常循环码是一类非常重要的码.可是, 大多数对常循环码的研究只涉及到码长$N$与域$\mathbb{F}$的特征互素的情形.在这种情形下, 长为$N$的$\lambda-$常循环码是剩余类环$\frac{\mathbb{F}[x]}{\langle x^N-\lambda \rangle}$的理想$\langle f(x)\rangle$, 其中$x^N-\lambda=f(x)g(x)$.当码长$N$被域的特征整除时, 就产生所谓的重根常循环码.重根常循环码最初是由Berman于1967年引入的^[1].在1991年, Castagnoli与Lint等人证明了有几种情形的重根循环码是极优的^{[2, 3]}.从而促使研究者进一步对重根循环码进行研究.最近, 开晓山等人研究了有限链环$\mathbb{F}_p+ u \mathbb{F}_p+\cdots+ u^{a-1} \mathbb{F}_p (u^a=0)$中长为$p^s n$的$(1+\rho u)$ -重根常循环码, 这里$\rho$是$\mathbb{F}_p$的非零元, 给出了这里重根常循环码的结构^[4].刘修生等人在文献[5]中利用中国剩余定理给出了有限链环$\mathbb{F}_{p^m}+u \mathbb{F}_{p^m}$上长为$2p^s$的循环码及负循环码的代数结构及码字个数，且它们的研究方法可推广到有限链环$\mathbb{F}_{p^m}+u \mathbb{F}_{p^m}+\cdots+u^{a-1} \mathbb{F}_{p^m}$.

本文将采用类似于[4]的方法, 研究更一般的有限链环$R_a=\frac{\mathbb{F}_{p^m}[u]}{\langle u^a \rangle}=\mathbb{F}_{p^m}+u \mathbb{F}_{p^m}+\cdots+u^{a-1} \mathbb{F}_{p^m}$的长为$p^s n$的更一般$\lambda-$重根常循环码, 其中

$ \lambda=1+u \lambda_1+\cdots+u^{a-1}\lambda_{a-1}, \lambda_1\neq 0, \lambda_1, \cdots, \lambda_{a-1}\in \mathbb{F}_{p^m} $

且包含了[4]中$\lambda=1+\rho u$的情形.第2节, 回顾了有限链环与有限环上码的一些基本知识, 这些知识是后续各节的研究基础; 第3节, 研究了$R_a$上长为$p^s$的$\lambda-$重根常循环码, 给出了这类码与它的对偶码的结构.最后, 在第4节，假设$n, p$为奇数且$(n, p)=1$的情形下, 刻画了$R_a$上长为$p^s n$的$\lambda-$重根常循环码.

设$R$是一个有限交换环, 如果$R$有唯一的最大理想, 则称$R$为局部环.进而, 如果$R$的所有理想在集合论意义下有线性包含关系, 则称$R$为链环.下面事实可以在文献[7]中找到.

命题2.1  设$R$为有限交换环, 则下列条件等价:

(ⅰ) $R$是局部环且$R$的最大理想$M$是主理想, 即存在$\gamma\in R$, 使$M=\langle\gamma\rangle$;

(ⅱ) $R$是局部主理想环;

(ⅲ) $R$是链环, 其理想为$R=\langle \gamma^0\rangle\supset\langle \gamma\rangle\supset\cdots\supset\langle \gamma^{e-1}\rangle\supset\langle \gamma^{e}\rangle=\langle 0 \rangle$, 其中$\gamma^{e-1}\neq 0$, 称$e$为$\gamma$的幂零指数.

记$\overline{R}=\frac{R}{M}$.用“$^-$”表示$R\rightarrow \overline{R}$的自然环同态: $r\mapsto r+M$.将其扩充$R[x]\rightarrow \overline{R}[x]$自然同态, 仍用“$^-$”表示, 即$f(x)=a_l x^l+\cdots+a_1 x+a_0\mapsto \overline{f}(x)=\overline{a}_l x^l+\cdots+\overline{a}_1 x+\overline{a}_0$.

设$f_1(x), f_2(x)\in R[x]$, 如果$\langle f_1(x)\rangle+\langle f_2(x)\rangle= R[x]$, 则称$f_1(x)$与$f_2(x)$是互素的, 记为$(f_1(x), f_2(x))=1$ (见文献[6]).

