几何不等式可以用来刻画空间中几何体的不变量之间的关系. 等周不等式是用来刻画平面区域的周长与其面积之间关系的经典的不等式: 平面上面积固定的闭区域中, 圆盘的周长最小. 用不等式可表示为(参见 文献[1, 2]:设平面闭区域$K$的周长与面积$L$, $A$满足如下不等式

$ \begin{equation} L^2-4\pi A\ge 0, \end{equation} $

(1.1)

等号成立当且仅当$K$为圆盘.

不变量$\Delta(K)=L^2-4\pi A$叫做区域$K$的等周亏格, 等周亏格可以用来度量周长为$L$，面积为$A$的区域$K$与半径为$\frac{L}{2\pi}$圆盘的差别程度.

通常平面上曲线$\Gamma$的等周亏格用来刻画其与圆的接近程度. 最早的等周亏格的下界估计或许是经典的Bonnesen型不等(参见文献[3, 5])

$ L^2-4\pi A\ge\pi^2(R-r)^2, $

(1.2)

其中$r$和$R$分别为曲线$\Gamma$的最大内接圆半径与最小外接圆半径, 且等号成立当且仅当曲线$\Gamma$为圆.

1920年前后, Bonnesen得到了一系列具有下列性质的不等式

$ L^2-4\pi A\geq B, $

(1.3)

其中$B$是与曲线$\Gamma$有关的几何不变量且满足:

(1)$B\geq0$;

(2)$B=0$当且仅当$\Gamma$为圆.

形如(1.3)的不等式我们通常把它叫做Bonnesen型不等式, 在过去的一个多世纪里很多的Bonnesen型不等式已经陆续地被发现发现(参见文献[1, 3, 5, 9]). 周家足用积分几何中包含测度的理论给出了平Bonnesen型不等式的统一证明, 并且还得到了许多新的Bonnesen型不等式(参见文献[10-12]).

在本文中, 我们主要考虑等周不等式的离散形式. 设$\Gamma_{n}$为欧氏平面$\mathbb{R}^{2}$中面积为$A_{n}$, 周长为$L_{n}$的$n$边形, 则有如下离散的等周不等式(参见文献[4, 6])

$ L_{n}^2-4 {c_{n}}A_{n}\ge 0, \ \ \ \ \ {c_{n}}={n\tan{\frac{\pi}{n}}}, $

(1.4)

等号成立当且仅当$\Gamma_{n}$为正$n$边形.

事实上, 不等式(1.4)比不等式(1.1)更为基础, 因为当$n>3$时$c_{n}>\pi$且不等式(1.1)可以看做不等式(1.4)的极限情形, 即$n\rightarrow \infty$, $c_{n}\rightarrow \pi.$

类似地, 关于平面多边形也存在离散形式的Bonnesen型不等(参见文献[7-8]). 即

$ L_{n}^2-4c_{n} A_{n}\geq B_{n}, \ \ c_{n}=n\tan\frac{\pi}{n}, $

(1.5)

其中$B_{n}$为多边形$\Gamma_{n}$的几何不变量且具有性质:$(1)$ $B_{n}\geq0, $ $(2)$ $B_{n}=0$当且仅当$\Gamma_{n}$为正$n$边形.

$B_{n}$可以用来度量$\Gamma_{n}$与正多边形的差别程度且不等式(1.5)要比(1.4)强. 关于平面多边形的离散Bonnesen型不等式, 目前我们知道的或许只有Zhang的几个结果(参见文献[8]). 如:设$\Gamma_{n}$为欧氏平面$\mathbb{R}^{2}$中面积为$A_{n}$, 周长为$L_{n}$, 外切于半径为$r$的圆的$n$边形, $l_{n}=2rn\tan\frac{\pi}{n}$是半径为$r$的圆的外切正多边形的周长, 则有不等式:$L_{n}^2-4 {c_{n}}A_{n}\ge \left(L_{n}-l_{n}\right)^{2}, {c_{n}}={n\tan{\frac{\pi}{n}}}, $等号成立的充分必要条件是$\Gamma_{n}$为正$n$边形.

在本文中我们通过利用条件极值构造了一个解析函数不等式(定理1), 进而建立一个新的关于平面凸多边形的Bonnesen型不等式(定理2).

