u}y^\lambda,\,\,\,\,\,\theta_{u\lambda}\in \mathbb{F}.$

(3.1)

如果$k_i-3=q-2$, 则根据 (3.1) 式, 有$\phi(x_i^{k_i}y^\lambda)= \sum\limits_{\lambda\in H}\theta_{\omega\lambda}\xi^{\omega}y^\lambda$, 其中$\theta _{\omega\lambda}\in \mathbb{F}.$显然

$[\phi(x_i^{k_i}y^\lambda),x_i\xi_{j}]=\sum\limits_{\lambda\in H}\theta_{\omega\lambda}[\xi^{\omega}y^\lambda,x_i\xi_j] =-\sum\limits_{\lambda\in H}\theta_{\omega\lambda}\xi^{w-<j>}x_iy^\lambda . $

由于$[\phi(x_i^{k_i}y^\lambda),x_i\xi_{j}]=0$, 故$\sum\limits_{\lambda\in H}\theta_{\omega\lambda}=0$.因而$\phi(x_i^{k_i}y^\lambda)=0.$

如果$0\leq k_i-3\leq q-3$, 有$\phi(x_i^{k_i}y^\lambda)= \sum\limits_{u\in \mathbb{B}_{a}(3\leq a\leq q-1),\lambda\in H}\theta_{u\lambda}\xi^{u}y^\lambda$, 其中$\theta _{u\lambda}\in \mathbb{F}.$由于$3\leq |u|\leq q-1$, 所以可以取$t\in u,v \not\in u, t,v\in T$.易见,

$[\phi(x_i^{k_i}y^\lambda),\xi_t\xi_{v}]=\sum\limits_{u\in \mathbb{B}_{a}(3\leq a\leq q-1),\lambda\in H}\theta_{u\lambda}[\xi^{u}y^\lambda,\xi_t\xi_v] =-\sum\limits_{u\in \mathbb{B}_{a}(3\leq a\leq q-1),\lambda\in H}\theta_{u\lambda}\xi^{u-<t>}\xi_vy^\lambda. $

因为$[\phi(x_i^{k_i}y^\lambda),\xi_t\xi_{v}]=0$, 所以$\sum\limits_{u\in \mathbb{B}_{a}(3\leq a\leq q-1),\lambda\in H}\theta_{u\lambda}=0$.因此得到$ \phi(x_i^{k_i}y^\lambda)=0.$

如果$k_i-3>q-2,$由引理2.2知$\phi(x_i^{k_i}y^\lambda)\in G$.注意到$G\subseteq \bigoplus_{i=-2}^{q-2} (\Omega_{\bar{1}})_i$, 有

$\phi(x_i^{k_i}y^\lambda)\in G\bigcap\Omega_{k_i-3}=0.$

综上, 得到$\phi(x_i^{k_i}y^\lambda)=0,$ $\forall\,i\in M_1$, $0\leq k_i\leq \pi_i$, $\lambda\in H$.

(ⅱ) 现在证明$\phi(x_1^{k_1}y^\lambda)=0,$ $0\leq k_1\leq \pi_1,$ $\lambda\in H$.当$k_1=0$时, 显然有$\phi(x_1^{k_1}y^\lambda)=0.$当$k_1=1$时, 由已知条件$\phi(\Omega_0)=0,$可知$\phi(x_1^{k_1}y^\lambda)=0$.设$k_1>1$.令$\phi(\Omega_{\bar{1}})=0$, 则$\phi$可扩充成$\Omega$的导子.易见$\phi(x_1^{k_1-1}\xi_j)=0$及$\phi(x_i\xi_jy^\lambda)=0,\,\forall\,i\in M_1,\, j\in T.$所以有$\phi[x_1^{k_1}y^\lambda,\xi_j]=0$及$\phi(x_1^{k_1-1}x_iy^\lambda)=-\phi[x_1^{k_1-1}\xi_j,x_i\xi_jy^\lambda]=0,\,\forall\,i\in M_1,\,j\in T.$进而, 我们可以得到$\phi[x_1^{k_1}y^\lambda,x_i]=0.$又因为$\phi(x_i)=\phi(\xi_j)=0$, 所以由文献[1, 引理3.5]可知$\phi(x_1^{k_1}y^\lambda)\in \Omega_{-2}.$然而$\phi(x_1^{k_1}y^\lambda)\in \Omega_{2k_1-3},$ $k_1>1,$于是$\phi(x_1^{k_1}y^\lambda)\in \Omega_{-2}\bigcap \Omega_{2k_1-3}=0.$故$\phi(x_1^{k_1}y^\lambda)=0.$

综上, 由命题2.1知$\phi=0$.