引理2.2^[8]  设$R$为有限交换链环, $f_1(x), f_2(x)\in R[x]$.则$(f_1(x), f_2(x))=1$当且仅当$(\overline{f}_1(x), \overline{f}_2(x))=1$.

下面Hensel引理在有限链环上编码的研究中起着非常重要的作用.

引理2.3^[9] (Hensel引理)  设$f(x)\in R[x]$且$\overline{f}(x)=g_1(x)\cdots g_t(x)$, 其中$g_1(x), \cdots, g_t(x)$是$\overline{R}[x]$中两两互素的多项式, 则$R[x]$上存在两两互素的多项式$f_1(x), \cdots, f_t(x)$使得$f(x)=f_1(x)\cdots f_t(x)$且$\overline{f}_1(x)=g_1(x), \cdots, \overline{f}_t(x)=g_t(x)$.

接下来, 我们给出有限交换链环$R$上相关码的概念与性质.

设$R$为有限交换链环, $\lambda$为$R$的一个单位. $\forall(x_0, x_1, \cdots, x_{N-1})\in R^N$, 在$R^N$上的$\lambda$ -常循环位移$\tau_\lambda$定义为$\tau_\lambda(x_0, x_1, \cdots, x_{N-1})=(\lambda x_{N-1}, x_0, x_1, \cdots, x_{N-2}).$若$\tau_\lambda(C)=C$, 则称码$C$为$R$上的$\lambda$ -常循环码.当$\lambda=1$, $\lambda$ -常循环码为循环码; 当$\lambda=-1$, $\lambda$ -常循环码为负循环码.

作映射

$ \begin{eqnarray*} \varphi:R^{N}&\longrightarrow& \frac{R[x]}{\langle x^N-\lambda \rangle}\\ (c_{0}, c_{1}, \cdots, c_{N-1})&\longmapsto& c_0+c_1 x+\cdots+c_{N-1}x^{N-1} \end{eqnarray*} $

则$\varphi$是$R^{N}$到$\frac{R[x]}{\langle x^N-\lambda \rangle}$的一个环同构.下面命题是显然的.

命题2.4   $C$为$R$上长为$N$的$\lambda-$常循环码当且仅当$\varphi(C)$为$\frac{R[x]}{\langle x^N-\lambda \rangle}$的理想.

设$C$为$R$上的$\lambda-$常循环码, 称$\{f|f g=0, \forall g\in C\}$为$C$的零化子, 记为Ann$(C)$.即${\rm Ann}(C)= \{f|f g=0, \forall g\in C\}$.

设$f(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_{k-1} x^{k-1}+a_k x^k$, 称$x^k f(x^{-1})=a_k+a_{k-1}x+\cdots+a_0x^k$为$f(x)$互反多项式, 记为$f^*(x)$.显然$(f^*(x))^* = f(x)$当且仅当$f(x)$的常数项非零.记${\rm Ann}(C)^*=\{f^*(x)|f(x)\in {\rm Ann}(C)\}$.

以下3个引理可以在文献[10]中找到.

引理2.5   $R$上$\lambda$ -常循环码的对偶码为$R$上$\lambda^{-1}$ -常循环码.

引理2.6  设$C$为有限链环$R$上长为$N$的线性码, 则$|C|\cdot|C^\bot|=|R|^N$.

引理2.7  设$R$为有限链环, $\lambda$为$R$上的单位且$\lambda^2=1$.如果$C$为$R$上长为$N$的$\lambda$ -常循环码, 则$C$的对偶码$C^\bot={\rm Ann}(C)^*$.

令$\lambda=1+u \lambda_1+\cdots+u^{a-1}\lambda_{a-1}$, 这里$\lambda_1, \cdots, \lambda_{a-1}\in \mathbb{F}_{p^m}$, 且$\lambda_1\neq 0$.我们来研究$R_a$上长度为$p^s$的$\lambda$ -常循环码.众所周知, $C$为$R_a$上长度为$p^s$的$\lambda$ -常循环码的充要条件

$ \varphi(C)=\{c_0+c_1 x+\cdots+c_{p^s-1}x^{p^s-1}+\langle x^{p^s}-\lambda\rangle|(c_0, c_1, \cdots, c_{p^s-1})\in C\} $

为环$\widetilde{R}_a(s, \lambda)=\frac{R_a[x]}{\langle x^{p^s}-\lambda\rangle}$的理想.

