设$N$是具有近复结构$J$的Kaehler流形, $M$是$N$的等距浸入子流形, 若$M$上每点切空间被$J$变换到该点法空间$($切空间$)$中, 则称$M$为$N$的全实$($全纯$)$子流形; 若$M$上每点法空间被$J$变换到该点切空间中, 则称$M$为$N$的一般子流形.特别的, 当codim$ M = 1$时, $M$为$N$的实超曲面.关于全实子流形和全纯子流形已有许多研究结果, 但对于一般子流形而言, 研究的文章相对较少, 而且主要集中在极小子流形和超曲面等情形.这主要是因为一般子流形的结构复杂, 相关计算繁琐, 如果不对子流形条件加以某种限制, 要得到漂亮结果是困难的.

文献[1]讨论了黎曼流形中的$2$ -调和映照, 文献[2]讨论了复空间形式中的全实$2$ -调和子流形, 文献[3, 4]讨论了复射影空间中的一般子流形的性质.本文利用活动标架法, 研究了复射影空间中具有$2$ -调和的一般子流形, 首先考虑:在什么条件下, 复射影空间$CP^{\frac{n+p}{2}}$中的$2$ -调和一般子流形是极小子流形, 证明了

定理1  设$M^{n}$是复$\frac{n+p}{2}$维复射影空间$CP^{\frac{n+p}{2}}$中具有平行平均曲率向量的$2$ -调和一般子流形, 如果$M^{n}$的第二基本形式模长平方$S<n+3$, 则$M^{n}$是极小子流形.

文献[2, 5]研究了复射影空间中的全实$2$ -调和子流形的性质, 考虑内维空间是一般子流形的情形, 得到

定理2 设$M^{n}$是复$\frac{n+p}{2}$维复射影空间$CP^{\frac{n+p}{2}}$中具有紧致定向$2$ -调和的一般子流形, 则有如下积分不等式

$ \int_{M^{n}} [(3-\displaystyle\frac{2}{p})S^{2}-(n-1)S+n^{2}H^{2}S+(n+4)n^{2}H^{2}-2p(n-p)]dV\geq0. $

推论3  设$M^{n}$是复$\frac{n+p}{2}$维复射影空间$CP^{\frac{n+p}{2}}$中具有平行平均曲率向量的$2$ -调和一般子流形, 如果$S<\displaystyle\frac{p(n-1)}{3p-2}$, 则$M^{n}$全测地.

文献[5]讨论了$CP^{n}$中紧致的全实$2$ -调和伪脐子流形, 得到这类子流形必为极小子流形, 考虑$CP^{\frac{n+p}{2}}$中具有紧致$2$ -调和伪脐的一般子流形的情形, 得到

定理4 设$M^{n}$是复$\frac{n+p}{2}$维复射影空间$CP^{\frac{n+p}{2}}$中具有紧致$2$ -调和伪脐的一般子流形, 则$M^{n}$具有平行平均曲率向量.

推论5 设$M^{n}$是复$\frac{n+p}{2}$维复射影空间$CP^{\frac{n+p}{2}}$中具有紧致$2$ -调和伪脐的一般子流形, 如果$S<\displaystyle\frac{p(n-1)}{3p-2}$, 则$M^{n}$全测地.

在本文中对各类指标的取值范围约定如下:

$ A, B, C, \cdots=1, \cdots, m, 1^{\prime}, \cdots, m^{\prime};\alpha, \beta, \gamma, \cdots=(m-p+1), \cdots, m;\\ i, j, k, \cdots=1, \cdots, m-p, 1^{\prime}, \cdots, (m-p)^{\prime}, (m-p+1)^{\prime}, \cdots, m^{\prime};\\ s, t, \cdots=1, \cdots, (m-p), 1^{\prime}, \cdots, (m-p)^{\prime};\lambda, \mu, \cdots=1, \cdots, (m-p).$

下面设$CP^{m}$是具有Fubini-Study度量的复$m$维射影空间, 其全纯截面曲率为$4$, 复结构为$J$, $M^{n}$为$CP^{m}$中的$n$维一般子流形.在$CP^{m}$中选取局部标准正交标架场$e_{1}, \cdots, e_{m-p}, e_{1^{\prime}}, \cdots, e_{m^{\prime}}, e_{m-p+1}, \cdots, e_{m}, $使得当它们限制在$M^{n}$上时, $e_{m-p+1}, \cdots, e_{m}, $与$M^{n}$正交.设$\{\omega_{A}\}, \{\omega_{AB}\}$分别是对应的对偶标架场和联络形式.记$P_{ij}=J_{ij}, F^{\alpha}_{j}=J_{\alpha j}, $则有^[4]