定理3.2 $ {\rm Der}_{-1}(\Omega_{\bar{0}},\Omega_{\bar{1}})$=${\rm ad}(\Omega_{\bar{1}})_{-1}$.

证 设$\phi\in {\rm Der}_{-1}(\Omega_{\bar{0}},\Omega_{\bar{1}})$且

$(\Omega_{\bar{0}})_0=\mathrm{span}_{\mathbb{F}}\big\{x_ix_jy^\lambda,\xi_d\xi_hy^\lambda,x_1y^\lambda\mid {i,j\in M_1},\,{d,h\in T},\,\lambda\in H\}.$

因为$\phi(\Omega_{\bar{0}})\in (\Omega_{\bar{1}})_{-1}$, 则可以设$\phi(\Omega_{\bar{0}})= \sum\limits_{t\in T,\eta\in H}\theta_{t\eta}\xi_ty^\eta.$由于$\eta-\lambda\in H,$所以$\eta-\lambda\neq 1.$设

$E:=\sum\limits_{t\in T,\eta\in H}(\eta-\lambda-2^{-1})^{-1}\theta_{t\eta}\xi_ty^{\eta-\lambda}.$

令$\varphi:=\phi-{\rm ad}E.$当$\eta-\lambda-2^{-1}\neq0$时, 直接计算得到$\varphi(x_1y^\lambda)=(\phi-{\rm ad}E)(x_1y^\lambda)=0$.若$j\neq i'$, 由于$x_ix_jy^\lambda=[i'][x_ix_{i'},x_ix_jy^\lambda]$, 所以$\varphi(x_ix_jy^\lambda)=0.$若$j=i'$, 由

$x_ix_{i'}y^\lambda=4^{-1}[i][x_i^2,x_{i'}^2y^\lambda],$

得到$\varphi(x_ix_{i'}y^\lambda)=0,\,\forall\,i\in M_1.$因而$\varphi(x_ix_jy^\lambda)=0.$因为

$ \varphi(\xi_d\xi_hy^\lambda)=\sum\limits_{t\in T,\eta\in H}\theta_{t\eta}\xi_t y^\eta+\sum\limits_{\eta\in H}(\eta-\lambda-2^{-1})^{-1}\theta_{d\eta}\xi_hy^{\eta}- \sum\limits_{\eta\in H}(\eta-\lambda-2^{-1})^{-1}\theta_{h\eta}\xi_dy^{\eta}, $

所以可以得到

$[\varphi(\xi_d\xi_hy^\lambda),x_1]\nonumber\\ =\sum\limits_{t\in T,\eta\in H}\theta_{t\eta}[\xi_ty^\eta,x_1]+\sum\limits_{\eta\in H}(\eta-\lambda-2^{-1})^{-1}\theta_{d\eta}[\xi_hy^\eta,x_1] - \sum\limits_{\eta\in H}(\eta-\lambda-2^{-1})^{-1}\theta_{h\eta}[\xi_dy^\eta,x_1]\nonumber\\ =(\eta-2^{-1})[\sum\limits_{t\in T,\eta\in H}\theta_{t\eta}\xi_ty^\eta+\sum\limits_{\eta\in H}(\eta-\lambda-2^{-1})^{-1}\theta_{d\eta}\xi_hy^{\eta}- \sum\limits_{\eta\in H}(\eta-\lambda-2^{-1})^{-1}\theta_{h\eta}\xi_dy^{\eta}]\nonumber\\ =(\eta-2^{-1})\varphi(\xi_d\xi_hy^\lambda).$

(3.2)

又

$[\varphi(\xi_d\xi_hy^\lambda),x_1]=\varphi[\xi_d\xi_hy^\lambda,x_1]=\lambda(\varphi(\xi_d\xi_hy^\lambda)).$

(3.3)

于是由 (3.2) 和 (3.3) 式知道, 当$\eta\neq\lambda+2^{-1}$时, $\varphi(\xi_d\xi_hy^\lambda)=0.$而当$\eta\neq\lambda+2^{-1}$时, 由于$\varphi=\phi-{\rm ad}E,$故$\sum\limits_{t\in T,\eta\in H}\theta_{t\eta}=0.$因此$\varphi(\xi_d\xi_hy^\lambda)=0.$

综上所述, $\varphi((\Omega_{\bar{0}})_0)=0.$由引理3.1知$\varphi=\phi-{\rm ad}E=0.$进而$\phi={\rm ad}E$.