我们首先提供$x-1$在$\widetilde{R}_a(s, \lambda)$中所起作用的一个重要事实.

引理3.1  对于任意正整数$k$, $(x-1)^{p^k}=x^{p^k}-1\in R_a[x]$.特别地, 在$\widetilde{R}_a(s, \lambda)$中, 存在一个单位$b$, 使$(x-1)^{p^s}=u \lambda_1 b$且$x-1$具有幂零指数$p^s a$.

证  对$1\leq k\leq p^s-1$, 有$p\big|{p^s \choose k}$.因此$(x-1)^{p^k}=x^{p^k}-1$.于是, 在$\widetilde{R}_a(s, \lambda)$中,

$ \begin{eqnarray*} (x-1)^{p^s}=x^{p^s}-1=u \lambda_1+\cdots+u^{a-1}\lambda_{a-1}\\ =u \lambda_1(1+u \lambda_2\lambda_1^{-1}+\cdots+u^{a-2} \lambda_{a-1}\lambda_1^{-1})\\ =u \lambda_1 b. \end{eqnarray*} $

这里$b=1+u \lambda_2\lambda_1^{-1}+\cdots+u^{a-2} \lambda_{a-1}\lambda_1^{-1}$显然在$\widetilde{R}_a(s, \lambda)$中是可逆.因此, 在$\widetilde{R}_a(s, \lambda)$中, $\langle (x-1)^{p^s}\rangle=\langle u\rangle$.显然, 在$\widetilde{R}_a(s, \lambda)$中, $(x-1)^{p^sa-1}\neq0$.故$x-1$在$\widetilde{R}_a(s, \lambda)$中的幂零指数为$p^s a$.

命题3.2  环$\widetilde{R}_a(s, \lambda)$是一个链环, 其所有理想为

$ \widetilde{R}_a(s, \lambda)=\langle1\rangle\supsetneq\langle x-1\rangle\supsetneq\cdots\supsetneq\langle(x-1)^{p^sa-1} \rangle\supsetneq\langle(x-1)^{p^sa}\rangle=\langle0\rangle. $

证  显然, $\widetilde{R}_a(s, \lambda)$中的元$f(x)$可以表示成

$ f(x)=\sum\limits_{i=0}^{p^s-1}c_{0, i}(x-1)^i+u \sum\limits_{i=0}^{p^s-1}c_{1, i}(x-1)^i+\cdots+u^{a-1} \sum\limits_{i=0}^{p^s-1}c_{a-1, i}(x-1)^i, $

其中$c_{0, i}, c_{1, i}, \cdots, c_{a-1, i}\in \mathbb{F}_{p^m}, i=0, 1, \cdots, p^s-1$.由引理3.1, $u=(x-1)^{p^s}\lambda_1^{-1}b^{-1}$, 则可将$f(x)$改写为$f(x)=c_{0, 0}+(x-1)g(x)$, $g(x)$是$\widetilde{R}_a(s, \lambda)$中某一多项式.因为$(x-1)$是幂零的, 所以$f(x)$不可逆当且仅当$c_{0, 0}=0$, 即若$f(x)$不可逆, 则$f(x)\in \langle x-1\rangle$.因此$\widetilde{R}_a(s, \lambda)$是有最大理想$\langle x-1\rangle$的局部环.由命题2.1知, $\widetilde{R}_a(s, \lambda)$是链环, 且所有理想为

$ \widetilde{R}_a(s, \lambda)=\langle1\rangle\supsetneq\langle x-1\rangle\supsetneq\cdots\supsetneq\langle(x-1)^{p^sa-1} \rangle\supsetneq\langle(x-1)^{p^sa}\rangle=\langle0\rangle. $

将引理3.1与命题3.2相结合，我们马上得到下列定理.

定理3.3   $R$中长度为$p^s$的$\lambda-$常循环码有且仅有$p^sa+1$个.它们对应有限链环$\widetilde{R}_a(s, \lambda)$中的理想$\langle(x-1)^i\rangle, i=0, 1, \cdots, p^sa$.每一个$\lambda-$常循环码$\langle(x-1)^i\rangle$有$p^{m(p^sa-i)}$个码字.

