自1963年美国气象学家Lorenz提出第一个经典的Lorenz混沌系统以来, 大量的混沌系统相继被提出, 例如Chen系统^[1], Lü系统^[2], Liu系统^[3], Qi系统^[4]等.近年来, 分岔问题的研究与应用已成为研究动力系统的一个重要课题, 其中Hopf分岔是一类非常重要的分岔, 在生物学、化学等众多科学领域中被广泛研究和应用.所谓Hopf分岔就是指参数变化时, 系统在平衡点附近出现小振幅的周期解.文献[5]中提出了一个新的类Lorenz系统, 并研究了它的分岔规律, 该系统的动力学方程为

$\label{eq:1} \left\{ \begin{aligned} \dot{x}=a(y-x),\\ \dot{y}=bx-xz,\\ \dot{z}=-cz+dx^2,\\ \end{aligned} \right.$

(1.1)

其中$x, y, z$为状态变量, $a, b, c, d$为系统参数.该系统含有六项, 其中仅有两个非线性项, 与其它的混沌或超混沌系统相比, 该系统的结构形式更加简单, 所以电路实现更加容易, 因此, 该系统在保密通信等领域具有潜在的应用价值.

当系统 (1.1) 的参数$a=10, b=40, c=2.5, d=4$时, 系统处于混沌状态, 具有如图 1所示的蝴蝶型吸引子, 其吸引子和Lorenz混沌系统的吸引子相似.

在通信系统中信号的传输会发生拥挤阻塞等现象; 在种群生态系统中, 捕食者在具有捕食能力之前大都需要一定的成熟时间.因此, 时滞现象在通信和生态系统中是普遍存在的, 并得到了广大学者的研究, 取得了一些研究成果^[6-8].

基于以上考虑, 本文在类Lorenz系统 (1.1) 中, 将一个线性项变为时滞线性项, 得到一个泛函微分动力系统, 称为单时滞类Lorenz系统.研究单时滞类Lorenz系统仅存在零平衡点的条件, 通过分析系统在零平衡点的线性化系统对应的特征方程根的分布情况, 得出系统在零平衡点的稳定性和发生Hopf分岔的条件.最后给出一些数值模拟验证所得结论的正确性.

单时滞类Lorenz系统的动力学方程为

$\left\{ \begin{array}{l} \dot x = a(y - x),\\ \dot y = bx(x - \tau ) - xz,\\ \dot z = - cz + d{x^2}, \end{array} \right.$

(2.1)

其中$x, y, z$为系统的状态变量; $a, b, c, d$为系统参数; ${\tau(>0)}$为时滞量.

系统 (2.1) 具有三个平衡点, 它们分别为

$\begin{aligned} (0,0,0), (\frac{\sqrt[]{bcd}}{d},\frac{\sqrt[]{bcd}}{d},b), (-\frac{\sqrt[]{bcd}} {d},-\frac{\sqrt[]{bcd}}{d},b). \end{aligned}$

当系统 (2.1) 的参数${a>0}$, ${b<0}$, ${c>0}$, ${d>0}$时.系统 (2.1) 有唯一的平衡点$O(0,0,0)$.下面考虑系统 (2.1) 当参数${a>0}$, ${b<0}$, ${c>0}$, ${d>0}$时, 平衡点$O(0,0,0)$的稳定性问题.

在平衡点$O(0,0,0)$处线性化系统 (2.1) 可得线性系统

$\left\{ \begin{array}{l} \dot x = a(y - x),\\ \dot y = bx(x - \tau ),\\ \dot z = - cz. \end{array} \right.$

(3.1)

线性系统 (3.1) 对应的特征方程为

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - a - \lambda }&a&{\;0}\\ {b{e^{ - \lambda \tau }}}&{ - \lambda }&0\\ 0&0&{ - c - \lambda } \end{array}} \right| = 0$

(3.2)

方程 (3.2) 可化为

$ \lambda^3+p_1\lambda^2+p_2\lambda+(q_1\lambda+q_2)e^{-\lambda\tau}=0,$

(3.3)

其中${p_1=a+c}$, ${p_2=ac}$, ${q_1=-ab}$, ${q_2=-abc}.$

引理1 若${\tau=0}$, 则系统 (2.1) 的平衡点$O(0,0,0)$是局部渐近稳定的.