$\begin{eqnarray} \omega_{\alpha}=0, \omega_{\alpha i}=\sum\limits_{j}h^{\alpha}_{ij}\omega^{j}, h^{\alpha}_{ij}=h^{\alpha}_{ji}, \end{eqnarray}$

(2.1)

$\begin{eqnarray} \sum\limits_{j}F^{\alpha}_{j}F^{\beta}_{j}=\delta_{\alpha\beta}, \sum\limits_{j}P_{ij}F^{\alpha}_{j}=0, \sum\limits_{k}P_{ik}P_{kj}=\sum\limits_{\alpha}F^{\alpha}_{i}F^{\alpha}_{j}-\delta_{ij}, \end{eqnarray}$

(2.2)

$\begin{eqnarray} R_{ijkl}=\delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jk}+P_{ik}P_{jl}-P_{il}P_{jk}+2P_{ij}P_{kl}+ \sum\limits_{\alpha}(h^{\alpha}_{ik}h^{\alpha}_{jl}-h^{\alpha}_{il}h^{\alpha}_{jk}), \end{eqnarray}$

(2.3)

$\begin{eqnarray} R_{ij}=(n+2)\delta_{ij}-3\sum\limits_{\alpha}F^{\alpha}_{i}F^{\alpha}_{j}+\sum\limits_{\alpha}({\hbox{tr}}H_{\alpha})h^{\alpha}_{ij}- \sum\limits_{\alpha, k}h^{\alpha}_{ik}h^{\alpha}_{kj}, \end{eqnarray}$

(2.4)

$\begin{eqnarray} R=n^{2}+2n-3p-S+\sum\limits_{\alpha}({\hbox{tr}}H_{\alpha})^{2}, \end{eqnarray}$

(2.5)

$\begin{eqnarray} R_{\alpha\beta ij}=F^{\alpha}_{i}F^{\beta}_{j}-F^{\alpha}_{j}F^{\beta}_{i}+ \displaystyle\sum\limits_{k}(h^{\alpha}_{ik}h^{\beta}_{kj}-h^{\alpha}_{jk}h^{\beta}_{ki}), \end{eqnarray}$

(2.6)

$\begin{eqnarray} P_{ijk}=\sum\limits_{\alpha}(F^{\alpha}_{j}h^{\alpha}_{ik}-F^{\alpha}_{i}h^{\alpha}_{jk}), F^{\alpha}_{ij}=\sum\limits_{k}P_{ik}h^{\alpha}_{kj}, \end{eqnarray}$

(2.7)

$\begin{eqnarray} h^{\alpha}_{ijk}-h^{\alpha}_{ikj}=P_{ij}F^{\alpha}_{k}-P_{ik}F^{\alpha}_{j}+2P_{kj}F^{\alpha}_{i}, \end{eqnarray}$

(2.8)

其中$h^{\alpha}_{ijk}, P_{ijk}, F^{\alpha}_{ij}$分别是$h^{\alpha}_{ij}, P_{ij}, F^{\alpha}_{i}$的广义共变导数.进一步, $R_{ijkl}, K_{ABCD}$分别是$M^{n}, CP^{\frac{n+p}{2}}$的曲率张量的分量, $M^{n}$的平均曲率向量场$\xi$, 平均曲率$H$, 第二基本形式模长平方$S$可表示为

$\xi=\frac{1}{n}\sum\limits_\alpha {(\sum\limits_i {h_{ii}^\alpha } )} e_{\alpha}, H=\|\xi\|^{2}, S=\sum\limits_{\alpha, i, j}(h^{\alpha}_{ij})^{2}.$

引理1 ^[1]  设$M^{n}$是$CP^{\frac{n+p}{2}}$中实$n$维$2$ -调和一般子流形, 则

$\begin{cases} \displaystyle\sum\limits_{\alpha, j, k}(2h^{\alpha}_{ik}h^{\alpha}_{jjk}+h^{\alpha}_{jj}h^{\alpha}_{ikk}+h^{\alpha}_{jj}K_{\alpha kik})=0, \forall i, \\ \displaystyle\sum\limits_{j, k}h^{\alpha}_{jjkk}-\displaystyle\sum\limits_{\beta, j, k, m}h^{\beta}_{jj}h^{\beta}_{mk}h^{\alpha}_{mk}+ \displaystyle\sum\limits_{\beta, j, k}h^{\beta}_{jj}K_{\alpha k\beta k}=0, \forall \alpha. \end{cases}$