命题3.4  对$0\leq i\leq p^sa$, $\lambda$ -常循环码$C=\langle(x-1)^i\rangle\subset\widetilde{R}_a(s, \lambda)$的对偶码是$\widetilde{R}_a(s, \lambda^{-1})$上的$\lambda^{-1}$ -常循环码$C^\bot=\langle(x-1)^{p^sa-i}\rangle\subset\widetilde{R}_a(s, \lambda^{-1})$, 且$|C^\bot|=p^{mi}$.

证  由引理2.5知$C^\bot$是$R_a$上长度为$p^s$的$\lambda^{-1}$ -常循环码.令$L=[\log_pa]$, 则$p^L\geq a$.从而$u^{p^L}=0$.因此$\lambda^{p^L}=1$.故$\lambda^{-1}=\lambda^{p^L-1}.$由$\lambda=1+u \lambda_1+\cdots+u^{a-1}\lambda_{a-1}$, 可令$\lambda^{-1}=1+u \lambda_1'+\cdots+u^{a-1}\lambda_{a-1}'$.从而引理3.1及定理3.3能够用到$C^\bot$和$\widetilde{R}_a(s, \lambda^{-1})$中.因此$C^\bot$是有限链环$\widetilde{R}_a(s, \lambda^{-1})$中形为$\langle(x-1)^j\rangle, 0\leq j\leq p^sa$的理想.

另一方面, 由引理2.6, $|C|\cdot|C^\bot|=|R_a|^{p^s}=p^{p^sam}$, 可得

$ |C^\bot|=\frac{p^{p^sam}}{|C|}=\frac{p^{p^sam}}{p^{m(p^sa-i)}}=p^{mi}. $

因此$C^\bot=\langle(x-1)^{p^sa-i}\rangle$.

推论3.5  $R_a$上存在长为$p^s$的自对偶$\lambda-$常循环码的充要条件是$a=2$且$p=2$.

证  因为$C=\langle(x-1)^i\rangle\subset\widetilde{R}_a(s, \lambda)$的对偶码是$C^\bot=\langle(x-1)^{p^sa-i}\rangle\subset\widetilde{R}_a(s, \lambda^{-1})$, 所以$C=C^\bot$当且仅当$\lambda=\lambda^{-1}$和$i=p^sa-i$, 即$\lambda^2=1$且$a$为偶数.从而$C=C^\bot$当且仅当$a=2$且$p=2$.于是$i=2^s$, 进而$\langle(x-1)^{2^s}\rangle=\langle u\rangle$是唯一的自对偶码.

设$\lambda=1+u \lambda_1+\cdots+u^{a-1}\lambda_{a-1}$, 其中$\lambda_1, \cdots, \lambda_{a-1}\in \mathbb{F}_{p^m}$, 且$\lambda_1\neq 0$.令$(n, p)=1$且$n$与$p$都为奇数.这一节, 我们来讨论$R$上长为$p^s n$的$\lambda$ -常循环码.这类码是环$T_a(s, n, \lambda)=\frac{R_a[x]}{\langle x^{p^sn}-\lambda\rangle}$的理想.

引理4.1  对于任意正整数$k$, $(x^n-1)^{p^k}=x^{p^kn}-1\in R_a[x]$.特别地, 在$T_a(s, n, \lambda)$中, 有$(x^n-1)^{p^s}=u \lambda_1 w$和$x^n-1$是幂零的且幂零指数为$p^s a$, 这里$w=1+u \lambda_2\lambda_1^{-1}+\cdots+u^{a-2} \lambda_{a-1}\lambda_1^{-1}$为$T_a(s, n, \lambda)$中的单位.

证  对$1\leq i\leq p^k-1$, 有$p\big|{p^s \choose k}$.所以, 在$R_a[x]$中, 有$(x-1)^{p^k}=x^{p^k}-1$.注意到, 在$T_a(s, n, \lambda)$中,

$ \begin{array}{l} {({x^n} - 1)^{{p^s}}} = {x^{{p^s}n}} - 1 = u{\lambda _1} + \cdots + {u^{a - 1}}{\lambda _{a - 1}}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = u{\lambda _1}(1 + u{\lambda _2}\lambda _1^{ - 1} + \cdots + {u^{a - 2}}{\lambda _{a - 1}}\lambda _1^{ - 1})\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = u{\lambda _1}w, \end{array} $

其中$w=1+u \lambda_2\lambda_1^{-1}+\cdots+u^{a-2} \lambda_{a-1}\lambda_1^{-1}$显然是$T_a(s, n, \lambda)$中的单位.因此, 在$T_a(s, n, \lambda)$中, 有$\langle (x^n-1)^{p^s}\rangle=\langle u\rangle$.显然在$T_a(s, n, \lambda)$中, $(x^n-1)^{p^sa-1}\neq0, (x^n-1)^{p^sa}=0$.故$x^n-1$的幂零指数为$p^s a$.