证 当${\tau=0}$时, 方程 (3.3) 转化为

$ \lambda^3+p_1\lambda^2+(p_2+q_1)\lambda+q_2=0.$

(3.4)

因为参数${a>0}$, ${b<0}$, ${c>0}$, ${d>0}$, 所以易知${p_1>0}$, ${q_2>0}$且有

$\begin{aligned} p_1(p_2+q_1)-q_2=a^2c-a^2b+ac^2>0. \end{aligned}$

根据Routh-Hurwitz定理可知, 方程 (3.4) 的所有特征根都具有负实部.所以当${\tau=0}$时, 系统 (2.1) 的平衡点$O(0,0,0)$是渐近稳定的.

当${\tau>0}$时, 设${\lambda=i\omega (\omega}$是大于零的待定常数）是方程 (3.3) 的一个纯虚根, 则虚部${\omega}$满足

$ -i\omega^3-p_1\omega^2+i\omega p_2+(i\omega q_1+q_2)(\cos\omega\tau-i\sin\omega\tau)=0.$

(3.5)

根据复数相等可得

$\left\{ \begin{array}{l} {q_2}\cos \omega \tau + {q_1}\omega \sin \omega \tau - {p_1}{\omega ^2} = 0,\\ {q_1}\omega \cos \omega \tau - {q_2}\sin \omega \tau + {p_2}\omega - {\omega ^3} = 0. \end{array} \right.$

(3.6)

方程 (3.6) 可等价转化为

$\omega^6+(p_1^2-2p_2)\omega^4+(p_2^2-q_1^2)\omega^2-{q_2^2}=0.$

(3.7)

对于方程 (3.7) 有下列结论.

引理2 方程 (3.7) 至少有一个正实根.

证 令${u=\omega^2}$, 则方程 (3.7) 可化为

$u^3+(p_1^2-2p_2)u^2+(p_2^2-q_1^2)u-{q_2^2}=0.$

(3.8)

设

$f(u)=u^3+(p_1^2-2p_2)u^2+(p_2^2-q_1^2)u-{q_2^2},$

(3.9)

函数 (3.9) 可转化为

$f(u)=\frac{1+(p_1^2-2p_2)\frac{1}{u}+(p_2^2-q_1^2)\frac{1}{u^2} -q_2^2\frac{1}{u^3}}{\frac{1}{u^3}}.$

(3.10)

由 (3.9) 和 (3.10) 式易知

$\begin{aligned} f(0)=-q_2^2<0, \lim\limits_{u\rightarrow+\infty}f(u)=+\infty. \end{aligned}$

因此根据函数零点存在定理, 至少存在一个实数${u_0\in(0,+\infty)}$, 使得${f(u_0)=0}$.所以方程 (3.8) 至少有一个正实根.因为${u=\omega^2}$, 从而, 方程 (3.7) 至少有一个正实根.

设${\omega_0}$为方程 (3.7) 的一个正实根, 则方程 (3.3) 有一纯虚根${i\omega_0}$.又由方程 (3.6) 可得

$\cos\omega\tau=\frac{q_1\omega^4+p_1q_2\omega^2-p_2q_1\omega^2}{q_1^2\omega^2+q_2^2}.$

(3.11)

将${\omega=\omega_0}$代入方程 (3.11), 则时滞${\tau}$的值为

$\tau_k=\frac{1}{\omega_0}\arccos(\frac{q_1\omega_0^4+p_1q_2\omega_0^2-p_2q_1\omega_0^2} {q_1^2\omega_0^2+q_2^2})+\frac{2k\pi}{\omega_0} (k=0,1,2,\cdots).$

(3.12)

因此${(\omega_0,\tau_k)}$是方程 (3.3) 的解, 即当时滞${\tau=\tau_k}$时, ${\lambda=\pm i\omega_0}$是方程 (3.3) 的一对共轭的纯虚根.

设${\tau_0=\min\{\tau_k\}}$, 则时滞${\tau=\tau_0}$是使得方程 (3.3) 出现纯虚根${\lambda=\pm i\omega_0}$时${\tau}$的最小值.因此有下面的引理3.