引理2 ^[3]  设$M^{n}$是$CP^{\frac{n+p}{2}}$中实$n$维$2$ -调和一般子流形, 则$\forall a, $成立下列公式

$\frac{1}{2}\bigtriangleup \displaystyle S = \displaystyle\sum\limits_{\alpha, i, j, k}(h^{\alpha}_{ijk })^{2}+\displaystyle\sum\limits_{\alpha, i, j, k}h^{\alpha}_{ij}h^{\alpha}_{kkij}+ (1+a)\displaystyle\sum\limits_{\alpha, i, j, k, l}h^{\alpha}_{ij}(h^{\alpha}_{kl}R_{lijk}+h^{\alpha}_{li}R_{lkjk})\\ -(na+3)S-(1-a)\displaystyle\sum\limits_{\alpha, \beta}[{\hbox{tr}}(H^{2}_{\alpha}H^{2}_{\beta})-{\hbox{tr}}(H_{\alpha}H_{\beta})^{2}]\\ +\displaystyle\frac{3}{2}(1-a)\sum\limits_{\alpha, i, j}(F^{\alpha}_{ij}+F^{\alpha}_{ji})^{2}+ 4\displaystyle\sum\limits_{\alpha, \beta, i, j, k}h^{\alpha}_{ij}h^{\beta}_{ik}(F^{\alpha}_{k}F^{\beta}_{j}-F^{\alpha}_{j}F^{\beta}_{k})\\ +3\displaystyle\sum\limits_{\alpha, \beta, i, j}({\hbox{tr}}H_{\alpha})F^{\alpha}_{i}h^{\beta}_{ji}F^{\beta}_{j} +a\displaystyle\{\sum\limits_{\alpha, \beta}[{\hbox{tr}}(H_{\alpha}H_{\beta})]^{2}-\displaystyle\sum\limits_{\alpha, \beta}({\hbox{tr}}H_{\alpha})[{\hbox{tr}}(H_{\beta}H_{\alpha}H_{\beta})]\}. $

引理3 ^[4]  设$M^{n}$是$CP^{\frac{n+p}{2}}$中实$n$维$2$ -调和一般子流形, 则

$\displaystyle\sum\limits_{\alpha, \beta, j, k}(H^{\alpha}_{ijk})^{2}\geq 2p(n-p).$

式中等号成立当且仅当$h^{\alpha}_{ijk}=P_{kj}F^{\alpha}_{i}-P_{ik}F^{\alpha}_{j}$时成立.

若在一般子流形$M^{n}$的每点$x$处, 命$\mathfrak{D}_{x}\subset T_{x}(M)$是$J(T^{\perp}_{x}(M))$的正交补, 则$M^{n}$上分布$\mathfrak{D}:x\longrightarrow \mathfrak{D}_{x}$是全纯的.作正交分解$JX=PX+FX, \forall X\in C^{\infty}(M, T(M)), $其中$PX, FX$分别是$JX$的切分量和法分量.于是有

引理4 ^[4]   $\mathfrak{D}$对合的充要条件是$A(PX, Y)=A(X, PY)$, 其中$\forall X, Y\in C^{\infty}(M, T(M))$.

引理5 ^[4]  设$M^{n}$为全纯分布对合一般子流形, 则

$ h^{\alpha}_{\lambda^{\prime}\mu}=h^{\alpha}_{\lambda\mu^{\prime}}, h^{\alpha}_{\lambda\mu}=-h^{\alpha}_{\lambda^{\prime}\mu^{\prime}}, h^{\alpha}_{i\beta^{\prime}}=h^{\beta}_{i\alpha^{\prime}}. $

定理1的证明 由于$M^{n}$具有平行平均曲率, 即$\displaystyle\sum_{j}h^{\alpha}_{jjk}=0, \forall\alpha, k.$将$\displaystyle\sum_{i}h^{\alpha}_{ii}$乘以引理$1$中第二式的两端, 并关于$\alpha$求和, 有