引理1  设$\theta_{i}\in(0, \frac{\pi}{2}), i=1, \cdots, n, \sum\limits_{i=1}^{n}\theta_{i}=\pi, \sigma=\frac{\pi}{n}，$则有下列不等式成立:

$ \left(\sum\limits_{i=1}^{n}\sin\theta_{i}\right)^{2} \geq n\tan\sigma\sum\limits_{i=1}^{n}\sin\theta_{i}\cos\theta_{i}; $

(2.1)

$ n\sin\sigma-\sum\limits_{i=1}^{n}\sin\theta_{i}\geq0; $

(2.2)

$ n\tan\sigma-\sum\limits_{i=1}^{n}\tan\theta_{i}\leq 0, $

(2.3)

上式成立的充要条件均为$\theta_{1}=\cdots=\theta_{n}=\sigma.$

不等式(2.1)为离散的Wirtinger不等式(即离散的等周不等式的分析形式)(参见文献[4, 6, 7]), 不等式(2.2)与(2.3)为著名的Jensen不等式的两种特殊情形.

定理1  设$\theta_{i}\in(0, \frac{\pi}{2}), \ i=1, \ \cdots, \ n, \ \sum\limits_{i=1}^{n}\theta_{i}=\pi, \ \sigma=\frac{\pi}{n}, $则有不等式

$ \left(\sum\limits_{i=1}^{n}\sin\theta_{i}\right)^{2} -c_{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\sin\theta_{i}\cos\theta_{i}\geq \frac{1}{4}\left(\sum\limits_{i=1}^{n}\sin\theta_{i}\cos\theta_{i} -n\sin\sigma\cos\sigma\right)^{2}, $

(2.4)

其中$c_{n}=n\tan\sigma$当且仅当$\theta_{1}=\cdots=\theta_{n}=\sigma$ 时等号成立.

证   为了使证明简单化首先我们来给出一些记号, 设

$ \begin{eqnarray} &&\Theta=(\theta_{1}, \cdots, \theta_{n})\in \mathbb{R}^{n}, \ \ I_{n}=\left(0, \frac{\pi}{2}\right)^{n}\in\mathbb{R}^{n}, \ \ H_{n}=\{\Theta\in R^{n}, \sum\limits_{i=1}^{n}\theta_{i}=\pi\}, \nonumber \\ && D_{n}=I_{n}\cap H_{n}, \ \ \Omega=(\sigma, \sigma, \cdots, \sigma), \ \ L_{n}(\Theta)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sin\theta_{i}, \nonumber \\ &&F(\Theta)=L^{2}_{n}-c_{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\sin\theta_{i}\cos\theta_{i}- \frac{1}{4}\left(\sum\limits_{i=1}^{n}\sin\theta_{i}\cos\theta_{i}-n\sin\sigma\cos\sigma\right)^{2}. \nonumber \end{eqnarray} $

考虑连结$\Phi$与$\Omega$的线段$\Theta(t)=(\theta_{1}(t),\cdots,\theta_{n}(t)),$ $\theta_{i}=t\sigma+(1-t)\phi_{i},$ $ i=1,2,\cdots,n,$ $ t\in [0, 1].$由条件可知

$ \sum\limits_{i=1}^{n}(\sigma-\phi_{i})=n\sigma-\sum\limits_{i=1}^{n}\phi_{i}=n\sigma-n\sigma=0, $

(2.5)

对任意的$0\leq t<1, $ $\sigma\neq\phi_{i}, $则$(\sigma-\phi_{i})[\cos\sigma-\cos\theta_{i}(t)]<0, $ $i=1, 2, \cdots, n.$

事实上, 如果$\sigma>\phi_{i}, $则$\theta_{i}=t\sigma+(1-t)\phi_{i}<t\sigma+(1-t)\sigma=\sigma$和$\cos\sigma<\cos\theta_{i}(t). $ 如果$\sigma<\phi_{i}, $则$\theta_{i}=t\sigma+(1-t)\phi_{i}>t\sigma+(1-t)\sigma=\sigma$和$\cos\sigma>\cos\theta_{i}(t). $因此, 当$0\leq t<1, $时有不等式

$ \sum\limits_{i=1}^{n}(\sigma-\phi_{i})\left[\cos\sigma-\cos\theta_{i}(t)\right]\cos\theta_{i}(t)<0. $

(2.6)

由(2.5)式可知

$ \sum\limits_{i=1}^{n}(\sigma-\phi_{i})\cos2\theta_{i}(t) =2\sum\limits_{i=1}^{n}(\sigma-\phi_{i})\cos^{2}\theta_{i}(t). $

(2.7)

由于$F(\Omega)=0, $因此我们要证明(2.4)式成立, 可以转化为证明$F(\Theta)\geq0$当且仅当$\Theta=\Omega$时等号成立. 即证明$F(\Phi)>F(\Omega), $对于任意的$\Phi\in D_{n}$且$\Phi=(\phi_{1}, \phi_{2}, \cdots, \phi_{n})\neq\Omega$.