定理3.3 $ {\rm Der}_{-2}(\Omega_{\bar{0}},\Omega_{\bar{1}})=0$.

证 设$\phi\in {\rm Der}_{-2}(\Omega_{\bar{0}},\Omega_{\bar{1}})$, 则$\phi(x_ix_{j'})=0$.先证明$\phi(x_i\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda)=0,$ $\forall\,i\in M,\,d,h\in T,\,\lambda\in H.$对于$i\in M_{1},$有

$[\phi(x_j\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda),x_ix_{j'}]=\phi[x_j\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda,x_ix_{j'}]=-[j]\phi(x_i\xi_d\xi_hy^\lambda).$

又由于$\phi(x_j\xi_d\xi_hy^\lambda)\in (\Omega_{\bar{1}})_{-1}$, 可设$\phi(x_j\xi_d\xi_hy^\lambda)= \sum\limits_{t\in T,\lambda\in H}\theta_{t\lambda}\xi_ty^\lambda$, 其中$\theta_{t\lambda}\in \mathbb{F}.$所以

$[\phi(x_j\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda),x_ix_{j'}]=\sum\limits_{t\in T,\lambda\in H}\theta_{t\lambda}[\xi_ty^\lambda,x_ix_{j'}]=0.$

于是$\phi(x_i\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda)=0.$同理有$\phi(x_ix_jx_{j'}y^\lambda)=0.$注意到$[x_1\xi_d\xi_hy^\lambda,\xi_d\xi_h]=0$, 因此

$[\phi(x_1\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda), \xi_d\xi_h] =0.$

因为$\phi(x_1\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda)\in \Omega_{\bar{1}}$且$\phi(x_1\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda)$的$\mathbb{Z}$-次数为0, 则可设

$\phi(x_1\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda)= \sum\limits_{i\in M_1,j\in T,\lambda\in H}\alpha_{ij\lambda}x_i\xi_{j}y^\lambda,\alpha_{ij\lambda}\in \mathbb{F}.$

于是有

$[\phi(x_1\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda),\xi_d\xi_h]=\sum\limits_{i\in M_1,j\in T,\lambda\in H}\alpha_{ij\lambda}[x_i\xi_{j}y^\lambda,\xi_{d}\xi_{h}]= \sum\limits_{i\in M_1,\lambda\in H}\alpha_{id\lambda}x_i\xi_{h}y^\lambda-\sum\limits_{i\in M_1,\lambda\in H}\alpha_{ih\lambda}x_i\xi_{d}y^\lambda.$

进而得到$\alpha_{id\lambda}=\alpha_{ih\lambda}=0.$又由于$[x_1\xi_d\xi_hy^\lambda,\xi_t\xi_v]=0,$这里$d,h,t,v\in T$且互不相同, 所以$[\phi(x_1\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda),\xi_t\xi_v] =0$.而

$[\phi(x_1\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda),\xi_t\xi_v]=\sum\limits_{i\in M_1,j\in T,\lambda\in H}\alpha_{ij\lambda}[x_i\xi_{j}y^\lambda,\xi_{t}\xi_{v}]= \sum\limits_{i\in M_1,\lambda\in H}\alpha_{it\lambda}x_i\xi_{v}y^\lambda-\sum\limits_{i\in M_1,\lambda\in H}\alpha_{iv\lambda}x_i\xi_{t}y^\lambda.$

于是可得$\alpha_{it\lambda}=\alpha_{iv\lambda}=0.$以此类推, 有$\sum\limits_{i\in M_1,j\in T,\lambda\in H}\alpha_{ij\lambda}=0$, 最终得到$\phi(x_1\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda)=0.$

下面将证明$\phi(x_i^{k_i}y^\lambda)=0$, $\forall\,i\in M,$ $0\leq k_i \leq\pi_i,\, \lambda\in H.$