$0 = \sum\limits_{\alpha ,\beta ,i,j,k} {h_{ii}^\alpha } h_{jj}^\beta h_{km}^\alpha - \sum\limits_{\alpha ,\beta ,i,j,k} {h_{jj}^\beta } h_{ii}^\alpha {K_{\alpha k\beta k}} = \sum\limits_{k,m} ( \sum\limits_\beta ( \sum\limits_j {h_{jj}^\beta } )h_{mk}^\beta {)^2} - \sum\limits_{\alpha ,\beta ,i,j,k} {h_{jj}^\beta } h_{ii}^\alpha {K_{\alpha k\beta k}}.$

(3.1)

由Cauchy不等式

${\sum\limits_{k,m} {(\sum\limits_\beta {(\sum\limits_j {h_{jj}^\beta } )} h_{mk}^\beta )} ^2} \le {\sum\limits_{k,m} {(\sum\limits_\beta {(\sum\limits_j {h_{jj}^\beta } )} } ^2} \cdot \sum\limits_\beta {{{(h_{mk}^\beta )}^2}) = {n^2}{H^2}S} $

(3.2)

根据$(2.6)$式得

$\sum\limits_{\alpha ,\beta ,i,j,k} {h_{jj}^\beta } h_{ii}^\alpha {K_{\alpha k\beta k}} = \sum\limits_{\alpha ,\beta ,i,j,k} {h_{jj}^\beta } h_{ii}^\alpha (n + 3){\delta _{\alpha \beta }} = (n + 3){n^2}{H^2}.$

(3.3)

由(3.1)-(3.3) 式有$n^{2}H^{2}[S-(n+3)]\geq0.$若$S<n+3$, 则唯一可能是$H=0$, 即$M^{n}$是$CP^{\frac{n+p}{2}}$中极小子流形.

在给出定理$2$的证明之前, 先给出引理6.

引理6 ^[6]  设$M^{n}$是$CP^{\frac{n+p}{2}}$中的一般子流形, 则有

$(1)$ $\displaystyle\sum_{\alpha, \beta}{\hbox{tr}}H_{\alpha}[{\hbox{tr}}(H_{\beta}H_{\alpha}H_{\beta})]\geq-n^{2}H^{2}S $;

$(2)$ $\displaystyle\frac{1}{p}S^{2}\leq\displaystyle\sum_{\alpha, \beta}[{\hbox{tr}}(H_{\alpha}H_{\beta})]^{2}\leq S^{2};$

$(3)$ $0\leq\displaystyle\sum_{\alpha, \beta}[{\hbox{tr}}(H^{2}_{\alpha}H^{2}_{\beta})-{\hbox{tr}}(H_{\alpha}H_{\beta})^{2}]\leq\displaystyle\frac{p-1}{p}S^{2};$

$(4)$ $\displaystyle\sum_{\alpha, \beta}{\hbox{tr}}(H_{\alpha}H_{\beta})({\hbox{tr}}H_{\alpha})({\hbox{tr}}H_{\beta})\geq0.$

定理2的证明  根据引理$5$得

$\sum\limits_{\alpha ,\beta ,i,j} {({\rm{tr}}{H_\alpha })} F_i^\alpha h_{ji}^\beta F_j^\beta = \sum\limits_{\alpha ,\beta } {{\rm{tr}}} {H_\alpha }h_{{\alpha ^\prime }{\beta ^\prime }}^\beta = \sum\limits_{\alpha ,\beta } {{\rm{tr}}} {H_\alpha }h_{{\beta ^\prime }{\beta ^\prime }}^\alpha = \sum\limits_{\alpha ,\beta } {{{({\rm{tr}}{H_\alpha })}^2}} = {n^2}{H^2}.$

(3.4)

在$M^{n}$上定义向量场$L=\displaystyle\sum_{\alpha.i}h^{\alpha}_{\alpha^{\prime}i}e_{i}$, 它与局部基选取无关, 我们称全纯分布$\mathfrak{D}$对合且$L\in J(T^{\perp}_{x}(M))$的一般子流形为拟全实子流形^[3], 向量$L\in J(T^{\perp}_{x}(M))$等价于

$\sum\limits_\alpha {h_{{\alpha ^\prime }t}^\alpha } = 0,t = 1, \cdots ,(m - p),{1^\prime }, \cdots ,{(m - p)^\prime }.$

(3.5)

由引理$5$知, 当$\mathfrak{D}$对合时, $\displaystyle\sum_{\beta}h^{\alpha}_{\beta^{\prime}\beta^{\prime}}={\hbox{tr}}H_{\alpha}$, 故有

