期权是赋予其持有者在规定的期限内按特定的价格买入或卖出一定数量的某种特定商品的权利, 期权价格是期权买者为获得期权合约赋予的权利而支付给期权出售者的费用, 而期权价格的合理性直接影响着投资者投资风险性, 因此期权定价问题是期权研究中的一个重要方面.其中Black-Scholes期权定价模型(简称B-S期权定价模型)广泛应用于期权定价问题中.

B-S期权定价模型中假设^[1]: (1) 股票期望的波动性在期权有效期中是不变的; (2) 市场无摩擦, 即不存在税收和交易费用; (3) 金融资产在期权有效期内无红利和其它所得; (4) 无风险利率 $r$是不变的; (5) 标的资产价格满足几何布朗运动:

$ \begin{equation} \frac{ds}{s}=\mu dt+\sigma dw, \end{equation} $

(1.1)

其中 $s$表示标的资产, $t\in[0, T]$, $T$表示期权到期日, $\mu$为期望收益率, $\sigma$为波动率, $dw$为标准布朗运动, ${\rm E}(dw)=0, ~~~~{\rm Var}(dw)=dt.$在上述假设的条件下, B-S期权定价模型如下:

$ \begin{equation} \frac{\partial c}{\partial t} +rs \frac{\partial c}{\partial s} + \frac{1}{2}\frac{\partial^{2} c}{\partial s^{2}}\sigma^{2}s^{2} -rc=0, \end{equation} $

(1.2)

其中 $c(s, t)$表示欧式看涨期权在 $t$时刻的价格.

从上述中可知, B-S期权定价模型易于计算, 但B-S期权定价模型计算的价格与实际价格有一些差距, 主要是其假设条件不太符合现实, 在现实生活中, 这些假设条件存在部分不足, 从而限制了B-S期权定价模型的应用范围, 降低了期权定价的准确性.因此, 对B-S期权定价模型的进一步分析研究具有一定的现实意义.

其中上述的假设条件(4) 就存在不足, 在B-S模型中, 无风险利率是不变的, 一般采用国债利率, 故其研究的是常利率情形下的期权定价问题, 市场利率在短期情况下, 我们一般认为其是不变的, 但若是进行较长期投资时, 无风险利率就会受到国家政策、经济发展状况以及股市的影响, 这时如果用原有的B-S期权定价公式, 得到的值就会存在一定的偏差.因此, 许多学者对B-S期权定价模型中的无风险利率的假设条件进行改进, 假设在长期投资中无风险利率变化是不确定, 无规则的, 应遵循几何布朗运动, 从而建立了用于描述利率变化的模型, 主要有Vasicek模型、Ho-lee模型、HJM模型.这三个模型虽然都假设无风险利率是随机的, 但得出的结果仍与市场实际情况不太相符, 因此, 现有许多学者都在无风险利率服从Vasicek模型、Ho-lee模型、HJM模型的基础上对B-S期权定价模型进行改进^[2-10].

虽然研究无风险利率的方法有很多, 但大部分公式复杂, 限制了其在期权定价问题中的实际应用, 因此, 本文在原有假设的基础上, 考虑到时间越长, 风险性就越大, 无风险率就越小, 故假设无风险利率是变化的, 对B-S期权定价模型进行改进, 并尝试获得看涨期权和看跌期权的定价公式.

在较长期投资中, 无风险利率是变化的, 并且时间越长, 风险性越大, 无风险性就越小, 一开始, 无风险利率波动性会很大, 但达到一定值后, 无风险利率的波动性会越来越小, 近似于0, 因此, 无风险利率的这种变化特征符合指数函数.

根据无风险利率的变化特征, 本文在B-S模型的基础上假设无风险利率是变化的, 其它条件不变, 并假设无风险利率与股票价格、波动率都不相关, 无风险利率在t时刻的值为 $r_{t}$, 无风险利率的初始值为t=0时的国债利率 $r_{0}$, 则假设 $r_{t}$的表达式为

$ \begin{equation} r_{t}=r_{0}\cdot\alpha\cdot\exp({-\frac{t}{\beta}}), \end{equation} $

(2.1)

这里将近十年的每年的国债值带入上式中, 得出 $\alpha_{i}(1, 2, 3, 4, 5)$, $\beta_{i}(1, 2, 3, 4, 5)$,

$ \begin{eqnarray*}&&\alpha=\frac{1}{2}(\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4}+\alpha_{5}), ~~~~\beta=\frac{1}{2}(\beta_{1}+\beta_{2}+\beta_{3}+\beta_{4}+\beta_{5}).\end{eqnarray*} $

假设在时刻 $t$的期权价格为 $c(t, s_{t})$, 下面根据对冲原理和Ito公式求出 $c(t, s_{t})$所满足的偏微分方程, 即假设期权卖出方在时刻 $t$买进 $\Delta$份股票以抵消损失的风险, 则余额为

$ \begin{equation} R_{t}=c(t, s_{t})-\Delta\cdot s_{t}. \end{equation} $

(2.2)