(ⅰ) 设$i\in M_{1}$.我们利用数学归纳法. $k_i=0$时显然成立.由于$[x_i^{k_i}y^\lambda,y^\lambda]=0$及$\phi(\Omega_{-2})=0$, 有$\phi[x_i^{k_i}y^\lambda,\Omega_{-2}]=0.$显然$[x_i^{k_i}y^\lambda,x_j]=[i]\delta_{i'j}k_i^*x_i^{k_i-1}y^\lambda,$ $\forall\,i,j\in M_{1},\, \lambda\in H.$将$\phi$作用上式, 并由归纳假设知$\phi[x_i^{k_i}y^\lambda,\Omega_{-1}]=0.$则由引理2.2, 可知$\phi(x_i^{k_i}y^\lambda)\in G_{k_i-4}.$又由于$k_i-4\geq-1$, 于是可设

$\phi(x_i^{k_i}y^\lambda)= \sum\limits_{u\in \mathbb{B}_{a}(a\geq1),\lambda\in H}\theta_{u\lambda}\xi^{u}y^\lambda,\,\,\,\,\,\,\theta_{u\lambda}\in \mathbb{F}.$

(3.4)

如果$k_i-4=q-2$, 则根据 (3.4) 式, 有$\phi(x_i^{k_i}y^\lambda)= \sum\limits_{\lambda\in H}\theta_{\omega\lambda}\xi^{\omega}y^\lambda$, 其中$\theta_{\omega\lambda}\in \mathbb{F}.$显然

$[\phi(x_i^{k_i}y^\lambda),x_i\xi_{j}]=\sum\limits_{\lambda\in H}\theta_{\omega\lambda}[\xi^{\omega}y^\lambda,x_i\xi_j] =-\sum\limits_{\lambda\in H}\theta_{\omega\lambda}\xi^{w-<j>}x_iy^\lambda . $

由于$[\phi(x_i^{k_i}y^\lambda),x_i\xi_{j}]=0$, 故$\sum\limits_{\lambda\in H}\theta_{\omega\lambda}=0$.因而$\phi(x_i^{k_i}y^\lambda)=0.$

如果$0\leq k_i-4\leq q-3$, 有$\phi(x_i^{k_i}y^\lambda)= \sum\limits_{u\in \mathbb{B}_{a}(3\leq a\leq q-1),\lambda\in H}\theta_{u\lambda}\xi^{u}y^\lambda$, 其中$\theta _{u\lambda}\in \mathbb{F}.$由于$3\leq |u|\leq q-1$, 所以可以取$t\in u,v \not\in u, t,v\in T$.易见

$[\phi(x_i^{k_i}y^\lambda),\xi_t\xi_{v}]=\sum\limits_{u\in \mathbb{B}_{a}(3\leq a\leq q-1),\lambda\in H}\theta_{u\lambda}[\xi^{u}y^\lambda,\xi_t\xi_v] =-\sum\limits_{u\in \mathbb{B}_{a}(3\leq a\leq q-1),\lambda\in H}\theta_{u\lambda}\xi^{u-<t>}\xi_vy^\lambda. $

因为$[\phi(x_i^{k_i}y^\lambda),\xi_t\xi_{v}]=0$, 所以$\sum\limits_{u\in \mathbb{B}_{a}(3\leq a\leq q-1),\lambda\in H}\theta_{u\lambda}=0$.因此得到$ \phi(x_i^{k_i}y^\lambda)=0.$

如果$k_i-4>q-2,$由引理2.2知$\phi(x_i^{k_i}y^\lambda)\in G$.注意到$G\subseteq \bigoplus_{i=-2}^{q-2} (\Omega_{\bar{1}})_i$, 有

$\phi(x_i^{k_i}y^\lambda)\in G\bigcap\Omega_{k_i-4}=0.$

综上, 得到$\phi(x_i^{k_i}y^\lambda)=0,$ $\forall\,i\in M_1$, $0\leq k_i\leq \pi_i$, $\lambda\in H$.