$\sum\limits_{\alpha ,\beta ,i,j,k} {h_{ij}^\alpha } h_{ik}^\beta (F_k^\alpha F_j^\beta - F_j^\alpha F_k^\beta ) = \sum\limits_{\alpha ,\beta ,i} {[{{(h_{i{\beta ^\prime }}^\alpha )}^2} - h_{i{\alpha ^\prime }}^\alpha h_{i{\beta ^\prime }}^\beta ] \ge - {n^2}{H^2}.} $

(3.6)

由$(2.2)$式知$K_{\alpha kik}=0$, 引理$1$的第一式变为

$\begin{equation}\displaystyle\sum\limits_{\alpha, j, k}(2h^{\alpha}_{ik}h^{\alpha}_{jjk}+h^{\alpha}_{jj}h^{\alpha}_{ikk})=0.\end{equation}$

(3.7)

对上式两边关于$i$求共变导数, 并求和得

$\displaystyle\sum\limits_{\alpha, j, k}(2h^{\alpha}_{ik}h^{\alpha}_{jjki}+3h^{\alpha}_{iik}h^{\alpha}_{jjk}+h^{\alpha}_{jj}h^{\alpha}_{kkii})=0.$

调整指标, 结合引理$1$中第二式得

$\begin{array}{ll} \displaystyle\sum\limits_{\alpha, i, j, k}h^{\alpha}_{ij}h^{\alpha}_{kkij}= \displaystyle-\frac{3}{2}\sum\limits_{\alpha, i, j, k}(h^{\alpha}_{jjk}h^{\alpha}_{iik}+h^{\alpha}_{ii}h^{\alpha}_{jjkk})+ \sum\limits_{\alpha, i, j, k}h^{\alpha}_{ii}h^{\alpha}_{jjkk}\\ =\displaystyle-\frac{3}{4}\triangle(n^{2}H^{2})+\sum\limits_{\alpha, \beta}{\hbox{tr}}(H_{\alpha}H_{\beta})({\hbox{tr}}H_{\alpha})({\hbox{tr}}H_{\beta}) -\sum\limits_{\alpha, \beta, i, j, k}h^{\alpha}_{ii}h^{\beta}_{jj}K_{\alpha k\beta k}. \end{array}$

(3.8)

在引理$2$中取$a=-1$, 再利用引理$3$, 引理$6$及(3.3)-(3.8) 式, 经计算得

$\frac{1}{2}\triangle S+\frac{3}{4}\triangle(n^{2}H^{2})\geq-(3-\frac{2}{p})S^{2}+(n-1)S-n^{2}H^{2}S-(n+4)n^{2}H^{2}+2p(n-p), $

由$M^{n}$紧致性, 再利用Green散度定理, 对上式两边积分, 即得定理$2$的积分不等式结论.

推论$3$的证明 若$S<\displaystyle\frac{p(n-1)}{3p-2}$, 必有$S<n+3$, 则定理$1$知此时$M^{n}$是极小的, 即$H=0$.于是定理$2$的结论变为

$\displaystyle\int_{M^{n}} [(3-\displaystyle\frac{2}{p})S-(n-1)]SdV\geq0, $

故当$S<\displaystyle\frac{p(n-1)}{3p-2}$时, 唯一可能是$S=0$, 即$M^{n}$全测地.

定理$4$的证明  对$(3.7)$式两边关于$i$求共变导数, 并求和得

$\frac{1}{4}\Delta {(nH)^2} = - \sum\limits_{\alpha ,i,j,k} {(h_{ik}^\alpha h_{jjki}^\alpha + h_{iik}^\alpha h_{jjk}^\alpha )} .$

(3.9)

引理7 ^[7]  设$M^{n}$是$CP^{n+p}$中紧致伪脐子流形, 则有

$\displaystyle\int_{M^{n}}(\sum\limits_{\alpha, i, j, k}h^{\alpha}_{ij}h^{\alpha}_{kkij})dV=\displaystyle\int_{M^{n}}(H\sum\limits_{i, k}h^{n+1}_{iikk})dV=0.$

由$M^{n}$的紧致性, 对$(3.9)$式两边积分, 再由引理$7$得$\displaystyle\sum_{i}h^{\alpha}_{iik}=0, \forall\alpha, k.$故$M^{n}$具有平行平均曲率向量.

推论$5$的证明 由定理$4$及推论$3$即得.