根据Ito公式, 有

$ \begin{eqnarray} dR_{t}=dc(t, s_{t})-\Delta\cdot ds_{t}&=&\frac{\partial c}{\partial t}dt+\frac{\partial c}{\partial s}s_{t}(\mu dt+\sigma dw)+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2} c}{\partial s^{2}}s^{2}_{t}\sigma^{2}dt\\ &&-\Delta\cdot s_{t}(\mu dt+\sigma dw)\nonumber\\ &=&(\frac{\partial c}{\partial s}-\Delta)\sigma s_{t}dw+[\frac{\partial c}{\partial t}+\mu s_{t}(\frac{\partial c}{\partial s}-\Delta)\\ &&+\frac{1}{2}\sigma^{2}s^{2}_{t}\frac{\partial^{2} c}{\partial s^{2}}]dt, \end{eqnarray} $

(2.3)

这里取 $\Delta=\frac{\partial c}{\partial s}$, 则有

$ \begin{equation} dR_{t}=(\frac{\partial c}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma^{2}s^{2}_{t}\frac{\partial^{2} c}{\partial s^{2}})dt. \end{equation} $

(2.4)

从上式可知不再出现影响随机波动的因素, 因此 $R_{t}$应为无风险的, 即

$ \begin{equation} \frac{dR_{t}}{dt}=r_{t}R_{t}=(r_{0}\cdot\alpha\cdot\exp({-\frac{t}{\beta}}))R_{t}, \end{equation} $

(2.5)

从而

$ \begin{equation} \frac{\partial c}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma^{2}s^{2}_{t}\frac{\partial^{2}c}{\partial s^{2}} =(r_{0} \cdot \alpha \cdot \exp({-\frac{t}{\beta}}))(c-\Delta \cdot s_{t})=(r_{0} \cdot \alpha \cdot \exp({-\frac{t}{\beta}}))(c-\frac{\partial c}{\partial s}s_{t}), \end{equation} $

(2.6)

即根据Ito引理的理论知识, 得到改进的B-S微分方程:

$ \begin{equation} \frac{\partial c}{\partial t}+(r_{0} \cdot \alpha \cdot \exp({-\frac{t}{\beta}}))s\frac{\partial c}{\partial s}+\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} c}{\partial s^{2}} \sigma^{2}s^{2}-(r_{0} \cdot \alpha \cdot \exp({-\frac{t}{\beta}}))c=0. \end{equation} $

(2.7)

根据随机偏微分方程来求解该微分方程, 得到欧式看涨期权的定价公式为

$ \begin{equation} c(s, t)=sN(d_{1})-K\exp({-(r_{0}\cdot\alpha\cdot\exp({-\frac{t}{\beta}}))(T-t)})N(d_{2}), \end{equation} $

(2.8)

其中 $d_{1}=\frac{\ln(\frac{s_{t}}{K})+(r_{0}\cdot\alpha\cdot\exp({-\frac{t}{\beta}})+\frac{\sigma^{2}}{2})(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}, ~~d_{2}=d_{1}-\sigma\sqrt{T-t}.$相应地, 可得出欧式看跌期权的定价公式

$ \begin{equation} p(s, t)=K\exp({-(r_{0}\cdot\alpha\cdot\exp({-\frac{t}{\beta}})(T-t))})N(-d_{2})-sN(-d_{1}). \end{equation} $

(2.9)

某初创企业为了更好的发展, 制定了一个战略计划, 并进行战略实施, 从而达到预期的效果, 计划战略实施期限20年, 预测了评估基准日战略实施的现金流, 如下表 1所示:

根据表 1进行计算: (1) 标的资产当前市场价值 $s$=预期现金流的现值(资产现值)=300万元, (2) 执行价值 $x$=开发此产品的投资成本现值=2000万元, (3) 有效期20年, (4) 标的资产价格的波动率为0.28, (5) 初始无风险利率为 $r_{0}$=3.6% (国债), (6) 红利收益率为1.93% (年平均, 公司支付股息比例为6%), (7) 无风险利率 $t$=20年期国债利率 $r$=3.6% (改进前), (8) 无风险利率 $t$=20年期利率 $r$=1.6% (改进后), (9) 评估预期价值 $c$=1998万(改进前), (10) 评估预期价值 $c$=1878万(改进后).

从该例中可知, 改进前的方法得到的评估预期价值是1998万, 改进后的方法得到的评估预期价值是1878万, 而改进后的方法中考虑了国家政策、经济发展状况以及股市对无风险利率变化的影响, 根据现实情况, 随着时间越长, 无风险利率会越小, 即风险性就越大, 因此, 得到的预期值就会比改进前的方法得到的预期值小, 从而可得出, 改进后的方法使计算的结果更准确一些, 更接近现实情况.

本文在B-S期权定价模型的基础上, 在假设无风险利率是变化的条件下, 对B-S期权定价模型进行改进, 运用指数函数和Ito公式得出改进的B-S期权定价模型, 并得出看涨期权和看跌期权的定价公式, 最后实例分析, 得出改进后的公式更接近现实情况, 本文为期权定价提供了一定的依据, 但仍有一定的不足之处, 有待进一步的研究, 因此未来研究方向有两点:一、将该方法应用于实践中, 并根据具体情况对其进行改进; 二、将该方法与已有改进方法进行比较, 对其进行优化.