现在考虑$F\left(\Theta(t)\right)$关于$t$求微分

$ F^{'}\left(\Theta(t)\right)=\frac{dF}{dt}\\=2L_{n}(\Theta(t))\sum\limits_{i=1}^{n}(\sigma-\phi_{i})\cos\theta_{i}(t) -c_{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(\sigma-\phi_{i})\left[\cos^{2}\theta_{i}(t)-\sin^{2}\theta_{i}(t)\right]-\nonumber\\ \frac{1}{2}\left(\sum\limits_{i=1}^{n}\sin\theta_{i}(t)\cos\theta_{i}(t)-n\sin\sigma\cos\sigma\right)\left\{\sum\limits_{i=1}^{n}(\sigma-\phi_{i})\left[\cos^{2}\theta_{i}(t)-\sin^{2}\theta_{i}(t)\right]\right\}\nonumber\\ =\frac{2\sum_{i=1}^{n}\sin\theta_{i}(t)}{\cos\sigma}\cos\sigma\sum\limits_{i=1}^{n}(\sigma-\phi_{i})\cos\theta_{i}(t)-\frac{2n\sin\sigma}{\cos\sigma}\sum\limits_{i=1}^{n}(\sigma-\phi_{i})\cos^{2}\theta_{i}(t)\nonumber\\ -\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^{n}\sin2\theta_{i}(t)-n\sin2\sigma\right)\left\{\sum_{i=1}^{n}(\sigma-\phi_{i})\cos^{2}\theta_{i}(t)\right\}\\ 2\left(\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}\sin\theta_{i}(t)-n\sin\sigma}{\cos\sigma}\right) \sum\limits_{i=1}^{n}(\sigma-\phi_{i})[\cos\sigma-\cos\theta_{i}(t)]\cos\theta_{i}(t)\nonumber\\ +\frac{1}{2}\left(\sum\limits_{i=1}^{n}\sin2\theta_{i}(t)-n\sin2\sigma\right) \sum\limits_{i=1}^{n}(\sigma-\phi_{i})[\cos\sigma-\cos\theta_{i}(t)]\cos\theta_{i}(t)\nonumber\\ 2\left[\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}\sin\theta_{i}(t)-n\sin\sigma}{\cos\sigma}+ \frac{1}{4}\left(\sum\limits_{i=1}^{n}\sin2\theta_{i}(t)-n\sin2\sigma\right)\right]\nonumber\\ \cdot\sum\limits_{i=1}^{n}(\sigma-\phi_{i})\left(\cos\sigma-\cos\theta_{i}(t)\right)\cos\theta_{i}(t). $

由(2.2)与(2.6)式可知$F^{'}\left(\Theta(t)\right)<0.$故$F\left(\Theta(t)\right)=F(t)$在$[0, 1]$上是严格的减函数, 立即可知$F\left(\Theta(0)\right)=F\left(\Phi\right)>F\left(\Omega\right)=F\left(\Theta(1)\right). $即(2.4)式成立.

定理2  设$\Gamma_{n}$为欧氏平面$\mathbb{R}^{2}$中面积为$A_{n}$, 周长为$L_{n}$, 内接于半径为$R$的圆的$n$边形, $A^{*}_{n}=\frac{1}{2}nR^{2}\sin\frac{2\pi}{n}$是半径为$R$的圆的内接正多边形的面积, 则有不等式

$ L_{n}^2-4 {c_{n}}A_{n}\ge \frac{1}{R^{2}}\left(A^{*}_{n}- A_{n}\right)^{2}, $

(2.8)

这里${c_{n}}={n\tan{\frac{\pi}{n}}}$且等号成立当且仅当$\Gamma_{n}$为正$n$边形.

证  设$a_{i}$ 为$\Gamma_{n}$的第$i$个边的边长, $\theta_{i}$ 为第$i$个边的边所对的圆周角的一半, 则

$ \begin{eqnarray*} &&L_{n}=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}=\sum\limits_{i=1}^{n}2R\sin\theta_{i}, \\ &&A_{n}=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{2}a_{i}R\cos\theta_{i}= \sum\limits_{i=1}^{n}R^{2}\sin\theta_{i}\cos\theta_{i}, \\ &&\sum\limits_{i=1}^{n}\theta_{i}=\pi, \ \ \ \ \sigma=\frac{\pi}{n}, \ \ \ \ A^{*}_{n}=\frac{1}{2}nR^{2}\sin\frac{2\pi}{n}, \end{eqnarray*} $

将以上各式分别代入(2.8)式中它可以变形为

$ \left(\sum\limits_{i=1}^{n}\sin\theta_{i}\right)^{2} -c_{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\sin\theta_{i}\cos\theta_{i}\geq \frac{1}{4}\left(\sum\limits_{i=1}^{n}\sin\theta_{i}\cos\theta_{i}-n\sin\sigma\cos\sigma\right)^{2}, $

由定理1中的(2.4)式可知定理得证.