(ⅱ) 现在证明$\phi(x_1^{k_1}y^\lambda)=0,\,0\leq k_1 \leq \pi_1,\,\lambda\in H.$如果$k_1=0,$显然$\phi(x_1^{k_1}y^\lambda)=0.$如果$k_1=1,$由已知条件$\phi\in \rm {Der}_{-2}(\Omega_{\bar{0}},\Omega_{\bar{1}})$可知$\phi(x_1^{k_1}y^\lambda)=0$.设$k_1> 1.$令$\phi(\Omega_{\bar{1}})=0$, 则$\phi$可扩充成$\Omega$的导子.易见$\phi(x_1^{k_1-1}\xi_j)=0$及$\phi(x_i\xi_jy^\lambda)=0,\,\forall\,i\in M_1,\, j\in T.$所以有$\phi[x_1^{k_1}y^\lambda,\xi_j]=0$及$\phi(x_1^{k_1-1}x_iy^\lambda)=-\phi[x_1^{k_1-1}\xi_j,x_i\xi_jy^\lambda]=0,\,\forall\,i\in M_1,\,j\in T.$进而, 可以得到$\phi[x_1^{k_1}y^\lambda,x_i]=0.$又因为$\phi(x_i)=\phi(\xi_j)=0$, 所以由文献[1, 引理3.5]可知$\phi(x_1^{k_1}y^\lambda)\in \Omega_{-2}.$然而$\phi(x_1^{k_1}y^\lambda)\in \Omega_{2k_1-4},$ $k_1>1,$于是$\phi(x_1^{k_1}y^\lambda)\in \Omega_{-2}\bigcap \Omega_{2k_1-4}=0.$故$\phi(x_1^{k_1}y^\lambda)=0.$

综上, 由命题2.1知$\phi=0$.

定理3.4 ${\rm Der}_{-3}(\Omega_{\bar{0}},\Omega_{\bar{1}})=0$.

证 设$\phi\in {\rm Der}_{-3}(\Omega_{\bar{0}},\Omega_{\bar{1}})$, 则$\phi(x_i\xi_d\xi_hy^\lambda)=\phi(x_ix_jx_{j'}y^\lambda)=0$, $\forall\,i,j\in M_1,\,d,h\in T,\,\lambda\in H.$由于$\phi(x_1\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda)\in \Omega_{\bar{1}}$且$\phi(x_1\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda)$的$\mathbb{Z}$-次数为-1, 则可以设

$\phi(x_1\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda)= \sum\limits_{t\in T,\lambda\in H}\theta_{t\lambda}\xi_ty^\lambda,$

其中$\theta_{t\lambda}\in \mathbb{F}.$由$[\phi(x_1\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda),\xi_{d}\xi_{h}]=0$知

$ [\phi(x_1\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda),\xi_d\xi_h]=\sum\limits_{t\in T,\lambda\in H}\theta_{t\lambda}[\xi_ty^\lambda,\xi_d\xi_h]= -\sum\limits_{\lambda\in H}\theta_{d\lambda}\xi_hy^\lambda+\sum\limits_{\lambda\in H}\theta_{h\lambda}\xi_dy^\lambda.$

又因为$[\phi(x_1\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda),\xi_{z}\xi_{v}]=0,$这里$d,\,h,\,z,\,v\in T$且互不相同, 进而

$ [\phi(x_1\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda),\xi_z\xi_v]=\sum\limits_{t\in T,\lambda\in H}\theta_{t\lambda}[\xi_ty^\lambda,\xi_z\xi_v]= -\sum\limits_{\lambda\in H}\theta_{z\lambda}\xi_vy^\lambda+\sum\limits_{\lambda\in H}\theta_{v\lambda}\xi_zy^\lambda.$

于是$\theta_{d\lambda}=\theta_{h\lambda}=\theta_{z\lambda}=\theta_{v\lambda}=0$.以此类推, 有$\sum\limits_{t\in T,\lambda\in H}\theta_{t\lambda}=0$.故而$\phi(x_1\xi_{d}\xi_{h}y^\lambda)= 0.$

下面将证明$\phi(x_i^{k_i}y^\lambda)=0$, $\forall\,i\in M,$ $0\leq k_i \leq\pi_i,\, \lambda\in H.$

(ⅰ) 设$i\in M_{1}$.利用数学归纳法. $k_i=0$时显然成立.由于$[x_i^{k_i}y^\lambda,y^\lambda]=0$及$\phi(\Omega_{-2})=0$, 我们有$\phi[x_i^{k_i}y^\lambda,\Omega_{-2}]=0.$显然$[x_i^{k_i}y^\lambda,x_j]=[i]\delta_{i'j}k_i^*x_i^{k_i-1}y^\lambda,$ $\forall\,i,j\in M_{1},\, \lambda\in H.$将$\phi$作用上式, 并由归纳假设知$\phi[x_i^{k_i}y^\lambda,\Omega_{-1}]=0.$则由引理2.2, 可知$\phi(x_i^{k_i}y^\lambda)\in G_{k_i-5}.$又由于$k_i-5\geq-1$, 于是可设