引理3 如果${a>0}$, ${b<0}$, ${c>0}$, ${d>0}$, ${\tau=\tau_0}$, 那么方程 (3.3) 有一对纯虚根${\lambda=\pm i\omega_0}$.

设方程 (3.3) 的特征根${\lambda(\tau)=\alpha(\tau)+i\omega(\tau)}$, 满足${\alpha(\tau_k)=0}$和${\omega(\tau_k)=\omega_0}$.下面给出横截性条件.

引理4 如果${f'(\omega_0^2)=3\omega_0^4+2(p_1^2-2p)\omega_0^2+p_2^2-q_2^2>0}$, 则${\frac{d{\rm Re}\lambda(\tau)}{d\tau}|_{\tau=\tau_k}>0}$.

证 对方程 (3.3) 的两边关于${\tau}$求导, 可得

$[3\lambda^2+2p_1\lambda+p_2+q_1e^{-\lambda\tau}-\tau(q_1\lambda+q_2)e^{-\lambda\tau}] \frac{d\lambda}{d\tau}=\lambda(q_1\lambda+q_2)e^{-\lambda\tau}.$

(3.13)

根据方程 (3.3) 可得

$(q_1\lambda+q_2)e^{-\lambda\tau}=\lambda(\lambda^2+p_1\lambda+p_2).$

(3.14)

将 (3.14) 式代入 (3.13) 式可得

$(\frac{d\lambda}{d\tau})^{-1}=-\frac{3\lambda^2+2p_1\lambda+p_2}{\lambda^2 (\lambda^2+p_1\lambda+p_2)}+\frac{q_1}{\lambda(q_1\lambda+q_2)}-\frac{\tau}{\lambda}.$

(3.15)

因为${\lambda(\tau_k)=i\omega_0}$, 所以有

${\rm Re}[(\frac{d\lambda}{d\tau})^{-1}|_{\tau=\tau_k}]=-{\rm Re}[\frac{3\lambda^2+2p_1\lambda+p_2} {\lambda^2(\lambda^2+p_1\lambda+p_2)}|_{\tau=\tau_k}]+{\rm Re}[\frac{q_1}{\lambda(q_1\lambda+q_2)} |_{\tau=\tau_k}]\nonumber\\ ={\rm Re}[\frac{-3\omega_0^2+2ip_1\omega_0+p_2}{\omega_0^2(-\omega_0^2+ip_1\omega_0+p_2)}] +{\rm Re}(\frac{q_1}{-q_1\omega_0^2+iq_2\omega_0})\nonumber\\ =\frac{(p_2-3\omega_0^2)(p_2-\omega_0^2)+2p_1^2\omega_0^2}{\omega_0^2[(p_2-\omega_0^2)^2+p_1^2\omega_0^2]} -\frac{q_1^2}{q_1^2\omega_0^2+q_2^2}.$

(3.16)

当${\tau=\tau_k}$时, 方程 (3.3) 有纯虚根${i\omega_0}$, 代入方程 (3.3) 得

$-i\omega_0^3-p_1\omega_0^2+ip_2\omega_0+(iq_1\omega_0+q_2)e^{-i\omega_0\tau}=0.$

(3.17)

因为${e^{-i\omega_0\tau}=\cos\omega_0\tau-i\sin\omega_0\tau}$, 所以${|e^{-i\omega_0\tau}|=1}$, 因此由 (3.17) 式可得

$|-p_1\omega_0^2+i(p_2\omega_0-\omega_0^3)|=|q_2+iq_1\omega_0|,$

即

$\omega_0^2[(p_2-\omega_0^2)^2+p_1^2\omega_0^2]=(q_1\omega_0)^2+q_2^2.$

(3.18)

根据 (3.16) 和 (3.18) 式可得

${\rm Re}[(\frac{d\lambda}{d\tau})^{-1}|_{\tau=\tau_k}]=\frac{3\omega_0^4+2(p_1^2-2p_2)\omega_0^2 +p_2^2-q_2^2}{q_1^2\omega_0^2+q_2^2}\nonumber\\ ={\frac{f'(\omega_0^2)}{q_1^2\omega_0^2+q_2^2}>0}.\nonumber$

因为sign${[{\rm Re}(\frac{d\lambda}{d\tau}|_{\tau=\tau_k})]=}$ sign ${\{{\rm Re}[(\frac{d\lambda}{d\tau})^{-1}|_{\tau=\tau_k}]}\}$, 所以定理得证.