引理4.2   设$f(x)\in R_a[x]$且$(f(x), x^n-1)=1$, 则$f(x)$是$T_a(s, n, \lambda)$中的单位.

证  因为$(f(x), x^n-1)=1$, 所以存在$g(x), h(x)\in R_a[x]$, 使$f(x)g(x)+(x^n-1)h(x)=1$, 即$f(x)g(x)=1-(x^n-1)h(x)$.由引理4.1知, $[(x^n-1)h(x)]^{p^sa}=0$.故

$ \begin{array}{l} 1\;\; = \;\;1 - {[({x^n} - 1)h(x)]^{{p^s}a}}\\ \;\;\; = [1 - ({x^n} - 1)h(x)][1 + ({x^n} - 1)h(x) + \cdots + {(({x^n} - 1)h(x))^{{p^s}a - 1}}]. \end{array} $

因此$f(x)g(x)$是单位, 从而$f(x)$也是单位.

设$I$表示模$n$的$p^m-$分割陪集的代表元作成的集合.由于$(n, p)=1$, 故$x^n-1$在$R_a[x]$中可以唯一分解为两两互素的首1的基本不可约多项式$f_i(x)$的乘积$(i\in I)$, 即$x^n-1=\prod_{i\in I}f_i(x)$, 记$f'_i(x)=\frac{x^n-1}{f_i(x)}$.我们有

引理4.3  设$x^n-1=\prod_{i\in I}f_i(x)$, 其中$f_i(x)$为$R_a[x]$上两两互素的首1的基本不可约多项式.则在$T_a(s, n, \lambda)$中, 对任意$i\in I$和任意非负整数$k$, 有$\langle f_i^{p^sa}(x)\rangle=\langle f_i^{p^sa+k}(x)\rangle$.

证  显然$(f_i(x), f'_i(x))=1$, 故由引理2.2知, $(\overline{f}_i(x), \overline{f}'_i(x))=1$.从而

$ (\overline{f}_i(x)^k, \overline{f}'_i(x)^{p^sa})=1. $

由引理2.2知$(f_i^k(x), (f'_i(x))^{p^sa})=1$.因此存在$g(x), h(x)\in R_a[x]$, 使

$ f_i^k(x)g(x)+(f'_i(x))^{p^sa}h(x)=1. $

故在$T_a(s, n, \lambda)$中,

$ f_i^{p^sa+k}(x)g(x)=(1-f_i^{'p^sa}(x)h(x))f_i^{p^sa}(x)=f_i^{p^sa}(x)-(x^n-1)^{p^sa}h(x)=f_i^{p^sa}(x). $

这意味着$\langle f_i^{p^sa}(x)\rangle=\langle f_i^{p^sa+k}(x)\rangle$.

有了以上准备，我们来证明如下定理.

定理4.4  记号如上.环$T_a(s, n, \lambda)$是主理想环, 它的理想为$\langle \prod\limits_{i\in I}f_i^{t_i}(x)\rangle$, 其中$0\leq t_i\leq p^sa$, 即$R_a$中长为$p^sn$的$\lambda-$常循环码有形式$C=\langle \prod\limits_{i\in I}f_i^{t_i}(x)\rangle, 0\leq t_i\leq p^sa$.进而

$ |C|=p^{ma[p^sa-\sum\limits_{i\in I}t_i{\rm deg}(f_i(x))]}. $

证  设$C$是$R_a$中长为$p^sn$的$\lambda-$常循环码.记

$ C_u=\{\overline{c}=(c_1\pmod{u}, \cdots, c_{p^sa}\pmod{u})|\forall c=(c_1, \cdots, c_{p^sa})\in C\}. $