$\phi(x_i^{k_i}y^\lambda)= \sum\limits_{u\in \mathbb{B}_{a}(a\geq1),\lambda\in H}\theta_{u\lambda}\xi^{u}y^\lambda,\,\,\,\,\,\theta_{u\lambda}\in \mathbb{F}.$

(3.5)

如果$k_i-5=q-2$, 则根据 (3.5) 式, 有$\phi(x_i^{k_i}y^\lambda)= \sum\limits_{\lambda\in H}\theta_{\omega\lambda}\xi^{\omega}y^\lambda$, 其中$\theta_{\omega\lambda}\in \mathbb{F}.$显然

$[\phi(x_i^{k_i}y^\lambda),x_i\xi_{j}]=\sum\limits_{\lambda\in H}\theta_{\omega\lambda}[\xi^{\omega}y^\lambda,x_i\xi_j] =-\sum\limits_{\lambda\in H}\theta_{\omega\lambda}\xi^{w-<j>}x_iy^\lambda . $

由于$[\phi(x_i^{k_i}y^\lambda),x_i\xi_{j}]=0$, 故$\sum\limits_{\lambda\in H}\theta_{\omega\lambda}=0$.因而$ \phi(x_i^{k_i}y^\lambda)=0.$

如果$0\leq k_i-5\leq q-3$, 有$\phi(x_i^{k_i}y^\lambda)= \sum\limits_{u\in \mathbb{B}_{a}(3\leq a\leq q-1),\lambda\in H}\theta_{u\lambda}\xi^{u}y^\lambda$, 其中$\theta _{u\lambda}\in \mathbb{F}.$由于$3\leq |u|\leq q-1$, 所以可以取$t\in u,\,v \not\in u, t,v\in T$.易见,

$[\phi(x_i^{k_i}y^\lambda),\xi_t\xi_{v}]=\sum\limits_{u\in \mathbb{B}_{a}(3\leq a\leq q-1),\lambda\in H}\theta_{u\lambda}[\xi^{u}y^\lambda,\xi_t\xi_v] =-\sum\limits_{u\in \mathbb{B}_{a}(3\leq a\leq q-1),\lambda\in H}\theta_{u\lambda}\xi^{u-<t>}\xi_vy^\lambda. $

因为$[\phi(x_i^{k_i}y^\lambda),\xi_t\xi_{v}]=0$, 所以$\sum\limits_{u\in \mathbb{B}_{a}(3\leq a\leq q-1),\lambda\in H}\theta_{u\lambda}=0$.因此得到$ \phi(x_i^{k_i}y^\lambda)=0.$

如果$k_i-5>q-2,$由引理2.2知$\phi(x_i^{k_i}y^\lambda)\in G$.注意到$G\subseteq \bigoplus_{i=-2}^{q-2} (\Omega_{\bar{1}})_i,$有

$\phi(x_i^{k_i}y^\lambda)\in G\bigcap\Omega_{k_i-5}=0.$

综上, 得到$\phi(x_i^{k_i}y^\lambda)=0,$ $\forall\,i\in M_1$, $0\leq k_i\leq \pi_i$, $\lambda\in H$.

(ⅱ) 下面证明$\phi(x_1^{k_1}y^\lambda)=0,\,0\leq k_1 \leq \pi_1,\,\lambda\in H.$如果$k_1=0,$显然$\phi(x_1^{k_1}y^\lambda)=0.$如果$k_1=1,$由已知条件$\phi\in \rm {Der}_{-3}(\Omega_{\bar{0}},\Omega_{\bar{1}})$可知$\phi(x_1^{k_1}y^\lambda)=0$.设$k_1> 1.$令$\phi(\Omega_{\bar{1}})=0$, 则$\phi$可扩充成$\Omega$的导子.易见$\phi(x_1^{k_1-1}\xi_j)=0$及$\phi(x_i\xi_jy^\lambda)=0,\,\forall\,i\in M_1,\, j\in T.$所以有$\phi[x_1^{k_1}y^\lambda,\xi_j]=0$及

$\phi(x_1^{k_1-1}x_iy^\lambda)=-\phi[x_1^{k_1-1}\xi_j,x_i\xi_jy^\lambda]=0,\,\forall\,i\in M_1,\,j\in T.$

进而, 可以得到$\phi[x_1^{k_1}y^\lambda,x_i]=0.$又因为$\phi(x_i)=\phi(\xi_j)=0$, 所以由文献[1, 引理3.5]可知$\phi(x_1^{k_1}y^\lambda)\in \Omega_{-2}.$然而$\phi(x_1^{k_1}y^\lambda)\in \Omega_{2k_1-5},$ $k_1>1,$于是$\phi(x_1^{k_1}y^\lambda)\in \Omega_{-2}\bigcap \Omega_{2k_1-5}=0.$故$\phi(x_1^{k_1}y^\lambda)=0.$

综上, 由命题2.1可知$\phi=0$.