于是, 根据引理4和Hopf分岔理论可得到下列结论.

定理 如果${a>0}$, ${b<0}$, ${c>0}$, ${d>0}$且${f'(\omega_0^2)>0}$, 那么

(1) 当${\tau\in[0,\tau_0]}$时, 系统 (2.1) 的平衡点${O(0,0,0)}$是渐近稳定的;

(2) 当${\tau>\tau_0}$时, 系统 (2.1) 的平衡点${O(0,0,0)}$是不稳定的;

(3) 当${\tau=\tau_k (k=0,1,2,\cdots)}$时, 系统 (2.1) 在平衡点${O(0,0,0)}$处发生Hopf分岔, 产生极限环.

因为系统 (2.1) 的参数${a>0}$, ${b<0}$, ${c>0}$, ${d>0}$, 所以不妨取${a=10}$, ${b=-8}$, ${c=2.5}$, ${d=40}$, 这时系统 (2.1) 可化为

$\left\{ \begin{array}{l} \dot x = 10y - 10x,\\ \dot y = - 8x(x - \tau ) - xz,\\ \dot z = - 2.5z - 4{x^2}. \end{array} \right.$

(4.1)

利用Matlab软件计算得方程 (3.7) 的正实根${\omega_0=6.6588}$, ${f'(\omega_0^2)=9.5452\times10^3>0}$, 方程 (3.12) 中${\tau_0=0.1477}$.因此, 定理可具体化为下面的推论.

推论 若${a=10}$, ${b=-8}$, ${c=2.5}$, ${d=4}$, 则

(1) 当${\tau\in[0,0.1477]}$时, 系统 (4.1) 的平衡点${O(0,0,0)}$是渐近稳定的;

(2) 当${\tau>0.1477}$时, 系统 (4.1) 的平衡点${O(0,0,0)}$是不稳定的;

(3) 当${\tau=0.1477+0.3004k\pi (k=0,1,2,\cdots)}$时, 系统 (4.1) 的平衡点${O(0,0,0)}$处发生Hopf分岔, 产生极限环.

下面利用Matlab软件, 绘出时滞${\tau}$取不同值时, 系统 (4.1) 的状态变量随时间${t}$的轨线图和相图, 说明所得结论的正确性.

从图 2可以看出, 当时滞${\tau=0.1404}$时, 系统 (4.1) 的状态变量${x}$, ${y}$, ${z}$的值随时间${t}$的增大而趋于平衡点${O(0,0,0)}$, 所以系统 (4.1) 的平衡点${O(0,0,0)}$是渐近稳定的.

从图 3可以看出, 当时滞${\tau=0.1477}$时, 系统 (4.1) 的状态变量${x}$, ${y}$, ${z}$的值随时间${t}$的增大保持等周期震荡, 说明系统 (4.1) 在平衡点${O(0,0,0)}$处发生Hopf分岔.

从图 4可以看出, 系统 (4.1) 的状态变量${x}$, ${y}$, ${z}$的值随时间${t}$的增大而逐渐远离平衡点, 说明当时滞${\tau=0.1490}$时, 系统 (4.1) 的平衡点${O(0,0,0)}$是不稳定的.

图 5表示时滞${\tau=0.1400}$时, 系统 (4.1) 在平衡点${O(0,0,0)}$是稳定的, 时滞${\tau=0.1477}$时, 系统 (4.1) 在平衡点${O(0,0,0)}$处发生Hopf分岔, 在相平面上出现极限环, 时滞${\tau=0.1490}$时, 系统 (4.1) 在平衡点${O(0,0,0)}$处是不稳定的.

本文研究了单时滞类Lorenz系统在平衡点的稳定性和Hopf分岔的存在性问题, 通过分析系统在零平衡点处的线性化系统所对应的特征方程根的分布, 得出系统在零平衡点处稳定性条件和存在Hopf分岔的条件.一些数值仿真验证所得结论的正确性.本文研究的问题和结果可以看作是对文献[5]的研究成果的进一步拓展.