则$C_u$是$\frac{\mathbb{F}_{p^m}[x]}{\langle x^{p^sn}-1\rangle}$的理想.根据Hensel引理, $x^n-1$在$\mathbb{F}_{p^m}$上可以分解为两两互素的首1的不可约多项式的乘积$\prod\limits_{i\in I}g_i(x)$, 其中$g_i(x)=\overline{f}_i(x)$, 且$C_u=\langle\prod\limits_{i\in I}g_i^{l_i}(x)\rangle, 0\leq l_i\leq p^s$.因此, 对任意$c\in C$, 存在$h(x), q(x)\in T_a(s, n, \lambda)$, 使得$c=h(x)\prod\limits_{i\in I}f_i^{l_i}(x)+u q(x)$.由引理4.1, $u\in\langle(x^n-1)^{p^s}\rangle=\langle\prod\limits_{i\in I}f_i^{p^s}(x)\rangle$.故

$ c=\prod\limits_{i\in I}f_i^{l_i}(x) [g(x)+\prod\limits_{i\in I}f_i^{p^s-l_i}(x)\widetilde{q}(x) ]\in\langle\prod\limits_{i\in I}f_i^{l_i}(x)\rangle. $

即$C\subset\langle\prod\limits_{i\in I}f_i^{l_i}(x)\rangle$.对每个$i\in I$, 选择$t_i$为$f_i(x)$中的幂$j_i$中的最大者, 这里$C\subset\langle\prod\limits_{i\in I}f_i^{j_i}(x)\rangle$.因此$0\leq t_i\leq p^sa$和$C\subset\langle\prod\limits_{i\in I}f_i^{t_i}(x)\rangle$.由每个$t_i$的最大性知, 存在$r(x)\in C$, 使$r(x)=e(x)\prod\limits_{i\in I}f_i^{t_i}(x)$, 这里$e(x)\in T_a(s, n, \lambda)$, 使得对每个$i$有$(e(x), f_i(x))=1$.因此

$ (e(x), x^n-1)=(e(x), \prod\limits_{i\in I}f_i(x))=1. $

于是由引理4.2知, $e(x)$是$T_a(s, n, \lambda)$中的单位, 故$\prod\limits_{i\in I}f_i^{t_i}(x)\in C$.从而$C=\langle\prod\limits_{i\in I}f_i^{t_i}(x)\rangle$.由引理4.3, 可取$0\leq t_i\leq p^sa$, 进一步, 对$C=\langle\prod\limits_{i\in I}f_i^{t_i}(x)\rangle$, 有

$ |C|=|R_a|^{p^sn-\sum\limits_{i\in I}t_i{\rm deg}(f_i(x))}=p^{ma[p^sa-\sum\limits_{i\in I}t_i {\rm deg}(f_i(x))]}. $

下面推论是定理4.4的显然结果.

推论4.5   $R_a$上长为$p^sn$的$\lambda$ -常循环码的个数为$(p^sa+1)^{|I|}$, 这里$I$是模$n$的$p^m$ -分圆陪集的完全代表集.

定理4.6  设$C=\langle\prod\limits_{i\in I}f_i^{t_i}(x)\rangle$是$R_a$上长为$p^sn$的$\lambda$ -常循环码.则它的对偶码$C^\bot$是$R_a$上长为$p^sn$的$\lambda^{-1}$ -常循环码, 且$|C^\bot|=p^{ma\sum\limits_{i\in I}t_i {\rm deg}(f_i(x))}$.特别地, $C^\bot$是$\lambda$ -常循环码当且仅当$a=2$.在这种情形下, $C^\bot=\langle\prod\limits_{i\in I}(f_i^*(x))^{p^sa-t_i}\rangle.$

证  因为$|C|\cdot|C^\bot|=|R_a|^{p^s n}$, 所以

$ |C^\bot|=\frac{|R_a|^{p^s n}}{|C|}=\frac{p^{map^sn}}{p^{ma(p^sa-\sum\limits_{i\in I}t_i{\rm deg}(f_i(x)))}}=p^{ma\sum\limits_{i\in I}t_i{\rm deg}(f_i(x))}. $

注意到, $C^\bot$是$\lambda-$常循环码当且仅当$\lambda^{-1}=\lambda$.即$a=2$.此时, 取

$ C_1=\langle\prod\limits_{i\in I}f_i^{p^sa-t_i}(x)\rangle\subset T_a(s, n, \lambda). $

由于

$ \prod\limits_{i\in I}f_i^{p^sa-t_i}(x)\prod\limits_{i\in I}f_i^{t_i}(x)=\prod\limits_{i\in I}f_i^{p^sa}(x)=(x^n-1)^{p^sa}=0. $