定理3.5 设$ \phi\in \rm {Der}_{-t}(\Omega_{\bar{0}},\Omega_{\bar{1}}),t>3$.如果$\phi(x_i^ty^\lambda)=0,$则有$\phi(x_i^{k_i}y^\lambda)=0,0\leq k_i\leq \pi_i,i\in M_1,\lambda\in H.$

证 对于$k_i\geq t+1$, 用归纳法来证明$\phi(x_i^{k_i}y^\lambda)=0,0\leq k_i\leq \pi_i,i\in M_1,\lambda\in H.$由于$[x_i^{k_i}y^\lambda,y^\lambda]=0$及$\phi(\Omega_{-2})=0$, 有$\phi[x_i^{k_i}y^\lambda,\Omega_{-2}]=0.$显然

$[x_i^{k_i}y^\lambda,x_j]=[i]\delta_{i'j}k_i^*x_i^{k_i-1}y^\lambda, \forall\,i,j\in M_{1},\, \lambda\in H.$

将$\phi$作用上式, 并由归纳假设知$\phi[x_i^{k_i}y^\lambda,\Omega_{-1}]=0.$则由引理2.2, 可知$\phi(x_i^{k_i}y^\lambda)\in G_{k_i-2-t}.$又由于$k_i-2-t\geq-1$, 于是可设

$\phi(x_i^{k_i}y^\lambda)= \sum\limits_{u\in \mathbb{B}_{a}(a\geq1),\lambda\in H}\theta_{u\lambda}\xi^{u}y^\lambda,\,\,\,\,\,\theta_{u\lambda}\in \mathbb{F}.$

(3.6)

如果$k_i-2-t=q-2$, 根据 (3.6) 式有$\phi(x_i^{k_i}y^\lambda)= \sum\limits_{\lambda\in H}\theta_{\omega\lambda}\xi^{\omega}y^\lambda$, 其中$\theta_{\omega\lambda}\in \mathbb{F}.$显然

$[\phi(x_i^{k_i}y^\lambda),x_i\xi_{j}]=-\sum\limits_{\lambda\in H}\theta_{\omega\lambda}\xi^{w-\langle j\rangle}x_iy^\lambda.$

又由于$[\phi(x_i^{k_i}y^\lambda),x_i\xi_{j}]=0$, 故$\sum\limits_{\lambda\in H}\theta_{\omega\lambda}=0$.因此得到$ \phi(x_i^{k_i}y^\lambda)=0.$

如果$-1\leq k_i-t-2\leq q-3$, 由 (3.6) 式可令

$\phi(x_i^{k_i}y^\lambda)= \sum\limits_{u\in \mathbb{B}_{a}(3\leq a\leq q-1),\lambda\in H}\theta_{u\lambda}\xi^{u}y^\lambda,$

其中$\theta_{\omega\lambda}\in \mathbb{F}.$由于$3\leq |u|\leq q-1$, 所以可以取$t\in u,v \not\in u, t,v\in T$.因为

$[\phi(x_i^{k_i}y^\lambda),\xi_t\xi_{v}] =-\sum\limits_{u\in \mathbb{B}_{a}(3\leq a\leq q-1),\lambda\in H}\theta_{u\lambda}\xi^{u-<t>}\xi_vy^\lambda,$

并且$[\phi(x_i^{k_i}y^\lambda),\xi_t\xi_{v}]=0$, 故

$\sum\limits_{u\in \mathbb{B}_{a}(3\leq a\leq q-1),\lambda\in H}\theta_{u\lambda}=0.$

于是有$ \phi(x_i^{k_i}y^\lambda)=0.$

如果$k_i-t-2>q-2,$由引理2.2, 得到$\phi(x_i^{k_i}y^\lambda)\in G.$注意到$G\subseteq \bigoplus_{i=-2}^{q-2}$$(\Omega_{\bar{1}})_i$, 所以$\phi(x_i^{k_i}y^\lambda)\in G\bigcap\Omega_{k_i-t-2}=0$.