故$C_1\subset {\rm Ann}(C)$.从而$C_1^*\subset {\rm Ann}^*(C)=C^\bot$.另一方面, 由定理4.4, 有

$ |C_1^*|=|C_1|=p^{ma\sum\limits_{i\in I}t_i{\rm deg}(f_i(x))}=|C^\bot|. $

因此, $C^\bot=C_1^*=\left\langle\prod\limits_{i\in I}(f_i^*(x))^{p^sa-t_i}\right\rangle.$

定理4.7  设$C=\langle\prod\limits_{i\in I}f_i^{t_i}(x)\rangle$是$R_a$上长为$p^sn$的$\lambda$ -常循环码, $0\leq t_i\leq p^sa, $ $x^n-1=\prod\limits_{i\in I}f_i(x), $这里$f_i(x)$是$R_a[x]$上两两互素的首1的基本不可约多项式.记$\overline{C}=\left\{\overline{f}(x)|u^{a-1}f(x)\in C\right\}$, $C'=\langle\prod\limits_{i\in I}\overline{f}_i^{k_i}(x)\rangle$, 其中$k_i=t_i-\min\{p^s(a-1), t_i\}$.那么,

(ⅰ) $C\cap\langle u^{a-1}\rangle=\langle u^{a-1}\prod\limits_{i\in I}f_i^{k_i}(x)\rangle$;

(ⅱ) $\overline{C}=C'$;

(ⅲ) $d(C)=d(C')$.

证   (ⅰ)因为$\langle u\rangle=\langle(x^n-1)^{p^s}\rangle=\langle\prod\limits_{i\in I}f_i^{p^s}(x)\rangle$, 所以$\langle u^{a-1}\rangle=\langle\prod\limits_{i\in I}f_i^{p^s(a-1)}(x)\rangle$.从而,

$ \begin{eqnarray*} C\cap\langle u^{a-1}\rangle=\langle\prod\limits_{i\in I}f_i^{t_i}(x)\rangle\cap\langle\prod\limits_{i\in I}f_i^{p^s(a-1)}(x)\rangle=\langle\prod\limits_{i\in I}f_i^{\max\{p^s(a-1), t_i\}}(x)\rangle\\ =\langle\prod\limits_{i\in I}f_i^{p^s(a-1)}(x)\prod\limits_{i\in I}f_i^{t_i-\min\{p^s(a-1), t_i\}}(x)\rangle=\langle u^{a-1}\prod\limits_{i\in I}f_i^{k_i}(x)\rangle. \end{eqnarray*} $

(ⅱ)设$a(x)\in C'$, 则存在$\overline{r}(x)\in \mathbb{F}_{p^m}[x]$, 使得$a(x)=\overline{r}(x)\prod\limits_{i\in I}\overline{f}_i^{k_i}(x)$.因此

$ u^{a-1}r(x)\prod\limits_{i\in I}f_i^{k_i}(x)\in\langle u^{a-1}\prod\limits_{i\in I}f_i^{k_i}(x)\rangle=C\cap\langle u^{a-1}\rangle, $

故$u^{a-1}r(x)\prod\limits_{i\in I}f_i^{k_i}(x)\in C$.从而$a(x)=\overline{r}(x)\prod\limits_{i\in I}\overline{f}_i^{k_i}(x)\in \overline{C}.$这就推出$C'\subset\overline{C}$.反过来, 设$\overline{b}(x)\in \overline{C}$, 则$u^{a-1}b(x)\in C$.因此

$ u^{a-1}b(x)\in C\cap\langle u^{a-1}\rangle=\langle u^{a-1}\prod\limits_{i\in I}f_i^{k_i}(x)\rangle. $

故存在$\overline{h}(x)\in \mathbb{F}_{p^m}[x]$, 使$\overline{b}(x)=\overline{h}(x)\prod\limits_{i\in I}\overline{f}_i^{k_i}(x)$, 即$\overline{b}(x)\in C'$.因此$\overline{C}\subset C'$.故$\overline{C}=C'$.

(ⅲ) $\forall c(x)\in C$, 有$u^{a-1}c(x)\in C$.从而$d(C\cap\langle u^{a-1}\rangle)=d(C)$.显然$w(\overline{c}(x))=w(u^{a-1}c(x)).$故$d(C)=d(C')$.