综上, 得到$\phi(x_i^{k_i}y^\lambda)=0,i\in M_1$.

定理3.6 设$ \phi\in\rm {Der}_{-t}(\Omega_{\bar{0}},\Omega_{\bar{1}}),t>3$.设$l=[ \frac{t}{2}]$表示$ \frac{t}{2}$的整数部分.如果$\phi(x_1^ly^\lambda)=0,$则有$\phi(x_1^{k_1}y^\lambda)=0,\,0\leq k_1\leq \pi_1,\lambda\in H.$

证 如果$k_1<l,$则$2k_1<t$, 进而$\phi(x_1^{k_1}y^\lambda)$的$\mathbb{Z}$次数为$2k_1-t-2$.因为$2k_1-t-2\leq {-3}$, 所以得到$\phi(x_1^{k_1}y^\lambda)=0.$设$k_1>l,$令$\phi(\Omega_{\bar{1}})=0$, 则$\phi$可扩充成$\Omega$的导子.易见$\phi(x_1^{k_1-1}\xi_j)=0$及$\phi(x_i\xi_jy^\lambda)=0,\,\forall\,i\in M_1,\, j\in T.$所以有$\phi[x_1^{k_1}y^\lambda,\xi_j]=0$及

$\phi(x_1^{k_1-1}x_iy^\lambda)=-\phi[x_1^{k_1-1}\xi_j,x_i\xi_jy^\lambda]=0,\,\forall\,i\in M_1,\,j\in T.$

进而, 可以得到$\phi[x_1^{k_1}y^\lambda,x_i]=0.$又因为$\phi(x_i)=\phi(\xi_j)=0$, 所以由文献[1, 引理3.5]可知$\phi(x_1^{k_1}y^\lambda)\in \Omega_{-2}.$然而$\phi(x_1^{k_1}y^\lambda)\in \Omega_{2k_1-2-t},$ $k_1>l,$于是

$\phi(x_1^{k_1}y^\lambda)\in \Omega_{-2}\bigcap \Omega_{2k_1-2-t}=0.$

故$\phi(x_1^{k_1}y^\lambda)=0.$

推论3.7 设$ \phi\in {\rm Der}_{-t}(\Omega_{\bar{0}},\Omega_{\bar{1}}),$其中$t>3$是奇数, 则$\phi(x_1^{k_1}y^\lambda)=0,0\leq k_1\leq \pi_1.$

证 令$l=[ \frac{t}{2}]$表示$ \frac{t}{2}$的整数部分, 则可知$\phi(x_1^ly^\lambda)$的$\mathbb{Z}$-次数为

$2l-2-t=(t-1-2)-t=-3.$

因而有$\phi(x_1^ly^\lambda)=0$.由定理3.6可知$\phi(x_1^{k_1}y^\lambda)=0.$

定理3.8 设$t>3,$则${\rm Der}_{-t}(\Omega_{\bar{0}},\Omega_{\bar{1}})=0.$

证 设$\phi\in {\rm Der}_{-t}(\Omega_{\bar{0}},\Omega_{\bar{1}}).$由于$\phi(x_i^ty^\lambda)\in \Omega_{\bar{1}}$且$\phi(x_i^ty^\lambda)$的$\mathbb{Z}$-次数为-2, 所以我们有$\phi(x_i^ty^\lambda) =0,$ $\forall\,i\in M_1.$由定理3.5, 有$\phi(x_i^{k_i}y^\lambda)=0,\,i\in M_1,\,0\leq k_i\leq \pi_i.$如果$t$为奇数, 由推论3.7知$\phi(x_1^{k_i}y^\lambda)=0.$如果$t$为偶数, 设$l=[\frac{t}{2}].$则$\phi(x_1^ly^\lambda)\in \Omega_{\bar{1}}$且$\mathbb{Z}$次数为-2, 于是$\phi(x_1^ly^\lambda)=0.$由定理3.6知$\phi(x_1^{k_i}y^\lambda)=0$.又因为$\phi\in {\rm Der}_{-t}(\Omega_{\bar{0}},\Omega_{\bar{1}}),\,t>3,$所以

$\phi(x_ix_jx_{j'}y^\lambda)=\phi(x_i\xi_d\xi_hy^\lambda)=0.$

进而由命题2.1, 得到$\phi=0.$